高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
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数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
高中数学-极限与导数
1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限， （2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则 （1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±； （2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅； （3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数． 注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限 （1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】 求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
高中数学竞赛讲义第十四章 极限与导数
第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0limx x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
极限、连续与导数讲义
极限、连续与导数极限、连续与导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．也是高考中考察综合能力的一个方向．学好这三个问题的关键就在于理解极限、连续与导数的概念．只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关问题．首先介绍1．不定型极限的常见类型及求法在高考中所考查的函数极限常常表现为不定型．处理这类极限的宗旨是“先变形(化简)，再求极限”．我们通过下面几道题来总结一下求不定型极限的方法．例122132lim 1x x x x →-++-的值等于___________． 思路启迪由于将x →-1代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法．根据观察，可以将分子分母分解因式，都可以分解出极限为0的x +1，约去公因式即可求极限了．此方法称为约去零因子法． 练习：求323221620lim 71612x x x x x x x →----+++． 约去零因子法是求00型极限的基本方法，但在高考中，这类题目往往是选择填空题，不需要过程，另外，有些题目的零因子也不易分解出来，例如0sin lim x x x→． 下面介绍求不定型极限的利器──洛比达法则：00()0()lim ()lim ()0()x x x x f x f x g x g x →→'='． 回头再看例1． 洛比达法则不仅适用于可分解零因子的00型极限，也适用于几乎所有的不定型极限． 如00sin 0cos lim ()lim 101x x x x x →→==． 000tan sin 0cos lim lim ()lim 1cos 0cos sin x x x x x x x x x x x x→→→===-． 例22241lim ()42x x x→---+= ___________． 思路启迪因为224lim 4x x →-=∞-，21lim 2x x→-=∞+，所以不能直接用求函数极限差的运算法则，可将函数通分变形后再求极限．此方法称为通分法． 练习：求3131lim()11x x x→---．例3求1x →有理化法)． 思路启迪求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．当然本题利用洛比达法则更为简捷．例4求*1,)x m n N →∈(变量替换法)．思路启迪替换的方法，令t =本题也可利用洛比达法则． 洛比达法则也可用于∞∞型极限，这主要是数列极限． 练习1：(07上海春招)．计算221lim 3(1)n n n n →∞++=___________． 练习2：(四川成都二诊)已知(1)(2)limx m x x x x m→---=2，则实数m 的值为_________． 2．极限、连续与导数的关系由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f (x )在点x 0处的函数的增量f (x 0+∆x )-f (x 0)与相应的自变量的增量(x 0+∆x )-x 0= ∆x (∆x ≠0)的比值 ()()xx f x x f ∆-∆+00 当自变量的增量∆x →0时的极限值．函数f (x )在点x 0处有极限、连续、以及导数存在这三者之间的关系是： 导数存在⇒连续⇒有极限．反之则不一定成立．例如y =2,01,0x x x ⎧≠⎨=⎩在点x =0处有极限但不连续．例如y =|x |在点x =0处有极限且连续，但导数不存在．函数f (x )在点x 0处有极限的充要条件是左极限和右极限存在且相等．即000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x f x f x A -+→→→===(A 是常数)． 函数f (x )在点x 0处连续的充要条件是极限等于函数值．即00lim ()()x x f x f x →=． 函数f (x )在点x 0处导数存在的充要条件是左导数和右导数存在且相等．