费马定理

定理及其证明

(c _ 6, c + 6)

费马定理：设f(X)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(X)乞f (c) (其中f(c)为局部最大值)或者f(x) 一f(c)(其中f(c)为局部最小值)，当f(x)在c处可

导时，则有f'(c)=O.

证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-'(x)和右导数fjc)均存在且满足：

f-'(c)=仃。= f'(c)

当X :c 时，

f(x) - f(c)_0，所以f'(c)=lim f(x)—f(c)_o

X —C ―― X —c

当x c 时，f(x)

一

f(c)

M，所以f'(c) = lim f(x)—

f(c)

M X —C X —C

所以f'(c) =0

以上是对于f (X)空f (c)这种情况进行的证明，同理也可证明 f ( X)_ f(C)这种情形

罗尔定理：设f (X)在a,b ］上连续，在a,b上可导，若f(a)=f(b)，则必有一点c a,b

使得f'(c) =0.

证明：分两种情况，若f (x)为常值，结论显然成立•若 f (x)不为常值，根据最大、最小值

定理(有界闭区间a,b上的连续函数f (x)具有最大值和最小值)可知，f(x)必在a,b内

某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得， f '(c) = 0.

拉格朗日中值定理：设f (x)在a, b 1上连续，在a, b上可导，则一定有一点-三ia,b使

f(.

b —a

证明：分两种情况，若f (x)恒为常数，则f'(x) =0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立•若f(x)在a,b不恒为常数时，由于f(x)在a,b 1上连续，由闭区间连续函数的性质，f (X)必在a, b 1上达到其最大值M和最小值m，有一种特殊情况f (a) = f (b)时，定理成

立，这就是上面所证明过的罗尔定理•考虑一般情形，f (a) = f (b).做辅助函数

「(x)二f(x) -

f (

b)

—f (a )x •由连续函数的性质及导数运算法则，可得

(x)在a,b 1上连

b —a

续，在 a,b 上可导，且「(b) 一

bf (a

八

af (b)

— a , 这就是说半(x)满足刚刚的特殊情况，

b —a

因此在 a,b 内至少有一点'，使得「'「)= f '『;「

f (b)

-f(a)

=o 即

b — a

『•二辿上坐•定理得证.

b -a

柯西中值定理：若f (x)和g(x)在la, b 1上连续，在a,b 上可导，且g '(x) = 0，则一定存在

a,b 使仙")」,’• g(b)-g(a) g (C)

证明：首先能肯定g(a)= g(b)，因为如果g(a) =g(b)，那么由拉格朗日中值定理， g ' (x)

在a,b 内存在零点，因此与假设矛盾. 还是做辅助函数 F (x) = f (x) -丄^―f(a)

gx-ga .由Fa=Fb ，再由拉格朗日 g(b )-g (a )

中值定理，可以证明定理成立.

泰勒中值定理：若f(x)在x = 0点的某个邻域内有直到

n 1阶连续导数，那么在此邻域内

有 f x f 0 f ' 0 x X 2

…」0

x n

R n x •其中

2!

n!

证明：做辅助函数「t 二 f X • f t - f't x-t - f t x-t 2 -…- f n t x-t n •由 2! n!

假设容易看出t 在0,x 1或 x,0 上连续，且 0 = R n x ，: x =0 ,

't=-ft-〔ftx-t-ft :」

：x-t -ft x-t -…-ft x-t 〕

〔x-t -...-

_ 2! 2!

［心叫x —t —H —t rl

n!

(n -1 !

化简后有「’t A - (叫) n

------- (x -t f .在引进一个辅助函数

n! R n X 二

n 1 !

是介于0与x 之间的某个值.

对函数t 和t t 利用柯西中值定理得到

X

- 0 = _ ,-是介于o 与x 之间的某

屮（x a 屮（0）屮（匕）

个值，此时有 o = R n x ，:: x =o ,'二x - n ，- o =x n 1 , x =o , n!

；•」］：-n • 1 x - n ，代入上式，即得

尺x = f

、 定理证

明完毕.

这是函数f X 在X =0点的泰勒公式，同理推导可得 f X 在X =x 0点附近的泰勒公式

△x-X o 2

…jx-J R n X .其中

2! n!

f n 1 \X-X 0

--是介于X o 与X 之间的某个值.

定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本 定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理

X

n 1!

f x ]=f X o f X o X-X o

应用

（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、

证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值）

证明方程根的存在性

把要证明的方程转化为f x =0的形式•对方程f x =0用下述方法：

（1）根的存在定理若函数f x在区间a,b ］上连续，且f a f b ：：：0，则至少存在一点］三ia,b，f =0.

（2）若函数f x的原函数F x在a,b 1上满足罗尔定理的条件，则f x在a,b 内至少有一个零值点•

（3）若函数f x的原函数F x在x0处导数也存在，由费马定理知F' X。=0即

f x°= 0.

（4）若f X在区间a,b ］上连续且严格单调，则f X在a,b 1内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，贝U f x无零值点，若函数

在两端点的函数（或极限）值异号，则 f x有一个零值点•

（5）用泰勒公式证明根的存在性.

（6）反证法.

（7）在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用

上的方法来证明方程根的存在性.

例1若f x在a,b 1上连续，在a,b内可导a 0，证明：在a,b内方程

2x〔f b；；-f a 1= b2-a2f' x 至少存在一个根.

证明：令Fx - fb-fax2-b2-a2fx

显然F X在a,b 1上连续，在a,b内可导，而且

F a = f ba2- b2f a A F b