2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 函数f(x)=log 2(2x)的图象大致是( ) A. B. C. D.2. 在△ABC 中，“A +B =π2”是“sinA =cosB ”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数f(x)=2x +3，若f(a)=1，则a =( ) A. −2 B. −1C. 1D. 2 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 函数f(x)=sin(ωx +π3)的周期为π，则ω= ______ ．6. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|x ≥0}，则A ∩B =______．7. 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212的解x =______．8. 已知函数f(x)=a x −4a +3的反函数的图象经过点(−1,2)，那么a 的值等于______ ．9. 将曲线y =sin(2x −π6)的图像向左平移φ个单位后得到函数y =sin(2x −π3)的图像，则φ的最小正值是______ ．10. 已知集合A ={1,2，5}，B ={a +4,a}，若A ∩B =B ，则实数a = ______ ．11. 已知R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，若f(m +1)<f(3m −1)，则实数m 的取值范围是______ ．12. 当0≤x ≤12时，|ax −2x 3|≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．13. 若函数f(x)=1x−a−1的图象关于点(3,0)对称，则实数a =______．14. 设函数f(x)={−1,−2≤x ≤0x −1,0<x ≤2，若函数g(x)=f(x)−ax , x ∈[−2,2]为偶函数，则实数a 的值为_________．15. 方程3x 2+6x −1x =0的实数根个数为______ ．=1有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=________．16.已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−1三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知二次函数f(x)=ax2−bx+2．(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，求a和b的值；,1]，f(x)>0恒成立，求x的取值范围．(2)若b=2a+1，对任意a∈[1218.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=−x2−2x+a．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意实数m，不等式f(m−1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果sinA=√3sinC，B=30°，(1)求b；c(2)求角A．20.设函数f(x)=x|x−a|(a∈R)(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当x∈[0,1]时，f(x)的最大值为a2，求实数a的取值范围．421.若A={1,3，5，7}，B={2,4，6}，C={(x,y)|x∈A，y∈B}，列出C中的所有元素．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：函数f(x)=log2(2x)=log22+log2x=1+log2x，故此函数可由对数函数y=log2x向上平移1个单位得到，选项C的图象为函数y=log2x的图象，平移后为选项A的图象，其它不符合，故选：A．先把函数等价变形，函数f(x)=log2(2x)=log22+log2x=1+log2x，此函数可由对数函数y= log2x向上平移1个单位得到，结合4个选项选出答案．本题主要考查对数函数的图象及函数的平移知识，常见函数的图象应熟练掌握．2.答案：A解析：解：若A+B=π2，则sinA=sin(π2−B)=cosB，若sinA=cosB，则sinA=sin(π2−B)，因为A，B，C为三角形的内角，所以A=π2−B，或A+π2−B=π，即A+B=π2或A−B=π2，即“A+B=π2”是sinA=cosB的充分不必要条件故选：A．根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．3.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数值的求法，根据f(a)=1得到2a+3=1，即可求出答案，属于基础题．【解答】解：函数f(x)=2x+3，若f(a)=1，则2a+3=1，解得a=−1．故选B．5.答案：±2解析：解：函数f(x)=sin(ωx+π3)的周期为|2πω|=π，则ω=±2，故答案为：±2．利用y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=|2πω|，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=|2πω|，属于基础题．