等差数列的前n项和
等差数列前n项和
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是
高斯算法：
怎么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
（2）当d<0时,Sn有最大值 若a1<0,则S1最大； 若a1>0,则所有正数项的和最大。
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故 可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
例5 已知一个等差数列中满足3a4 7a7,且a1 0 Sn是数列{an}的前n项和，求n为何值时Sn取最大值.
则: b1,b2,b3, ,成等差数列,公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列a
n
是公差为d的等差数列，则S n
An2
Bn
Sn n
An B
Sn n
是等差数列，公差为A.
2.已知an是公差为d的等差数列，Sn为数列an的前n项和，则
Sn n
是等差数列，公差为
d 2
解：方法一
3a4
7a7
d
4 33 a1
0
an
a1
(n
1)
•
(
4 33
)a1
0
n
37 4
当n 9时，an 0; 当n 9时，an 0
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
3a4
7a7
d
4 33
a1
0
Sn
na1
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d2.等差数列前n项和公式的函数特点S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n a 1＋a n2＝128×105＋9942＝70 336. (2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5， ∴S 20＝20a 1＋20×20－12×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋12，37·a 1＋a n2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{a n}，其中a1＝1，a120＝120.根据等差数列前n项和公式得S120＝120×1＋1202＝7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔．[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项和，那么S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b5的值．【精彩点拨】 (1)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解．(2)利用前n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】 (1)在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列，∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝9a 1＋a 99b 1＋b 9＝S 9T 9＝6512.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n a 1＋a n 2＝n a m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n.②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [再练一题]3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．【解】 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.等差数列前n 项和的最值 探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】 由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值最小值 【提示】 由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值. 【解】 利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17＝S 9得 25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， ∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 【解析】 S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】 A2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【解析】 由题意得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.【答案】 B3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，前三项和为15，则前6项和为( ) A ．57 B ．－40 C ．－57 D ．40 【解析】 由题意知a 1＋a 2＋a 3＝15，∴3a 2＝15，a 2＝5， ∴d ＝a 2－a 1＝3，∴a n ＝3n －1， ∴S 6＝62＋172＝57. 【答案】 A4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝________. 【解析】 S 20＝20·a 1＋20×192×d ＝20×2＋20×192×2＝420.【答案】 4205．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项公式a n ； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得方程组⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，S n ＝242，得12n ＋n n －12×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，所以n ＝11.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝() A．5B．7 C．9 D．11【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5，故选A.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.【答案】A2．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1 2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.故选B.【答案】B3．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为() A．14 B．15 C．16 D．17【解析】S9＝9a1＋a92＝9a5＝18，所以a5＝2，S n＝n a1＋a n2＝n a5＋a n－42＝240，∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()【解析】由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．∵S3S6＝13.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，∴S6S12＝310.【答案】A5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9【解析】设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，∴S n＝－11n＋n n－12×2＝n2－12n，∴当n＝6时，S n取得最小值．【答案】A二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×6－12d＝6.【答案】67．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.【解析】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 208．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋9×82×d ＝4×1＋4×32×d ，所以d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10.