2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)及答案
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的求解问题，是基础题．2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．3．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键，比较基础．5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，4【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系应用问题，也考查了解不等式的问题，是基础题．7．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥2【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．10．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）【分析】不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．即可判断出结论．【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．∵{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜3}，∴不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件是C．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为2【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，不是定值，D不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定三相等条件的检验．12．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．【分析】由题意可得f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）f（1）＜0，且f（1）f（2）＜0，即：解得，故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，得到f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，是解题的关键．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是k＞2．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞2【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤m≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【点评】本题考查了命题的真假，不等式恒成立问题，考查了分类讨论与转化思想，是一道中档题．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为﹣2；﹣3．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．【点评】此题考查了交集、并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，属于基础题．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用对勾函数求最值是解决本题的关键．。
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有下列陈述句：①247+=；②两个全等三角形的面积相等；③1x >．上述语句是命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--3．函数22y x x =--的零点是（ ） A ．()1,0-B ．()2,0C ．()1,0-或()2,0D ．1-和24．已知集合{}2,1A =-，{}2,1m B m =--，且A B =，则实数m 等于（ ） A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1-和25．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N ⋂=（ ）A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<- C ．{}22x x -<< D ．{}23x x <<6．函数()f x =的定义域是（ ）A ．4x ≤且1x ≠B ．[)4,+∞C ．()(),11,4-∞⋃ D ．()(],11,4-∞⋃7．函数2()23f x x x =-+-，()0,3x ∈的值域为（ ） A ．()6,2--B ．()6,3--C ．(]6,2--D ．[]6,2--8．函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-B ．[]1,1C ．[]0,4D ．[]1,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知下列命题中，真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，210x +>； B ．x ∀∈N ，21x ≥；C ．x ∃∈Z ，31x <；D ．x ∃∈Q ，23x =；10．下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -=Ca =Dπ=- 11．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23a -<<，12b <<，则42a b -<-<C ．若0b a <<，0m <，则m m a b >D ．若a b >，c d >，则ac bd >．12．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12m n +的最小值为B．的最大值为12C的最小值为2D ．22m n +的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题P ：“x R ∀∈，2230x x +->”，请写出命题P 的否定： ．14．设x R∈，则“2x x=”是“1x =”的条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空）．15．已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则/()4=f f ⎡⎤⎣⎦ ． 16．方程243x x m-+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算、化简下列各式的值：（1）162016(2020)449⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯．18．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x ．（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x ．（3）已知函数()f x 满足12()f x f xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x ．19．已知函数()f x mx x x=-，且(2)0f =．（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶性；（2）作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调减区间； （3）求[)2,3x ∈-时函数的值域．20．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？22．已知2()4xf x x =+，(2,2)x ∈-．（1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性； （2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷参考答案一、1-5 CADCC 6-8 DCD二、9．AC 10．AD 11．BC 12．ABD三、13．x R ∃∈，2230x x +-≤ 14．必要不充分 15．-4 16．()3,1-四、解答题17．【答案】解：（1）6(2020)+--1216449-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭10817399ππ=+-+-=+．（2）原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5=1=．18．答案：（1）令1t x =+则1x t =-．2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+．（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠．()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+．249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩()23f x x ∴=+或()29f x x =--．（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭112()ff x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭． 21()33f x x x ∴=-．19．答案解：（1）由函数()f x mx x x=-，且(2)0f =，可得240m -=，2m ∴=．∴函数()2f x x x x =-，()f x 的定义域为R ，且()2()()f x x x x -=⋅---⋅-2()x x x f x =-+=-，()f x ∴为奇函数．（2）222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-=⎨+<⎪⎩． 它的图象如图所示：结合图象可得()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞． （3）当[)2,3x ∈-时，结合函数的图象可得，(1)1f -=-，(1)1f =， (3)3f =-，可知[)2,3x ∈-时，函数的值域为(]3,1-．20．【答案】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件， 所以集合B 是集合A 的真子集， 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+， 所以{}11A x a x a =-+<<+，解不等式102x x -≤-，得12x ≤<，所以{}12B x x =≤<．因为集合B 是集合A 的真子集，所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩12a ∴≤<．21．【答案】解：容积为4800，深为3∴底面积为480016003=， 设水池底面一边的长为x 米，则另一边的长为1600x 米，又设总造价为y 元． 16001501600120233y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1600240000720x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0x >240000720297600y ∴≥+⨯=当且仅当1600x x =，即40x =时，y 有最小值297600元．答：当水池的底面为边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元． 22．答案（1）()f x 在(2,2)-上为增函数． 证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++．因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数．（2）解：；由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13, 223,aaa-<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩即12a-<<，所以a的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．。