例5若函数f (x )=232(2),42(2).x a x x x b x +⎧->⎪--⎨⎪≤⎩在x =2处连续，则a =___________，b =___________．例6设f (x )=200,.x x x ax b x x ⎧≤⎪⎨+>⎪⎩为了使函数f (x )于点x =x 0处连续而且可导，应当如何选取系数a 和b ？这里f (x )是一个分段函数，点x 0是f (x )的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．思路启迪由于x =x 0是分段函数f (x )的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：(1) f (x 0-0)=f (x 0)=f (x 0+0)；(2) f ′(x 0-0)=f ′(x 0+0)．[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成．①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数．②判断分段点处的可导性．(Ⅰ)若函数在点x 0不连续，则它在点x 0不可导．(Ⅱ)若函数在点x 0连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数．当左、右导数存在并且相等时，则函数在点x 0可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点x 0就不可导]．例7．观察(x n )′=nx n -1，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=-sin x ，是否可判断：(1) 可导的奇函数的导函数是偶函数；(2) 可导的偶函数的导函数是奇函数．利用导数的定义证明：(1) 若f (x )是奇函数，则f ′(x )=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆， f ′(-x )=00()()()()lim lim x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→-+∆----∆+=∆∆ =0[()]()lim ()x f x x f x x ∆→+-∆+-∆= f ′(x )． ∴可导的奇函数的导函数是偶函数．可以仿此类似证明(2)．这里用到一个性质：f ′(x )=00()()()()lim lim x x f x x f x f x a x f x x a x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆． 也可利用复合函数的求导方法要证明一个函数是奇数，需证明∀x∈R，有f(-x)=-f(x)，而要证明一个函数是偶函数，需证明f(-x)=f(x)．设f(x)为偶函数，则对∀x∈R有f(-x)=f(x)，两端求导即：-f′(-x)=f′(x)，即f′(-x)=-f′(x)，故f′(x)是奇函数．同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．可以看出，反函数x=ln y对y的导数，等于直接函数y=e x对于x的导数的倒数；反之亦然．一般地，我们有(反函数求导法则)法则：若函数y=f(x)在点x处有导数f′(x)，且f′(x)≠0，则它的反函数x=f-1(y)=g(y)在相应点上也有导数，且[f-1(y)]′= g′(y)=1 ()f x'．3．对不等式可否逐项求导？一般地说不行，如在区间(-∞，0)上有2x≤x2+1，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在(-∞，0)上，不等式2≤2x是不成立的．再如，对∀x∈R，有x2<x2+1，而对∀x∈R，2x<2x显然是错误的．例8(06全国Ⅱ第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)．若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．4．用导数的几何意义求切线应注意点的位置首先看一个例题：例9求曲线C1：y=x2与曲线C1：y=x3的公切线的斜率．解：对C1、C2分别求导得：y′=2x，y′=3x2．令2x=3x2，解得：x=0或x=23．当x=0时，2x=3x2=0；当x=23时，2x=3x2=43．即所求公切线的斜率分别为0，43．但当公切线的斜率为0时，切线方程为y=0，它穿过曲线y=x3，可是曲线的切线都是曲线的同一侧，因此0不是公切线的斜率．所以所求公切线斜率仅为43．辨析：该解有两处错误．其一斜率为0的切线是存在的．虽然它穿过曲线y=x3，但从切线定义看，该切线可以看作曲线y=x3上在原点O附近有一点P，点P沿着该曲线无限趋近于原点O时与点O相连的一条割线，该割线斜率的极限为0，所以y=0的直线是它们的公切线；其二，当x=23时，2x=3x2=43，此时C1的切线方程是442()933y x-=-，而C2的切线方程是842()2733y x-=-．显然两者不是同一条直线，也就谈不上43是公切线斜率了．产生该错误的原因是在开始对两曲线求导并令其相等时，实际已经默认了公切线与两曲线切于同一点，事实上本例通过解2x=3x2方程解得x=0时，y=0的直线与两曲线是相切于同一点(0，0)，而当x=23时，在曲线C1上切点为(23，49)，在曲线C2上切点却为(23，827)，这两点显然不是同一点．正确的思路应该是先在两曲线上分别取一点，使这两点的导数相等并等于这两点连线的斜率，再通过解方程组得到正确结论．正解：在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)．