6.答案：[0,3]解析：↵【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．求出A中不等式的解集确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：(x−3)(x+1)≤0，解得：−1≤x≤3，即A=[−1,3]，∵B=[0,+∞)，∴A∩B=[0,3]，故答案为：[0,3]7.答案：−1解析：【分析】本题考查了对数与对数运算.根据对数函数定义域以及运算性质，列出方程组即可解得x的值．【解答】解：∵方程log2(2−x)+log2(3−x)=log212，∴{2−x>03−x>0(2−x)(3−x)=12，即{x<2x2−5x−6=0,解得x=−1．故答案为：−1．8.答案：2解析：【分析】本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数f(x)=a x−4a+3的反函数的图象经过点(−1,2)可知：点(2,−1)在函数f(x)=a x−4a+3的图象上，由此代入数值即可求得．本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．【解答】解：依题意，点(−1,2)在函数f(x)=a x−4a+3的反函数的图象上，则点(2,−1)在函数f(x)=a x−4a+3的图象上将x=2，y=−1，代入y=a x−4a+3中，解得a=2故答案为2．9.答案：1112π解析：【分析】本题考查函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.由题可得2φ−π6=2kπ−π3,k∈Z，解得φ=kπ−112π，进而得出答案．【解答】解：y=sin(2x−π6)的图像向左平移φ个单位后得到函数y=sin(2x−π3)的图像，∴2φ−π6=2kπ−π3,k∈Z，解得φ=kπ−112π，则φ的最小正值为1112π．故答案为1112π．10.答案：1解析：解：因为A ∩B =B ，所以B ⊆A因为集合A ={1,2，3}，B ={a +4,a}，所以a =1，故答案为：1．直接利用交集的定义，判断集合B 中元素的值，求出a 即可．本题考查交集的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：m >1或m <0解析：解：根据题意，由于函数f(x)是偶函数，则f(m +1)=f(|m +1|)，f(3m −1)=f(|3m −1|)， 又由f(x)在[0,+∞)单调递增，则f(m +1)<f(3m −1)⇔|m +1|<|3m −1|；解可得：m >1或m <0，即m 的取值范围是：m >1或m <0；故答案为：m >1或m <0根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，分析可得f(m +1)<f(3m −1)⇔|m +1|<|3m −1|，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合运用，关键是将f(m +1)<f(3m −1)转化为|m +1|<|3m −1|．12.答案：[0,2]解析：解：若当0≤x ≤12时，|ax −2x 2|≤12恒成立，即当0≤x ≤12时，−12≤ax −2x 2≤12恒成立，即当0≤x ≤12时，2x 2−ax −12≤0和2x 2−ax +12≥0恒成立，即当0≤x ≤12时，解得：{a ≥2x 2−12x a ≤2x 2+12x 恒成立， ∵当0≤x ≤12时，y =2x 2−12x 为增函数，当x =12时，函数取最大值0， 当0≤x ≤12时，y =2x 2+12x 为减函数，当x =12时，函数取最小值2，故{a ≥0a ≤2， 即实数a 的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]若当0≤x ≤12时，|ax −2x 2|≤12恒成立，即−12≤ax −2x 2≤12恒成立，即2x 2−ax −12≤0和2x 2−ax +12≥0恒成立，即{a ≥2x 2−12x a ≤2x 2+12x 恒成立，进而将问题转化为求函数的最值问题，得到答案．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，恒成立问题，函数的单调性和最值，是函数与不等式的综合应用，难度中档．13.答案：2解析：解：函数f(x)=1x−a−1的图象关于点(a +1,0)对称，即a +1=3，解得：a =2．故答案为：2．函数f(x)=1x−a−1的图象由反比例函数y =1x 的图象右移a +1个单位得到，故关于点(a +1,0)对称，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握反比例型函数的图象和性质，是解答的关键． 14.答案：12解析：【分析】本题考查函数奇偶性的性质，求得g(x)的解析式后，利用特值法g(−1)=g(1)是解决问题的关键，属于基础题．【解答】解：∵f(x)={−1,−2≤x ≤0x −1,0<x ≤2， ∴g(x)=f(x)−ax ={−ax −1,−2≤x ≤0(1−a)x −1,0<x ≤2， ∵g(x)={−ax −1,−2≤x ≤0(1−a)x −1,0<x ≤2为偶函数， ∴g(−1)=g(1)，即a −1=1−a −1=−a ，∴2a =1，∴a =12． 经检验知a =12时g(x)为偶函数．故答案为12． 15.答案：3解析：解：方程3x2+6x−1x=0的实数根个数即f(x)=3x2+6x与g(x)=1x的交点的个数，作f(x)=3x2+6x与g(x)=1x的图象得，故答案为：3．