例谈函数在中学数学中的应用
为调增数又 （＝＋ 一 一一 单递 函・，）１去 １ ２＝
。 故 ｆ ｎ ＞Ｏ ＇ （） ，
所 以 １ １十 ＋ １十 １＋・ ＋ ‘ ．
（≥２ ）
函数 的思想 看待 问 题 ， 示其 内在联 系 ， 决 问 揭 解 题． 以下 是 作 者在 平 时 的 教 学 中 总结 的 函数 思 想在 中学 数 学应 用 的几 个方 面．
２０ 年第 ３ ０６ 期
数 学 教 育 研 究
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例谈 函数在 中学数学 中的应 用
邵 珠 莲 （ 省 第 学 ２ ５ ） 山东 滕州 一中 ７ｏ ７ｏ
“ 函数” 中学数 学 中最 基 本 、 重要 的概 是 最 念， 它是 以运 动 变 化 的 观 点对 现 实 世 界 数量 关 系 的一种 刻 画 ， 概 念 和思 维方 法 渗透 在 高 中 其 数 学 的各 个 部 分 ，是 学 生 进 一 步 学 习 的 基 础 ， 因此 函数 是 构建 整个 中学 数学 的主旋 律． 函数 作 为 高 中数 学 的 重 点 ， 内容 丰 富 ， 其 应 用广泛 ， 综观历 年全 国各地 的高 考试 题 ，以函 数 为核心 编 制而 成 的综 合 题 立 意新 颖 ，知识 覆 盖 面广 ， 活机动性 强 ， 灵 具有 特别理想 的选拔功 能 ． ２０ 如 ０ ４年全 国高考福 建卷 中的“ 修路 总费用 最低 ” 问题 ；０ ４年 全 国 高 考北 京 卷 的“ 作 总 ２０ 制 面积 给定 的框 架用 料最 省 ” 问题 ；０ ５年 全 国高 ２０ 考湖 南卷 的“ 最优 捕 鱼 ” 问题 ；０ ５年 全 国高 考 ２０ 例 已知是 大 于 ２的数 求 证 ：１ ＋—
３ 函数 思 想 在 复 数 中 的应 用
三 角 函数 的功 能是把 角 的变化 与 函数值 的 变 化联 系 起来 ，由于角 与相 应三 角 函数 的相 依 关系 ， 我们 又 通过 函数 来研究 角 ． 例 ３ 复数 一３ ｏ Ｏ ２ ｉＯ 求 函 ． 一 ｃ ｓ＋ｉｓ ， ｎ ｙ ａｇ （＜ Ｏ ￣ ２ 的最大 值及 对应 的 ０ ｒｚＯ ＜ ／ ） 值 分 析 所求 是两 个动 态角 之 间的 函数 最 大 值 ，而求 一个 角 的最 大 （ ） ，一 般要 转 化 为 小 值 求这 个 角 的某 个 三角 函数 的最 大 （ ） ，故先 小 值 求 ｔｙ 的最 大 值 ，进 而 利 用 正 切 函数 的 单 调 ｇ 性 ， 出 Ｙ的最 大值 及 对 应 的 ０值 ， ０ ＜ 求 由 ＜
１ 函 数 思 想 在 方 程 中 的应 用
方程 与 函数 是 中学 数 学 的重 要 知 识 点 ， 又 是 高考 和竞 赛 的热 点 ， 程 和 函数 之 间存 在着 方 密 切 的关 系 ， 许 多 方 程 问题 常 常可 以运 用 函 有 数思 想去 解 决． 例 ｌ 已 知 实 数 ａ ｂ∈ Ｒ， 满 足 方 程 ， 且 ＆ ＋ ａ ＋ （ ＋６ 。 。。 ， 证 ａ ＋ ＋ｂ ６ ＆ ）＋ａ ｂ 一０ 求 ＋ｂ
ａ ｃｇ 此 时 ０ ｒｔ ４ ｒｔ ＝ａｃｇ ６
４ 函 数 思 想在 数 列 中的 应 用
数 列可 看 作定 义 域 为 Ｎ 或 Ｊ 的某 个 子集 ＼ ， （ １到 ） 当 自变 量从 小 到 大依 次 取 值 时对 从 ， 应 的一列 函数值 ， 因此研究 函数 常 用方法 、 巧 技 以及 函数本 身 的性质 同样 适用 解决 数列 问题 ． 例 ４ 设 等 差 数 列 ｛ 的 前 几 项 和 为 Ｓ 口｝ 已知 Ｓ 一１ ， ＞ ０ Ｓ。 Ｏ （ ）求 公 差 ｄ的 。 ２Ｓ ， ＜ ． １ 取值 范 围 ，（ ）指 出 Ｓ ， ２ Ｓ …… Ｓ。 哪一 个 最 中 大并 说 明理 由．
ａｂ＝ ＝０
分析
原方 程 变形 为 ： ｎ ＋ｂ （ ＋ ６ ＋ ｎ ） 一
一 ｄ 一ａｂ 一Ｖ＝ａ ＋ （ ｂ 。 构造 函数 ６ 。。 － ｂ 一ａ ），
厂（ ＝ ＋ｚ ， 知 厂 ｚ 在 （ 。 ＋。 ） ）＝ 。易 （ ） 一。 ， 。 上是 单调 函数 ， 因为 ｆ（ ＋６ 一． 一ａ ） ａ 又 ａ ） 厂 （ ｂ 得 ＋ｂ 一 一ａ ， 以有 ａ ＋ａ ＝０ ｂ所 ＋ｂ ｂ
÷ ，ｇ＞ Ｏ利用 基本 不等 式得 ： ｔＯ
０
ｔｏ － Ｏ ｇ－ ｔ ｇ
ｔ Ｏ— ｔ （ 一 ａ ｇ ｇ ｇ ０ ｒ ｚ） 一 ————ｖ一 ＿ ＝ ＝ ＝ １ ｔ － ｇ ＋ ｇ ￣ｔ Ｏ
２ 函数 思 想在 不 等 式 申 的应 用