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上10月月考数学试卷
南京师范大学附属实验学校2020-2021学年度第一学期高一年级10月份考试数学试卷分值：150分 时间：90分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.已知集合A={}7531，，，，B={}5432，，，，则B A = A ．{}3 B ．{}5 C ．{}53，D ．{}754321，，，，， 2.若1∈{}2x x ，，则x =A ．1B ．﹣1C ．0或1D ．0或1或﹣13.已知集合A={}2|x x x =，B={}21，，m ，B A ⊆若，则实数m 的值为 A ．2B ．0 C ．0或2D ．14.不等式021>--x x 的解集为 A ．{}12|->-<x x x 或 B ．{}21|><x x x 或 C ．{}21|<<x x D ．{}12|-<<-x x5.已知m ，n ∈R ，则“m ≠0”时“mn ≠0”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.如图，在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m 2.设道路宽为xm ，根据题意可列出的不等式为A ．()()3001722≤--x xB ．()()3001722≥--x xC ．()()3001722>--x xD ．()()3001722<--x x7.函数432--=x x y 的零点是A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（﹣1，0）或（4，0）D ．﹣1或48.若关于x 的一元二次不等式012≥++mx x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是A ．22≥-≤m m 或B ．-2≤m ≤2C ．22>-<m m 或D ．-2<m <2二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.如果集合A={}1|->x x ，那么A ．0∈AB ．{}A ∈0C ．A ∈∅D ．{}A ⊆010.已知下列命题中，真命题的是A ．012>+∈∀x R x ，B ．12≥∈∀x N x ，C ．13<∈∃x Z x ，D ．32=∈∃x Q x ，11.下列命题为真命题的是A ．若22bc ac b a >>，则B ．若32<<-a ，21<<b ，则24<-<-b aC ．若bm a m m a b ><<<，则，00D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd12.设正数m ，n 满足m +n =2，则下列说法正确的是A ．222321++的最小值为n m B ．212的最大值为mn C ．2的最小值为n m +D ．222的最小值为n m +三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知命题p ：“0322>-+∈∀x x R x ，”，请写出命题p 的否定：.14.已知命题p ：1<m ≤2是假命题，则m 的取值范围是.15.已知二次函数122++=ax ax y 只有一个零点，则实数a =.16.已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果A k A k ∉+∉-11且，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合{}87654321，，，，，，，=S ，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个四、解答题（本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分14分）设全集U=R ，集合A={}41|<≤x x ，B={}a x a x -<≤32|.（1）若a =—2，求A B ，()A C B U .（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分14分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221|x x (1)求a 的值；(2)求不等式01522>-+-a x ax 的解集.19.（本小题满分14分）(1)求函数()3331>+-=x x y 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且111=+yx ，求x +y 的最小值.20.（本小题满分14分）已知a >0，试比较a 与a1的大小.21.（本小题满分14分）某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为10180181+-=x y ，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为52x y =（注：利润与投资金额单位：万元）.(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种金融产品，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题及答案
南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集{}1,0,1,2U =-，{}1,1A =-，则集合UA =（ ）． A. {}0,2B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,22. “1x =”是“2540x x -+=”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 命题“2,10R x x x ∃∈-->”的否定是（ ）．A. 2,10R x x x ∃∈--<B. 2,10R x x x ∃∈--≤C. 2,10R x x x ∀∈--≤D. 2,10R x x x ∀∈-->4. 已知223x x -+=，则1x x -+的值为（ ）．A.B. 1C.D. 1±5. 函数()22,031,0x x x f x x x⎧-≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）．A. []3,1-B. (),0-∞C. (),1-∞D. (],1-∞6. 下列四组函数中，()f x 与()g x （或()g t ）表示同一个函数的是（ ）A. ()f x =()g x x = B. ()f x()2g t =C. ()221x x f x x +-=- ()2g x x =+ D. ()f x x=()g t =7. 已知实数0,0a b >>，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）．A.3+B.1 C.4D.328. 函数()321x f x x =-的图像大致为（ ）．ABCD.二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 设集合{}220A x x x =-=，则下列表述不正确的是（ ）．A.{}0A ∈B. 2A ∉C. {}2A ∈D. 0A ∈10. 下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ）A. 22xt yt >B. xt yt >C. x y >D. 110x y<<11. 下列命题中是真命题的有（ ）．A.若函数()f x 在(],0-∞和()0,+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B. 狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调；C. 若函数()f x 是奇函数，则一定有()00f =；D. 若函数()f x 是偶函数，则可能有()00f =；12. 已知1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么下列结论正确的有（ ）．A. a b +有最大值2 B. a b +有最小值2 C. ab1D. ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()0,01,032,0x f x x x x >⎧⎪=-=⎨⎪-<⎩，则()()()6f f f = ．14. 已知函数()537cf x ax bx x=+++，()35f -=，则()3f = ． 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.① 10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元；② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16. ()f x 为定义在R 上的偶函数，()()22g x f x x =-在区间[)0,+∞上是增函数，则不等式()()1246f x f x x +-+>--的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分10分）已知,a b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+．18. （本小题满分12分）计算：⑴ 12ln 249e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭⑵ ()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅．19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 的值域为[)4,-+∞，且不等式()0f x <的解集为()1,3-． ⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若对于任意的[]2,2x ∈-，都有()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分12分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点,,,A B E F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为S 平方米． ⑴ 将S 表示为x 的函数； ⑵ 求S 的最大值．21. （本小题满分12分）已知集合{|A y y =，集合{}22|0B x x x a a =-+-<． ⑴ 若A B A =，求a 的取值范围；⑵ 在A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22. （本小题满分12分）设()af x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） ⑴ 若()f x 的最小值为4，求a 的值；⑵ 用定义证明：()f x在)+∞上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当1x >时，都有()1m f x m x+>-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ． 2. 【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x -+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x -+=”的充分不必要条件． 3. 【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；【解析】由()212225x x x x --+=++=，知1x x -+=C ．5. 【答案】D ；【解析】当0x <时，()1f x x=单调递减，范围为(),0-∞，当03x ≤≤时，()22f x x x =-在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，范围是[]3,1-，所以函数值域为(],1-∞，故选D ．6. 【答案】D ；【解析】A 选项，()f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7. 