常微分方程期末试题复习资料
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程复习(一)
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
常微分方程期末复习
1.求下列方程的通解。
1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。
1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。
0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。
t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
常微分方程期末考试试题A卷
常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。
1、当_______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________ 称为齐次方程。
3、求dy =f(x,y)满足穴x o) = y。
的解等价于求积分方程____________________ 的dx连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x, y)dx 的解y=cp(x,x。
，y。
)作为x,x。
，y。
的函数在它的存在范围内是。
5、若x i(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是06、方程组x/ =A(t)x的_________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。
7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。
8、满足____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部__________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二、计算题(共6小题，每题10分)。
1、求解方程：dy=x7”dx x y 32、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ +3x = e A cost, ……，一一一一 1 「12、5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算e At,其中A为3J6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么■：（t）二e A（t」0）十答案一、填空题。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
试题集：常微分方程
1.常微分方程y′+2y=4e x的通解形式为？o A. y=2e x+Ce−2xo B. y=2e x+Ce2xo C. y=2e−x+Ce2xo D. y=2e−x+Ce−2x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性常微分方程，通过积分因子法求解，积分因子为e2x，从而得到通解形式。
2.方程y″−4y′+4y=0的特征方程为？o A. r2−4r+4=0o B. r2+4r+4=0o C. r2−4r−4=0o D. r2+4r−4=0参考答案: A解析: 特征方程由方程的系数确定，对于y″−4y′+4y=0，特征方程为r2−4r+4=0。
3.方程y″+9y=0的解中包含的函数类型是？o A. 指数函数o B. 三角函数o C. 对数函数o D. 幂函数参考答案: B解析: 该方程的特征方程为r2+9=0，解得r=±3i，因此解中包含三角函数。
4.方程y′=2y+3的平衡点是？o A. y=−32o B. y=32o C. y=−3o D. y=3参考答案: A解析: 平衡点满足y′=0，解方程0=2y+3得y=−3。
25.方程y″+4y′+4y=e2x的特解形式为？o A. y=Ax2e2xo B. y=Axe2xo C. y=A2xe2xo D. y=Ae2x参考答案: B解析: 由于e2x的形式，特解形式应为Axe2x。
6.方程y′=y2−4的奇点是？o A. y=2o B. y=−2o C. y=0o D. y=2,y=−2参考答案: D解析: 奇点满足y′=0，解方程0=y2−4得y=2,y=−2。
7.方程y″−5y′+6y=0的特征根是？o A. r=2,r=3o B. r=−2,r=−3o C. r=2,r=−3o D. r=−2,r=3参考答案: A解析: 特征方程为r2−5r+6=0，解得r=2,r=3。
8.方程y′=3y+e x的通解中包含的函数是？o A. e3xo B. e−3xo C. e xo D. e−x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性方程，通解中包含e3x。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
福师《常微分方程》期末复习题
(单选题)1.过点（1,3）且切线斜率为 2x 的曲线方程 y=y(x) 应满足的关系是（）。
A: y'=2xB: y''=2xC: y'=2x,y(1)=3D: y''=2x,y(1)=3正确答案: C(单选题)2.在下列函数中，能够是微分方程y''+y=0的解的函数是（）。
A: y=1B: y=xC: y=sinxD: y=ex正确答案: C(单选题)3.微分方程y'-y=0满足初始条件 y(0)=1的特解为（）。
A: exB: ex-1C: ex+1D: 2-ex正确答案: A(单选题)4.下列微分方程中， ( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程。
A: y''-2y=0B: y''-xy'+3y=0C: 5y''-4x=0D: y''-2y'+1=0正确答案: A(单选题)5.下列函数中，哪个是微分方程dy-2xdx=0的解（）。
A: y = 2xB: y = x2C: y = -2xD: y = -x正确答案: B(单选题)6.微分方程 y'''-x2y''-x5=1 的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A: 3B: 5C: 4D: 2正确答案: A(单选题)7.y''+y'-2y=0是（）阶常系数齐次线性微分方程。
A: 一B: 二C: 三D: 四正确答案: B(单选题)8.微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。
A: 3B: 4C: 5D: 2正确答案: D(单选题)9.方程dy/dx=y^(1/2)+1（）奇解．A: 有一个B: 有两个C: 无D: 有无数个正确答案: C(单选题)10.微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。
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件是线性无关
10.微分方程 yin ydx (x In y)dy 0是(B )
(C )全微分方程
(D )贝努利方程
11.方程x(y
2
— 1)dx+y(x 2
— 1)dy=0的所有常数解是(
C
(A) x 1 (C) y 1, x 1
( D) y 1, x 1
12. n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).
一、填空题(每空 2分，共16分)。
1、 方程 巴 x 2 y 2
满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx dY 2. 方程组—— F (x,Y),x dx
空间中的一条积分曲线. xoy 平面 R, Y R n 的任何一个解的图象是
n+1
3. f y (x, y)连续是保证方程 9丫 f (x, y)初值唯一的 充分 条件.
dx
4.方程组
dx dT
dy d?