不等式 问题 是 中学教学 中的一个难 点 ， 有些 不等式采 用常规 方法难 以解 决 ， 能根据 不等式 若 的结构 特征 ， 唤起 联想 ， 妙 地构 造 函数将 不 等 巧 式 问题 转化 为函数 的问题 ， 问题便 可迎刃 而解．
√
＋ 十 ＋ １ １
…
＋＞ 去
分 用式造数（ １ ＋ 析利 差构 函 厂） ＋ 去 一
１
十
１＋
…
＋ 一 （ ≥２ ， 要 证 明 厂（ ｎ ）只 ）
＞Ｏ即 可 ， 此 转 化 为 研 究 厂（ｚ的 单 调性 ， 为 ， ） 由
ｆｎ ） （＋１ 一厂（ 一丽 １ 一而 ）
＋ 一
＞Ｏ 知 厂 ＋ １ ＞ 厂（ 即 （ ） ， （ ） ） ｎ
辽 宁卷 的“ 十字型 面积 最大” 问题 等 等． 为一名 作 中学 数学教 师 ， 应在平 时 的教学 中渗透 函数 的思 想 ， 计 划 的培养 学 生“ 函数 ” “ 函数 ” 有 想 、用 的意
识． 特别 在 数 学 复 习时 要 以概 念 为 指 导 ，熟 悉 常 用 的基 本 函数 属 性 ， 般 函数 的各 种 性 质 以 一 及 沟 通各 个 性 质 之 间 的 联 系 ， 步 引导 学 生 用 逐
３
ｇ
１
＝ ＝＝ ຫໍສະໝຸດ ＋ ２ｇ ｔ 一
连当 仅 ＿ｔ ， 当Ｏ２ 且 ｔ “ ｇ ｇ
即 ０＝ ａｃｇ ５ 时 上 式 取 “ ”因 为 ｔｙ在 ＝ ｒｔ － ＝ ８ ” 一 ｇ
・
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数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ３期
（ 一号， 内是递增函数， Ｙ 鲁） 故 也取得最大值 ５ 函数 思 想 在 几 何 中 的应 用
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用数学科组 周晓兰函数是中学数学中最为重要的内容。
函数思想更是中学数学的一种基本思想，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。
1 利用函数的单调性证明不等式例1 （2010年高考数学辽宁卷﹒文）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 分析：（1）略；（2）当我们看到要证明的不等式时，有绝对值，就要利用第（1）问分析出的单调性却绝对值，转化后再引入辅助函数帮助证明。
解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0故f (x )在（0,+∞）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 2 利用函数的单调性求参数的取值范围例2 （2011年高考数学北京卷﹒理）18.已知函数k xe k x xf 2)()(-=.(1)求)(x f 的单调区间； (2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有ex f 1)(≤，求k 的取值范围。
三角函数诱导公式在高中数学解题中的三种常见应用
三角函数诱导公式在高中数学解题中的三种常见应用毛慧婷(福建省浦城第一中学ꎬ福建浦城３５３４００)摘㊀要:三角函数诱导公式是高中数学中的重要工具之一ꎬ具有广泛的应用性.本文从化简㊁求值和证明三个角度探讨了三角函数诱导公式在解题中的应用.在化简问题中ꎬ通过运用诱导公式ꎬ可以将复杂的三角表达式简化为易于处理的形式ꎻ在求值问题中ꎬ利用诱导公式可快速准确地求解三角函数的具体数值ꎻ在证明问题中ꎬ诱导公式是重要的推理工具ꎬ可帮助学生建立相关的数学定理和结论.文章通过具体例题进行说明ꎬ并强调实践和思考的重要性.关键词:三角函数ꎻ诱导公式ꎻ高中数学ꎻ应用技巧中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００６８－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:毛慧婷(１９９６.９－)ꎬ女ꎬ福建省浦城人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀三角函数是高中数学中的重要内容之一ꎬ而三角函数的诱导公式则是解题过程中常用的工具[１].在实际应用中ꎬ三角函数的诱导公式具有广泛的适用性ꎬ可以在化简㊁求值和证明等问题中发挥重要作用.在化简问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们将复杂的三角表达式转化为简单的形式.