实用文库汇编之4个圆幂定理及其证明
作者：于椅上
作品编号：785632589421G 101
创作日期：2020年12月20日
实用文库汇编之相交弦定理
如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明：
连结AC，BD，由圆周角定理
的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.
A D
C
切割线定理
如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC²=TA·TB
证明：连接AC、BC
P
∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC
∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A
又∠ATC=∠BTC
∴△ACT∽△CBT
∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=A T·BT
弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角
弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明
证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交B C于D，
则∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
∴,∠BOC=2∠TCB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO=半径
AO=AO公共边
∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）
∴AB=AC
∠AOB=∠AOC
∠OAB=∠OAC
割线定理
如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
圆幂定理
圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·P B=PC·PD。
作者：于椅上
作品编号：785632589421G 101
创作日期：2020年12月20日。
圆幂定理
相交弦定理
C
A
E
O
D
B
AB为圆O直径, CD AB于E, 则 CE ED AE EB
相交弦定理
C
A
E
O
D
B
圆O的弦AB与CD交于点E, 则 CE ED AE EB
切割线定理
C
D B E
EB切圆O于B, EC交圆O于D, 则
EB ED EC
2
切割线定理推论
B O A
E
C
D
【练习2】
已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，直线 和 AD 过C点的切线互相垂直，垂 足为E，若CAE 30 则BAC
E
D
A
C
O
B
【作业】 P20练习. P21习题1-2. 4 8,9
CAB CAD
E C B O
A
D
【例2】
已知圆O和圆O '相较于A，B两点，过A作两圆 的切线分别交两圆于 ，D. C 求证：AB2 BC CD
BAD BCA BDA BAC
ΔBAD ∽ ΔBCA
O C
A O’ B D
【练习1】
已知AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和圆O切 于点C，AD CE，垂足为D，若AB 4，AD 1， 则AC
A
C
B D F E
AE交圆O于B, EC交圆O于D, 则
ED EC EB EA
圆幂定理
C
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
O
D
B
圆O的弦AB与CD交于点E, 则 CE ED AE EB
【例1】
已知AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和 圆O切于点C，AD CE，垂足为D. 求证：AC平分BAD
圆幂定理课件15张PPT
结束
PA·PB=PC·PD C
A
D
OP
B
A D
P
C
O
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA·PB
B
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例中项。 PC2= PA·PB
• 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的
比例中项。
T
PT2= PA·PB
O P
A B
D • 如图，PAB和PCD是⊙O
C
O
P
的两条割线。 求证：PA·PB＝PC·PD
A B
PA·PB＝PC·PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• 相交弦定理 • 相交弦定理推论 • 切割线定理 • 割线定理
B
D
DO
C
BC
P
O
P
D O
B C (D)
P
O
A
A (B)
A (B)
PAPB＝r2－OP2 (P在圆内)
PAPB＝OP2－r2(P在圆外)
PAPB＝OP2－r2=0(P在圆上)
定 值 O P 2 r 2称 做 点 P 对 圆 O 的 " 幂 "
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 O P 2 r 2 .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值） z.x.x.k
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们
圆幂的定理
圆幂的定理
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过一个点P，与一个圆相交于点M和点N，那么这个点P到圆的两个切线段PM和PN的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的半径的平方，即可以表示为PM * PN = PO^2 - r^2。
圆幂定理可以推广到两个圆相交的情况下，即如果有两个圆分别为圆A和圆B，并且它们相交于点M和点N，那么点M和点N到这两个圆心的线段的乘积等于这两个圆心到点M和点N的距离的乘积，即可以表示为MA * MB = NA * NB。
这个式子即为圆A关于圆B的圆幂定理。
圆幂定理有许多应用，其中一个重要的应用是求解圆的切线长度。
通过圆幂定理，可以求解出切线与切点之间的关系，进而解决与圆切线相关的几何问题。
圆幂定理及其相关问题解答
