16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念
)
A．a为任意实数 B．1≤a≤5
16 ． 1
二次根式
第2课时
二次根式的性质
二 、 填 空 (题 每小题 3 分，共 1 2分) 1 1 16 ．计 算 ： ( 1 ) ( )2＝_ _ __；( 2 ) － ( 2 3)2＝__ 1 _ 2_ ；( 3 ) （1－ 2）2＝_ _ 2－1_ _ ． 2 2 17 ．在 实 数 范 围 内 因 式 分 解 ： 2 (1)3 － x 2＝__ ( 3x＋ 2)( 3x－ 2)__； (2)x2－2 3x＋3＝__(x－ 3)2__． 18．已知 a＜0，那么| a2－2a|可化简为__－3a__． 19．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝ xy＋4，则(2@ 6)@ 8＝__6__．
5．(3 分)化简： 20＝__2 5__； 14×112＝__28 2__； 6×8×24＝__24 2__． 6．(3 分)下列计算正确的是( D ) A. （－16）（－9）＝－ 16· －9＝－4×(－3)＝12 B. 25a4b2＝5a2b C. 82＋52＝8＋5＝13 D. 252－242＝ 49＝7 7．(3 分)计算 （－7）2×16×2的结果是( C ) A．7 32 B．－7 32 C．28 2 D．－28 2 8．(3 分)若 a3＋a2＝－a a＋1，那么实数 a 的取值范围是( A．a＜－1 B．a>0 C．0＜a≤1 D．－1≤a≤0 D )
18．已知(a－)≤0，若b＝2－a，则b的取值范围是 2－ 3≤b≤2__ 三、解答题(共36分) 19．(8分)x为何值时，下列各式在实数范围内有意义： .
(1) x－2＋2 2－x； (2)
x＋1 ＋(x－2)0. x－1
解：(1)x－2≥0，2－x≥0， ∴x＝2 x＋1≥0， (2) 且 x－2≠0， ∴x≥－1 且 x≠1，x≠2 x－1≠0
b2－6b＋9 23． (6 分)若实数 a， b 满足 b＜ 2a－1＋ 1－2a＋3， 试化简： 4a －4a＋1－ . b－3
2
1 解：依题意 ， 知 2a－1＝0，∴a＝ ，b＜3. 2 ∴原式＝ （2a－1）2－
【综合应用】 24．(7 分)已知实数 a 满足 （12－a）2＋ a－13＝a，求 a－122 的值
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简－|a＋b|的结果是( A．b B．－b C．2a＋b D．无法确定 的结果是( D．1 )
)
14．计算 A．－1
2－x)2＋ （x－3）2
B．2x－5、
C．5－2x
15．若
（1－a）2－ a2－10a＋25 ＝2a－6，则a的取值范围为(
(1) x－3；
解： (1)x≥3
(2) x－2－ 5－x；
(2)2≤x≤5解：
2 (3) ； 1－ x
(3)x≥0且x≠1 )
(4) x2＋2x＋5.
(4)任意实数
8．(3分)(2014· 张家界)若＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 014等于( A．－1 B．1 C．32 014 D．－32 014
D．( 5)2＝－5
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二次根式
第2课时
二次根式的性质
6．(3 分)已知|a|＝5， b2＝3，且 ab>0，则 a＋b 的值为( C ) A．8 B．－2 C．8 或－8 D．2 或－2 7．(3 分)(1) （π －3.14）2＝__π－3.14__； (2) （1－ 3）2＝__ 3－1__． 8．(3 分)已知 3＜x＜5，则化简 （x－3）2＋ （x－5）2的结果是__2__． 9．(9 分)计算： (1) （ 5－3）2＋ （2－ 5）2；
22．(10 分)求 a＋4－ 9－4a＋ 1－5a＋ －a2的值． 在数学课上王老师将此题写在黑板上后，教室里热闹极了，同学们争执不休，如图是该 班第三学习小组的精彩讨论镜头：
你想一起参加讨论吗？若参加，你怎么评价这四位同学的解答？
解：小娟、小波、小梅都有错，小军的解答是正确的
16 ． 1
二次根式
20．(9分)已知a2＋
＝4a－4，求a＋b的值．
b－2
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二次根式
第1课时
二次根式的概念
21．(9 分)已知 a，b 为一等腰三角形的两边之长，且满足等式 2a－6＋3 3－a＝b－7， 求此等腰三角形的周长．
解： 2a－6＋3 3－a＝b－7，∴2a－6≥0 即 a≥3，3－a≥0 即 a≤3，∴a＝3，b＝7.①三边 为 3，3，7(舍去)不能构成三角形；②三边为 7，7，3，此时三角形的周长为 17
（b－3）2 3－b ＝0－ ＝ b－3 b－3
解 ：由 题 意a得 －13≥0， 即 a≥13.∴ （12－a）2＝|12－a|＝a－12.∴a－12＋ a－13＝a， ∴ a－13＝12，a－13＝122，∴a－122＝13
16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
1．二次根式的乘法：如果 a≥0，b≥0，则 a· b＝__ ab__. 2．积的算术平方根：如果 a≥0，b≥0，则 ab＝__ a· b__．
解：1
( 2 ) （－6）2×(－2 7)2÷ （－4）2
解：42
(3)( 3－1)0－ （－3）2
解：－2
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二次根式
第2课时
二次根式的性质
10 ．(8 分)阅读下面的文字后，回答问题： 小军和小红在解答题目“先化简，再求值：a＋ 1－2a＋a2，其中 a＝9”时给出了不同 的解答．你知道小军和小红的解答谁的是错误的吗？错在哪里？
