九年级中考数学专题复习--圆切线的相关证明及计算专题
圆切线的相关证明及计算
类型一角平分线模型
(2016·云南省卷)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.
(1)求证：DE是⊙O 的切线；
(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD 的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案．
【自主解答】1．(2017·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O
上，点C是BE
︵
的中点，过点C作CD⊥AE，交AE
的延长线于点D，连接BE交AC于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若cos∠CAD＝
4
5
，BF＝15，求AC的长．
2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且
AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，
垂足为E.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)求AD的长．
3．(2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交
AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的
长．
4．(2018·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC 的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝25，BC＝5，求DE的长．
5．(2019·原创)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB ＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．6．(2018·成都)如图，在Rt△A BC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，
经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连
接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线
段AD的长；
(3)若BE＝8，sin B＝
5
13
，求DG的长．
类型二弦切角模型
(2018·云南省卷)如图，已知AB是⊙O的
直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，
∠BCD＝∠BAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
【自主解答】
1．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直
径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE＝∠B ，tan ∠B＝1
2，
⊙O 的半径是4，求EC 的长．
2．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE∥BD ，连接BE ，
DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)若BF ＝BC ＝2，求图中阴影部分的面积．
3．(2018·兰州)如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆
O 上的一点，D 为BA 延长线上的一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：DC 为圆O 的切线；
(2)线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F ，且∠CEF＝45°，圆O 的半径为5，sin B ＝3
5
，求CF 的长．
类型三 双切线模型
(2017·云南省卷)已知AB 是⊙O 的直径，
PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC∥OP，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)设OP ＝3
2AC ，求∠CPO 的正弦值；
(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． 【分析】 (1)连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠OCA ，由平行线的性质得到∠A ＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP ，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O 作OD⊥AC 于D ，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC 2，根据已知条件得到OC OP ＝3
3，由三角函数的定义即
可得到结论；(3)连接BC ，根据勾股定理得到BC
＝AB2－AC2＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论．
【自主解答】
1．(2018·曲靖)如图，AB为⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC 的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC.
(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC＝3，求四边形OCDB的面积．2．(2018·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一
点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切
于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD
＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
3．(2018·临沂)如图，△ABC为等腰三角形，O
是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB
与⊙O相交于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BD＝3，BE＝1，求阴影部分的面积．
4．(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切
点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB
于点E，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若∠APC＝3∠BPC，求
PE
CE
的值．。
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
中考数学专题复习：与圆切线有关的线段计算
F
【难点在于作出的垂线段， 如何证明该垂线段等于半径】
小结：
切线证明的步骤及方法： ①审题；
②根据题意选择适当的添辅助线方法；
③证垂直或证半径．
实战中考
例：如图，点O在∠AБайду номын сангаасB的平分线上，⊙O与 PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的 半径为3，PC=4．求弦CE的长．
考点梳理:
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径． 解题技巧： 圆心与切点的连线是常用的辅助线．
考点梳理:
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆切线．
证圆的切线技巧： （1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交 点的半径，证明直线与该半径垂直，即 “有交点，连半径，证垂直”． （2）如果直线与圆没有明确的交点，则过 圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半 径，即“无交点，作垂直，证半径”．
拓展提高
已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD 上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于 点E、点F，且∠ABE=∠DBC． （1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的 结论； 3 （2）若 sinABE 3 ，CD=2，求⊙O的半径．
课堂小结
说说你的收获！
课堂小测
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是 ∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过 B，D两点，交BC于点E． (1)求证：AC是⊙O的切线； 3 , tanA ，求CD的长． 6 (2)若 BC
实战中考 变式训练：如图,点D为⊙O上的一点,点C在 直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E, 若BC=12,tan∠CDA= ，求BE的长．
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
九年级中考复习专题七圆切线证明及计算
中考复习专题七--- 圆切线与计算5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角均分线，B M均分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．1、如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A 是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（）若为的中点，求证：直线是⊙的切线． 2 D AP CD O （1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC= 1时，求⊙O的半径36、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延伸BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；2、在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）假如BC=8，AB=5，求CE的长．7、已知：△ABC是边长为4 的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC订交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．4、如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD对于直线（1）求证：直线EF 是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；（2）延伸AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．8、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延伸线上的一点，14、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧ACA E⊥C D交DC的延伸线于E，C F⊥AB于F，且CE=CF．的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）判断DE与⊙O的地点关系，并说明原因；（1）求证：MN是半圆的切线；（2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．（2）求证：FD=FG．（3）若△DFG的面积为 4.5 ，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．15、如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E 点。
2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
180 3 ∵AC＝CD，
∴ ?AC ＝C? D ，
∴
C? D
的长为
4π 3
.(8分)
【提分要点】 与切线有关的证明与计算中，若题中已知切线，则连接圆心与切点，构造直角 三角形． (1)求角度或证明角相等(含证平行)：常用到的方法： ①根据圆周角定理求解； ②根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于 90°进行角度转化求解． (2)求锐角三角函数值：常包含两种情况： ①连切点后，所求角为直角三角形中的锐角，根据边角关系直接求解； ②若所求角不在已知的直角三角形中，则将所求角根据同弧 (等弧)所对的圆周 角转化到直角三角形中求解．
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
(完整版)九年级数学证明圆的切线专题
证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。
（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30º时，求AD 的长。
3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．OPCB A O P CB A8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E 作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．。
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 微专题(七) 与切线有关的常考五大模型
1 ∴CD＝3，∠DAC＝2∠BAC， ∴AD＝ AC2－CD2＝4，∠DAO＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形 ADEO 是矩形， ∴OE＝AD＝4， ∴⊙O 的半径是 4.
