中职数学立体几何知识分享
(完整版)立体几何知识点总结完整版
立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。
4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。
5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。
空间几何体(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球)中职
2．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长为2．求正四棱锥的侧
面积和体积．
3．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2．求该三棱锥的
表面积和体积；
练习
3
3
3
7.2旋转体—圆柱
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 已知圆柱底面直径为6，高为10，求圆柱的表面积与
体积．
解 由题可知： = 3，高ℎ = 10，
∴ S底 = r 2 = 32 =9 cm 2 ，
S侧 =2 rh 2 3 10 60 cm 2 ，
例3 如图所示，正四棱锥锥 − 的底面边长是4，斜高锥
= 2 5 ，求该正四棱锥的表面积和体积．
解 ∵ 正四棱锥 − 的底面边长是4，
∴ 底 = 4 × 4 = 16(2 )，
又∵
∴
斜高 = 2 5 ．
1
1
S侧 = c PE 16 2 5 16 5 cm2 ，
概念辨析
判断下列几何体的类型：
6
2
1
4
3
5
多
面
体
多面体由点、线、面组成；
围成多面体的各个多边形叫做多边形的面；
两个面的交线叫做多面体的棱，棱与棱的交
点叫做多面体的顶点。
观察以下多面体，可以分成几类？
2
1
3
4
5
6
观察以下多面体，可以分成几类？
棱柱
棱锥
棱
柱
：
记作：
ABC-A'B'C'
ABCD-A'B'C'D'
（2）侧面都是全等的矩形；
职高数学——立体几何
平面的基本性质一、高考要求:理解平面的基本性质、二、知识要点:1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、2、平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ 、3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、三、典型例题:例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内、证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α、∵m ∩α=A,m ∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m∴m ⊂α、 ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内、四、归纳小结:1、证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都就是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、五、基础知识训练:(一)选择题:1、下列说法正确的就是( )A 、平面与平面只有一个公共点B 、两两相交的三条直线共面C 、不共面的四点中,任何三点不共线D 、有三个公共点的两平面必重合2、在空间,下列命题中正确的就是( )A 、对边相等的四边形一定就是平面图形B 、四边相等的四边形一定就是平面图形C 、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或3个4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件(二)填空题:5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面、6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是 、(三)解答题:7、已知A 、B 、C 就是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线、8、已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面、直线与直线的位置关系一、高考要求:1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、二、知识要点:1、两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内、2、平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、三、典型例题:例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH就是平行四边形、思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状就是 ;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1与BD1间的距离、四、归纳小结:1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、五、基础知识训练:(一)选择题:1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;(3)有三个角就是直角的四边形就是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、A、0个B、1个C、2个D、3个2、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;(4)分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、A、0个B、1个C、2个D、3个4、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A、1个B、2个C、3个D、4个5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A、垂直B、平行C、相交D、异面6、设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系就是( )A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面7、设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是( )A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面8、(2002高职-4)已知m,n就是异面直线,直线 平行于直线m,则 与n( )A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线(二)填空题:9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β= 、(三)解答题:12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:AC与BD就是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证与证明过程)13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离、14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC 的中点,连结DE、(1)求证:DE就是异面直线OA与BC的公垂线;(2)求异面直线OA与BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离、直线与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握直线与平面的位置关系、2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、二、知识要点:1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点、2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α、直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍就是按或线段;(2)平行线的平行射影仍就是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b、6.斜线及其在平面内的射影:一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、定理:从平面外一点向平面引垂线与斜线、(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、三、典型例题:例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD、例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明、四、归纳小结:1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、五、基础知识训练:(一)选择题:1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是( )A 、 AB ⊥PD B 、 AB ⊥PCC 、 OD ⊥PC D 、 AB ⊥PO2、直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围就是( )A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3、由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形就是( )A 、半径为34cm 的圆B 、半径为24cm 的圆C 、半径为334cm 的圆 D 、半径为22cm 的圆 4、设a 、b 就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是( )A 、有且仅有一条直线与a 、b 垂直B 、有一个平面与a 、b 都垂直C 、过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D 