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9．(3分)若
二次根式
x＋2＋ 1 x－2
第1课时
二次根式的概念
)
与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为(
A．3 B．9 C．12 D．27 10．(8分)已知 x＋y－3＋ 2x－y＋6 ＝0，求x，y的值． 解：∵ x＋y－3≥0， 2x－y＋6≥0，∴x＋y－3＝0，2x－y＋6＝0，∴x＝－1，y＝4 一、选择题(每小题3分，共12分) 1 11．函数y＝ x＋2＋x－2的自变量x的取值范围是( A．x≥－2 B．x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2 12．无论x为何实数，下列各式总有意义的是(
三 、 解 答 (题 共 33 分) 20．(8 分)计算： (1)42－ （－2）2＋(3 5)2－(－7)2；
1 (2) － ( 3)2＋ 3 5 （－ ）2－ （ 3－2）2 3
解：10
解： 3
21．(6 分)先化简，再求值： 1 1 (1－ )÷ 2 ＋(x－2)，其中 x＝ 6. x＋1 x －1 x＋1－1 解：原式＝ ·( ＋ x 1 ) (－ x 1)＋(x－2)＝x(x－1)＋(x－2)＝x2－2. x＋1 当 x＝ 6时，原式＝( 6)2－2＝4
a . b
10．(6 分)比较下列各组中两个数的大小： 1 (1) 200和 2 3； (2)－3 2和－2 5. 5 1 解：－3 2>－2 5 解： 200＜2 3 5
16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
一、选择题(每小题 3 分，共 15 分) 3 11．已知 m＝(－ )×(－2 21)，则有( A ) 3 A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 12．下列各数中，与 3 5的积为有理数的是( C ) A．3－ 5 B．3＋ 5 C. 5 D．－3＋ 5 13．已知 a＜0，化简 －a3b的结果是( A ) ) A．－a －ab B．－a ab C．a ab D．a －ab 14．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 54，下列表示正确的是( B A．6ab B．3ab C．9ab D．10ab 1 15．将式子(a－1) 中根号外的式子移入根号内的正确结果是( C ) 1－a A. 1－a B. a－1 C．－ 1－a D．－ a－1
ห้องสมุดไป่ตู้
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二次根式
第2课时
二次根式的性质
22．(6 分)已知三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长为 c， 1 2 化简： c2－4c＋4－ c －4c＋16. 4
解 ： 依 题 意5知 －3＜c＜5＋3，即 2＜c＜8， 1 1 3 原式＝ （c－2）2－ （ c－4）2＝c－2－(4－ c)＝ c－6 2 2 2
＋b2－6b＋9＝0，则△ABC的周长l的取值
16 ． 1
二次根式
第1课时
m－2
二次根式的概念
二、填空题(每小题3分，共12分) 15．使式子 有意义的最小整数m等于____．
16．当 17．当x＝_ －5 4 __时， 时，式子
2－x （x－1）2
有意义． 有最小值，其最小值为__0__．
4x＋5
1．(3 分)(2014· 上海)计算 2· 3的结果是( B ) A. 5 B. 6 C．2 3 D．3 2 2．(3 分)一个三角形的两条直角边分别为 a＝2 3 cm，b＝3 6 cm，那么这个三角形的 面积为__9 2_cm2__． 3．(3 分)等式 5－a· 5＋a＝ 25－a2成立的条件是__－5≤a≤5__． 4． (3 分)已知一长方形花坛与圆形花坛的面积相等， 长方形的长为 140π m， 宽为 35π m，那么圆形花坛的半径是__ 70_m__．
第2课时
二次根式的性质
1．( a)2＝__a__(a≥0)． 2．(1)当 a≥0 时， a2＝__a__； (2)当 a≤0 时， a2＝__－a__．
1．(3 分)计算： 2 2 12 ＝__5__；(－3 7) ＝__63__； 3 3 2 (± 0.2) ＝__0.2__；－( 2)2＝__－2__． 2．(3 分)在实数范围内分解因式： (1)x3－3x＝__x(x＋ 3)(x－ 3)__； (2)m4－4m2＋4＝__(m＋ 2)2(m－ 2)2__．
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
16.1 二次根式(第一课时)
(5) a
(3) m (m≥0)
2
+1
5
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a +1
2
1 2 1 2a
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
说对二次根式 的认识！ a
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式,但是必须非 负。
3.形式上含有二次根号
4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.下列各式中，是二次根式的有几个?
(1)
32
(2)
(4) (6)
12 xy (x、y异号）
象限.
a
)在
5、当x分别取下列值时，求二次根式
4 2 x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=8
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
S
圆形的下球体在平面图上的面积.