类型三： 与锐角三角函数结合
【类型归纳】
模型展示
常见辅助线
连接圆心与切点
若问题中涉及到直角(或构造出直角)时，可以利用锐角三角函数来
半圆与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E.过半圆上一点 F 作半圆的切线，
BM·CN 分别交 AB，AC 于点 M，N，那么 BC2 的值为 A.18 B.14 C.12 D．1
(B )
7．★如图，AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD 和过 C 点的切线互
25 相垂直，垂足为 D.若 AD＝4，AC＝5，则 AB 的长为 4 .
AD⊥DC，若⊙O 的半径为 3，AD＝4，则 AC＝2 6.连接 BC，OC，由
常见结论 与方法
AD⊥DC 和直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA＝∠ABC，∴△ADC∽△ACB，得出AADC＝
AACB，进而求出 AC＝2 6.
对应练习
6．★如图，在等腰三角形 ABC 中，O 为底边 BC 的中点，以点 O 为圆心作
OB＝3，PB＝2.连接 OC，由切线的性质可得 OC⊥PC，易得 PO＝BO
＋PB＝5，再利用勾股定理，可得 PC＝ PO2－OC2＝4.
对应练习 1．★(2022·深圳)如图，三角形 ABE 为直角三角形，∠ABE＝90°，BC 为⊙O 的切线，C 为切点，CA＝CD，则△ABC 和△CDE 的面积之比为( B ) A．1∶3 B．1∶2 C. 2∶2 D．( 2－1)∶1
数学人教版九年级上册圆的切线的证明中考专题复习
圆的切线证明中考专题复习教学设计剑河县南寨中学吴贵兴一、教材分析1、教材的地位和作用圆的切线证明是我黔东南州中考必考题型之一，《圆》是学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的曲线图形。
圆作为一种常见的图形，圆的有关性质定理是进一步学好几何等数学知识的基础。
从知识体系上来看，直线与圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理是衔接直线形和圆形之间联系的重要纽带，常用它来解决与直线形有关的计算和证明；从数学思想方法层面上看，它揭示了数量关系与位置关系的内在联系，体现了数形结合，数量关系与位置关系之间相互转化的数学思想。
2、目标及目标解析：根据教材的地位和作用，我制定了如下的教学目标：一是掌握直线和圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理的基本方法的运用。
切线的判定定理、性质定理、切线长定理是研究直线和圆的有关问题常用的定理。
直线形和圆形的有关计算和证明都是通过直线和圆的位置相关的定理来完成的，因此就要掌握其基本的运用。
二是能通过切线的判定定理、性质定理及切线长定理进行有关证明和计算的综合运用。
通过自主探究，让学生体验建立基本数学模型，形成基本的求解模型。
仅仅掌握切线的判定定理和性质定理的运用是不够的，还要掌握位置关系与数量关系互相转化的数学思想及其知识的综合运用，增强解决问题的能力。
3、重难点：本节课是一节专题复习课，复习更注重数形结合及数量关系与位置关系相互转化的思想。
而且本节课的主要知识点有着广泛的应用。
因此本节课的重点是运用切线的判定定理，性质定理的应用。
难点是切线的判定定理、性质定理及切线长定理的综合运用及其对转化思想的领悟。
二、教法、学法分析九年级下学期的学生已经具备了解决问题的基本思路和方法，这是本节课学习的有利因素。
但学生在理解上有一定局限性，对如何从图形中观察分析出比较隐蔽的数量关系的方法较弱。
在学生已有的认知规律和获取的知识基础上，结合这些特点，本节课采用以下方法：1、合作探究。