通过巧妙地运用三角函数诱导公式ꎬ我们可以将复杂的三角函数关系简化为更易于处理的形式ꎬ从而更方便进行后续计算和推导ꎻ在求值问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们快速准确地求解三角函数的具体数值[２].通过将待求函数转化为已知函数的组合形式ꎬ我们可以运用三角函数诱导公式将问题转化为已知数值的计算ꎬ从而得到准确的解答ꎻ在证明问题中ꎬ三角函数诱导公式可以作为重要的推理工具.通过将待证明的三角函数关系转化为等价的形式ꎬ我们可以使用诱导公式进行推导和证明ꎬ从而建立起相关的数学定理和结论.１利用诱导公式化简利用诱导公式化简可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式ꎬ在高中数学解题中具有重要的应用价值.在过程上ꎬ利用诱导公式进行化简的基本步骤如下:首先ꎬ根据待化简的三角函数表达式ꎬ选择合适的诱导公式ꎬ常用的诱导公式有正弦与余弦的诱导公式㊁正切与余切的诱导公式等ꎻ其次ꎬ将原始的三角函数表达式中的某一项根据选择的诱导公式进行替换ꎬ转化为新的三角函数表达式ꎻ然后ꎬ运用三角函数的基本关系和性质ꎬ通过代数运算将新的三角函数表达式进一步简化ꎻ最后反复迭代执行第２步和第３步ꎬ直至将原始的三角函数表达式化简到８６最简形式.在实际应用意义上ꎬ通过化简ꎬ我们可以将复杂的计算转化为简单的形式ꎬ提高计算速度和准确性.化简过程中ꎬ我们需要运用三角函数的基本关系和性质进行代数运算.通过观察和分析化简的中间步骤ꎬ我们可以发现一些规律和特点ꎬ从而深入理解三角函数的性质[３].在解决实际问题时ꎬ常常会遇到复杂的三角函数表达式.利用诱导公式进行化简ꎬ可以将问题转化为更简单的形式ꎬ使问题的求解过程更加高效和便捷.因此ꎬ利用诱导公式进行化简是一种重要的数学技巧ꎬ在高中数学解题和实际应用中具有广泛的应用.通过掌握化简的方法和技巧ꎬ我们可以更好地理解和运用三角函数ꎬ提高解题的效率和准确性.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ(ωｘ)ꎬ其中常数ω>０.令ω＝１ꎬ判断函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆｘ＋π２æèçöø÷的奇偶性ꎬ并说明理由.令ω＝２ꎬ将函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个单位ꎬ再向上平移１个单位ꎬ得到函数ｙ＝ｇ(ｘ)的图象.对任意ａɪＲꎬ求ｙ＝ｇ(ｘ)在区间ａ[ꎬａ＋１０π]上的零点个数的所有可能.解析㊀(１)ω＝１时ꎬｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘꎬ此时Ｆｘ()＝ｆｘ()＋ｆｘ＋π２æèçöø÷＝２ｓｉｎｘ＋２ｓｉｎｘ＋π２æèçöø÷＝２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ().此时有:Ｆπ４æèçöø÷＝２２ꎻ且Ｆ－π４æèçöø÷＝０ꎻ所以Ｆ－π４æèçöø÷ʂＦπ４æèçöø÷ꎬＦ－π４æèçöø÷ʂ－Ｆπ４æèçöø÷.因此Ｆ(ｘ)既不是奇函数ꎬ也不是偶函数.(２)ω＝２时ꎬ有ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘꎬ将ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个单位ꎬ再向上平移１个单位后得到ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æèçöø÷＋１的图象ꎬ所以ｇ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æèçöø÷＋１.令ｇ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝ｋπ＋５１２π或ｘ＝ｋπ＋３４π(ｋɪＺ).因为[ａꎬａ＋１０π]恰含１０个周期ꎬ所以ꎬ当ａ是零点时ꎬ在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数２１ꎻ当ａ不是零点时ꎬａ＋ｋπ(ｋɪＺ)也都不是零点ꎬ区间[ａ＋ｋπꎬａ＋(ｋ＋１)π]上恰有两个零点ꎬ故在[ａꎬａ＋１０π]上有２０个零点ꎬ综上ꎬｙ＝ｇ(ｘ)在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数的所有可能值为２１或２０.