北师版八下第一章-三角形的证明复习PPT课件
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最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师版八年级下册数学 第1章 全章热门考点整合应用 习题课件
17 如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交 AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于 点D，AD，PE交于点F.求证：DF＝DC.
全章热门考点整合应用
证明：连接AP.∵PQ是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB. ∴∠B＝∠PAB＝22.5°.∴∠APC＝45°. ∵AD⊥PC，∴△ADP为等腰直角三角形．∴DP＝AD. ∵PE⊥AC，∴∠AFE＋∠DAC＝90°. 又∵∠FPD＋∠PFD＝90°，∠PFD＝∠AFE， ∴∠FPD＝∠CAD. 又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，∴△PDF≌△ADC(ASA)． ∴DF＝DC.
全章热门考点整合应用
证明：连接AM. ∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B. 又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∴∠MAB＝30°.∴∠MAC＝90°. ∵∠C＝30°，∴CM＝2AM. ∴CM＝2BM.
全章热门考点整合应用
10 如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC 的平分线，DE是BC的垂直平分线． 求证：BC＝2AB.
AB＝CB， 在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD. 又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.
全章热门考点整合应用
8 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条 角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°. 求∠BAD的度数．
全章热门考点整合应用
(2)△ABE≌△ACD. 证明：∵点 D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴AD＝BD＝12AB，AE＝CE＝ 12AC. ∵BD＝CE，∴AD＝AE，AB＝AC. 在△ABE 和△ACD 中，A∠BA＝＝A∠C，A， AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)．
全章热门考点整合应用
证明：连接AP.∵PQ是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB. ∴∠B＝∠PAB＝22.5°.∴∠APC＝45°. ∵AD⊥PC，∴△ADP为等腰直角三角形．∴DP＝AD. ∵PE⊥AC，∴∠AFE＋∠DAC＝90°. 又∵∠FPD＋∠PFD＝90°，∠PFD＝∠AFE， ∴∠FPD＝∠CAD. 又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，∴△PDF≌△ADC(ASA)． ∴DF＝DC.
全章热门考点整合应用
证明：连接AM. ∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B. 又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∴∠MAB＝30°.∴∠MAC＝90°. ∵∠C＝30°，∴CM＝2AM. ∴CM＝2BM.
全章热门考点整合应用
10 如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC 的平分线，DE是BC的垂直平分线． 求证：BC＝2AB.
AB＝CB， 在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD. 又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.
全章热门考点整合应用
8 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条 角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°. 求∠BAD的度数．
全章热门考点整合应用
(2)△ABE≌△ACD. 证明：∵点 D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴AD＝BD＝12AB，AE＝CE＝ 12AC. ∵BD＝CE，∴AD＝AE，AB＝AC. 在△ABE 和△ACD 中，A∠BA＝＝A∠C，A， AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)．
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明串讲课件
2.
【例5】用反证法证明
1. 等腰三角形的底角是锐角。 2. 求证：一个三角形中，如果两个角不相等， 那么它们所对的边也不相等。 3. 证明：三角形中至少有一个角不小于60°。
六．等腰三角形中的多解问题——分类讨论 【例6】 a) 等腰三角形的两边长分别是4和5，这个 三角形的周长是（ ） b) 等腰三角形的两边长分别是4和8，这个 三角形的周长是（ ） c) 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的 周长分为12和15两部分，求该三角形各 边的长。 （8、8、11；10、10、7） d) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为30°则等腰三角形的顶角为（ ）°
【例2】
① 证明等边三角形的性质定理（略） ② 如图1， ABC中，AB=AC，点D是BC的中点， 点E在AD上，
a) 求证：BE=CE b) 如图2，若BE的延长线交AC于F点，且BF⊥AC， 垂足为F，∠BAC=45°，原题其它条件不变，求 证：△AEF≌△BCF
A 图1 图2 A
E B D C B
第一章 三角形的证明
八年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
两次翻折=一次平移
对称 旋转
全ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变换
平移
形状大小都不变
• 图形变换
翻折
相似变换（形状不变大小变） 如：位似变换。
（2）求证：⊿CEF是等边三角形 M
E F
N
A
C
B
五．反证法
1. 定义：先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立。这种证明方法称为反证法。 反证法——常用的间接证明法。步骤：
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
北师版八年级数学下册等腰三角形的性质课件
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
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第一章 三角形的证明
.
1
知识体系图
本章的内容总结如下：
通过探索、猜测、计 算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形 有关概念性质判定
与直角三角形有关的性质判定
与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假、 反证法
线段的垂直平分线性质判定 尺规作图
角的平分线性质判定
.
2
考点1 等腰三角形的性质
1．已知等腰三角形的一个底角 为80°，则这个等腰三角形的 顶角为 ( ) A．20° B．40° C．50° D．80°
A.10 B.8 C.5 D2.5
.
24
【归纳总结】
线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线上的点到 这条线段的两个端点的距离相等 （2）到一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平 分线上
.
