人教A版新课标高中数学必修一 《弧度制》参考课件
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5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册精品教学PPT
根据题意: 1 l R 4 ② 2
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
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r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
（ 1)第一象限角： S | k 360 90 k 360 , k Z
或S
|
2k
2
2k,
k
Z
（ 2)第二象限角： S | 90 k 360 180 k 360 , k Z
或S
角(3)第三象限角：S
|
2
2k
|180 k 360
2k, 270
180º= π rad
把下列特殊角化为弧度数
1°= rad
180
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5
3 46
3
2
2
注：2.角度制与弧度制是两种不同的度量单位， 在表示角时，角度制与弧度制不能混用。
用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集 R之间建立起了一一对应的关系：
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？|
|
l
若弧是一个整圆呢？
r
180 rad 360 2 rad 学以致用：
1°= rad ≈0.01745rad 1.把45 化成弧度
180 1 rad (180)o 57.300 57018'
2.把
2 3
rad化成度
“角化弧”时，将n乘以 180；
正角
正角的弧度负数角 负角的弧度零数角
零角的弧任度意角数的集合
正数
负数 正数 0 负数
实数集R 零
补充练习：
1．α＝－2 rad，则α的终边在( C )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．扇形 AOB，半径为 2 cm，|AB|＝2 所对的圆心角弧度数为________．
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 【完美 课件】
明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
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明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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高中数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制(教学课件)
当 r
4
时，S
有最大值
16，此时 l
16 2r
8
，
l r
2
，
当 2 时，扇形的面积最大，最大面积是 16.
本节课学习了弧度制的概念， 角度与弧度的互化，扇形的弧长及 面积公式.
感谢观看
（1）若 60 ， r 3 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为 16，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？
并求出最大面积.
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3 ，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16 ，l 16 2r(0 r 8) ，
因此扇形的面积 S 1 lr 1 (16 2r)r r2 8r (r 4)2 16 ， 22
2π
5π 6
，
2
750
750π 180
25π 6
2
2π
π 6
，
故1
19π 6
，2
25π 6
，1
的终边在第二象限，2
的终边在第一象限.
（2） 1
3π 5
3 180 5
108
， 2
π 3
1 180 3
60
.
设1 108 k1 360k1 Z ，2 60 k2 360k2 Z ，
令 720 1 180 ， 720 2 180 ，
即 720 108 k1 360 180k1 Z ， 720 60 k2 360 180k2 Z ，
得 k1 2或 k1 1， k2 1 .
故在[720, 180) 内，与 1 终边相同的角是 612 和 252 ，
高中数学人教A版必修第一册第五章《弧度制》课件
360 2 180
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
人教A版必修第一册5.1.2弧度制 课件(共15张PPT)
三、度与弧度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意
非零角，单位不同量数也不同. 因为周角的弧度
数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360⁰＝2πrad， 180⁰＝πrad. 1 = π rad 0.01745rad
180
1rad
=
180 π
Q1 P1
P B
A
于是
l = n π 180
r 180
α
O
PQ A
探究！如图，在射线OA上的一点Q(不同于点O)，
OQ=r1. 在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的 长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论?
可以发现，圆心角α所对的弧长 Q1 B
与半径的比值，只与α的大小有关.
P1
也就是说，这个比值随α的确定而
3、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积 公式得以简化，这体现了弧度制优点.
(1)l = αR ; (2)S = 1 αR2; (3)S = 1 lR.
22ຫໍສະໝຸດ 谢谢！！!唯一确定.O
PQ A
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径
的关系度量圆心角.
B
二、弧度的概念
我们规定：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
r
1rad
Or A
的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度.
我们把半径为1的圆叫单位圆，在单位圆O
中，弧AB长等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角α rad，那么
l = nπR 180
S = nπR2 360
高中数学人教A版 必修第一册 弧度制 课件
4
3
6
6
2.将下列各角化成0到2的角加上2k (k Z )
的形式 :
(1) 19 ;(2) 315o;(3) 23 ;(4) 1500o
3
6
(5) 18 ;(6)672o.
7
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应；
（2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位 的角相加、相减时，由于运算进率非十进制， 总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选 择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧 度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
练习
1.计算 : (1) sin ;(2) sin ;(3) cos ;(4) tan
180
2021-2022学年新教材人教A版必修第一册 512弧度制 课件(41张)
度制的换算，提升
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联
数学运算素养.
系．(易错点)
NO.1 情境导学·探新知
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的 过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那 么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？ 什么量没发生变化？由此你能想到度量角的 其他办法吗？
知识点 1 角度制与弧度制
所以角 α 的终边落在直线 y＝x 上，
所以角 α 的集合是αα＝π4＋kπ，k∈Z
.]
(2)[解] 因为 30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 α
＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制
学习任务
核心素养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一
1.通过对弧度制概
对应关系．
念的学习，培养数
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的
学抽象素养．
换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的
2．借助弧度制与角
弧度数．(重点、难点)
3 B [由弧度数公式|α|＝rl，得|α|＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是
3 2 rad.]
1 2 3 45
3．(多选)下列转化结果正确的是( ) A．60°化成弧度是π3 rad B．－130π rad 化成度是－600° C．－150°化成弧度是－76π rad D．1π2 rad 化成度是 15°
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量 r 或 l 的关系 式，并思考最值的求解方法．
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弧度制
课程讲解
问题1. ? ? °角是如何定义的？
课程讲解
问题2. 角度为30度，60度的圆心角，当半径r=1,2,3,4时，分别计算对 应的弧长l，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发 现什么规律？
课程讲解
问题2.角度为30度，60度的圆心角，当半径r =1,2,3,4时，分别计算对应
再见
的弧长 l ，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发现什么规
律？
课程讲解
问题2. 角度为30度，60度的圆心角，当半径r=1,2,3,4时，分别计算 对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发现什 么规律？
课程讲解
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。它的单 位符号是rad，读作弧度。这种用“弧度”做单位来度量角的制度 叫做弧度制。
课程讲解
课程讲解
例题讲解
课程讲解பைடு நூலகம்
问题4.弧度制与角度制之间有怎样的换算关系？
课程讲解
问题4.弧度制与角度制之间有怎样的换算关系？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
课程讲解
问题1. ? ? °角是如何定义的？
课程讲解
问题2. 角度为30度，60度的圆心角，当半径r=1,2,3,4时，分别计算对 应的弧长l，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发 现什么规律？
课程讲解
问题2.角度为30度，60度的圆心角，当半径r =1,2,3,4时，分别计算对应
再见
的弧长 l ，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发现什么规
律？
课程讲解
问题2. 角度为30度，60度的圆心角，当半径r=1,2,3,4时，分别计算 对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。并根据上述结果，你能发现什 么规律？
课程讲解
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。它的单 位符号是rad，读作弧度。这种用“弧度”做单位来度量角的制度 叫做弧度制。
课程讲解
课程讲解
例题讲解
课程讲解பைடு நூலகம்
问题4.弧度制与角度制之间有怎样的换算关系？
课程讲解
问题4.弧度制与角度制之间有怎样的换算关系？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
课程讲解
问题5.下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？