２利用诱导公式求值利用诱导公式进行求值是数学计算和解题中常用的一种方法ꎬ具有简便明了的过程和重要的意义ꎬ它能够帮助我们简化复杂的计算过程ꎬ提高计算的效率.同时ꎬ它也扩展了我们的数学思维和应用能力ꎬ在实际问题中起到了重要的作用.首先ꎬ利用诱导公式进行求值的过程相对简便明了.前已述及ꎬ诱导公式是一类可以将某些复杂函数转化为简单形式的公式[４].通过巧妙运用这些公式ꎬ我们可以将原始的复杂表达式转化为更简单㊁易于计算的形式ꎬ从而大大简化求值的过程.这些诱导公式包括特殊角的三角函数值㊁和差角的三角函数关系等ꎬ其处理过程可以减少繁琐的计算过程ꎬ提高计算的效率.其次ꎬ通过诱导公式ꎬ我们可以在计算和解题中更加灵活和高效地应用数学知识.它帮助我们将问题转化为更简单的形式ꎬ从而更好地理解和处理数学概念.而且ꎬ诱导公式也能够帮助我们发现数学中的规律和性质ꎬ提高我们的抽象思维能力.此外ꎬ利用诱导公式进行求值还具有更广泛的应用ꎬ许多问题都涉及三角函数的计算.通过运用诱导公式ꎬ我们可以更加方便地处理和求解这些问题ꎬ提高实际应用中的问题解决能力.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬ０<φ<π２æèçöø÷在π８ꎬ５π８æèçöø÷上单调ꎬ且ｆ－π８æèçöø÷＝ｆ３π８æèçöø÷＝０ꎬ则ｆπ２æèçöø÷的值为(㊀㊀).解析㊀由题意得ꎬ函数ｆ(ｘ)的最小正周期为９６Ｔ＝２πωꎬ因为ｆ(ｘ)在π８ꎬ５π８æèçöø÷上单调ꎬ所以Ｔ２＝πω?π２ꎬ得０<ω?２.且ｆ－π８æèçöø÷＝ｆ３π８æèçöø÷＝０ꎬ所以Ｔ２＝３π８－－π８æèçöø÷＝π２ꎬ解得ω＝２.由于ｆ－π８æèçöø÷＝０ꎬ所以ｓｉｎ２ˑ－π８æèçöø÷＋φ[]＝０ꎬ整理得φ＝π４.所以ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋π４æèçöø÷ꎬ则ｆπ２æèçöø÷＝ｓｉｎπ＋π４æèçöø÷＝－２２.３利用诱导公式证明利用诱导公式进行证明可以为证明过程提供一种清晰㊁简洁的推理路径.通过诱导公式ꎬ我们可以将复杂的等式或方程转化为简单的形式ꎬ从而更方便地进行推导和计算.这样的过程通常会减少繁琐的代数运算步骤ꎬ简化问题求解的过程ꎬ提高计算的效率[５].此外ꎬ诱导公式往往能够将问题与其他相关概念㊁定理联系起来ꎬ使证明过程更加连贯且易于理解.例３㊀已知ＡꎬＢꎬＣ为әＡＢＣ的内角.(１)求证:ｃｏｓ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ２＝１ꎻ(２)若ｃｏｓπ２＋Ａæèçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ求证:әＡＢＣ为钝角三角形.解析㊀(１)因为Ａ＋Ｂ＝π－Ｃꎬ所以Ａ＋Ｂ２＝π２－Ｃ２ꎬ所以ｃｏｓＡ＋Ｂ２＝ｃｏｓπ２－Ｃ２æèçöø÷＝ｓｉｎＣ２ꎬ所以ｃｏｓ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ２＝１.(２)因为ｃｏｓπ２＋Ａæèçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ所以(－ｓｉｎＡ)(－ｃｏｓＢ)ｔａｎＣ<０.因此ｓｉｎＡｃｏｓＢｔａｎＣ<０.又因为０<Ａ<πꎬ０<Ｂ<πꎬ０<Ｃ<π且ｓｉｎＡ>０ꎬ所以ｃｏｓＢ<０ꎬｔａｎＣ>０{或ｃｏｓＢ>０ｔａｎＣ<０{ꎬ所以Ｂ为钝角或Ｃ为钝角ꎬ所以әＡＢＣ为钝角三角形.通过本文的论述ꎬ我们不仅了解了三角函数诱导公式的基本概念和推导方法ꎬ同时也掌握了在高中数学解题中常见三种应用技巧.化简㊁求值和证明是数学解题的重要环节ꎬ我们可以通过灵活运用三角函数诱导公式ꎬ将复杂问题转化为简单形式ꎬ从而提高解题效率和准确度.然而ꎬ要想真正掌握这些应用技巧ꎬ还需要在实践中不断练习和尝试.通过多做例题ꎬ多思考不同情况下的解题方法ꎬ同学们可以逐渐熟练掌握三角函数诱导公式ꎬ提高自己的数学能力和解题水平.相信在以后的学习和生活中ꎬ这些技巧也会为我们带来更多的启示和帮助.参考文献:[１]张辉ꎬ李钰.以问题为驱动的数学探究式教学例谈:以 三角函数的诱导公式 为例[Ｊ].新智慧ꎬ２０２３(２４):１０－１２.[２]周忠武.合理设计教学过程积累数学活动经验:浅谈 三角函数的诱导公式 的教学设计[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(１３):２７－２８.[３]韦爱群.中职数学三角函数诱导公式的教学探析[Ｊ].理科爱好者(教育教学)ꎬ２０１９(０１):２０－２１.[４]吴蕾.高中数学课堂开展微型探究学习的教学实例与反思:以 诱导公式 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１７(２１):９－１０.[５]崔娅兰.数学原理教学探究:以高中三角函数诱导公式为例[Ｃ]ʊ新教育时代(２０１５年１１月总第６辑)ꎬ２０１５:１８４.[责任编辑:李㊀璟]０７。