、过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5、下列命题中正确的就是( )A 、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B 、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6、两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系就是( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上三种情况都有可能7、PA,PB,PC 就是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A 、21 B 、36 C 、33 D 、23 8、直线a 就是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角就是( )A 、60ºB 、45ºC 、90ºD 、135º9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A 、513B 、517 C 、921 D 、12951 10、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A 、5B 、52C 、53D 、5411、在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 就是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离就是( )A 、25B 、27C 、211D 、419 12、已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 就是△ABC 的外心,则( )A 、 SA=SB=SCB 、 SA ⊥SB,且SB ⊥SCC 、∠ASB=∠BSC=∠CSAD 、 SA ⊥BC(二)填空题:13、如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 、14、在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系就是 、15、两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能就是 、(三)解答题:16、证明直线与平面平行的判定定理、17、从平面外一点P 向平面引垂线PO 与斜线PA,PB 、(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长、18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P 、(1)P 到三角形三顶点的距离都就是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都就是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、19、已知直角△ABC 在平面α上, D 就是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长、20、如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β、求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB 、21、已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、求证:cos α=cos βcos γ、22、 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1、(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD 、平面与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握平面与平面的位置关系、2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、二、知识要点:1.平面与平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线、2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、三、典型例题:例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、例2:已知二面角α- -β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α、四、归纳小结:1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角、五、基础知识训练:(一)选择题:1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA、①与②B、③与④C、②D、④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是( )A、平面的基本性质B、三垂线定理C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是( )A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有( )A、α⊥γ且 ⊥mB、α⊥γ且m∥βC、 m∥β且 ⊥mD、α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β与直线 、m,则α⊥β的一个充分条件就是( )A、 ⊥m, ∥α,m∥βB、 ⊥m,α∩β= ,m⊂αC、 ∥m, m⊥β, ⊂αD、 ∥m, ⊥α,m⊥β6.若异面直线a、b, a⊂α, b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合7.下列命题中,正确的就是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A、(1)(2)B、(2) (3)C、(3)(4)D、(2)(3)(4)8.过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个4,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为( ) 9.设正方形ABCD的边长为6A 、3πB 、4πC 、2πD 、32π (二)填空题:10. 已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是 、11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是 、12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a 平行、 其中正确命题的序号就是 、13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m,则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β,且α∥β,则m ∥ 、其中正确的命题就是(只写序号) 、14. 已知直线 与平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出您认为正确的一个命题 、15. α、β就是两个不同的平面,m 、n 就是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题: 、16. 设X,Y,Z 就是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的就是 、①X,Y,Z 就是直线; ②X,Y 就是直线,Z 就是平面; ③X,Y 就是平面,Z 就是直线; ④X,Y,Z 就是平面、设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系就是 、17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长就是 ,EF 的长就是 、18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= 、(三)解答题:19. 已知一个二面角就是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都就是3,求两个垂足间的距离、20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长、翻折问题一、高考要求:掌握立体几何中图形翻折问题的解法、二、知识要点:解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题、三、典型例题:例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º、(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值、例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离、四、归纳小结:1、折叠前一般就是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后就是立体图形,要用立体几何知识解答;2、未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答、五、基础知识训练:(一)选择题:1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离就是( ) A 、a B 、a 26 C 、a 33 D 、a 415 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A 、a 22B 、a 23C 、a 23 D 、a 2 (二)填空题:4. E 、F 分别就是正方形ABCD 的边AB 与CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= 、5. 如图,ABCD 就是正方形,E 就是AB 的中点,如将△DAE 与△CBE 分别沿虚线DE 与CE 折起,使AE 与BE重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD所成的二面角为 度、(三)解答题:6.一个直角三角形的两条直角边各长a与b,沿其斜边上的高h折成直二面角,试求此时a与b两边夹角α的余弦、7.把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,试求顶点B与D的距离、8.已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成90º的二面角,求B、D两点之间的距离、空间图形性质的应用一、高考要求:掌握空间图形的性质在测量与实际问题中的应用、二、知识要点:1、空间图形的性质在测量中的应用;2、空间图形的性质在实际问题中的应用、三、典型例题:例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果您手中只有测角器与皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离、请说出您的测量方法,并求出该距离、例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结:空间图形的性质在测量与实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题、五、基础知识训练:(一)填空题:1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离就是、2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线与CP垂直、(二)解答题:3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达、在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度、。