如图所示的值表示正方形的面积， 则正方形的周长是
b. 3
b-3
思考：以上几个式子有哪些共同特点？
s
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
请你凭着自己已有的知识,说
人教版八年级上册
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这 个数就叫做a的平方根。 a的平方根是 a(a≥0) 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
§16.1(1)二次根式的概念和性质
16.1(1)二次根式的概念和性质【教学目标】1、理解二次根式的概念，知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；2.理解a 有意义的条件，理解a a =2，掌握二次根式的性质；3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.【教学重点和难点】 理解a 有意义的条件，掌握a a =2，并能运用其熟练计算.由引出并理解二次根式有意义所必须满足的条件. 通过练习使学生掌握如何求二次根式中字母的取值范围. 回顾数的开方中所学知识，归纳得出二次根式的性质. 最后通过习题进一步巩固和运用二次根式的性质.【教学过程】一、复习引入1、提问：在实数一章中，我们学习了开平方运算，4的的平方根可表示为什么？2、正数a 的平方根可表示为什么？a ±3、0的平方根是什么？4、负数呢？5、2a 和2)(a 中a 的取值范围是什么？二、学习新知（一）二次根式的概念a （a 0≥）中的a 在以前的学习中是一个数，现在将它的取值范围扩大到代数式，于是得到： 代数式a （a 0≥）叫做二次根式，a 是被开方数，读法与原来一样. 举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--acb ac b 、)2(21>-x x 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以象5-，)0(<b b 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.2、例题例1、设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？1）12-x ；2）x -2；3）x 1；4）21x + 解：（1）由012≥-x ，得21≥x ∴当21≥x 时，12-x 有意义 （2）由02≥-x ，得2≤x∴当2≤x 时，x -2有意义（3）由01≥x以及x ≠0，可知x 与1同号，得0>x ∴当0>x 时，x1有意义（4）因为不论x 是什么实数，都有02≥x ，可知012>+x .所以，当x 是任何实数时，21x +都有意义补充练习：当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ 1）1-x ；2）x 2-；3）32+x ；4）21-x 如果题目中的“有意义”改成“无意义”呢？（二）二次根式的性质1、由数的开方引出，二次根式的两个性质：（1）)0(2≥=a a a ；（2）)0()(2≥=a a a2、填表，书P3.填表后，由学生归纳出当a 为任意实数时，2a 与a 的关系.即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 3、性质的应用例2、求下列二次根式的值： (1)2)3(π-； (2)122+-x x ，其中3-=x .解：(1)2)3(π-=|3-π|∵03<-π∴|3-π|=-(3-π)=π-3 ∴2)3(π-=π-3 (2)122+-x x =2)1(-x =|x -1| 当3-=x 时，原式=|-3-1|∵-3-1<0,∴|-3-1|=-(-3-1)=3+1 ∴当3-=x 时，122+-x x =3+1补充练习：求下列二次根式的值： 1) 2)3(-; 2) 2)32(-; 3) 962+-a a ，其中22+=a(三)课内练习书P4/1、2、3在做练习时，先让学生看清是否需要化简其中的第3题有一定难度，老师可以适当引导三、小结1.要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，同时还要特别注意当分母含有字母时分母要不等于0.2.能根据2a 与a 的关系求出被开方数是完全平方数的二次根式的值，在计算时可先将其整理，尤其注意符号.四、作业练习册习题16.1(1)。
16.1二次根式第1课时爱的教育上课用
\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相 反数，求 a、b的值。 解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ， 那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。
华师大版八年级16章第二节二次根式第一课时课件
( )
a
结论: 结论 问题3 问题 限制? 限制
( a)
2
2
= a(a ≥ 0)
等于什么? 的取值有没有什么 等于什么 a的取值有没有什么 a(a≥0)
= -a(a<0)
结论: 结论 a 2 = a
练习 1.计算下列各题 计算下列各题 (1) 2.若 若
( 15 )
2
(2)
2
(1 − x) = 1 − x,则x的取值范围为 则 的取值范围为
49
16.1 二次根式 定义： 叫做二次根式. 定义：式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式.
不要忽略
为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ 例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
a + 10
|a|
a
2
a2 − 1
a2 + 1
( a − 1) 2
16.1 二次根式
x是怎样的数时 是怎样的数时， 例2 x是怎样的数时，式子
1 − 5
2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数 一切有理数
小结: 小结 1.什么是二次根式 什么是二次根式? 什么是二次根式 2.二次根式有哪些性质 二次根式有哪些性质? 二次根式有哪些性质
作业: 习题18.2第一题 作业 习题 第一题
x−3 有意义？ 有意义？
当字母取何值时，下列各式为二次根式： 例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式： （1 ） a + b
2 2
(2) − 3 x (3)
1 2x
−3 (4) 2− x
下列各式是二次根式， 例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的 条件： 条件： 1 4 （1） 2a + 3 ；（2） ； （ 3 ） | x | + 0. 1 ； （ 4 ） − b 2 3a − 1
人教版《16.1二次根式》课件第一课时
已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.