分别求曲线在这两点的导数有y1′=2x1，y2′=3x22．∵y1′=y2′=k AB，∴(1)当x1=x2时，2x1=3x22，解得：x1=x2=0，此时切线的斜率为0；(2)当x1≠x2且x1x2≠0时，2x1=3x22=231212x xx x--，由2x1=3x22，得：x1=32x22，代入3x22=231212x xx x--，得：3x22=43222229432x xx x--，∴x2=89，x1=3227．此时公切线的斜率为2x1=64 27．综上所述，曲线C1、C2有两条公切线，其斜率分别为0，64 27．此题引出的问题是：曲线的切线与曲线有且仅有一个交点吗？曲线的切线与曲线可以有多个交点，与曲线仅有一个交点的直线也不一定就是曲线的切线．导数即函数的变化率，本质上是一种特殊的极限，它不仅可直接反映许多实际问题中函数变化的快慢程度，而且可刻画曲线y=f(x)在点x0的切线的斜率f′(x0)，从而曲线在(x0，f(x0))的切线方程为y- f(x0)=f′(x0)·(x-x0)．(*)注：(1)切线方程(*)中已知点(x0，f(x0))在曲线y=f(x)上，(2)式中的f′(x0)为有限常数(包括0)，当f′(x0)→∞时，切线方程为x= x0．例8试根据以下条件，写出相应的切线方程：(1)求曲线y=2x-x3在点(1，1)的切线方程；(2)求过点(2，0)并与曲线y=2x-x3相切的直线方程．分析：本题重在揭示f′(x)表示曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．特别应注意：该点在曲线y=f(x)上．如果已知点不在曲线y=f(x)上，则处理起来要麻烦一些．解：(1) f′(x)=2-3x2．由于(1，1)点在y=2x-x3上，故f′(1)=2-3×2=-1．∴所求切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y=2．(2)点(2，0)不在曲线y=2x-x3上，故不可直接利用切线方程y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0)求解．设切点坐标为(x 0，y 0)，有y 0=2x 0-x 03，且k =f ′(x 0)=2-3x 02．故通过点(x 0，y 0)的曲线的所有切线方程为：y -(2x 0-x 03)=(2-3x 02)(x -x 0)．今要选择适当的x 0，使对应的切线通过已知点(2，0)，把点(2，0)代入上式，得0-(2x 0-x 03)=(2-3x 02)(2-x 0)，解得：x 0=1，所以y 0=2x 0-x 03=1，k =-1．故过点(1，1)，斜率k =-1的切线方程y -1=-(x -1)，即为所求方程．说明：巧合的是，(1)与(2)结果相同，但这完全是由于(2，0)的特殊性导致，将(1)的方法套用于(2)，即使结果正确，过程也是错的．5．用导数求函数极值的第二法则6．导数的应用(1)求证下列不等式①x -22x <ln(1+x )<x -22(1)x x +，x ∈(0，+∞)； ②sin x >2x π，x ∈(0，2π)； ③x -sin x <tan x -x ，x ∈(0，2π)． (2)利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1(x ≠0，n ∈N *)(2)S n =12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，(n ∈N *) 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维．由求导公式(x n )′=nx n -1，可联想到它们是另外一个和式的导数．关键要抓住数列通项的形式结构．错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想． 技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导．解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1)；当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n =x x x n --+11， 两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+12233n n n n n n C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+，两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n -1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -+++⋅⋅⋅+，令x =1得，n ·2n -1=12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+， 即S n =12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+=n ·2n -1． 7.对数求导法求函数的导数(1)y =(x 2-2x +3)e 2x ；(2)y最后讲一下三次函数问题8．三次函数问题三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数，这是因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高考中永恒的主题，所以三次函数在高考试题中占有相当的比例．单调性和对称性最能反映这个函数的特性．