高三第一轮复习数列基础练习题

高三第一轮复习数列基础练习题

敕章知识点小结等差数列

1 .相关公式：

（1）定义：a n1—a n=d（ n_ 1,d 为常数）（2）通项公式：a^ a1 -（n_ i）d ”

（3）前n项和公式：S n-亜竝“ a—n（n "）d .（4）通项公式推广：a n=a m

2 2

2.等差数列｛a n｝的一些性质

（1 ）对于任意正整数n,都有a n勺-a n=a2 -a v

（2）｛a n｝的通项公式a n ^（az-ajn ?（2a1-a2）*

（3）对于任意的整数p,q,r,s，如果p ? q = r s，那么a p - a q=a r - a s+

（4）对于任意的正整数p,q,r，如果p ^2q，则a p - a r = 2a q

（5）对于任意的正整数n>1，有2a n二a nd - a n』，

（6）对于任意的非零实数b，数列｛ba n｝是等差数列，则｛a n｝是等差数列”

（7 ）已知｛b n｝是等差数列，则｛a n -b n｝也是等差数列'

（8）｛ a2n｝, ｛ a2n」｝, ｛ a3n｝, ｛a3n」｝, ｛ a3n J2｝等都是等差数列"

（9）S n是等差数列〈a n 1的前n项和，贝y S k,S2k -S k,S3k -

S2k仍成等差数列，即S3m :

（10）若S m = S n（m = n），则S n ?n = 0"（⑴若S p = q, S q = P，则S p ~ _（ p q）- （12）S n二an2bn，反之也成立-

、等比数列1相关公式：

(1)定义：an+ -q(n 色1,q式0)?

a n

(2)通项公式：a n n -1

=a1q *

q= 1

(3)前n项和公式：S n =丿a,1 - q n)q式

1

? 1 -q

(4) 通项公式推广：

n -m

a n = a m q*

2.等比数列｛a n｝的一些性质

(n _ m)d ”3(S2m - S m )-

(1)对于任意的正整数n均有里口二巴.

a n a i

(2)对于任意的正整数p, q,r ,s，如果p ? q = r s，则a p a q= a r a s.

2

(3)对于任意的正整数p,q,r，如果2q = p ? r，则a p a r=a q .

(4)对于任意的正整数n>1,有a n2=a nJ a n v

(5)对于任意的非零实数b, ｛ba n｝也是等比数列.

(6)已知｛b n｝是等比数列，则｛a n b n｝也是等比数列+

(7)如果a n 0，则｛log a a n｝是等差数列+

(8)数列｛log a a n｝是等差数列，则｛a n｝是等比数列.

(9)｛ a2n｝, ｛a2n」｝, ｛ a3n｝, ｛a3n 二｝, ｛a3n _2｝等都是等比数列^

(10) S n是等比数列沈［的前n项和，

①当q= —1且k为偶数时，S k,S2k -S k,S3k -S2k不是等比数列.

②当q M—1或k为奇数时，S k, S2k -S k,S3k -S2k仍成等比数列八数列前n项和

(1)重要公式：

12 3 n = ; 12 22 32『1)(2n D；1323n3 = [ n(n 1)]2.

2 6 2

(2)等差数列中，S m.n =S m ? S n m nd,

(3)等比数列中，S m.n 二S n y n S m 二S m 7m S n?

A.第3项

B.第4项

C.第5项

D.第6项

1 1 1 ；(n n!=(n 1)!-n!厂

(4)裂项求和：

n(n 1) n一 ?

n 1

一、填空选择题

1、在数列1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, x , 34, 55, …中，x的值是()

A、19

B、20

C、21 D 、22

2、4.在数列｛a n｝中，a n 1 =a. 2 ■ an , 印=2,a2=5，则a6的值是( )

A. -3

B. -11

C. _5

D.19

3、已知数列｛a n｝的通项公式为a n =log2(3 n2) -2，那么log2 3是这个数列的()

n *

4、 已知a n = ---------- （n w N ），则此数列｛a n ｝的最大项为 __________ .

n +144

5、 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数 列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列｛a n ｝是等和数列，且a , =2，公和为5,那么a i8的值为 _______________________ ，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为 __________________

6、 一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差为

10°,最小内角为100°,则边数n=_ .

7、 已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 =16,a 4 =1,则盹 的值是 ）

A . 15

B . 30

C . 31

D . 64

8、 等差数列｛a n ｝中，a 1 ■ a 2 ■ a^ -24,

- a^ - a ?。=78，则此数列前20项和等于

（

）

9、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

（

）

8 8 8

A 、 d>3

B 、 d<3

C 、 d<3

D 、

-

10、设数列｛a n ｝是等差数列，且 a ^-6 , a^6 , S n 是数列｛a .｝的前n 项和，则（

）

已知等差数列 En 加勺公差为2,若a 「a 3,a 4成等比数列，则a ?=（ ）

（A ） -4

（B ） -6

（C ）七

（D ） -0

17. （2006年湖北卷）若互不相等的实数 a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a 3b ^10,

则 a =（ ） A.4 B.2

C.-2

D.-4

18.

