第三章 多元正态整体统计推断

定理 若 X ~ N p (0, Σ ) ， S ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 S 相互独 立，令T 2 nXS1X ，则
n p 1T 2 ~ F( p, n p 1) np
在我们后面所介绍的检验问题中，经常会用到这一性质。
幻灯片 9 二、均值向量的检验
设 X1,X2, ⋯ ,Xn 是取自总体 X~Np (μ, Σ)的一个样本，这里Σ>0,n>p，欲检验
(n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
幻灯片 13
例 1 对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量得样本数据如表
幻灯片 1 第三章 多元正态总体的统计推断 §3.1 引言 §3.2 单个总体均值的推断 §3.3 单个总体均值分量间结构关系的检验 §3.4 两个总体均值的比较推断 §3.5 两个总体均值分量间结构关系的检验 §3.6 多个总体均值的比较检验（多元方差分析） §3.7 协方差阵的检验 幻灯片 2 §3.1 引言
替 Σ ，因 (n 1)S1 是 Σ1 的无偏估计量，而样本离差阵
n
S (X(a) X)(X(a) X) ~ Wp (n 1, Σ) a 1
n(X μ0) ~ Np (0, Σ)
由定义知
T 2 (n 1)[ n(X μ0)S1 n(X μ0)] ~ T 2( p, n p) 再根据 Hotelling T 2 分布的性质，所以
H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0
1.Σ已知
检验统计量为:
拒绝规则为：若
，则拒绝 H0
T02 n X μ0 Σ 1 X μ0
T p 2
2
0
幻灯片 10
这里要对统计量的选取做一些解释，为什么该统计量服从
2 ( p) 分布。根据二次型分布定理知道，若 X ~ N p (0, Σ ) ， 则 X Σ 1X ~ 2 ( p) 。显然，
n p
pn 1
T
2
F
p, n
p
1
P
n
X μ S 1
Xμ
T2
1
幻灯片 16 μ的置信度为 1−α的置信区域为
当 p=1 时，它是一个区间；当 p=2 时，它是一个椭圆，这时可将其在坐标平面上画出； 当 p=3 时，它是一个椭球；当 p＞3 时，它是一个超椭球；它们均以 为中心。 同置信区间与假设检验的关系一样，置信区域与假设检验之间也有着同样的密切关系。一 般来说，μ0 包含在上述置信区域内，当且仅当原假设 H0：μ=μ0 在显著性水平α下被接 受。因此，可以通过构造的置信区域的方法来进行假设检验。
P
aX T aSa
n aμ aX T aSa
n
1
a
aX T aSa n aμ aX T aSa n
k
P
ai X T
aiSai
i1
幻灯片 18
当 k 很小时，联合 T2 置信区间
n aiμ ai X T aiSai
n
1
的置信度一般会明显地大于 1−α，因而上述区间会显得过宽，即精确度明显偏低。这时， 考虑采用庞弗伦尼（Bonferroni）联合置信区间（p177）：
4.3107 14.6210 8.9464
S 1
23.138481
14.6210 8.9464
59.7900 37.3760
3357.5.3973660
T 2 n X μ0 S1 X μ0 6 70.0741 420.445
查表得 F0.01(3,3)=29.5，于是
它的置信度至少为 1−α。 若 tα/2k(n−1)≤Tα ，则邦弗伦尼区间比 T2 区间要窄，这时宜采用前者作为联合置信区 间；反之，若 tα/2k(n−1)>Tα，则邦弗伦尼区间比 T2 区间宽，宜采用后者作为联合置信 区间。 当 k=p 时，邦弗伦尼区间要比 T2 区间窄。故在求μ的所有 p 个分量μ1, μ2,⋯, μp 的联 合置信区间时，应采用邦弗伦尼区间。
幻灯片 14
78
60.6
16.5
76
58.1
12.5
92
63.2
14.5
81
59.0
14.0
81
60.8
15.5
84
59.5
14.0
82.0
8.0
31.600 8.040 0.500
X
60.2
,
X
μ0
2.2
,
S
8.040
3.172
1.310
14.5
1.5
0.500 1.310 1.900
96.1429 103.1429
S 1
0.0436 0.0406
μ的 0.90 置信区域为:
0.0406
0.0475
幻灯片 20
即
0.0436×(μ1−72.5)2−0.0812×(μ1−72.5)(μ2−79)
+0.0475×(μ2−79)2≤1.009
这是一个椭圆区域。μ1 和μ2 的 0.90 联合 T2 置信区间为
μ
:
n
X μ S1
Xμ
T2
X 幻灯片 17
四、联合置信区间
即 以 1−α的概率对一切 a∈Rp 成立，称它为一切线性组合｛a′μ，a∈Rp｝的置信度为 1−
α的联合置信区间（simultaneous confidence intervals）。 对 k 个线性组合｛ai′μ，i=1,2,⋯ ,k｝，有
故在显著性水平α=0.01 下，拒绝原假设 H0，即认为农村与城市的 2 周岁男婴上
述三个指标的均值有显著差异(p=0.002)。
T 2 0.01
35 3
F0.01
3, 3
147.5
幻灯片 15
三、置信区域
T 2 n X μ S1 X μ
n p
pn 1
T
2
~
F
p, n
p
P
称之为霍特林（Hotelling）T2 统计量。
当 H0 为真时,
服从 F(p,n−p) ，对给定的显著性水平α，拒绝规
则为：
若
，则拒绝 H0.