中职数学立体几何复习要点
中职数学立体几何复习要点展开全文1.多面体、旋转体的相关概念及公式定义表面积计算公式体积计算公式多面体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球2.斜棱柱直棱柱正棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体正棱锥的斜高正棱台正棱台的斜高斜棱柱3.平面的基本性质平面的基本性质平面的基本性质三.4. 平面基本性质的推论推论 1 ：.推论 2 ：.推论 3 ：5. 空间中两条直线的位置关系位置关系定义共面情况公共点相交平行异面6. 平行公理（平行的传递性）7. 异面直线定理：.线所成的角：异面直.所成的角的范围：异面直线. 8.空间中直线与平面的位置关系位置关系平面与平面相交平面与平面平行公共点符号表示图形表示9.直线与平面平行的判定定理：10.直线与平面平行的性质定理11.直线与平面垂直的判定定理：12.直线与平面垂直的判定定理的推论：13.直线与平面垂直的性质定理：15.平面的斜线与平面所成的角的概念：16.平面的斜线与平面所成的角的范围：17.平面与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点符号表示图形表示18.平面与平面平行的判定定理14. 平行于平面的直线到平面的距离：20.平面与平面平行的性质定理21.两个平行平面间的距离：. 22.二面角的平面角的概念：. 23.二面角的大小范围：.24.平面与平面垂直的判定定理：25.平面与平面垂直的性质定理：26._____________________________27.若点，点，则________________________________ ；__________________ ；是线段的中点，则的坐标是28.假定，且向量与三个坐标轴都不平行时，有。
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动脑思考 探索新知
两个平面平行的性质： 如果一个平面与两个平行平面相交， 那么它们的交线平行． 如图所示，如果 // ，平面 与 、 都相交，交线分别为m、n，那么
m∥n．
运用知识 强化练习
画出下列各图形： （1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面．
创设情境 兴趣导入
将铅笔放到与桌面平行的位置，用矩形
硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边
铅笔
紧贴桌面(如图)，观察铅笔及硬纸片与桌面
的交线，发现它们是平行的．
创设情境 兴趣导入
直线与平面的三种位置关系
动脑思考 探索新知
直线与平面平行的性质： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面 和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图所示，设直线 l 为平面 与平面 的交线，直线m在平面 内且m ∥ 则 m ∥ l ．
B
A
C
四.平面的性质 性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。
“确定一个平面”指 的是“存在着一个平面， 并且只存在着一个平面” ．
1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面． 2．两条相交直线可以确定一个平面． 3．两条平行直线可以确定一个平面．
A
(1)
(2)
（3）
例 在长方A体 BCDA1B1C1D1中，画出 A、 由C、D1
创设情境 兴趣导入
将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点； 抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到 文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．
动脑思考 探索新知
立体几何知识点归纳
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。
它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。
以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。
直线是一维对象，而平面是二维对象。
在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。
2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。
这些角度的测量是立体几何中的重要内容。
3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。
多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。
立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。
4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。
对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。
5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。
向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。
6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。
通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。
7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。
对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。
8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。
这在工程图纸和建筑设计中非常重要。
9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。
它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。
锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。
10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。
曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。
中职-第九章 立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥， 球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 ②四棱柱 底面为平行四边形且侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.5面积、体积公式：2S c h S c h S S h =⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
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立体几何
几何体的概念
立体几何
构成空间几何体的基本元素
最基本的图形 面与面相交形成 包围着体
立体几何
构成空间几何体的基本元素
以长方体为例，长方体由六个矩形 ( 包括内部 ) 围成 围成长方体的各个矩形叫做长方体的面 相邻两个面的公共边叫做长方体的棱 棱和棱的公共点叫做长方体的顶点 长方体有几个面？几条棱？几个顶点？
(1)反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有 “两面共一线，且过这一点，线唯一”；
(2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点， 它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2的作用
（1）判定两个平面是否相交； （2）可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个 平面的公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
9.1 平面的基本性质
例题
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性表述： ABC三点不共线推断出有且只有一个平面α，使得A α,B α, C α
即A,B,C不共线 A,B,C确定一平面
文字表述： 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，这就表明这个图形是确定的，所 以也可以说成“确定一个”.