【答案】B ；【解析】()()()2111221221232111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++-=+++-=++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当1a =b =B ． 8. 【答案】A ；【解析】()f x 定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选ABC ． 10.【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠，则x y >，反之不成立，A 正确；B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，()1f x x=在()0,+∞单调递减，若110x y <<，则x y >，反之不成立，D 正确；故选ACD ．11.【答案】BD ；【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误；B 选项，在任意区间I 上总可以取12,x x Q ∈，使()()12f x f x =，则()f x 在I 上不单调，B 正确；C 选项，()1f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，()2f x x =符合要求，D 正确； 故选BD ．12.【答案】BD ； 【解析】法一：令,a b s ab t +==，由题意可得2,1s t >>，1t s -=，由基本不等式s ≥则1t -≥1t >可得2214t t t -+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥2s >可得2440s s --≥，则2s ≥+，1a b =取等； 故选BD ； 法二：由()1ab a b -+=可得()()112a b --=，令10,10m a n b =->=->，则222a b m n +=++≥+=+m n ==()()11133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+m n = 故选BD ．【答案】5-；【解析】()()()()()()6015f f f f f f ==-=-． 14. 【答案】9；【解析】()()337714f f +-=+=，所以()31459f =-=．15.【答案】130；15．【解析】①608010130+-=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高， 此时有()0.81200.7120x ⨯-≥⨯， 解得15x ≤．16.【答案】3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增，由()()1246f x f x x +-+>--，可知()()()()22121222f x x f x x +-+>+-+，即()()12g x g x +>+，可知12x x +>+，解得32x <-.17.【答案】详见解析．【解析】法一：由基本不等式可得，()222a b b a a b b a +++≥+， 当且仅当22a b bb a a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a b =时取等，则原式得证．法二：()223322a b a b a b a b ba b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，由0,0a b >>，可得0a b +>，330,0b a a b>>，0ab >，则()()22222222a b a b a b a b ab a b ba ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭，由0a b +>可得22a b a b b a+≥+．法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab---+--+-+=+==， 由0,0a b >>可得()220a b a b b a +-+≥即22a b a b b a+≥+．18. 【答案】⑴32；⑵ 3． 【解析】⑴12ln 243322922e -⎛⎫++=+-= ⎪⎝⎭； ⑵ ()()2223lg2lg5lg20log 3log 4lg2lg523+⋅+⋅=++=．19.【答案】⑴ ()223f x x x =--；⑵ 7m <-． 【解析】⑴ 设()2f x ax bx c =++，由题意可知：()()()10393014f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即()223f x x x =--； ⑵ 243m x x <--对[]2,2x ∈-恒成立， 令()243g x x x =--，当[]2,2x ∈-，可知()[]7,9g x ∈-， 故7m <-．20.【答案】⑴ ()200102520S x x x=--≤≤；⑵ S的最大值为102- 【解析】⑴ 因为AB x =，所以100AD x =，2EF x =-，1001FG x=-； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为100020,020x x <≤<≤，解得520x ≤≤，所以()200102520S x x x=--≤≤；⑵ 102102S ≤-=-x =所以S 的最大值为102-21.【答案】⑴ 01a ≤≤；⑵ [)(]1,01,2-；【解析】⑴ 因为AB A =所以B A ⊆， 因为244x x -≤， 所以[]0,2A =；集合B 的不等式可化为()()10x a x a +--<， ①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅，即12a ≠时，此时02,012a a ≤≤≤-≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；⑵ 集合A 中有三个整数0,1,2，()(){}|10B x x a x a =-+-<； 由AB 中有且仅有两个整数，可得B 中有0,1,2中的两个整数；1a a <-即12a <时，(),1B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则10,112a a -≤<<-≤，解得10a -≤<； 若仅有1,2，则01a ≤<，213a <-≤，无解； 1a a =-即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >-即12a >时，()1,B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则110,12a a -≤-<<≤，解得12a <≤， 若仅有1,2，则011a ≤-<，23a <≤，无解； 综上，实数a 的取值范围是[)(]1,01,2-．22.【答案】⑴4；⑵证明见解析；⑶2m<+．【解析】⑴由基本不等式()f x≥当且仅当x=4 =解得4a=；⑵任取)12,x x∈+∞，设12x x<，()()()()()12 121221121212x x aaf x f x x x x x x xx x x x--=-+-=-，12x x≤<；所以1212,0x x a x x a>->，又因为12x x-<所以()()12f x f x-<所以()()12f x f x<所以()f x在)+∞上是增函数得证；⑶原不等式可化为241x mx m+>--即256111xm xx x+<=++--恒成立因为66112211x xx x++=-++≥--，当且仅当1x-=1 x=所以2m<．。
精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2021-2021学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)
南京师范大学附属实验学校2020-2021学年度第一学期高一年级10月份考试数学试卷分值：150分时间：90分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1. 已知集合A=，B=，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合A=，B=，所以=，故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的定义，属于基础题.2. 若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 已知集合，，若，则实数的值为（）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B【解析】【分析】求得集合，根据，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4. 不等式的解集为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】【分析】由，求解即可.【详解】由题意，，解得或.所以不等式的解集为或.故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 已知，则“”是“”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别讨论充分性与必要性，即可得出答案.【详解】当，时，，故充分性不成立；若，则，其逆否命题为：若，则，所以必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件，考查学生的推理能力，属于基础题.6. 如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x) 300，故选：B．【点睛】本题主要考查根据实际问题列出不等关系，考查了转化思想与建模能力，属于基础题.7. 函数的零点是（）A. （，0）B. （4，0）C. （，0）或（4，0）D. 或4【答案】D【解析】【分析】求出的根即可得答案.【详解】函数的零点就是方程的根，由可得，解得或，故选：D.【点睛】本题主要考查函数零点的定义与求解方法，属于基础题.8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集为，有二次函数图象分析可得出无解或有一个解，用判别式即可求解.【详解】由不等式的解集为，所以无解或有一个解，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数问题，属于常规题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9. 如果集合，那么（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据集合，对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】因为，所以，，，故选项AD正确，，即BC错误.故选：AD.【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合间的关系，属于基础题.10. 已知下列命题中，真命题的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案【详解】对于A，因为，所以，故A是真命题；对于B，取，则，不满足，故B是假命题；对于C，取，满足，故C是真命题；对于D，令，解得，而，故D是假命题.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题.11. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确；B项, 若,可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.12. 设正实数满足，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为B. 的最大值为C. 的最小值为2D. 的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足，当且仅当时，等号成立，故正确；选项，由且得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；选项，由且得，则，故错误；选项，，故正确.故选：.【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知命题：“”，请写出命题的否定：_____________【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论，即可得出答案.【详解】命题为全称命题，其否定为：.故答案为：.【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换．