下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律．函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的导函数为y ′=3ax 2+2bx +c ．我们不妨把方程3ax 2+2bx +c =0称为原函数的导方程，其判别式∆=4(b 2-3ac )．若∆>0，设其两根为x 1x 2，则可得到以下性质： 性质1：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)，若a >0，当∆≤0时，y =f (x )是增函数；当∆>0时，其单调递增区间是(-∞，x 1]，[x 2，+∞)，单调递减区间是[x 1，x 2]；若a <0，当∆≤0时，y =f (x )是减函数；当∆>0时，其单调递减区间是(-∞，x 2]，[x 1，+∞)，单调递增区间是[x 2，x 1]．(证明略)(简记为：a >0，先极大后极小，中间段减；a <0，先极小后极大，中间段增．) 推论：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)，当∆≤0时，不存在极大值和极小值；当∆>0时，有极大值f (x 1)、极小值f (x 2)．根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：性质2：函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)若x 0∈[m ，n ]，且f ′(x 0)=0，则：f (x )max =max {f (m )，f (x 0)，f (n )}；f (x )min =min {f (m )，f (x 0)，f (n )}．(证明略)性质3：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)是中心对称图形，其对称中心是(-3b a，f (-3b a))． 证明：设函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的对称中心为(m ，n )．按向量a =(-m ，-n )将函数的图象平移，则所得函数y =f (x +m )-n 是奇函数，图1所以f (x +m )+f (-x +m )-2n =0．化简得：(3ma +b )x 2+am 3+bm 2+cm +d -n =0，上式对x ∈R 恒成立，故3ma +b =0，得m =-3b a，n =am 3+bm 2+cm +d = f (-3b a )． 所以，函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的对称中心是(-3b a ，f (-3b a))． 可见，y =f (x )图象的对称中心在导函数y =f ′(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点(因1212()()()22f x f x x x f ++=)． 所以，对于三次函数f (x )，通过求导得到的f '(x )为二次函数，且f (x )的极值点是该二次函数的零点．同时利用导数的几何意义(曲线在某一点P (x 0，y 0)处的切线斜率k =f '(x 0))可得到斜率k 为关于x 0的二次函数．根据这些特点，三次函数问题，可通过求导转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决．下面选一些近三年年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题．例1．函数f (x )=x 3-3x 2+6x -7的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________．分析：对称中心为Q (m ，n )．按向量a =(-m ，-n )将函数的图象平移，则所得函数y =f (x +m )-n 是奇函数，所以f (x +m )+f (-x +m )-2n =0．化简得：(3m -3)x 2+m 3-3m 2+6m -7-n =0，此式对x ∈R 恒成立，故3m -3=0，得m =1，f (1)=-3．所以，对称中心的坐标为(1，-3)．若按上述性质3：对称中心是(-3b a ，f (-3b a))，立得坐标为(1，-3)． 若记不住对称中心的公式，可求出两个极值点，再取其中点即可．例如：f ′(x )=3(x -1)2，只有一个极值点，中点就是它了，(1，-3)．更简单的是只要求出导函数的对称轴x 0的值即可得(x 0，f (x 0))．练习：函数f (x )=(x -2)3+x -5的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标是A .(1，-5)B .(-2，3)C .(3，-1)D .(2，-3)分析：由对称中心是(-3b a ，f (-3b a))，得所求坐标为(2，f (2))=(2，-3)，选D ． 说明：此题f ′(x )=3(x -2)2+1，无极值点，取y =f ′(x )的对称轴就是它的横坐标，即x =2．。
高中数学备课教案函数的极限与导数
高中数学备课教案函数的极限与导数高中数学备课教案：函数的极限与导数一、引言函数的极限与导数是高中数学中重要的概念和工具之一。
正确理解和掌握这些内容，对于学生的数学学习和未来的应用都有着重要的影响。
本教案旨在通过适当的教学方法和案例分析，帮助学生深入了解函数的极限与导数的概念、性质和应用。
二、函数的极限1. 极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
引入极限的概念可以更准确地描述函数的性质和行为。