方程3x2+6x−1x =0的实数根个数即f(x)=3x2+6x与g(x)=1x的交点的个数，作图求解．本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．16.答案：{−1,1,−54}解析：【分析】此题考查了集合的表示方法，以及元素及集合的关系，根据题意分类讨论即可得到结果．【解答】解：方程有唯一实数解，由x+ax2−1=x+a(x+1)(x−1)=1，当x +a =x −1或x +a =x +1时，方程有一解，则a =−1或a =1，当x +a =x 2−1有一解时，Δ=0，a =−54．故答案为{−1,1,−54}．17.答案：解：(1)不等式f(x)>0的解集为{x|x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2−bx +2=0的两个根为1，2，由韦达定理得{1+2=−−b a 1×2=2a ，解得：a =1，b =3；(2)若b =2a +1，对任意a ∈[12,1]，则f(x)=ax 2−(2a +1)x +2．令g(a)=a(x 2−2x)−x +2，若对任意a ∈[12,1]，f(x)>0恒成立，则{g(1)>0g(12)>0，即{x 2−3x +2>012x 2−2x +2>0， 解得：x >2或x <1．解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．(1)不等式f(x)>0的解集为{x|x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2−bx +2=0的两个根为1，2，由韦达定理可得a 和b 的值；(2)若b =2a +1，对任意a ∈[12,1]，f(x)>0恒成立，则g(a)=a(x 2−2x)−x +2中{g(1)>0g(12)>0，解得答案．18.答案：解：(1)∵函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=−x 2−2x +a ，∴f(0)=a =0，当x <0时，−x >0，∴f (x )=−f (−x )=(−x )2+2(−x )=x 2−2x ，∴函数f(x)的解析式为f (x )={−x 2−2x,x ≥0x 2−2x,x <0．(2)∵f(m −1)+f(m 2+t)<0恒成立，即f(m −1)<−f(m 2+t)恒成立，∵f(x)是奇函数，∴f(m −1)<f(−m 2−t)恒成立，由函数f(x)图象可知，f(x)为R 上的减函数，∴m −1>−m 2−t 恒成立，∴t >−m 2−m +1=−(m +12)2+54恒成立， ∴t >54，综上，实数t 的取值范围是(54,+∞)．解析：本题主要考查了函数的解析式、奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力．(1)由函数为奇函数可得a =0，已知x ≥0时函数的解析式，可得到当x <0时的解析式；(2)原问题可以转化为f(m −1)<f(−m 2−t)恒成立，f(x)为R 上的减函数，得到m −1>−m 2−t 恒成立，由此可求得t 的取值范围．19.答案：解：(1)如果sinA =√3sinC ，根据正弦定理得：a =√3c ，又由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =√3c)2222√3c·c=√32， 解得b c =1；(2)cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+b 2−3b 22b 2=−12， 又∵0°<A <180°，故A =120°．解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．(1)应用正弦定理得到a =√3c ，再应用余弦定理求出bc 的值；(2)求出cosA=b2+c2−a22bc =−12，从而求出A角．20.答案：解：(1)a=0，f(x)=x|x|，∀x∈R，f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；a≠0，f(x)=x|x−a|，f(1)=|a−1|，f(−1)=−|a+1|，f(1)±f(−1)≠0，∴f(x)为非奇非偶函数(2)f(x)=x|x−a|={x 2−ax,x≥aax−x2,x<a ①若a≤0，则f(x)max=f(1)=1−a=a24⇒a=−2−2√2②若a>0，则(i)a2>1⇒f(x)max=f(1)=a24⇒a∈⌀(ii)a2≤1≤1+√22a⇒f(x)max=f(a2)=a24⇒a∈[2√2−2,2](iii)1>1+√22a⇒f(x)max=f(1)=a24⇒a∈⌀综上：a∈[2√2−2,2]∪{−2√2−2}解析：(1)根据函数奇偶性的定义即可讨论f(x)的奇偶性；(2)根据函数的最值，结合分段函数即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的应用，利用分段函数结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．21.答案：解：A={1,3，5，7}，B={2,4，6}，C={(x,y)|x∈A，y∈B}，C元素有12个，它们分别是：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,2)，(5,4)，(5,6)，(7,2)，(7,4)，(7,6)．解析：根据定义确定集合元素即可．本题主要考查集合元素个数的判断，注意集合元素的互异性．。