14. 已知命题p：1<m≤2是假命题，则m的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】求出命题p的否定即可得到m的取值范围.【详解】因为命题p：1<m≤2是假命题，所以命题p的否定或是真命题，即m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，解题的关键是求出命题p的否定，属于基础题.15. 已知二次函数只有一个零点，则实数a=__________.【答案】1【解析】【分析】先判断，再利用判别式为零可得答案.【详解】因为是二次函数，所以，又因为二次函数只有一个零点，所以二次方程只有一个解，所以（舍去），或，故答案为：1.【点睛】本题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属于基础题.16. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.【答案】【解析】【分析】由题意可知，不含“孤立元”个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.【详解】由题意可知，由个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：、、、、、，共个.故答案为：.【点睛】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.四、解答题（本大题共5小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.18. 若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；.（2）则不等式，可化为.所以，所以，所以，故不等式的解集..【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.19. （1）求函数的最小值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）5；（2）4【解析】【分析】（1）由，且，利用基本不等式，可求出最小值；（2）由，，利用“1”的代换及基本不等式，求出最小值即可.【详解】（1）∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立.∴函数的最小值为5.（2）∵，且，∴，当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为4.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20. 已知a>0，试比较a与的大小.【答案】见解析【解析】试题分析：对分类讨论和利用作差法即可比较其大小解析：因为a－＝＝，因为a>0，所以当a>1时， >0，有a>；当a＝1时，＝0，有a＝；当0<a<1时， <0，有a<.综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<.21. 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为．（利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围．（2）怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元【解析】【分析】（1）将两个产品利润相加，求得利润总和的表达式.（2）对函数表达式化简后，根据基本不等式，求得的最大值，再根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.【详解】（1）已知x万元资金投入A产品，则剩余的万元资金投入B产品，设利润总和为y，则．（2）因为,所以由均值不等式得，当且仅当即时获得最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式在实际生活中的应用，属于基础题.登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。
2020-2021学年江苏省南京一中高一(上)10月段考数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京一中高一（上）10月段考数学试卷一.单选题（每题只有一个选项是正确的，本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，3}，T＝{4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4}B．{4}C．∅D．{1，3，4} 2．（5分）命题“∀x＞1，＞1”的否定是（）A．∃x 0＞1，≤1B．∀x0＞1，≤1C．∃x 0≤1，≤1D．∀x0≤1，≤13．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．44．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b，则D．若ac2＞bc2，则a＞b5．（5分）已知集合P＝，集合Q＝，则P与Q的关系是（）A．P＝Q B．P⊆Q C．P⊇Q D．P∩Q＝∅6．（5分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则|x1﹣x2|的值为（）A．B．C．3D．7．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10B．﹣14C．10D．148．（5分）若关于x的不等式x2+mx+2m﹣3≤0有解，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）C．（2，6）D．（﹣∞，2）∪（6，+∞）9．（5分）若正数x，y满足x+3y＝xy，则3x+4y的最小值为（）A．24B．25C．28D．3010．（5分）已知x，y为正实数，则的最小值为（）A．B．C．D．3二、多项选择婀，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅12．（5分）若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆（M∩N）D．（M∪N）⊆N 13．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件14．（5分）已知a＞0、b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．++2≥4B．（a+b）（+）≥4C．≥a+b D．≥三、填空题（每题5分,共20分）15．（5分）当取得最小值时，x＝．16．（5分）函数f（x）＝（x＞1）的最小值是．17．（5分）已知A＝{x∈R|x＜﹣2，或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a﹣1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为．18．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2+ax+b＜c 的解集为（m，m+6），则实数c的值为．四．解答题（本大题共5小题，满分60分）19．（12分）已知集合A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x≥2}，C＝{x|﹣2＜x≤2}．（1）求A∪C，C∩B，∁R（A∪B）；（2）当C＝{x∈N|﹣2＜x≤2}时，写出C的所有非空真子集．20．（12分）化简下列各式（1）（）6﹣4（）﹣•80.25﹣（﹣2.015）0；（2）（a＞0，b＞0）．21．（12分）给定两个命题，p：对于任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根．（1）若p为真，求实数a的取值范围；（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．22．（12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？23．（12分）设x，y∈R，求证：|x+y|＝|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．2020-2021学年江苏省南京一中高一（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一.单选题（每题只有一个选项是正确的，本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，3}，T＝{4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4}B．{4}C．∅D．{1，3，4}【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{l，3}，T＝{4}，∴（∁U S）∪T＝{2，4}∪{4}＝{2，4}．故选：A．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）命题“∀x＞1，＞1”的否定是（）A．∃x 0＞1，≤1B．∀x0＞1，≤1C．∃x 0≤1，≤1D．∀x0≤1，≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x 0＞1，≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．4．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b，则D．若ac2＞bc2，则a＞b【分析】对于A，c＞0时，结论成立，c＜0时，结论不成立；对于B，c＞d＞0时，结论成立，0＞c＞d时，结论不成立；对于C，a＝1，b＝﹣1，结论不成立；对于D，根据c2＞0，若ac2＞bc2则a＞b，故可得结论．【解答】解：对于A，c＞0时，结论成立，c＜0时，结论不成立，故A为假命题；对于B，c＞d＞0时，结论成立，0＞c＞d时，结论不成立，故B为假命题；对于C，a＝1，b＝﹣1，结论不成立，故C为假命题；对于D，∵c2＞0，若ac2＞bc2则a＞b，故D为真命题；故选：D．【点评】本题以不等式为载体，考查命题的真假判断，熟练掌握不等式的性质是关键．5．（5分）已知集合P＝，集合Q＝，则P与Q的关系是（）A．P＝Q B．P⊆Q C．P⊇Q D．P∩Q＝∅【分析】根据题意，分析可得P＝{x|x≥﹣1}，Q＝{x|x≥0}，结合集合子集的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合P＝表示函数y＝的定义域，即P＝{x|x ≥﹣1}集合Q＝表示函数y＝的定义域，即Q＝{x|x≥0}分析可得Q是P的子集，即P⊇Q；故选：C．【点评】本题考查集合的表示方法．关键是注意到集合P、Q的不同意义．6．（5分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则|x1﹣x2|的值为（）A．B．C．3D．【分析】利用根与系数关系进行求解．【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×2×3＝12＞0，所以方程有两个不等实根．则，易知：，所以，所以．故选：B．【点评】本题考查根与系数关系的灵活运用，属于基础题．7．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10B．﹣14C．10D．14【分析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，）∴﹣，为方程ax2+bx+2＝0的两个根∴根据韦达定理：﹣+＝﹣①﹣×＝②由①②解得：∴a+b＝﹣14故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．8．（5分）若关于x的不等式x2+mx+2m﹣3≤0有解，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）C．（2，6）D．（﹣∞，2）∪（6，+∞）【分析】不等式x2+mx+2m﹣3≤0有解，等价于方程x2+mx+2m﹣3＝0有实根，再利用△≥0 即可求出m的取值范围．【解答】解∵关于x的不等式x2+mx+2m﹣3≤0有解，∴方程x2+mx+2m﹣3＝0有实根，∴△≥0，即m2﹣4（2m﹣3）≥0，解得m≤2或m≥6，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，2]∪[6，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，是基础题．9．（5分）若正数x，y满足x+3y＝xy，则3x+4y的最小值为（）A．