（07天津卷）设等差数列 （a n ?的公差d 不为0, a 1 =9d .若a k 是印与a ?k 的等比中项，

则 k =（

） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

19. （07陕西卷）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S^2,S 4 =10,则S 6等于（

）

A . 81

B . 120

C . 168

D . 192 12、 在各项都为正数的等比数列｛ a n ｝中，首项a 1=3 , 前二项和为21, 则 a 3+ a 4+ a 5=( )

(A ) 33 (B ) 72

(C ) 84 (D )189

13、

等比数列

中，a^4 ，则 a 2 a 6等于（

)

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

14. 在等比数列 {a n } ( n N*

)中, 若 a 〔二 1, a 4 —

1 ，则该数列的前

8

10项和为（ ）

1

1

1

1

A

2

8

B . 2

一帀

C

.

2 _ 10

D . 2_ 11

2

2

2

2

15. 已知等比数列｛ a n ｝中，a n

0, a 1, a 99是方程x 2 「10x^16=0的两根， 则a 20 'a 50 a 80的值是

A. 32

B. 64

C. 256

D. ( 丿

-64

11、等比数列ia n 沖,

a 2 =9, a 5 =243，则faj 的前4项和为（

)

16. （2004年浙江高考数学?理工第 3题，文史第3题）

A . 160

B . 180

C . 200

D . 220

(A) S 4 ::: S 5 (B) S 4 = S 5 (C) S 6 S

5 (D ) S 6

= S 5

(A )

12

(B ) 18

(C ) 24

(D ) 42

20、在数列

Bn 沛，

a

1

= 2,

2a

n 1

-2a n = 1，则 a 101 的值为()

A . 49

二、解答题

B . 50

C . 51

D . 52

知识点 1等差数列的定义：a n - a n 」=d , (n 》2, n € N J

2 ?等差数列的通项公式：

a n = a 1 (n - 1)d (a n = a m (n -m)d 或 a n =pn+q (p 、q 是常数))

S(n=1)

a n =」

S n - S n 二(n 占 2)

3 .几种计算公差 d 的方法：

a

n — a l

a

n — a m

① d = a n — a n _i

② d =

③ d =

n —1

n —m

a + b

4 ?等差中项：A a,b,成等差数列

2

5.

等差数列的性质： m+n=p+q =■ a m ' a ^ a p ' a q (m, n, p, q € N )

6. 数列的前n 项和：

数列Gn 冲，a i a 2 a 3……-「a n 称为数列 ①'的前n 项和，记为S n .

1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数:

(1) 1 , 3, 5, 7;

( 2)

4、在等差数列｛a n ｝中，若6 + a 6=9, a ° =7,求a ?

5、 等差数列｛ a n ｝中，a 1 + a 3+ a 5 = — 12,且 a 1 ? a 3 ? a 5=80.求通项 a n

6、 在等差数列｛ a n ｝中，已知a 3 + a 4 + a 5 + a § + a 7 = 450,求a ? + a $及前9项和S 9.

7、 在等差数列 a n '中，已知a 5 -10 , a 12 - 31，求首项a 1与公差d

已知数列a n ｛的前 n 项和，求数列的通项公式: ⑴ S n = n 2

+2n ;⑵

2

S n =n -2n-1.

在等差数列￡n ［中, 已知 a s =10, a i2 =31 ,

求 a i ,d , a 20, a n

8.在等差数列l a n 冲,若a 5 =6

a 8 =15求a 14

9.在等差数列'a n /中若 a 1 ? a ?亠■亠 a 5 = 30 , a 6

a^

■亠 a 10 = 80 ,求 a 11 - a-i^ ■亠 a 15

2 .等差数列的前n 项和公式2: S n = na ?呃里 2

pl

pl

3.S n 二一n 2

(a^-)n ,当0,是一个常数项为零的二次式

2

2

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法 ：

(1)利用a n :

当a n >0, d<0,前n 项和有最大值?可由a n >0，且a n .1 < 0，求得n 的值. 当a n <0, d>0,前n 项和有最小值?可由a n < 0，且a n .1 > 0，求得n 的值. pl pl

(2)利用S n : S n =2门

2

(a^-)n 二次函数配方法求得最值时 n 的值一

10 一个堆放铅笔的 v 型的最下面一层放一支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支， 最上面一层放 这个V 形架上共放着多少支铅笔？

11等差数列-10 , -6, -2, 2，…前多少项的和是 54?