其中
。
T 2 n X μ0 S1 X μ0
n p
pn 1
T
2
T 2 T2
T2
pn 1
n p
F
p,
n
p
幻灯片 12
这里需要解释的是，当 Σ 未知时，自然想到要用样本协差阵 1 S 取代 n 1
T02 n( X μ0 )Σ 1( X μ0 ) n ( X μ0 )Σ 1 n ( X μ0 )Y Σ 1Y
其中，Y n(X μ0) ~ Np (0, ) ，因此， T02 n( X 0 )Σ 1( X μ0 ) ~ 2 ( p) 。
幻灯片 11
2. Σ未知 检验统计量为:
1 所示。根据以往资料该地区城市 2 岁男婴的这三个指标的均值μ0=(90,58,16)′，现欲在
多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。这是假设检验问题：
H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0
表 1 某地区农村男婴的体格测量数据
编号
身高(cm)
胸围(cm)
上半臂围(cm)
1 2 3 4 5 6
72.5 2.3646 112.5714 / 8 1 72.5 2.3646 112.5714 / 8 79 2.3646 103.1429 / 8 2 79 2.3646 103.1429 / 8
幻灯片 22
B A 图 1 置信椭圆和联合置信区间 幻灯片 23 利用置信区域进行假设检验 在例 2 中，如果在 α=0.10 下对假设
即
61.84≤μ1≤83.16，
68.80≤μ2≤89.20
这两个区间分别正是椭圆在μ1 轴和μ2 轴上的投影。
8
72.5
1
,
792Biblioteka 0.0436 0.0406
0.0406 0.0475
72.5 1 79 2
8.073
72.5 2.841 112.5714 / 8 1 72.5 2.841 112.5714 / 8
N (0,1) 的上 / 2 分位点。
幻灯片 6
当 2 未知时，用
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
作为 2 的估计量，用统计量：
t (X 0) n S
来做检验。当假设成立时，统计量 t 服从自由度为 n 1的 t 分布，
从而否定域为| t | t /2 (n 1) ，t /2 (n 1) 为自由度为 n 1的 t 分布
aix T aiSai n aiμ ai X T aiSai n , i 1, 2, , k
aix t /2k n 1 aiSai n aiμ ai X t /2k n 1 aiSai n
i 1, 2, , k
幻灯片 19 例 2 为评估某职业培训中心的教学效果，随机抽取 8 名受训者，进行甲和乙两个项目的 测试，其数据列于表 2。假定 X=(X1,X2)′服从二元正态分布。
上的 / 2 分位点。
这里我们应该注意到，（3.3）式可以表示为
t2
n(X )2 S2
n( X
)(S 2 )1( X
)
对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为下面将要介绍的
HotellingT 2 分布。
幻灯片 7
定义 设 X ~ N p (μ ,Σ ，) S ~ Wp (n ,Σ 且) X 与 S 相互独立，n p ，则称统计量T 2 nX S - X1 的分布 为非中心 HotellingT2 分布，记为T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。 当 μ 0 时，称 T 2 服从（中心）Hotelling T 2 分布。 记为T 2 ( p, n) 。