24B．25C．28D．30【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y＝xy，∴．则3x+4y＝（3x+4y）＝13+≥13+2＝25，当且仅当x＝2y ＝5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．故选：B．【点评】本题“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．10．（5分）已知x，y为正实数，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵x，y为正实数，∴＝+（1+）﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3，当且仅当即x＝3y时“＝”成立，故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题．二、多项选择婀，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅【分析】在A项中，a＝0，且3b+3＝0，解得b＝﹣1，此时不等式为﹣x+3＞0，解得x ＜3，即可判断A项错误；在B项中，取a＝1，b＝2，即可判断B项正确；在C项中，依题意可得a＜0，且，即可判断C项正确．在D选中，取特殊值，令x＝0，即可判断D选错误；【解答】解：在A项中，依题意可得a＝0，且3b+3＝0，解得b＝﹣1，此时不等式为﹣x+3＞0，解得x＜3，故A项错误；在B项中，取a＝1，b＝2，可得x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，解集为R，故B项正确；在C项中，依题意可得a＜0，且，解得，符合题意，故C项正确．在D选中，当x＝0时，ax2+bx+3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D选错误；故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆（M∩N）D．（M∪N）⊆N 【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解．【解答】解：∵集合M⊆N，∴在A中，M∩N＝M，故A正确；在B中，M∪N＝N，故B正确；在C中，M⊆M∩N，故C正确；在D中，M∪N⊆N，故D正确．故选：ABCD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【分析】由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】解：逐一考查所给的选项：取a＝2，b＝3，c＝0，满足ac＝bc，但是不满足a＝b，选项A错误，取a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．14．（5分）已知a＞0、b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．++2≥4B．（a+b）（+）≥4C．≥a+b D．≥【分析】对各式转化变形，然后直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵++2≥2+2＝2（+）≥2×2＝4（当且仅当a＝b＝1时取“＝“），∴A正确；∵（a+b）（+）≥2×2＝4（当且仅当a＝b时取“＝“），∴B正确；∵（a+b）≤•（a+b）＝≤＝a2+b2（当且仅当a ＝b时取“＝“），∴≥a+b（当且仅当a＝b时取“＝“），∴C正确；∵a+b≥2，∴≤＝，∴D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．三、填空题（每题5分,共20分）15．（5分）当取得最小值时，x＝4．【分析】结合已知配凑为积为定值后，直接利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，当且仅当，即x＝4时，等号成立．故答案为：4【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．16．（5分）函数f（x）＝（x＞1）的最小值是2．【分析】由f（x）＝＝＝2（x﹣1）+，利用基本不等式即可求出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴f（x）＝＝＝2（x﹣1）+＝2，当且仅当2（x﹣1）＝时取等号，即x＝1+时，函数f（x）＝的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．17．（5分）已知A＝{x∈R|x＜﹣2，或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a﹣1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【分析】由A∩B＝B，得B⊆A，当B＝∅时，a＞2a﹣1，当B≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵A＝{x∈R|x＜﹣2，或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a﹣1}，A∩B＝B，∴B⊆A，当B＝∅时，a＞2a﹣1，解得a＜1，当B≠∅时，或，解得a＞3，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2+ax+b＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）＝c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即△＝a2﹣4b＝0，则4b＝a2不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+b＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+b﹣c＝0的两个根x1，x2分别为m，m+6∴两根之差为|x1﹣x2|＝|m+6﹣m|＝6根据韦达定理可知：x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，∵|x1﹣x2|＝6，∴＝6，∴＝6，∴＝6，解得：c＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．四．解答题（本大题共5小题，满分60分）19．（12分）已知集合A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x≥2}，C＝{x|﹣2＜x≤2}．（1）求A∪C，C∩B，∁R（A∪B）；（2）当C＝{x∈N|﹣2＜x≤2}时，写出C的所有非空真子集．【分析】（1）根据并集、交集和补集的定义，计算即可；（2）根据非空真子集的定义，写出即可．【解答】解：集合A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x≥2），C＝{x|﹣2＜x≤2}；（1）所以A∪C＝{x|x≤2}；C∩B＝{2}；又A∪B＝{x|x＜﹣1或x≥2}，所以∁R（A∪B）＝{x|﹣1≤x＜2}；（2）C＝{x∈N|﹣2＜x≤2}＝{0，1，2}时，C的所有非空真子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．20．（12分）化简下列各式（1）（）6﹣4（）﹣•80.25﹣（﹣2.015）0；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式＝﹣4×﹣×﹣1＝4×27﹣7﹣（2×8）﹣1＝108﹣7﹣2﹣1＝98；（2）原式＝＝＝＝．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．21．（12分）给定两个命题，p：对于任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根．（1）若p为真，求实数a的取值范围；（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）由恒成立问题，可得a＝0或，解得a得取值范围；（2）若命题q为真，则△≥0，解得a≤，p和q中至少有一个为真命题，分三种情况①如果p真q假，②如果p假q真，③如果p真q真，解得a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，分两种情况①如果p真q假，②如果p假q 真，解得a的取值范围．【解答】解：（1）因为p：对于任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；所以a＝0或，所以0＜a≤．（2）因为q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根．所以△＝1﹣4a≥0，解得a≤，p和q中至少有一个为真命题，①如果p真q假，则由0≤a＜4且a＞，得＜a＜4．②如果p假q真，则由a＜0或a≥4，且a≤，得a＜0，③如果p真q真，则由0≤a＜4且a≤，得0≤a≤．所以实数a的取值范围为（﹣∞，4）．（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，①如果p真q假，则由0≤a＜4且a＞，得＜a＜4．②如果p假q真，则由a＜0或a≥4且a≤，得a＜0，综上，a的取值范围为（﹣∞，0）或（，4）．【点评】本题考查简易逻辑和不等式恒成立问题，解题中要注意审题，弄明白题意再做，属于基础题．22．（12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？【分析】（1）从甲地到乙地的运输成本y（元）＝每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；（2）用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由题意，每小时的燃料费用为：0.5x2（0＜x⩽50），从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得，当且仅当，即x＝40 时取等号．故当货轮航行速度为40 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．【点评】本题考查了由函数模型建立目标函数，利用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题．23．（12分）设x，y∈R，求证：|x+y|＝|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．【分析】证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据|x+y|＝|x|+|y|证明出xy≥0，也要在xy≥0下证明出|x+y|＝|x|+|y|．【解答】解：证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0②x≠0，y＝0③x＝0，y ＝0于是|x+y|＝|x|+|y|明显成立．如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|＝x+y＝|x|+|y|，当x＜0，y＜0时，|x+y|＝﹣x﹣y＝（﹣x）+（﹣y）＝|x|+|y|，总之，当xy≥0时，|x+y|＝|x|+|y|．必要性：由|x+y|＝|x|+|y|及x，y∈R，得（x+y）2＝（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2＝x2+2|xy|+y2，得|xy|＝xy所以xy≥0故必要性成立，综上，原命题成立．故结论成立．【点评】本题考查了绝对值的定义，充分必要条件的判断，注意分类讨论思想在解决该题中的运用，属于基础题．。
2020-2021学年南京师大附中高三上学期10月月考数学试卷及答案
南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。
详解-2020_2021学年10月南航附中高一上学期月考数学试卷
而
学
京 （ 1 ） 试将 表示成关于 的函数．
（ 2 ） 当 为多少米时， 能取到最大值？求出最大值．
【答案】（ 1 ） （2）
南米；
平方米．
）．
的三个顶点
【解析】（ 1 ）连接 ，交 于点 ，交 于点 ，
∵
为等腰三角形，且
（米），
又∵
，即
为等腰三角形，且
为等边三角形，
∴直线 是直线 和 的中垂线，
2020~2021学年10月江苏南京秦淮区南京航空航天大学附属高级中学高一上学期月 考数学试卷(详解)
一、单项选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知全集
，集合
A.
