第三讲__排序不等式

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+①事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11（n j n ≠）中n b 与nj 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II ．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A 2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 其中等号成立的充分必要条件都是n a a a === 21.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.n n G A ≥记1,,,2121211====n n n Ga a a x G aa x G a x ； .1,,1,12211nn x y x y x y ===由于数组n x x x ,,,21 和数组n y y y ,,,21 中对应的数互为倒数，由排序不等式得n n y x y x y x +++ 1211（逆序和）≤1121,-+++n n n y x y x y x ，即 .21nn n n G a G a G a n +++≤从而.n n G A ≥等号当且仅当n x x x === 21或n y y y === 21时成立，而这两者都可得到n a a a === 21.下面证明.n n H G ≥对n 个正数na a a 1,,1,121 应用,n n A G ≤得 .1111112121n nn a a a n a a a ⋅⋅⋅≥+++即.n n H G ≥（符号成立的条件是显然的）.最后证明,n n Q A ≤它等价于.0)()(22122221≥+++-+++n n a a a a a a n而上式左边= +-++-+-++-+-2223221221221)()()()()(n n a a a a a a a a a a0)(21≥-+-n n a a ，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，nn Q A ≤对一切R a a a n ∈,,,21 成立.III ．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式显然成立）. 记A=22221n a a a +++ ，B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 于是原不等式成为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i ==从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == IV ．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ，…….11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.赛题精讲I ．排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对+∈R c b a ,,，比较a c c b b a c b a 222333++++与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析. 【略解】 取两组数.,,;,,222c b a c b a不管c b a ,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和a c c b b a c b a 222333++++，故a c cb b ac b a 222333++>++.【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：+∈R c b a ,,，求证.222222222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a ++≤+++++≤++ 【思路分析】 应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为.0>≥≥c b a【略解】由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设.0>≥≥c b a于是ab c c b a 111,222≥≥≥≥. 由排序不等式，得ac c b b a c c b b a a 111)(111222222⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅逆序和（乱序和）. 及.111111222222bc a b c a c c b b a a ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abca bc c b a 111,0333≥≥>≥≥及，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组. 例3：在△ABC 中，试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得.,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π， 得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例4：设n a a a ,,,21 是互不相同的自然数，试证.212112221n a a a n n +++≤+++ 【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将n a a a ,,,21 按由小到大的顺序排成n j j j a a a <<< 21其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的一个排列，则.,2,121n a a a n j j j ≥≥≥ 于是由排序不等式，得.12112222222121n na a a n a a a n j j j n +++≥+++≥+++例5：设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列，求证.2211n b a b a b a nn ≥+++【思路分析】 应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅【略证】不妨设n a a a ≥≥≥ 21，因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ， 又n n a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列，于是得到 .11111122112211nn n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅= 【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a【略解】设xzc z y b y x a ===,,，这里z y x ,,都是正数，则原需证明的不等式化为 y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则，且所需证明的不等式可化为 23222≥+++++y x z x z y z y x ，现不妨设z y x ≥≥，则 yx zx z y z y x +≥+≥+，据排序不等式得y x z x z y z y x +++++222y x zy x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx zx x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥两式相加并化简可得)(2222yx z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x例7：设实数n n n z z z y y y x x x ,,,,,212121 ≥≥≥≥≥≥是n y y y ,,,21 的一个置换，证明：∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212.)()(【略解】 显然所需证不等式等价于∑∑==≥ni ii n i ii z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.【评述】 应用此例的证法可立证下题：设k a 是两两互异的正整数（),2,1 =k ，证明对任意正整数n ，均有∑∑==≥ni ni k kk a 112.1证明：设n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列，使n b b b <<< 21，则从条件知对每个k b n k k >≤≤,1，于是由排序不等式可知∑∑∑===≥≥ni n i k ni k kk b k a 11212.1II ．柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式. 例8：设+∈R x x x n ,,,21 ，求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ∵0,,,21>n x x x ，故由柯西不等式，得))((1221322221132x x x x x x x x x x x x n n n n ++++++++-2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥-2121)(n n x x x x ++++=- ，∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.针对性训练题1．设a 、b 、c +∈R ，利用排序不等式证明： （1）b a b a b a abba≠>(）； （2）b a a c c b cbac b a c b a +++≥222；（3）23≥+++++b a c a c b c b a ； （4）.101010121212c b a abc ca b bc a ++≥++ 2．设a 、b 、c 是三角形三边的长，求证：.3≥-++-++-+cb a cb ac b a c b a3．已知a 、b 、c *N ∈，并且,,,c b a b a c a c b >+>+>+求证：.1)1()1()1(≤-+-+-+cb a cb a b ac a c b 4．设,1,*>∈n N n 求证：.22121-⋅>+++n nn n n n C C C5．若b a b a b a lg 2lg ,62,0,0+=+>>求且的最大值. 6．若122,122++=+b ab a 求的最小值.7．已知11),(),1(13++=>=-x y y x u x y x 求的最小值. 8．y x y x u y x 2),(,1222+==+求的最值.。