【答案】 10 三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解】 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2， S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵等差数列有2n ＋1项， ∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150， ∴n ＝10. 【答案】 B2．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n＝1,2,3,5,11.【答案】 D3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 【解析】 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以35＝na 1＋n n －12×2＝na 1＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或－1. 【答案】 3或－14．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列， ∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)，∴a n ＝⎩⎨⎧15n －5 1≤n ≤12，n ∈N ＋，－10n ＋295 13≤n ≤30，n ∈N ＋.(2)4月份的总销售量为 1210＋1752＋18×165＋18×17×－102＝2 550(件)， (3)4月1日至4月12日销售总数为 12a 1＋a 122＝1210＋1752＝1 110＜1 200， ∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞392， ∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．等差数列的前n 项和1．理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理 等差数列的前n 项和 1．等差数列的前n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式S n ＝n a 1＋a n 2S n ＝na 1＋n n －12d2.等差数列前n 项和公式的函数特点 S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和；(3)列出等式(或方程)求解．[再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝2a52b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质．若{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质．S n＝n a1＋a n2＝n a m＋a n－m＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质．{a n}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(a n＋a n＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝a n＋1a n.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)a n＋1；S偶－S奇＝－a n＋1；S偶S奇＝nn＋1.(4)等差数列{a n}中，若S n＝m，S m＝n(m≠n)，则S m＋n＝－(m＋n)．(5)等差数列{a n}中，若S n＝S m(m≠n)，则S m＋n＝0.[再练一题]3．已知两个等差数列{a n}与{b n}的前n(n＞1)项和分别是S n和T n，且S n∶T n＝(2n＋1)∶(3n－2)，求a9b9的值．等差数列前n项和的最值探究1将等差数列前n项和S n＝na1＋n n－12d变形为S n关于n的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】由于S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n，所以当d≠0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n何时有最大值最小值【提示】由二次函数的性质可以得出，当d＞0时，S n有最小值；当d＜0时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式．(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15， 得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．22．记等差数列前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在等差数列{a n}中，a1＝2，前三项和为15，则前6项和为()A．57 B．－40 C．－57 D．404．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝________.5．等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式a n；(2)若S n＝242，求n.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7 C．9 D．112．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．123．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为()A．14 B．15 C．16 D．174．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.7．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，a k＋a4＝0，则k ＝________.三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．10．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
等差数列项数的公式
等差数列项数的公式
等差数列的项数公式是：
第n项=第1项+ (n-1) *公差
其中，第1项是等差数列的首项，n是等差数列的项数，公差是等差数列中相邻两项的差值。
拓展：
除了项数公式，还有其他一些与等差数列项数相关的公式和性质：
1.等差数列的前n项和公式：
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = (n/2) * (第1项+第n项) 其中，Sn表示等差数列的前n项和。
2.等差数列的末项公式：
等差数列的末项可以表示为：第n项=第1项+ (n-1) *公差
3.项数公式的逆运算：
已知等差数列的第1项、末项和公差，可以使用项数公式的逆运算求得项数n。
具体步骤为：(第n项-第1项) /公差+ 1 = n
4.项数公式的特殊情况：
当等差数列的公差为1时，项数公式可以简化为：第n项=第1项+ (n-1) = n +第1项- 1
这些公式和性质都可以帮助我们在解决与等差数列项数相关的问题时进行计算和推导。
7.等差数列的前n项和 -
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10， 则S6等于 ( )
A．12
C．24 答案：C
B．18
D．42
2．已知一个等差数列 {an } 前10项的和是310，前20项的 和是1220.求前30项的和
a1 a2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30
巩固练习：
1. 3 ．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的
中间项为( D ) A．8 B ．7 C．6 D．5
2．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的 和为512，偶数项的和为480，则中间项为( c ) A．30 B．31 C．32 D．33
3．等差数列{an}的公差d＝1/2 且S100＝145， 则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( A．52.5 B．72.5
，
10a1＋45d＝35 a1＝－10 即 ，解得 . 22a1＋231d＝473 d＝3
nn－1 nn－1 3 ∴ Sn＝ na1＋ d＝－ 10n＋ ×3 ＝ 2 2 2 23 n － n. 2
2
2． 等差数列前n项和的性质
(1)数列{an}是公差为 d
d 列，且公差为 2 .