2. 极限的计算通过借助极限的定义和相关性质，可以计算各种类型函数的极限，包括多项式函数、分式函数、指数函数和三角函数等。
在计算极限时，可以运用基本的极限性质和极限运算法则，灵活使用代换法、夹逼准则等方法。
3. 极限存在与不存在有些函数在某些自变量取值下可能存在极限，而在其他自变量取值下则不存在极限。
教师应通过案例引导学生思考极限存在与不存在的条件，并帮助学生理解这一概念的实际意义。
三、导数的概念与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用来衡量函数在该点的瞬时变化程度。
导数的定义基于极限的思想，通过极限的计算可以得到函数的导数。
2. 导数的几何意义导数可以理解为函数图像上某点处的切线斜率，其正负表示函数在该点的增减性。
教师可以通过几何图像和实际问题建立导数与函数变化的直观联系。
3. 导数的性质和运算法则导数具有一系列的性质和运算法则，包括常数导数、幂函数导数、和差法则、乘积法则和商法则等。
了解这些性质和法则有助于简化导数的计算过程。
四、函数的极限与导数的应用1. 极值与最值问题通过极值定理和导数的概念，可以分析函数的极值点和临界点，并通过判定导数的正负来确定函数的极大值和极小值。
2. 函数的单调性通过导数的正负可以判断函数在某一区间上的单调性，例如递增和递减区间。
这对于函数图像的绘制和函数性质的分析都具有重要意义。
3. 函数的凸凹性与拐点利用导数的二阶导数可以判断函数在某一区间上的凹凸性，并确定函数的拐点。
高中数学知识点第十四章 导 数
高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。
高中数学导数与极限ppt课件
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
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(a,b)上可导，且 F(a)=F(b)，所以由 13 知存在ξ∈(a,b)使 F ' (x ) =0， 即 f ' (x ) =
f (b) - f (a ) . b-a
二、方法与例题 1．极限的求法。 例1
æ 求下列极限： （1）lim ç n ®¥ 1 2 n ö an + + L + ； （ 2 ） lim (a > 0) ； （3） ÷ 2 n ®¥ 1 + a n n2 n2 ø èn
æ 1 ö 1 1 ÷； limç + + L + n ( n + 1 - n ). ÷ （4） lim 2 2 2 n ®¥ç n ®¥ n + 1 n + 2 n + n è ø æ [解]（1） lim ç n ®¥ 1 2 n ö n(n + 1) æ1 2 ö 1 + 2 + L + 2 ÷ = lim = limç + ÷ = ； 2 2 n ®¥ 2 2n ø 2 n n ø n ®¥ 2n è èn
(sin x)' = cos x; (4) (cos x)' = - sin x ;(5) (a x )' = a x ln a ;(6) (e x )' = e x ; （ 7 ） (log a x)' = 1 1 log a x ； （8） (ln x)' = . x x
7．导数的运算法则：若 u(x),v(x)在 x 处可导，且 u(x)≠0,则 （1） [u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v' ( x) ； （2） [u ( x)v( x)]' = u ' ( x)v( x) + u ( x)v' ( x) ； （3）
2 ì ï2( x - 1)(2 - x) , x Î [1,2 ); f(x)= í 所以 2 ï î4( x - 2)(3 - x) , x Î [2,3). 2 2
x ®2-
lim f ( x) = lim 2( x - 1)(2 - x) 2 = 0, lim f ( x) = lim 4( x - 2)(3 - x) 2 = 0 ， 所 以
= -2 2 .
2．连续性的讨论。 例3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义， 且恒满足 f(x+1)=2f(x)， 又当
x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 [解] 当 x∈[0,1)时， 有 f(x)=x(1-x)2， 在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t，
1 1+ n 1 n2 + 2
= 1, lim
n ®¥
1 n2 +1
1 1 1+ 2 n
ห้องสมุดไป่ตู้
= 1,
ç 所以 lim n ®¥ç
1
2 è n +1
+
+L+
ö ÷ = 1. ÷ n2 + n ø 1 n n +1 + n = lim
n ®¥
（4） lim n ( n + 1 - n ) = lim n ®¥ n ®¥ 例2
阶可导， 在 x=x0 处二阶可导， 且 f ' ( x0 ) = 0, f ' ' ( x0 ) ¹ 0 。 （1） 若 f ' ' ( x0 ) > 0 ， 则 f(x)在 x0 处取得极小值； （2）若 f ' ' ( x0 ) < 0 ，则 f(x)在 x0 处取得极 大值。 13．罗尔中值定理：若函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， 且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使 f ' (x ) = 0. [证明] 若当 x∈(a,b)， f(x)≡f(a)， 则对任意 x∈(a,b)，f ' ( x) = 0 .
