(精心整理)高一数学必修一函数的最值问题试题
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.3.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用偶函数的图像关于轴对称，得到在轴右侧的图像，再利用图像写出单调递增区间；（2）设，则，求，再利用偶函数求的解析式；（3）讨论对称轴与区间的关系，求出最小值.规律总结：1.奇函数的图像关系原点对称，偶函数的图像关系轴对称；2.二次函数的图像开口向上时，离对称轴越近的点对应的函数值越小，离对称轴越远的点对应的函数值越大.试题解析:（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小当时，为最小.综上，有：的最小值为．【考点】1.函数的图像；2.函数的单调性；3.函数的解析式；4.函数的最值.5.函数，使是增函数的的区间是________．【答案】【解析】令在R上是减函数,又因为函数在(-,1]是减函数,由复合函数的单调性可知的增区间为: (-,1]【考点】复合函数的单调性.6.已知奇函数 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意义，且在 (0,+¥) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(q) = sin 2q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.【答案】 .【解析】根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数， 1分∴由得或 2分∴或 3分4分由得 5分即 6分∴ 7分设， 9分∵， 10分∴， 11分且 12分∴的最大值为 13分∴ 14分另解：本题也可用下面解法：1. 用单调性定义证明单调性∵对任意，，，∴，即在上为减函数，同理在上为增函数，得 5分∴.2. 二次函数最值讨论解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，4分由得恒成立，5分设， 6分∵，的对称轴为 7分1°当，即时，在为减函数，∴ 9分2°当，即时，∴ 11分3°当，即时，在为增函数，∴无解 13分综上， 14分3. 二次方程根的分布解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，，由得恒成立，，设，∵，的对称轴为，， 7分1°当，即时，恒成立。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的最值》习题精练
应用·习题精练巩固篇1.若奇函数f(x)在［a,b ］上是增函数，且最小值是1，则f(x)在［-b,-a ］上是( )A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最小值是-1D.减函数且最大值是-1解析:f(a)=1,∴f(-a)=-1.答案:B2.函数y=x 4-4x 2-3(-4≤x ≤2)( )A.最大值为189,最小值为-7B.最大值为189,无最小值C.无最大值,最小值为-7D.既无最大值,又无最小值解析：因为-4≤x ≤2,所以0≤x 2≤16.又y=(x 2-2)2-7,所以当x 2=2,y 取得最小值-7;当x 2=16时,y 取得最大值189.答案：A3.若0<a<1,0<x ≤y<1,且(log a x)·(log a y)=1,则xy( )A.无最大值也无最小值B.无最大值但有最小值C.有最大值但无最小值D.有最大值也有最小值解析：因为0<a<1,0<x ≤y<1,所以log a x>0,log a y>0.所以由log a x ·log a y=1,得log a (xy)=log a x+log a y ≥2y x a a log log =2.所以0<xy ≤a 2.答案：C4.函数y=21++x x 的最大值是__________. 解析：当1+x =0时,y=0;当1+x >0时,y=1111+++x x ≤21.0≤y ≤21. 答案：21 5.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_______.解析:设正方形周长为x ，则圆的周长为1-x,半径r=π21x -. ∴S 正=(4x )2=162x ,S 圆=π·224)1(πx -. ∴S 正+S 圆=ππ1648)4(2+-+x x (0＜x ＜1).∴当x=44+π时有最小值. 答案:44+π 6.求函数y=|x|21x -的最值.解:三角代换.设x=cos θ，θ∈［0，2π］, (f(x)是偶函数，不必取θ∈［0，π］)则y=21sin2θ.∴y max =21,y min =0. 提高篇7.求函数y=2x-1-x 413-的值域.解法一：(换元法)令t=x 413-,则t ≥0,且x=4132t -. 所以y=2·4132t --1-t=-21t 2-t+211 =-21(t 2+2t)+211 =-21(t+1)2+6. 因为t ∈［0,+∞］是关于t 的二次函数的递减区间,所以当t ∈［0,+∞］时y max =211. 所以值域为(-∞,211］. 解法二:(单调性法) 因为函数在定义域(-∞,413)内单调递增, 所以当x=413,y max =2·413-1=211. 故函数的值域为(-∞,211). 8.已知函数f(x)=log 31822+++x n x m x 的定义域为(-∞,+∞),值域为［0,2］,求m 、n 的值. 解：函数u=1822+++x n x m x 的定义域为(-∞,+∞).值域由题设知应为［1,9］. 由u=1822+++x n x m x ,得(u-m)x 2-8x+(u-n)=0.因为x ∈R,且设u-m ≠0,所以Δ=(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0,即u 2-(m+n)u+(mn-16)≤0.由1≤u ≤9知,关于u 的一元二次方程u 2-(m+n)u+(mn-16)=0的两根为1和9,由韦达定理,得⎩⎨⎧⨯=-+=+,9116,91mn n m 解得m=n=5.若u-m=0,即u=m=5时,对应x=0符合条件.所以m=n=5为所求.。
高中数学苏教版高一必修1_2.2.1第二课时_函数的最值_作业_word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋1在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，则f (x )的最小值为________．解析：由题意，－a ＝2，即a ＝－2，f (x )＝x 2－4x －1＝(x －2)2－5，故f (x )最小值为－5.答案：－52.函数f (x )＝x ＋x －1的最小值为________．解析：f (x )定义域为[1，＋∞]，x ＝1时f (1)＝1，x >1时f (x )>x > 1，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1.答案：13.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.答案：34.函数f (x )＝2x x ＋1(x ∈[0，2])的最大值为________． 解析：∵f (x )＝2（x ＋1）－2x ＋1＝2－2x ＋1， ∴f (x )＝2x x ＋1在x ∈[0，2]上单调递增， 所以当x ＝2时，f (x )max ＝43. 答案：435.函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是________． 解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34. 因此，有0＜11－x （1－x ）≤43.所以f (x )的最大值为43. 答案：436.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________． 解析：法一：f (x )＝⎩⎨⎧2－x x <12x ＋1 x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数． ∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.法二：作函数f (x )的图象如图，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.答案：32二、解答题7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，且f (－1)＝－3.求函数f (x )在区间[2，3]上的最值．解：∵f (－1)＝－3，得1－m －1＝－3，∴m ＝3，则f (x )＝x 2＋3x －1＝(x ＋32)2－134. ∴f (x )在区间(－32，＋∞)上是增函数， 又∵[2，3]⊆(－32，＋∞)， 故在区间[2，3]上，当x ＝2时，f (x )min ＝9；当x ＝3时，f (x )max ＝17.8.已知函数y ＝－x 2＋4x －2.(1)若x ∈[0，5]，求函数的单调区间；(2)若x ∈[0，3]，求函数的最大值、最小值；(3)若x ∈[3，5]，求函数的最大值、最小值．解：作出函数y ＝－x 2＋4x －2的图象，由图象可知：(1)当x ∈[0，5]时，函数y ＝－x 2＋4x －2的单调递增区间是[0，2]，单调递减区间是[2，5]．(2)∵0≤x ≤3，f (x )＝－x 2＋4x －2，其对称轴为x ＝2，∴函数最大值为f (2)＝2.又f (0)<f (3)，∴x ＝0时，函数有最小值－2.(3)∵区间[3，5]在对称轴x ＝2的右侧，即当x ∈[3，5]时，函数单调递减，∴当x ＝3时，函数有最大值1，当x ＝5时，函数有最小值－7.[高考水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋B P ，结合图象易得A P ＋B P ≥AB ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：12.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3. 答案：M ＋3 N ＋3二、解答题3.