13 .已知等差数列｛ a n ｝中a 1=13且S 3=S 11 ,那么n 取何值时，S n 取最大值. 14.求集合 M =订|口=7n,n ?N*且m :: 100 '的元素个数，并求这些元素的和

16 .求集合 M=｛ m|m=2n — 1,n € N ，且m v 60｝的元素个数及这些元素的和 17、 .在小于100的正整数中共有多少个数能被

3除余2，并求这些数的和”

18、 一个等差数列前 4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式

19、 等差数列｛ a n ｝中，a 4 = — 15,公差d = 3,求数列｛ a n ｝的前n 项和S n 的最小值?

20 .一个等差数列的前 12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27 ,求公差d.

21.

一个等差数列的前 10项和为100,前100项和为10,求它的前110项和+

22. 设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 3 = 12, S 12 >0, S 13<0, (1)求公差d 的取值范围；

知识点1.等差数列的前

n 项和公式1： S n 二亜亂

2

120 支,

1 ?等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做

a

等比数列?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母

q 表示（q z 0）,即： —=q （q 工0）

a

n_i

2.等比数列的通项公式：

a^a i q nJ （a i q =0）， a n “m 严⑻ q = 0）

a n 丰0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件

4 ?既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.

5 .等比中项：G 为a 与b 的等比中项.即G=± . ab （a,b 同号）.

6 ?性质：若 m+n=p+q , a m a n =a p a q

7 .判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8.

等比数列的增减性： 当q>1, a 1 >0或01, a 1

<0,或00

时,｛ a n ｝是递减数列；当q=1时,｛ a n ｝是常数列;当q<0时,｛ a n ｝是摆动数列 9. 等比数列的前 n 项和公式:

当 q=1 时，S n 二 n^

当已知a 1, q, n 时用公式①；当已知 a 1 , q, a “时，用公式②

10 . S n 是等比数列 2n I 的前n 项和，

①当q= — 1且k 为偶数时，S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 不是等比数列 ②当q z — 1或k 为奇数时，S k , S 2k -S k ,S 3k -S 2k 仍成等比数列? 23求下列各等比数列的通项公式：

□

a^h

n

1. a 〔= 2,玄3=

8

2、a 〔=5,且 2a n 1 = 3a n

3、a 〔=5,且

a n n + 1

4

1

24

、

（ 1）

一个等比数列的第9项是9，公比是—

3，求它的第1项.

（2） —个等比数列的第 2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

3. ｛ a n ｝成等比数列=

jq ( n N a n

,q z 0)

???当 q =1 时，S n

ad1 -q n ) 1 -q

或S n

a 1 a n

q

1 -q

2

25 ?有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16,第

二个数与第三个数的和是 12,求这四个数.

26 ⑴ 已知｛a n ｝是等比数列，且 a n 0, a ?a 4，2a 3a 5 a 4a^ 25,求 a 3 a 5*

（2）、在等比数列｛a n ｝，已知 a i =5，a g a io =10 0,求 a^*

27求等比数列1, 2, 4，…从第5项到第10项的和.

28 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人， 如此继续下去，一天时间可传遍多少人？

29已知等差数列｛a n ｝的第二项为8,前十项的和为185,从数列｛a n ｝中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、 第2n 项按原来的顺序排成一个新数列

｛b n ｝，求数列｛ b n ｝的通项公式和前项和公式 S n （分组求和）

30设数列［为1,2X ,3X 2,4X 3……nx n 」… x = 0求此数列前n 项的和.（错位法）

31、设首项为正数的等比数列，它的前 n 项之和为80,前2n 项之和为6560,且前n 项中数值最大的项为 54,

求此数列+

1.等差数列的前n 项和公式:

& 二空亠,S" 3d

2 2

2?等比数列的前 n 项和公式:

当 q=1 时，S n 二 na 1

、特殊数列求和

--常用数列的前n 项和:

1 2 3

2

1 3 5 亠 亠（2n -1） = n

12 22 32 n 2』n 1

）（2n 1）

当q =1时，S n

內(1 -q n )

1 -q

或S n

a 1 - a n q 1 - q

6

13 2333n3=凹卫］2

2

1 1 1

32、求和：（x+ ）（x2亍）亠亠（x n^）（其中X M 0, X M 1, y z 1）

y y y

33、一个等比数列前n项的和为S n =48,前2n项之和S?n = 60，求S?.

34、在等比数列中，已知：a^4, S6 =36，求a n-

a +1

35设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且S.=(」-)2(n?N*)，

2

求数列｛a n｝的前n项和

拆项法（分组求和法）：

34、求数列

1 1 1 1

11, 4 , 2? 7 ,有? 10 , ........... , （3n -2）,……的前n 项和.

a a a a

裂项法：

35求数列—,—,',……,6,……前n项和

1 汉

2 2 汉

3 3 汉

4 n（n +1）

错位法:

36求数列｛n前n项和