[cu ( x)]' = c × u ' ( x) （ c
为 常 数 ）；（ 4 ） [
1 - u ' ( x) ]' = 2 ；（ 5 ） u ( x) u ( x)
[
u ( x) u ( x ) v ' ( x ) - u ' ( x )v ( x ) 。 ]' = u ( x) u 2 ( x)
f ' ( x) ³ 0 ，则 f(x)在 x0 处取得极小值； （2）若当 x∈(x0-δ，x0)时 f ' ( x) ³ 0 ，当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x) £ 0 ，则 f(x)在 x0 处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ,x0+δ)内一
则 x=t-1，当 x∈[1,2)时，利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1)，因 为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x) 得 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈ [1,2)时,有 f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当 x∈[1,2)时，令 x+1=t， 则 当 t ∈ [2,3) 时 ， 有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2. 从 而
第十四章
一、 基础知识
极限与导数
1．极限定义： （1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在 正数 m，当 n>m 且 n∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数） ，则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限，记为 xlim f ( x), lim f ( x) ，另外 ® +¥ x ® -¥
lim f(x)=f(x0)，则称 f(x)在 x=x0 处连续。
4．最大值最小值定理：如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那 么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数 f(x)在 x0 附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得一个 增量Δx 时（Δx 充分小） ，因变量 y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+ Δx)-f(x0)).若 D lim x ®0
8． 复合函数求导法： 设函数 y=f(u),u= j (x)， 已知 j (x)在 x 处可导， f(u)在对应的点 u(u= j (x))处可导，则复合函数 y=f[ j (x)]在点 x 处可导，且（f[ j (x)] )' = f '[j ( x)]j ' ( x) . 9.导数与函数的性质： （1）若 f(x)在区间 I 上可导，则 f(x)在 I 上 连续； （2）若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) > 0 ，则 f(x)在(a,b)单调递增； （3）若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) < 0 ，则 f(x)在(a,b)单调递减。 10．极值的必要条件：若函数 f(x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值， 则 f ' ( x0 ) = 0. 11.极值的第一充分条件：设 f(x)在 x0 处连续，在 x0 邻域(x0-δ,x0+ δ)内可导， （1）若当 x∈(x-δ,x0)时 f ' ( x) £ 0 ，当 x∈(x0,x0+δ)时
1 1+
2
1 +1 n
1 = . 2
n
求下列极限： （1） lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 )(|x|<1)； n ®¥
3 1 ö x2 -1 ； （ 3 ） lim 。 ÷ 3 x ®1 3 - x - 1+ x è1- x 1- x ø
2 n
æ （2） lim ç x ®1
an 1 1 = lim = （2）当 a>1 时， lim = 1. n n n ®¥ n ®¥ 1 + a n æ1ö æ1ö ç ÷ + 1 lim ç ÷ +1 n ®¥ a èaø è ø lim a an 0 n ®¥ 当 0<a<1 时， lim = = = 0. n n ®¥ 1 + a n 1+ 0 1 + lim a
n ®¥ n
当 a=1 时， lim （3）因为 而 lim
n ®¥
an 1 1 = lim = . n ®¥ 1 + a n n ®¥ 1 + 1 2 n n +n
2
< 1
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+ = lim
n ®¥
1 n +n
2
<
n n +1
2
.
n n2 + n æ
= lim
n ®¥
x ® x0 x ® x0 x ® x0
g(x)]=a±b, lim [f(x)•g(x)]=ab, lim
x ® x0
x ® x0
f ( x) a = (b ¹ 0). g ( x) b
x ® x0
3. 连续：如果函数 f(x) 在 x=x0 处有定义，且 lim f(x) 存在，并且
x ® x0
若当 x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为 f(x)在[a,b]上连续，所以 f(x) 在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于 f(a)，不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m，则 c∈(a,b)，且 f(c)为最大值，故 f ' (c) = 0 ，综 上得证。 14．Lagrange 中值定理：若 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， 则存在ξ∈(a,b)，使 f ' (x ) = [证明]