复变函数西安交大版80页PPT
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1-5复变函数课件 西安交通大学
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
复变函数西安交大 第四版第六讲PPT课件
---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
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例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
复变函数 复习课件 西安交大第四版共81页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
复变函数 复习课件 西安交大第四版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
最新-西安交大复变函数课件5-习题课-PPT文档资料
c)
设
f (z) P(z), P(z) Q(z)
及
Q(z) 在
z 0 都解析，
如果 P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 ,那末 z 0
为一级极点, 且有Refs(z[),z0]Q P((zz00)).
13
3)无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 0z内解析
成洛朗级数求 c 1
(3) 如果 z 0 为 f (z)的极点, 则有如下计算规则 a) 如果 z 0 为 f (z)的一级极点, 那末
R f ( z e )z 0 ] , s l z z [ 0 i ( z m z 0 ) f ( z z 0 )
12
b) 如果 z 0 为 f (z)的 m级极点, 那末 Rfe (z)z s 0 ,] [(m 1 1 )l z !z i0d d m z m m 1 1 [z( z 0 )m f(z)]
17
2）无穷积分
I R(x)dx.其中 R(x)是x的有理,分 函母 数
的次数至少比 数分 高子 两 ,且R的 (次 z)在 次实轴 没有孤.立奇点
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f(z)在z0的留.数 记作 Ref(sz)[z,0]. (即f(z)在z0为中心的圆环 域内的洛朗级数中负 幂c项 1(zz0)1的系 .) 数
10
1)留数定理 设函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1,z2, ,zn外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末
f (z) 的 m 级零点.
ii)零点与极点的关系
西安交大版复变函数第一章课件
1.1 复数的代数形式的定义: 满足：i2=-1
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
10
1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
15
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
10
1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
15
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
复变函数(西交大版)课件第一章
n 0, 1, 2,
2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2
当z落于一,四象限时，不变。
P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2
当z落于一,四象限时，不变。
P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
复变函数(西交大)第七讲
z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
§4.4 罗朗(Laurent)级数
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
§4.4 罗朗(Laurent)级数