B.
， C.
，则
为（ ）． D.
【答案】 D
【解析】 ∵全集
∴
故选 ． 2. 已知 为实数，
A. 【答案】 B 【解析】 ∵
【踩分点】
或
，
18. 已知不等式
的解集为 ，集合
充分条件，求实数 的取值范围．
．若“
”是“
【答案】
．
【解析】 ∵
，
，
则
，
∴
．
∵
，
是
的必要不充分条件，
∴
．
若
，则
解得
思 而 学；
若
，则
解得
，
京，
南 ∴实数 的取值范围为
【踩分点】
．
”的必要不
19. 解关于 的不等式：
．
【答案】
时，不等式的解集是 时，不等式的解集是
，此时
故选
A
C
D
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江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={}1357，，，，B ={}2345，，，，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}35，D ．{}123457，，，，， 2．若1∈{x ，x 2}，则x =（ ） A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-3．已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．0C ．0或2D ．14．不等式102x x ->-的解集为（ ） A ．{2x x <-或}1x >- B ．{1x x <或}2x > C ．{}|12x x <<D ．{}|21x x -<<-5．已知,R m n ∈，则“0m ≠”是“0mn ≠”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图，在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m 2.设道路宽为x m ，根据题意可列出的不等式为（ ）A ．()()2217300x x --≤B ．()()2217300x x --≥C ．()()2217300x x -->D ．()()2217300x x --<7．函数234y x x =--的零点是（ ） A ．（1-，0）B ．（4，0）C ．（1-，0）或（4，0）D ．1-或48．关于x 的不等式210x mx ++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围为（ ）A ．22m -<<B ．22m -≤≤C ．2m ≤-或2m ≥D ．2m <-或2m >二、多选题9．如果集合{}|1A x x =>-，那么（ ） A ．0A ∈B ．{}0A ∈C ．A ∅∈D ．{}0A ⊆10．已知下列命题中，真命题的是（ ） A ．2,10x x ∀∈+>R B ．2,1x x ∀∈≥N C ．3,1x x ∃∈<ZD ．2,3x x ∃∈=Q11．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<C ．若0,0b a m <<<，则m m a b> D ．若,a b c d >>，则ac bd >12．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n + B 的最大值为12C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2三、填空题13．已知命题p ：“2230x x x ∀∈+->R ,”，请写出命题p 的否定：_____________ 14．已知命题p ：1<m ≤2是假命题，则m 的取值范围是______________. 15．已知二次函数221y ax ax =++只有一个零点，则实数a =__________.16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.四、解答题17．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 18．若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集. 19．（1）求函数()133y x x x =+>-的最小值； （2）已知0,0x y >>，且111x y+=，求x y +的最小值. 20．已知a >0，试比较a 与的大小.21．某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =．（利润与投资金额单位：万元） （1）该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围． （2）怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
江苏省南京师范大学附属中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2,A m =，{}2,2B m =.若A B =，则实数m =__________. 2．若幂函数()a f x x 的图像过点(2,4)，则实数a =__________．3．函数y =__________．4．若集合{1,2,3}A =，则集合A 的子集个数为__________．5．若函数2()f x x ax =-是偶函数，则a =__________．6．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）. 7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()1f x x =+，则()2f -=__________.8．已知函数2()21f x x x =+-，函数()y g x =为一次函数，若2(())243g f x x x =++，则()g x =__________．9．若函数4,1()5,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则方程()2f x =所有的实数根的和为__________．10．设3log 7a =， 1.12b =， 1.10.8c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是__________．（用“<”连接）11．已知函数2()log 3f x x x =-的零点为0x ，若0(,1)x n n ∈+，n ∈Z ，则n =__________．12．已知函数()1f x x =+在区间[),a +∞是增函数，则实数a 的取值范围是__________.13．已知函数()y f x =是定义在区间[]3,3-上的偶函数，它在区间[]0,3上的图像是如图所示的一条线段，则不等式()()f x f x x +->的解集为__________.14．如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于D ，C 两点．若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD 的面积为__________．二、解答题15．已知全集U R =，集合{3}A x x =<，2{log 1}B x x =≥．（1）求A B ⋂；（2）求()()U U A B ⋃．16．求值：（1）103281272-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）2log 34log 2log 92⨯+ 17．已知函数()(1)(21)x x f x a a a =-+-，其中0a >且1a ≠，又(1)5f =．（1）求实数a 的值．（2）若[1,3]x ∈-，求函数()f x 的值域．18．某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x 吨，所缴水费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3:2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．19．已知函数()()log 1x a f x a =-（0a >，1a ≠） （1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()1f x x x =-，x ∈R ．（1）求不等式()6f x <的解集．（2）记()f x 在[0,]a 上最大值为()2g a <，若()2g a <，求正实数a 的取值范围．参考答案1．0【分析】由集合相等的性质，有m=2m ，由此能求出m 的值．【详解】∵集合A={2，m}，B={2m ，2}．A=B ，∴由集合相等的性质，有m=2m ，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．2【解析】将点坐标代入()a f x x ，∵224=，∴2a =．故填2. 3．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 由题得210x -≥，所以12x ≥．故填1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．8【解析】记n 是集合中元素的个数，集合A 的子集个数为3228n ==个．故填8.5．0【解析】由题得22()()200f x f x x ax x ax ax a -=∴+=-∴=∴=.故填0.6．a b b+ 【分析】由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36． 【详解】 由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a b b++===. 故答案为a b b+ 【点睛】 本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．