例谈二次函数在实际生活中的应用
例谈二次函数在实际生活中的应用作者：张岚秦婷马玲刘瑜来源：《大东方》2018年第02期摘要：二次函数作为一个非常重要的函数模型，贯穿于整个中学数学的教与学中，是数学研究中的重要的工具。
本文通过具体的实例进行分析和总结二次函数在实际生活中的应用。
关键词：二次函数；数学模型；应用1 二次函数的相关概念一般地，我们把形如的函数叫做一元二次函数，其图像是一条抛物线，且a决定函数图像的开口方向，a>0时，开口方向向上，a物线是轴对称图形，对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，其坐标为。
抛物线与x轴交点个数由一元二次方程根的个数决定，即由的符号决定。
当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴只有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点。
2 二次函数在实际生活中的应用有关二次函数的应用问题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，例如求销售利润的最值问题，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质：如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。
另一类就是必须建立平面直角坐标系。
这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题，如拱桥问题、投掷问题等等。
首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。
平面直角坐标系选择的一般原则是使得得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。
综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。
2.1 在经济生活中的应用二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。
不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。
中学三角函数在解题中的应用研究
中学三角函数在解题中的应用研究中学三角函数是中学数学中的重要内容之一，广泛应用于各种数学题型中。
在解题中，中学三角函数的应用涉及到三角恒等式、几何问题、物理问题等多个方面，具有较高的实用性和广泛的应用价值。
一、三角函数的恒等式在解题中的应用中学三角函数的恒等式是中学数学中的重点部分，其中最基础和常用的就是正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1这个恒等式，即sin^2x+cos^2x=1。
在解题中，通过应用这个恒等式，可以将一个三角函数转化为另一个三角函数，从而简化问题的分析和计算。
在解三角方程时，如果方程中含有sinx的平方和cosx的平方，可以利用sin^2x+cos^2x=1将其转化为只含有一种三角函数，从而更容易解得方程的解。
二、三角函数在几何问题中的应用中学三角函数在几何问题中的应用非常广泛，尤其在解决与三角形相关的问题时发挥着重要的作用。
利用正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长、角度以及面积等问题。
1. 边长问题：通过利用正弦定理和余弦定理，可以求解三角形的边长。
正弦定理即a/sinA=b/sinB=c/sinC，余弦定理即a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。
通过这两个定理，可以根据已知条件解出未知的边长。
2. 角度问题：利用正切函数，可以求解两条直线之间的夹角。
在解决两根线的斜率之间的关系时，可以利用tanθ=k1-k2/1+k1k2，其中k1和k2分别为两条线的斜率，θ为两条线之间的夹角。
3. 面积问题：通过利用正弦函数的面积公式，可以求解三角形的面积。
正弦函数的面积公式即S=1/2absinC，其中a和b为三角形的两条边，C为这两条边夹角的弧度。