5•方程y xy 6•变量可分离方程 y 的奇点(0,0)的类型是
中心
^(y )2的通解是y Cx 丄C 2 2 2 M x N y dx
q y dy 0的积分因子是
N y P X
7.二阶线性齐次微分方程的两个解 1
(x),y
2
(X)成为其基本解组的充要条
(A )可分离变量方程
(B )线性方程 &方程y 4y 4y 0的基本解组是
e 2x
, xe
2x
二、选择题(每小题
3分，共15分)。
9 .一阶线性微分方程矽 p(x)y q(x)的积分因子是( dx
A ).
p(x)dx
e (B )
q(x)dx
e (C )
P(X)dx
(D )
q(x)dx
e
).
(B) y 1
(A )构成一个线性空间 (C )构成一个n 1维线性空间 (B )构成一个n 1维线性空间 (D )不能构成一个线性空间
13.方程 y J y 2
2 x 2 ( D )奇解. (A )有一个 三、计算题 (每小题 (B )有无数个 8分，共48分)。
(C ) 只有两个 (D )无
14.求方程 dy 2xy y dx x 2
2
-的通解 解：令上
x u
，则 dy dx
xdx ，于是， du
dx Cx
所以原方程的通解为
---- x 1 Cx 2 ,y 15.求方程y dx x
(y 3 In x)dy 0的通解 解：取
M x,y
3 ,
x, y y ln x 则 M y x,y N x x, y 所以原方程的通解为 1 -，于是原方程为全微分方程 x
如
x
y 3
1
y 3dy 即 yl nx 1 4 4y 16.求方程 y (y)2
xy
的通解
xp
(*)
，两端同时关于求
导,
整
理
里得 2p
x dp
dx
取 2p x 0,得 p
取 dp 1 0,得p dx
x
—,代入(*)得解
2
0，则 x 2
x c ,代入(*)得原方程得通解为
x 2
2
Cx Cx 2
或 3B A cosx B 3A sinx cosx
7 sin x
17•求方程y 3y
e 5x 的通解
解对应的齐次方程的特征方程为 特征根为
1
0,
2
3
3x
故齐次方程的通解为 y C 1 C 2e
因为
5不是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
y i (x) Ae 5x
代入原方程,
• _ - 5x . " - 5x
25Ae 15 Ae
x
18.求方程 y y 2y e (cosx 7sin x)的通解 解：先求解对应的其次方程：
y y 2y 0,则有, 2 0, 1
1, 2
2;y ca C 2e 2x
因为数 i 1 i 不是特征根，故原方程具有形如
y i X
e Acosx Bsinx
的特
解。
将上式代入原方程, 由于 y j e x
Acosx Bsin y i e A B cosx B A sin x y i
X
e 2BC0SX 2Asinx 故 y y 2y e x 2Bcosx 2A S in X B cosx B A sin X 2e x Acosx Bsin x
e x cosx 7sin x 5x
e
3x
故原方程的通解为
y C 1 C 2e
1 5x 一e 10
比较上述等式两端的cosx,si nx的系数，可得 A 3B 1 , 3A B 7 因此，A 2 ,B 1.故y1 e x 2cosx 1sin x
所求通解为y e x X
2cosx 1sin X C1e C2e
x
19.求方程组dY
dx
Y的实基本解组
解：方程组的特征多项式为属于1的特征向量
属于2的特征向量则方程的基本解组为
其实基本解组为
其特征根是1,2 35i，那么
・ 3 5i x
ie
3 5i x
3 5i x
e
.3
ie 5i
而11 0
因此所求实基本解组为
. -3 5i x
1ie
o 3 5i x 2 e
5i x
3
e
・ 3 5i x ie
四、应用题(每小题11分, 共11分)。
e3t cos5x
e3t sin
5x
3t . I-
e sin 5x
e3t cos5x
20. (1)求函数f(t)
at
e的拉普拉斯变换
(2)求初值问题
3x 2x 2e3t的解
x(0) 0, x (0) 0
x
1
解：(1)
e at
st at u sat,,
1
s a t
e dt e dt ------------ e
s a
,s a c s a 0
,s
(2)设 x t xt 是已知初值问题的解。
对已知方程两端同时使用拉普
拉斯变换，可分别得到 x 3x
2x s 2 3s 2 X s s 2
3s
2e 3t
3t e 故有 X 使用部分分式法，可得 由(1)可知， e t 2t
e
2 2
3
t
e
xt
2e 2t e 3t
故所求的初值解为 五、
21 证明题(每小题 •证明：对任意
10分, 共10分)。
X 0及满足条件0 P y o P 1的y , 方程
)上存
在。
证：由于 f (x, y) dy
dx y(y 1) 1 x 2 y 2
的满足条件 y(x 0
)
y 0的解y y(x)在
y(y 1 x 2 1) 2 y f y (x, y) X 2 y 2
) y(y 1)2y 2 x 2x2 y )
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理 条件. 又显然y 0, y 1是方程的两个特解.现任取x 0
(
),y o (0,1),
记y y(x)为过(x o, y。
)的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越y 1 ，下不能穿越y 0 ，因此它的存在区间必为( )．。