3-【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得()()()22213f f -=-=-+=-.故答案为3-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键． 8．25x +【解析】由题意，函数()y g x =为一次函数，由待定系数法，设()(0)g x kx b k =≠+，222(())(21)2243g f x k x x b kx kx b k x x =+-+=++-=++，由对应系数相等，得2243k k b k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩所以2k =，5b =．故填25x +.9．72【解析】（1）当1x <时，42x =，所以22221x x =∴= 所以12x =．（2）当1x ≥时，52x -=，3x =．故方程()2f x =所有的实数根的和为17322+=.故填72. 10．c a b <<【解析】∵3331log 3log 7log 92=<<=， 1.11222>=， 1.1000.80.81<<=，∴c a b <<．故填c a b <<.11．2【解析】由零点定理，2(2)2log 2310f =-=-<,22(3)3log 333log 2310f =->-=>，所以(2)(3)0f f <．故填2.12．[)1,-+∞【分析】当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，从而区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】∵函数11111x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨---⎩，（），＜，函数f （x ）=|x+1|在区间[a ，+∞）是增函数，当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，∴区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a 的取值范围是[-1，+∞）．故答案为[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．123,7⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 【分析】由函数f （x ）过点（0，2），（3，0），223y x =-+．作出函数f （x ）在[-3，3]上的图象，当x ∈[-3，0）的时候，y=2f （x ）的图象恒在y=x 的上方，当x ∈[0，3]时，令2f （x ）=x ，得127x =，由此能求出f （x ）+f （-x ）＞x 的解集． 【详解】 由题意，函数()f x 过点()0,2，()3,0，∴223y x =-+，又因为()f x 是偶函数，关于y 轴对称，所以()()f x f x =-，即()2f x x >，又作出函数在[]3,3-上的图像，当[)3,0x ∈-的时候，()2y f x =的图像恒在y x =的上方，当[]0,3x ∈的时候，令()2f x x =，127x =，即当123,7x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的时候，满足()2f x x >，即()()f x f x x +->. 故答案为123,7⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．33log 22【解析】因为点D 和点B 的纵坐标相等，设点D 的横坐标为a ，点B 的横坐标为b ，则有39log log a b =．∵239log log a a =，∴2b a =．又9(,log )A a a ，229(,log )B a a 在一条过原点的直线上， ∴2299log 2log a a a a==，∴22a a =，∴2a =． 9(2,log 2)A ，9(4,log 4)B ，3(4,log 4)C ，3(2,2)D log ，所以399313(42)(log 4log 2)log 8log 222ABCD S =--==． 故填33log 22. 点睛：本题的难点在于找到a 的值，本题是通过9(,log )A a a ，229(,log )B a a 在一条过原点的直线上，根据相似得到的.在找方程时，注意学会根据几何条件找方程.15．（1）{23}x x ≤<；（2）{3x x ≥或}2x <【解析】【分析】(1)先化简集合A,B,再求A B ⋂.(2)先求U A ，U B ，再求()()U U A B ⋃． 【详解】（1）由题意知，{2}B x x =≥，故{23}A B x x ⋂=≤<．（2）{3}U A x x =≥，{2}U B x x =<，故()(){3U U A B x x ⋃=≥或2}x <．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 16．（1）16；（2）5 【解析】试题分析：（1）第一题，主要是利用分数指数幂和整数指数幂的运算性质解答. (2)第二题，主要利用对数的换底公式和对数恒等式解答. 试题解析： （1）原式12313221212113236-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （2）原式1222log 22232log 2log 32125=⨯+=+=． 17．（1）2；（2）7,774⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）第一问，根据()15f =得到关于a 的方程，解方程即可. (2)第二问，一般利用换元法设2x t =，1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到一个关于t 的二次函数，再求二次函数在区间上的最值，即可得到函数的值域.试题解析：（1）由()15f =，得()()1215a a a -+-=，解得12a =，223a =-． 又∵0a >且1a ≠，∴2a =． （2）由（1）知()()()2123x x f x =-+，设2x t =，[]1,3x ∈-，∴1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()22132314f t t t t t t =-+=+-=+-，易知()f t 在1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内单调递增，故()min 1724f t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 877f t f ==． 故()f x 的值域为7,774⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 18．（1）3,30904(30),30x x y x x ≤⎧=⎨+->⎩；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）第一问，主要是分类讨论得到一个关于x 的分段函数. (2)第二问，先要分析出甲、乙两用户的用水量是否超过了30吨，确定后，得到一个方程，即可得到他们搁置的用水量和水费.试题解析：（1）由题意知，()3,3090430,30x x y x x ≤⎧=⎨+->⎩． （2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为240260<，∴甲乙两用户用水量都超过30吨．设甲用水30吨，乙用水2a 吨，则有()()904330904230260a a +-++-=， 解得：16a =，故：甲用水48吨，水费为162元；乙用水32吨，水费为98元． 19．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知() g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1x a f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t -==-++，[]1,3x ∈，故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（1）(,3)-∞；（2）(0,2)【解析】试题分析：（1）第一问，先对x 分类讨论，得到一个分段函数，再解不等式. (2)第二问，分类讨论得到两个解集，再求它们的并集，从而得到正实数a 的取值范围.试题解析：（1）由题意知，()()()1,11,1x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，①当1x ≥时，令()6f x <，解得13x ≤<．②当1x <时，令()6f x <，解得1x <．综上所述(),3x ∈-∞．（2）①当1x ≥时，令()2f x <，解得12x ≤<．②当01x ≤<时，令()2f x <，解得01x ≤<．故[)0,2x ∈时，()2f x <，故正实数a 的取值范围为()0,2．点睛：本题的难点，在于思维的逻辑和灵活性，如果直接研究()f x 在[]0,a 上最大值为()2g a <，就要对a 分类讨论，比较复杂. 本题先令()2f x <，再求它们的并集就简单多了.所以我们在平时的学习中，要多思考，多总结，提高解题的灵活性.。