1. 位移问题：通过利用正弦函数或余弦函数，可以求解物体的位移。
当物体做简谐振动时，其位移可以用y=Asin(ωt+φ)来表示，其中A为振幅，ω为角速度，t为时间，φ为初相位。
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用函数是中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数Array函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。
我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从教材分析，教学目标分析，教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学的重点和难点根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。
为此，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。
因此，指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。
3、课前思考与准备包括学生在学习新课前的知识储备，和能力储备，这不意味着我们形式化的给予学生一个预习任务，所以我将通过课前思考题让问题引领学生自觉地投入对新知识的探究之中。
初等函数在中学数学中的应用
初等函数在中学数学中的应用初等函数在中学数学中是非常重要的一部分，学习初等函数可以帮助学生了解不同类型函数的性质和图像，从而更好地理解数学中的各种问题。
本文将分析中学学习的初等函数在性质和图像方面的差异，并且介绍初等函数在中学数学中的应用。
1.性质分析线性函数是一种具有恒定变化率的函数，当绘制图表时，可以得到一条直线。
线性函数常用于模拟两个变量之间成比例变化的关系。
它们的一般形式是y=mx+b，其中m是线的斜率，b是线与y轴的交点。
斜率表示变化率，即每个x 单位对应y的变化量，而y截距是线与y轴相交的点。
二次函数是一个具有二次多项式表达式的函数，绘制出的图像是一个抛物线。
二次函数用于模拟两个具有非线性关系的变量之间的关系。
它们的一般形式是y=ax2+bx+c，其中a是x2项的系数，b是x项的系数，c是常数项。
指数函数是一个具有恒定底数的函数，当绘制图表时，可以得到呈指数增长或指数衰减的曲线。
指数函数通常用于模拟涉及复利、人口增长或放射性衰变的两个变量之间的关系。
它们的一般形式是y=ab x，其中a是函数的初始值，b是底数，x是指数。
三角函数是一系列将角度与直角三角形的边长比关联的函数。
六个主要的三角函数是正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
三角函数用于模拟涉及角度、距离和高度的问题。
2.图像分析线性函数的图像是一条直线，斜率的正负决定了线的方向和陡峭程度。
正斜率的线向上倾斜，负斜率的线向下倾斜，而零斜率的线是水平的。
线性函数图像的y截距是函数与y轴相交的点。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的顶点是函数的最值点。
当二次函数的系数a>0时，抛物线向上开口，最小值为顶点的函数值；当a<0时，抛物线向下开口，最大值为顶点的函数值。
指数函数的图像是一个呈指数增长或指数衰减的曲线，底数决定了曲线的斜率和增长速度。
底数大于1时，函数呈指数增长，底数小于1时，函数呈指数衰减。
函数在高中的地位与作用
函数是中学数学的主体内容，它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用，后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对都分布在直线的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数。中学的其他数的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。第二阶段，是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，选修的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。