圆幂定理及其相关问题解答1. 圆幂定理简介圆幂定理是平面几何中的一个重要定理，用于解决与圆相关的问题。
它给出了在一个平面内，一个点到圆的两条切线所构成的线段与该点到圆心的距离乘积的平方等于该点到圆的距离与圆心到切点的距离乘积的平方。
圆幂定理的数学表达如下：PA * PB = PC * PD其中，P为点到圆的距离，A、B为切点，C为圆心到切点A的距离，D为圆心到切点B的距离。
2. 圆幂定理的证明圆幂定理的证明可以通过构造垂直，利用勾股定理和相似三角形推导得到。
具体证明过程如下：假设点P到圆O的两条切线分别与圆O相交于A、B两点。
连接线段OP，并设其交点为C。
根据正弦定理可得：PA / sin ∠PAC = PC / sin ∠CPAPB / sin ∠PBC = PC / sin ∠CPB由于∠CPA = ∠CPB，而sin ∠PAC = sin ∠PBC，因此有：PA / PB = sin ∠PBC / sin ∠PAC由于∠PAC和∠PBC都是直角，所以sin ∠PAC = PC/PA，sin ∠PBC = PC/PB。
将上述结果代入可得：PA * PB = PC^2同样的方式可以得到另一组切线的结论。
综上所述，圆幂定理得到证明。
3. 圆幂定理的应用圆幂定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值，下面介绍几个常见的问题及其解法：3.1 问题一：求解切线长度已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的长度。
解法：根据圆幂定理可得：PA * PB = PC * PD = d^2 - r^2由于PA = PB，所以：PA = PB = sqrt(d^2 - r^2)因此，切线长度为sqrt(d^2 - r^2)。
3.2 问题二：判断两个圆的位置关系已知两个圆的半径分别为r1和r2，以及两个圆的圆心之间的距离d，判断两个圆的位置关系。
解法：根据圆幂定理可得：(r1 + r2)^2 = d^2根据以上公式，可以得到以下几种情况：•当d < r1 + r2时，两个圆相交•当d = r1 + r2时，两个圆相切•当d > r1 + r2时，两个圆相离3.3 问题三：求解切点坐标已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的切点坐标。
4个圆幂定理及其证明
4个圆幂定理及其证明第一篇：4个圆幂定理及其证明相交弦定理如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.切割线定理如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为则TC²=TA·TB证明：连接AC、BC∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A又∠ATC=∠BTC∴△ACT∽△CBT∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=AT·BT弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°BO=CO=半径AO=AO公共边∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）∴AB=AC∠AOB=∠AOC∠OAB=∠OAC割线定理如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
高中数学-圆幂定理(教师版)
补充内容：圆幂定理一、圆幂定理及其逆定理：（1）割线定理：设过圆O 外一点P 的两直线分别与圆O 交于点B A ,和D C ,，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（2）相交弦定理：圆O 的两条弦CD AB ,相交于点P ，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之过点P 的两直线上四点D C B A ,,,满足PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（3）切割线定理：设直线P A 与圆切于点T ，过点P 的直线交圆于C B ,两点，则PBP A PT ⋅=2证明：（1）连接BC AD ,，由圆的性质D B ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（2）连接BC AD ,，则C A ∠=∠，B D ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（3）连接TB TA ,，则PBT PTA ∠=∠，所以PTA ∆∽PBT ∆所以⇒=PTP APB PT PB P A PT ⋅=2二、圆幂定理的应用例1.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且2=OP ，弦BD AC ,均过点P ，则下列说法正确的是A.0)(=⋅+DB OB ODB.PC P A ⋅为定值C.OC OA ⋅的取值范围为]0,2[-D.当BD AC ⊥时，CD AB ⋅为定值解析：连接OP OD OC OB OA ,,,,，直线OP 交圆O 于F E ,，设BD 的中点S ，则BD OS ⊥02)(=⋅=⋅+DB OS DB OB OD ，A 正确；由相交弦定理得PF PE PC P A PC P A ⋅-=⋅-=⋅242)()(22-=-=-=+⋅--=R OP OP R OP R ，B 正确；取AC 的中点M ，则OCOA ⋅42)4(4122222-=--=-=OM OM OM AC OM ，又OPOM ≤≤0即]2,0[∈OM ，所以OC OA ⋅]0,4[-∈，所以C 错误；当BD AC ⊥时，)()(PC PD P A PB CD AB -⋅-=⋅4)4(222-=--=⋅-=⋅-⋅-=⋅+⋅=OP PF PE PC P A PD PB PC P A PD PB ，D 正确例2.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2+-=x y 与圆)0(222>=+r r y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OB OA OC 4345+=，则=r （）A.22 B.5C.3D.10r ===，设θ2=∠AOB ，则将OB OA OC 4345+=平方得θ2cos 3092516163016916252222222r r r r OB OA OB OA OC ++=⇒⋅++=432cos -=⇒θ55cos 531cos 22=⇒-=-⇒θθ，所以圆心到直线2+-=x y 的距离为θcos 22r =10552==⇒=⇒r r ，故选D例3.