2020-2021学年江苏省南京市高一(上)10月月考数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为．12．（5分）函数f（x）＝的定义域是．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答】解：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝{2，3}，N＝{3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确C、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；D、M＝{2，3} 集合M的元素是点（2，3），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故D错误；故选：B．【点评】此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选：C．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]【分析】分别求出f（x）＝2x﹣x2，f（x）＝x2+6x在其定义域上的值域，故得到答案．【解答】解：f（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1，开口向下，最大值为f（﹣1）＝1，f（0）＝0，f（3）＝﹣3，故函数f（x）＝2x﹣x2的值域为[﹣3，1]，f（x）＝x2+6x＝（x+3）2﹣9，开口向上，函数f（x）＝x2+6x在[﹣2，0]上单调递增，f （﹣2）＝﹣8，f（0）＝0，故函数f（x）＝x2+6x的值域为[﹣8，0]，故函数f（x）＝的值域为[﹣8，1]．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的值域的求法，属于基础题．5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点评】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．【分析】根据函数的函数值f（）＝﹣，f（0）＝﹣4，结合函数的图象即可求解【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，∴f（）＝﹣，又f（0）＝﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：[，3]，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是偶函数，x∈R，当x＜0时，f（x）为增函数，故x＞0时，f（x）为减函数，∵|x1|＜|x2|，∴f（|x1|）＞f（|x2|），则f（﹣x1）＞f（﹣x2）成立，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]【分析】解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（﹣）＝﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x＝1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y＝的最小值．令t＝1﹣x（t∈（0，1]），则y＝＝＝t+﹣2，而函数y＝t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t＝1，即x＝0时，y min＝1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}【分析】首先确定二者之间是元素与集合，还是集合与集合，再判断所用符号即可．【解答】解：A应该为1∈{1，2，3}；B应该为{1}⊆{1，2，3}；C：{1，2，3}⊆{1，2，3}，正确；D空集∅⊆{1}，正确；故选：AB．【点评】本题考查了集合与元素，集合与集合之间的关系的判断与应用，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]【分析】由偶函数的定义求得x＜0时，f（x）的解析式，由二次函数的最值求法，可判断A；由x＜0时，f（x）的单调区间可判断B；讨论x＜0，x≥0，由二次不等式的解法可判断C、D．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，可得x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣x2，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，即x＝时，f（x）取得最大值，故A 正确；且f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，0）递减，故B错误；当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＞0，解得0＜x＜1；当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜0，所以f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故C错误；当x≥0时，f（x）+2x＝3x﹣x2≥0，解得0≤x≤3；当x＜0时，f（x）+2x＝x﹣x2≥0，解得x∈∅．所以f（x）+2x≥0的解集为[0，3]，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．【分析】根据题中条件：“A∩B＝A”，得到B是A的子集，故集合B可能是∅或B＝{﹣1}，或{1}，由此得出方程ax+1＝0无解或只有一个解x＝1或x＝﹣1．从而得出a的值即可【解答】解：由于A∩B＝A，∴A＝∅或A＝{﹣1}，或{1}，∴a＝0或a＝1或a＝﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题12．（5分）函数f（x）＝的定义域是（﹣∞，1）．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得1﹣x＞0，解得x＜1，∴函数的定义域是（﹣∞，1）故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为（﹣∞，0），（2，4）．【分析】画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，利用图象写出单调区间．【解答】解：画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，由图象得单调减区间为：（﹣∞，0），（2，4）故答案为：（﹣∞，0），（2，4）【点评】本题考查了函数的单调性，画出图象是关键，属于基础题．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝x（x+1）．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，由函数的奇偶性和解析式可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）（1+x），又由函数为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合可得：当x≤0时，f（x）＝x（x+1）；故答案为：x（x+1）【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意f（0）＝0，属于基础题．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}＝{x|x＞或x＜﹣2}，∴∁R B＝{x|﹣2}，A∪（∁R B）＝{x|x或x＞2}，A∩（∁R B）＝∅．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得分段函数解析式，关键是确定返回时函数的解析式；（Ⅱ）利用分段函数解析式，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，0＜t≤3时，s（t）＝﹣5t（t﹣13），当t＝3时，s（3）＝150；3＜t≤8时，s（t）＝150；∵150÷60＝2.5，∴8＜t≤10.5时，s（t）＝150+（t﹣8）×60＝60t﹣330；∴s（t）＝；（Ⅱ）0＜t≤3时，令﹣5t（t﹣13）＝60，则t＝1或12，所以t＝1，即九点小张的车途经该加油站；8＜t≤10.5时，60t﹣330＝150+150﹣60，则t＝9.5，即17：30小张的车途经该加油站．【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数解析式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，确定函数的解析式是关键．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．【分析】（1）设0＜x1＜x2，根据f（x2）＝f（）+f（x1）即可得出f（x）的单调性；（2）根据f（x）的单调性和定义域列不等式组解出m的范围．【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：设x1，x2是（0，+∞）上任意两个数，且x1＜x2，则f（x2）＝f（•x1）＝f（）+f（x1），∴f（x2）﹣f（x1）＝f（），∵0＜x1＜x2，∴＞1，∴f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）∵f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝4，∴f（2）＝2，∴f（m2﹣2m﹣1）＜2⇔f（m2﹣2m﹣1）＜f（2），由（1）知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜m2﹣2m﹣1＜2，解得：﹣1＜m＜1﹣或1+＜m＜3．【点评】本题考查了抽象函数单调性判断及应用，属于中档题．。