3．等差数列前n项和Sn的最值求法 等差数列的前n项和的最值问题一般采用二次函数 配方法解决，要特别注意n为正整数，当配方后对称轴 不是正整数时，它一定在两个正整数中间，离哪个较
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
等差数列的概念及前n项和
等差数列的概念及前n 项和考点解析及例题讲解1. 等差数列的前n 项和公式等差数列各项的和等于首末两项的和乘项数除以2． 一般地，数列{a n }的前n 项和记作S n ，即S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ．可以得到等差数列的前n 项和公式S n = n (a 1+ a n ) 2． 因为a n = a 1+(n －1)d ，所以上面公式又可写成S n = n a 1 + n ( n － 1 ) 2d ． 在这两个公式中，都包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个．例1 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和．解 在小于100的正整数集合中，以下各数是7的倍数7，7×2，7×3，…，7×14．即7，14，28， (98)显然，这是一个等差数列．其中a 1=7，d =7，项数为不大于1007的最大整数值，即n =14，a 14= 98．因此S 14 = 14× ( 7 + 98 )2= 735． 即在小于100的正整数的集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735．例2 在等差数列-5，-1，3，7，…中．前多少项的和是345？ 解 这里a 1=－5，d =－1－(－5)=4，S n =345． 根据等差数列的前n 项和公式得345 = －5n + n ( n － 1 ) 2×4， 整理得2n 2 －7n －345 = 0，解得n 1=15，n 2= - 232 (不合题意，舍去)．所以n = 15 ．即这个数列的前15项的和是345基础知识训练6.设等差数列{}n a 的前n 项和为958224S a a a S n ，则，若-=+等于（ ）（A ）72 （B ）60 （C ）48 （D ）361. 在等差数列中：（1）已知n a d a ，则，421===_________;（2）已知n d a a n ，则，，22111====_________.2. 已知等差数列{}n a 满足==+=+653426104S a a a a 项和，则它的前，________.3. 已知等差数列{}n a 有7212201918321=++-=++a a a a a a ，，则其前20项的和等于____.4. 在数列{}n a 中，==+∈+=++1074110)(2a a a N n a a n n ，则，且______.5. 在等差数列{}n a 中，若.512115481a a a a a ，，求，==+6. 在等差数列{}n a 中，.2191的最大值项和，试求其前，n S n d a -== 综合知识训练1. 若等差数列{}n a 的前三项和等于，则且21316a a S ==（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42. 等差数列{}n a 的前n 项何为的值为，则，，若43253S a a S n ==（ ）（A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）183. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若此数列前3项的和为9，前3项的积为24，则2013a =（ ）（A ）2011 （B ）2012 （C ）2013 （D ）2014 4. n S 是等差数列的前n 项和，1821a a a ++为一个确定的常数，则以下也为确定常数的是（ ）（A ）11S （B ）13S （C ）15S （D ）以上都不正确5. 若数列为等差数列，=++++==2064212121a a a a d a ，则，（ ） （A ）50 （B ）55 （C ）25 （D ）21506. 若数列为等差数列，且==+57320a a a ，则（ ）（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）207. 设数列的首项=∈+==++1211)(32a N n a a a n n ，则，且满足_____.8. 已知数列的通项=-+-=111212a a n a n ，则_______.9. 一个四边形的内角度数成等差数列，且最小角是 30，则最大角是{}n a {}n a {}n a {}n a。
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等差数列的前n项和
平山县外国语中学王进慧
一、教学任务分析
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.等差数列在现实生活中比较常见，因此求等差数列的和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题.对等差数列前n项和公式的推导及应用，体现了从特殊到一般、一般到特殊的思想.教材从1+2+3+···+100的高斯算法出发,并以1+2+3+···+n求和为过渡，目的是为了让学生发现“等差数列任意第k项与倒数第k项和等于首末项之和”这个规律.教材以探究题的形式，让学生在此基础上，把1+2+3+···+n内在的这种规律推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和的思路.
二、教学目标
1、知识：掌握等差数列的前n项和公式及推导过程，会运用前n项和公式解决问题.
2、能力：通过等差数列的前n项和公式的推导，使学生体验从特殊到一般的研究方法，掌握“倒序相加法”这一求和方法.
三、教学重点与难点
1、重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，会用前n项和公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和公式和二次函数之间的联系.
2、难点：等差数列的前n项和公式推导思路的获得.
四、教学手段：运用多媒体和实物投影仪等辅助教学
五、教学方法：引导、探究、合作
六、教学基本流程：
七、教学过程设计。