函数是数学的重要的基础概念之一，进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的，其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具，函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材，函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。
妙“笔”生花,——谈辅助函数在中学数学中的应用
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分析
题 一给 ｝ ｌ 川弛“ ＋ ： ：ｌ 们学 过 的 勾脞 定删 微琢 ， 葵・ ＾ ： 我 ∥就 是
题所需 的辅助 函数 。 ２ ３利用 已有 的公式 ： ． 把给出的问题和教材中的公式或性质进 行 比较 ， 找出问题 中与教材 中公式 或性质相似 或相 同的部 分 ， 而 从 利 用 已有 的公 式 或 性 质 构 造 辅 助 函数 。 ２４辅助 图象法 ： 助 图象对 所给 问题进行 求解 ， ． 借 也是 解决 问
函数连续性在中学数学中的应用
基础 教 育
函数连续性在中学数学中的应用
宋清爽
（ 郑９ 呻 市 第五 十七 中学 河 南・ 郑９ 呐 ４ ５ ０ ０ ０ １ ）
中图 分 类 号 ： Ｇ６ ３ ３ ． ６ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ３） ２ ７ － ０ １ ３ ６ － ０ ２
１＜— ｋ ＋ １ ３
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２
，
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Ｘ１
例说函数迭代与不动点理论在中学数学中的应用_田志承
4 性质的应用
例 1 试求方程 x = 分析 设 f (x)=
4
2+
2+
2 + 2 +x 的
正根 , 并证明只有一个正根 . ( 上海市第二届数学竞赛) 2 + x , 则上 述方 程即为 x = f (x), 又因为 y = f (x) 在[ -2 , + ∞) 上单调递增 , 由 性质( 1) 和性质( 2) 知方程 x = f 4(x) 与 方程 x = f (x) 的解集相 同 , 所以 只需 解 x = 一个正根 x =2 .
1 定义
设连 续 函 数 f ∶ R ※ R , 记 f (x )= f 1 (x ), f (f (x) ) = f 2 (x ), f ( f (f (x ) ) )= f 3 (x ), … , f (f ( … f (x)…) )= f n(x), 称 f n(x) 为函数 f(x) 的n
n ※∞
②当 -1 < a <0 时 , 若 x 1 < x 0(x 1 > x0) 则 xn > xn Ư < x 0), 且 lim x n = x 0 .
n ※∞
b 代 入 整 理 得 x n = x 0 +(x1 - x 0)a n -1 , 所 以 1 -a lim xn = x 0 .
2 + x , 故 原方 程 只有
分析 设 f (x)= x 2 + 1 , 则 上 述方 程 即 为 x = f 2(x), 又因为 y = f (x) 不存 在关于 y = x 的对称 点 , 由性质( 1) 和性质( 3) 知 , 方程 x = f 2(x) 与 方程 x = f (x) 的解集相同 , 所以只需解 x = x +1 , 故原 方程无 实根 . 评注 性质( 1) ( 2) ( 3) 简化了 运算 , 代替 了证 明 , 更为精彩的是给出了这类问题的解题突破口 . 例 3 对任意函数 f (x), x ∈ D , 可 按图示构 造一 个数列发生器 , 其工作原理如下 : ①输入数 据 x0 ∈ D , 经数列发 生器输出 x 1 = f (x 0); ②若 x1 D , 则数列 发生器结 束工作 ; 若 x 1 ∈ D , 则将 x 1 反馈回 输入 端 , 再 输 出 x 2 = f (x 1) , 并依 此规律继 续下 去 , 现 定义 f (x)= 4 x -2 . x +1 49 , 则 由数列 65 发生器产生数列{xn} , 请写出数列{xn} 的所有项 . ( 1) 若输入 x 0 = ( 2) 若要数列发生器产生一个无穷的常数数列 , 试 求输入的初始数据 x 0 的值 ; ( 3) 若输入 x0 时 , 产生 的无 穷数 列{xn} 满足: 对 任意正整数 n , 均有 x n < x n +1 , 求 x0 的取值范围 . ( 2001 年全国普通高等学校 招生统 一考试上 海