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：322=+y x ，),2(m T ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且MT AB 2=，则实数m 的取值范围是（）A.]0,2[- B.]2,0( C.]2,2[- D.)2,2(-解法1：设),(y x M ，连OM ，由垂径定理知AB OM ⊥⇒32222=+=+MT OM MB OM 42)2()1(3)()2(2222222m m y x m y x y x -=-++⇒=-+-++⇒，所以点M 在以)2,1(m D -为圆心，222m -为半径的圆上，又点M 为圆O 的弦AB 的中点，所以点M 在圆O 内，所以两圆内含，所以223)2()1(222m m --<+-0)1(22>+⇔m ，只需022>-m 解得22<<-m ，即实数m 的取值范围是]2,2[-，故选C解法2：因为M 为弦AB 的中点，且MT AB 2=，所以090=∠ATB ，过点T 作圆的切线TF TE ,，F E ,为切点，则只需090≥∠ETF 即可，所以045≥∠OTE ，所以OTE∠sin 6223≤⇒≥=OT OT ，所以642≤+m ，解得22≤≤-m ，故选C例4.在平面直角坐标系xOy 中，直线kx y =与圆C ：5)36()27(22=-+-y x 交于B A ,，则=⋅OB OA 解析：过点O 作圆C 的切线OT ，T 为切点，则由切割线定理得20205362722222=-+=-==⋅R OC OT OB OA 例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(P 在圆C ：01422222=+-+-++m m y mx y x 内，若存在过点P 的直线交圆C 于B A ,两点，且PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍，则实数m 的取值范围为解析：圆C ：m y m x 4)1()(22=-++，圆心)1,(m -，半径为m r 2=，所以0>m 点P 在圆C 内40014212<<⇒<+-+-⇒m m m设AB 的中点为D ，t AP 2=，则t PD =，圆心到直线AB 的距离为d ，由PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍可知P A PB 2=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇐⎪⎩⎪⎨⎧=+=+mt d mt d r P A CD CP PD CD 492222222222222849d m m =-⇒，因为220m d <≤，所以494849022<≤⇒<-≤m m m m 当94=m 时，C B A P ,,,四点共线，不能构成三角形，所以m 的取值范围为)4,94(例6.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x ，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是解析：类例3，]2,2[-例7.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23，21,F F 分别为椭圆E 的左右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段21F F 为直径的圆经过点P ，线段P F 1与y 轴交于点B ，且611=⋅B F P F （1）求椭圆E 的方程（2）设动直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，且0=⋅ON OM ，求证：动直线l 与圆5422=+y x 相切解析：（1）设椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，c F F 221=，因为211F PF O BF ∠=∠，2211π=∠=∠PF F BOF ，所以BO F 1∆∽P F F 21∆，所以P F O F F F B F 11211=21111F F O F B F P F ⋅=⋅⇒3622=⇒==c c ，所以1,2233==⇒==b a a e ，所以椭圆E ：1422=+y x （2）设OM 的倾斜角为θ，则)sin ,cos (θθOM OM M ，))90sin(),90cos((00±±θθON ON M ，又点N M ,在椭圆上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=±+±=+22222202202222224cos 4sin 4sin 4cos 1)90(sin 4)90(cos 4sin 4cos ON OM ON ON OM OM θθθθθθθθ两式相加得4511541442222=+⇒=+=+ONOMONOM，设原点到直线MN 的距为d 由5421212222222=+=⇒=+=∆ONOM ON OM d ON OM d ON OM S OMN所以动直线l 与圆5422=+y x 相切。
圆幂定理
一知识再现1. 圆幂定理一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。
它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。
如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2-OP2在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.2.角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则AD ：DC=AB ：BC 3.平行线分线段定理定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二 例题讲解例1如图4AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，OP = 5cm ，则⊙O 的半径等于 ．解析：设⊙O 的半径为R ．∵AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm ，PB = 6 cm ． 由相交弦定理，得P A ·PB = PC ·PD = R 2－OP 2，即4×6 = R 2－52． 所以，R = 7． 故⊙O 的半径等于7 cm ． 例2．如图5，已知P AC 为⊙O 的割线，连接PO 交⊙O 于B ，PB = 2，OP = 7，P A= AC ，则P A 的长为（ ）A ．7B ．23C ．14D ．32解析：延长PO 交⊙O 于D ．∵PB = 2，OP = 7，∴OB = 5，即PC = 12． 由切割线定理的推论，得 P A ·AC = PB ·PC ． ∵P A = AC ，∴2 P A 2 = 2×12． 所以，P A = 23．故应选B ．一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