25
知识点7命题及逆命题
1、下列命题的逆命题是真命题的 是（ ） A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等 D．若a=6,则|a|=|b|
7
知识点2 等边三角形的性质 1．边长为6 cm的等边三角形中， 其一边上高的长度为 ________．
.
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点2 等边三角形的性质
2．如图，已知△ABC是等边三 角形，点B，C，D，E在同一直 线上，且CG＝CD，DF＝DE，则 ∠E＝________度．
.
9
【归纳总结】
等边三角形
（1） 定义： 三条边都相等 的 三角形是等边三角形。
.
22
知识点6 垂直平分线的性质和判定
2、如图，在Rt△ABC中，有 ∠ABC=90°，DE是AC的垂直平 分线，交AC于点D，交BC于点E， ∠BAE=20°，则∠C= _________．
.
23
考点6 垂直平分线的性质和判定
2、如图，在△ABC中∠B=30° ，BC的垂直平分线交AB于E，垂 足为D．若ED=5，则CE的长为 （）
.
31
【归纳总结】
全等三角形
（1）性质：全等三角形的 对应 边 、 对应角 相等。 （2）判定：“SAS”、 SSS 、 AAS 、 ASA 、 HL(直角三角 形) 。
（2）性质： ①三个内角都等于60度，三条边 都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。
.
10
【归纳总结】
等边三角形
（3）判定： ①三个角都相等的三角形是等边 三角形。 ②有一个角 等于60度的等腰三角 形是等边三角形。
.
11
知识点3 直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝10，CD是AB边上的中线，则
等腰三角形 （1）性质： ①等腰三角形的 两底角 相等。 （“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 底 边上的中线、底边上的高线 互相 重合 （三线合一）。
.
6
【归纳总结】
等腰三角形
（2）判定： ① 有两边相等的三角形是等腰三 角形. ② 有两个角相等的三角形是等腰 三角形（等角对等边）.
.
2．下列每一组数据中的三个数值
分别为三角形的三边长，不能构
成直角三角形的是
()
A．3，4，5 B．6，8，10
C. 2，
D．5，12，13
.
17
考点4 勾股定理及其逆定理
2 .一架长5米的梯子AB，斜立在一 竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3 米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米， 梯子的底端在水平方向沿一条直线也 将滑动1米吗？用所学知识，论证你 的结论．
.
18
【归纳总结】
勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形 两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个 三角形是直角三角形。
.
19
考点梳理
知识点5 角平分线的性质和判定 1、 如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠BAC的平分线交BC于点 D，若CD＝4，则点D到AB的距 离是________．
CD的长是
()
A．20 B．10 C．5 D. 6
.
12
知识点3 直角三角形
2．在△ABC中，∠C＝90°， ∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交 AC于点D，若AD＝6，则CD＝ _____．
.
13
知识点3 直角三角形
3．如图，△ABC中，∠C＝90°， AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上 的动点，则AP长不可能是 ( ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
.
14
【归纳总结】
直角三角形
（1）性质:直角三角形的两锐角
互余。
(2)定理：直角三角形中，如果一
个锐角是30度，那么它所对的直
角边等于斜边的一半。
(3)定理：在直角三角中，斜边上
的中线等于斜边的一半.
.
15
【归纳总结】
直角三角形
（3）判定： 有两个角互余的三角形是直角三 角形
.
16
知识点4 勾股定理及其逆定理
.
3
考点1 等腰三角形的性质
2.等腰三角形的两条边长分别 为5 cm和6 cm，则它的周长是 _______________．
.
4
知识点1 等腰三角形的性质
3．已知等腰三角形ABC的腰AB ＝AC＝10 cm，底边BC＝12 cm 则△ABC的角平分线AD的长是
________ cm.
.
5
【归纳总结】
.
20
考点梳理
知识点5 角平分线的性质和判定
2．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是 △ABC的 ( ) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
.
21
【归纳总结】
角平分线
（1）角平分线上的点到这个叫的 两边的距离相等。 （2）在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分 线上。
1.如图,△ABC,△CDE是等边三角形(1) 求证:AE=BD (2)若BD和AC交于点M,AE和CD交 于点N,求证:CM=CN (3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系. 并加以证明
M
N
.
30
知识点8三角形的全等
2、已知：如图，△ABC中， ∠ABC=45°，DH垂直平分BC交 AB于点D，BE平分∠ABC，且 BE⊥AC于E，与CD相交于点F （1）求证：BF=AC； （2）求证：
.
26
【归纳总结】
命题和逆命题：
命题：由条件和结论组成 逆命题：由结论和条件组成
.
27
知识点7反证法
1、用反证法证明命题“三角形中 必有一个内角小于或等于60°” 时，首先应假设这个三角形中 ___．
.
28
【归纳总结】
反证法：
先假设命题的结论不成立，然后 推导出与已知条件相矛盾的结果
.
29
知识点8三角形的全等
.
1
知识体系图
本章的内容总结如下：
通过探索、猜测、计 算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形 有关概念性质判定
与直角三角形有关的性质判定
与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假、 反证法
线段的垂直平分线性质判定 尺规作图
角的平分线性质判定
.
