中职数学立体几何教案

x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1． 平面及其表示常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别．如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行．一个平面通常用小写希腊字母α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角部，记作“平面α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； ②点A 在平面α，记作A ∈α，点A 不在平面α，记作A ∉α； ③直线l 在平面α，记作l ⊂α；④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ⋂m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ⋂m =∅； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ⋂α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ⋂α=∅； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α⋂β=l ，平面α与平面β不相交，记作α⋂β=∅．在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课练习11. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；(3)直线l 与直线m 相交于平面α的一点N ； (4)直线l 经过平面α的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？(1)点A 在平面α，记作A ⊂α; (2)直线l 在平面α，记作l ∈α；(3)平面α与平面β相交，记作α⋂β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ⋂α≠∅．2. 平面的基本性质 基本性质：图5-28ABCD A 1B 1C 1D 1 (第3题图)图5-27(2)βD ABCD图5-27(1)A DCα(1)如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 如图5-29，直线l 上两点A ,B 在平面α ，那么l 上所有的点都在平面α ，这时我们可以说，直线l 在平面α 或平面α经过直线l ．这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面． 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质：(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．如图5-30，平面β 与平面γ 相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．如果我们把一纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面． 这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平面．如图5-31，A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可以画一个平面α．现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面；③两条平行直线可以确定一个平面． 课练习2 1. 判断题(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?(3)如图,我们能说线段AB 在平面α,但直线AB 不全在平面α吗? 2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？ 3. 一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？ 4. 怎样检查一桌子的四条腿的下端是否在同一平面？小结 作业图5-29图5-30 l βγ •C 图5-31α • • • C B A (第1(1)题图) (第1(2)题图) βA • α •B (第1(3)题图)A •α• Bx x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．把教室看成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '（如图9-32），可以发现直线对BC 与AA '、AD 与D 'C 以及对角线B 'D '与AC 等等，它们不同在一个平面．我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：(1) 没有公共点——平行(2) 只有一个公共点——相交(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面，这样就容易体现出 “异面”的特点．课练习11. 找出日常生活中异面直线的几个例子．2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．3. 两条直线分别在两个平面，它们是否一定异面直线？4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？2. 空间的平行直线平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB 'A '、BCC 'B '都是矩形，AA '∥BB ', CC '∥BB '，所以CC '∥AA '．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的ACB ∠和B C A '''∠。

例1 如图9-35，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形．证明 由此即得EH =FG 且EH//FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．课练习21. 把一长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什么？2. 画两个相交平面，在这两个平面各画一条直线，使它们成为平行直线．3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证：EF =E 1F 1且 EF//E 1F 1．4. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，E ,E '分别l 1 图9-33 lα AB CD图9-32 A ' B ' C ' D '(必定同在一个平面上)；图9-35 AB CD A 'B 'C 'D 'E F 1 A 1 E 1 C D A ' B 'C 'D 'EE '是棱AD ,A 'D '的中点，求证：∠CEB =∠C 'E 'B '．3. 异面直线所成的角平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义： 如图5-36(1)，设l 、m 是两条异面直线，在空间任取一点P ，过P 作l '∥l 、m '∥m ，把l '、m '所成的(不大于90︒)角，叫做异面直线l 、m 所成的角(或l 、m 的夹角)，采用平面情况的记法，记作l ^m ．为了简便起见，点P 常取在两异面直线中的一条上．例如在直线m 上，过点P 作直线l '∥l （如图9-36(2)），那么l '、m 所成的角就是异面直线l 、m 所成的角．如果两条异面直线l 、m 所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作l ⊥m ．如果两条直线所成的角为0︒角，那么我们就说这两条直线平行．例2 图9-37表示一个正方体．(1)哪些棱与AB '是异面直线？ (2)求AB '与CC '的夹角的度数；(3)哪些棱与AA '垂直？解 课练习3 1. 在下列各图中，分别以O 为顶点，画出异面直线l 、m 所成的角．2. 设l 、m 、n 为三条空间直线，其中l ∥m , l ⊥n ，则m 、n 的关系如何？3. 设l 、m 、n 为三条空间直线，且l ^ m = n ^m =45︒，能否得出l ∥n 的结论？ 你能举出反例吗？小结： 作业：图9-37 A BC D A ' B 'C 'D '第1题图图• m ' l ' P图x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 直线和平面的位置关系我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB 所在的直线，它在面ABCD 上；与面BCC 1B 1有一个公共点B ；与面DCC 1D 1没有公共点．这个实例告诉我们：空间直线l 与平面α的位置关系只有三种：(1) l 与α有无数个公共点——直线l 在平面α；(2) l 与α没有公共点——直线l 平行于平面；(3) l 与α只有一个公共点——直线l 与平面α相交．图5-39表示了这三种位置关系．课练习11. 举出直线和平面的三种位置关系的实例．2. 回答下列问题：(1)能否说直线l 与平面α有两个交点A 、B ?(2)如果直线l 在平面α外，l 是否一定与α平行？ (3)如图，因为l 与α没有交点，是否能说l ∥α?(4)如果直线l 不平行于平面α，l 必与α相交吗？2. 直线和平面平行(1)直线和平面平行的判定要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a 、b ．把墙面视为一个平面α，当门关着时，直线a 、b 同在平面α上，且a ∥b ．开门时，a 离开了平面α，但仍保持与b 平行，而且a 与平面α也是平行的(如图5-40(2))． 这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如图5-41中所示，如果a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α。