圆幂定理，敲重点
圆幂定理，敲重点相交弦定理定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．证明：连接AD、BC，根据有圆周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD切割线定理定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA²=PB·PC．证明：连接AB、AC，根据弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA∴PB:PA=PA:PC∴PA²=PB·PC割线定理定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．证明：法一：连接AC、BD，根据圆内接四边形外角等于内对角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB∴PA:PD=PC:PB∴PA·PB=PC·PD法二：连接AD、BC，根据圆周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD圆幂定理定义点P到圆O的幂：OP²-r²．以上“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”统称为“圆幂定理”．（1）相交弦满足：PA·PB=PC·PD=r²-OP²（2）切线满足：PA²=OP²-r²（3）割线满足：PA·PB=PC·PD=OP²-r²【归纳】以上我们考察的量，如PA·PB、PA²等均等于OP²-r²或r²-OP²，故称圆幂定理．。
圆幂定理
圆幂定理圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下:所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零.圆幂定理是相交弦定理,切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,AB,CD为圆O的两条任意弦.相交于点P,连接AD,BC,则∠D=∠B,∠A=∠C.所以△APD∽△BPC.所以切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项.如图,PT为圆切线,PAB为割线.连接TA,TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD.这个证明就比较简单了.可以过P做圆的切线,也可以连接CB和AD.证相似.存在:进一步升华(推论):过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A,B(可重合,即切线),L2与圆交于C,D.则PA·PB=PC·PD.若圆半径为r,则(一定要加绝对值,原因见下)为定值.这个值称为点P到圆O的幂.(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值)若点P在圆内,类似可得定值为故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值.(这就是"圆幂"的由来)这些就是圆中非常重要的几个定理,当然在现在的教材中,这几个定理已经被删掉了,教材中唯一余下的就是垂径定理了.可是有很多题,特别是选择填空,用垂径定理做起来是相当的麻烦了.这时候假如你会圆幂定理,那么你的作题速度也就会上去了.另外, 圆幂定理也会给我们提供解大题的思路.当然如果在大题中想要用圆幂定理,那么大家最好还是证明一下.因为你们也看到了, 圆幂定理的证明是非常简单的,就那么几行,一个相似就搞定了.可不能因为麻烦而放弃证明,这样在现在的考试中是很可能会被扣分的哦!借鉴别人的，，请原谅~。
圆幂定理及其证明
圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R,有一点P在圆O外，则ＯP＾2-Ｒ＾2即为P 点到圆O的幂;若Ｐ点在圆内，则圆幂为Ｒ^２-OP^２;综上所述,圆幂为|OＰ^2-R＾2｜。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L１与一条过圆心的直线Ｌ2,Ｌ1与圆交于Ａ、Ｂ（可重合,即切线）,L2与圆交于C、Ｄ。
则PA·PB＝PC·PＤ。
若圆半径为r,则PC·ＰD=(ＰO-r）·（PO+r)=PＯ^2－r^２＝|ＰＯ^2－r^２| (要加绝对值,原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^２-PO^２=|PO＾2－r＾2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B,那么ＰA·ＰB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于Ａ、B(可重合,即切线）,L2与圆交于C、D(可重合），则有。
[１］圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与Ｍ、N,R为圆的半径,则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、ＣD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BＤ,由于∠Ｂ与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B＝∠D,同理∠A=∠C,所以。
所以有:,即:图Ⅱ:割线定理。
如图,连接AD、ＢC。
可知∠B=∠D，又因为∠Ｐ为公共角,所以有,同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AＣ、AD。
∠ＰAC为切线PA 与弦AC组成的弦切角,因此有∠ＰAC=∠D,又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ:PＡ、PC均为切线,则∠PAO=∠ＰCO=直角,在直角三角形中:ＯC=OA＝R，PO为公共边,因此所以PA=ＰＣ,所以综上可知,是普遍成立的。
证明完毕。