2
考点1 等腰三角形的性质
1．已知等腰三角形的一个底角 为80°，则这个等腰三角形的 顶角为 ( ) A．20° B．40° C．50° D．80°
A.10 B.8 C.5 D2.5
.
24
【归纳总结】
线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线上的点到 这条线段的两个端点的距离相等 （2）到一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平 分线上
.
25
知识点7命题及逆命题
1、下列命题的逆命题是真命题的 是（ ） A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等 D．若a=6,则|a|=|b|
7
知识点2 等边三角形的性质 1．边长为6 cm的等边三角形中， 其一边上高的长度为 ________．
.
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点2 等边三角形的性质
2．如图，已知△ABC是等边三 角形，点B，C，D，E在同一直 线上，且CG＝CD，DF＝DE，则 ∠E＝________度．
.
9
【归纳总结】
等边三角形
（1） 定义： 三条边都相等 的 三角形是等边三角形。
.
22
知识点6 垂直平分线的性质和判定
2、如图，在Rt△ABC中，有 ∠ABC=90°，DE是AC的垂直平 分线，交AC于点D，交BC于点E， ∠BAE=20°，则∠C= _________．
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23
考点6 垂直平分线的性质和判定
2、如图，在△ABC中∠B=30° ，BC的垂直平分线交AB于E，垂 足为D．若ED=5，则CE的长为 （）
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【归纳总结】
全等三角形
（1）性质：全等三角形的 对应 边 、 对应角 相等。 （2）判定：“SAS”、 SSS 、 AAS 、 ASA 、 HL(直角三角 形) 。
（2）性质： ①三个内角都等于60度，三条边 都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。
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【归纳总结】
等边三角形
（3）判定： ①三个角都相等的三角形是等边 三角形。 ②有一个角 等于60度的等腰三角 形是等边三角形。
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知识点3 直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AB＝10，CD是AB边上的中线，则
等腰三角形 （1）性质： ①等腰三角形的 两底角 相等。 （“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 底 边上的中线、底边上的高线 互相 重合 （三线合一）。
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【归纳总结】
等腰三角形
（2）判定： ① 有两边相等的三角形是等腰三 角形. ② 有两个角相等的三角形是等腰 三角形（等角对等边）.
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2．下列每一组数据中的三个数值
分别为三角形的三边长，不能构
成直角三角形的是
()
A．3，4，5 B．6，8，10
C. 2，
D．5，12，13
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考点4 勾股定理及其逆定理
2 .一架长5米的梯子AB，斜立在一 竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3 米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米， 梯子的底端在水平方向沿一条直线也 将滑动1米吗？用所学知识，论证你 的结论．
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【归纳总结】
勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形 两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个 三角形是直角三角形。
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考点梳理
知识点5 角平分线的性质和判定 1、 如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠BAC的平分线交BC于点 D，若CD＝4，则点D到AB的距 离是________．
CD的长是
()
A．20 B．10 C．5 D. 6
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知识点3 直角三角形
2．在△ABC中，∠C＝90°， ∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交 AC于点D，若AD＝6，则CD＝ _____．
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知识点3 直角三角形
3．如图，△ABC中，∠C＝90°， AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上 的动点，则AP长不可能是 ( ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
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【归纳总结】
直角三角形
（1）性质:直角三角形的两锐角
互余。
(2)定理：直角三角形中，如果一
个锐角是30度，那么它所对的直
角边等于斜边的一半。
(3)定理：在直角三角中，斜边上
的中线等于斜边的一半.
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【归纳总结】
直角三角形
（3）判定： 有两个角互余的三角形是直角三 角形
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知识点4 勾股定理及其逆定理
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考点1 等腰三角形的性质
2.等腰三角形的两条边长分别 为5 cm和6 cm，则它的周长是 _______________．
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知识点1 等腰三角形的性质
3．已知等腰三角形ABC的腰AB ＝AC＝10 cm，底边BC＝12 cm 则△ABC的角平分线AD的长是
________ cm.
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【归纳总结】
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考点梳理
知识点5 角平分线的性质和判定
2．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是 △ABC的 ( ) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
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【归纳总结】
角平分线
（1）角平分线上的点到这个叫的 两边的距离相等。 （2）在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分 线上。
1.如图,△ABC,△CDE是等边三角形(1) 求证:AE=BD (2)若BD和AC交于点M,AE和CD交 于点N,求证:CM=CN (3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系. 并加以证明
M
N
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知识点8三角形的全等
2、已知：如图，△ABC中， ∠ABC=45°，DH垂直平分BC交 AB于点D，BE平分∠ABC，且 BE⊥AC于E，与CD相交于点F （1）求证：BF=AC； （2）求证：
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【归纳总结】
命题和逆命题：
命题：由条件和结论组成 逆命题：由结论和条件组成
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知识点7反证法
1、用反证法证明命题“三角形中 必有一个内角小于或等于60°” 时，首先应假设这个三角形中 ___．
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【归纳总结】
反证法：
先假设命题的结论不成立，然后 推导出与已知条件相矛盾的结果
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知识点8三角形的全等