主讲--邓秋阳
立体几何
苏州博物馆新馆 路思义教堂
立体几何
卢浮宫
立体几何
香港中银大厦
立体几何
立体几何
有的同学会问道：老师，我们现在学习立体几何由有什么用处，完全是为了应付考试的吧！ 了解它对我们有什么帮助？在生活中我们有运用到它了吗……
立体几何
学习立体几何会让你的立体感增强。以前看不出来的三维图形，现在都能看出来！ 当你的立体感增强后，在思考问题时，能做到从多个角度立体地看问题！ 你会发现实际中的应用实在是太多了，在我们生活中是随处可见的！
9.1 平面的基本性质
例题
如图中 Δ ABC，若 AB,BC在平面 α 内，判断AC是否在平面 α 内？
解： AB在平面α内， A点一定在平面α内.
又 BC在平面α内， C点一定在平面α内. 点A、点C都在平面α内， 直线AC在平面α内
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
点、线、面之间的关系的集合语言
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1
观察下图：
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1
图形表述：
符号表述： Al, B l; A , B l （直线l在平面内或平面经过直线l）
文字表述： 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内)
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1的作用
（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线 上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）基本性质1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为： 把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内， 则该面为平面.
PS：将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平 整。
9.1 平面的基本性质
平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
9.1 平面的基本性质
例题
表示出长方体ABCD-A1B1C1D1的6个面。
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
立体几何
9.1 平面的基本性质
生活中有没有“平面”呢？
9.1 平面的基本性质
平面的概念
光滑的桌面、平整的纸张、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
9.1 平面的基本性质
平面的概念和性质
平面是一个只能描述而不定义的最基本的概念，它是从日常见到的具体的平面抽象 出来的理想化的模型 .
9.1 平面的基本性质
平面的画法
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
9.1 平面的基本性质
例题
判断下列说法是否正确？ (1) 两个平面比一个平面厚 ; (2) 圆和平面多边形都可以表示平面 ; (3) 用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界； (4) 任何一个平面图形都是一个平面 ;.
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
（1）“不在一条直线上”和“三点”是基本性质3的重点字眼，如果没有前者，
那么只能说“有一个平面”，但不唯一。如果将“三点”改成“四点”那么过四点不一定 确定一个平面．由此可见“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的恰到好处的条件。
（2） 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
图形表述：
l
A ●
符号表述：
A, A l且Al
（平面与平面相交，交线为 l）
文字表述： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的 集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相交)。
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2的理解
9.1 平面的基本性质
点、线、面之间的关系的集合语言
1、空间中最小的元素是 ?
2、我们可以把空间看作 面动成体；
的集合，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，
3、直线与平面都可以看成是点的集合．可以用集合语言来描述点、直线和 平面之间的关系以及图形的性质．
9.1 平面的基本性质
点、线、面之间的关系的集合语言
1. 平 2. 无限延展 3. 不计大小 4. 不计厚薄
( 不是凹凸不平 ) ( 没有边界 ) ( 无所谓面积 ) ( 没有质量 )
9.1 平面的基本性质
平面的画法
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横边长等于其邻边长的 2 倍。
画表示非水平非竖直放置的平面时，只要将 锐角画成不等于45°即可 .