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2 （－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）4.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费．且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量，即m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费； ③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系；(2)m ，n ，a 的值．解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ， 0<x ≤m ①9＋n （x －m ）＋a ，x >m ② 其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n （4－m ）＋a ，23＝9＋n （5－m ）＋a .两式相减，得n ＝6，把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，水费为11元<14元．∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 解得a ＝2，将a ＝2代入a ＝6m －16，得m ＝3.∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.若正实数，满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】由基本不等式得，得，因此.因此.【考点】基本不等式的应用.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.函数（）A．是偶函数，且在上是单调减函数B．是奇函数，且在上是单调减函数C．是偶函数，且在上是单调增函数D．是奇函数，且在上是单调增函数【解析】令，其定义域为，因为，所以函数是奇函数。
在上任取两个实数，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递增。
【考点】1函数奇偶性；2函数单调性的定义。
5.已知函数且.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明.【答案】（1）；（2）奇函数，证明详见解析.【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，求解不等式即可得到函数的定义域；（2）从奇偶函数的定义上进行判断、证明该函数的奇偶性，即先由（1）说明函数的定义域关于原点对称；然后求出，若，则该函数为偶函数，若，则该函数的奇函数.试题解析：（1）由题得 3分所以函数的定义域为 5分（2）函数为奇函数 6分证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称 7分且所以函数为奇函数 10分.【考点】1.对数函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.6.已知函数f(2x)（I）用定义证明函数在上为减函数。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
数学必修一《函数的最值》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的最值》精选练习（含答案解析）一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是( )A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定2.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( )A.2B.3C.-1D.13.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对4.已知函数f(x)=x2-4x+10,x∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( )A.与B.与1C.与D.与6.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )A.2B.-2C.2或-2D.07.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题8.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是,最大值是.9.函数f()=x-1的最小值是.10.若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为.11.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是.12.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是.三、解答题(每小题10分,共20分)13.求函数f(x)=+x在[2,+∞)上的最小值.14.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.15.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).①试用销售单价x表示利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?16.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.参考答案与解析1【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( ) A.,1 B.1, C.,1 D.1,【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.3【解析】选 A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x) ( )A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.4【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m≤2.5【解析】选A.因为f(x+2)=,x∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所以x=8时,y min=;x=2时,y max=,故选A.6【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.7【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,显然0<f(x)≤,故最大值为.8【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)<f(6),所以最大值为f(6).答案:f(-2) f(6)9【解析】设=t,t≥0,所以f(t)=t2-1,t≥0,所以f(x)=x2-1,x≥0,因为f(x)=x2-1在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.答案:-110【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,y min=,此时=5,所以k=20.答案:2011【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:512【解析】由>0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=b.答案:b13【解析】设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+x1--x2=+(x1-x2)=(x1-x2)<0.所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).所以f(x)=+x在[2,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(2)=+2.14【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),又因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),所以f(x2)<f(x1),所以f(x)在R上是减少的,所以f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x)min=f(6)=6f(1)=6×=-3.15【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b中,得解得所以y=-x+100(50≤x≤80).(2)①由题意可知:S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625(50≤x≤80).②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x≤80),当x=75时,利润S取得最大值625,所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件. 16【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.。
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函数的最值问题（高一）
一．填空题：
1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x
=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.
函数y =的最小值是 ，最大值是
3.函数212810
y x x =
-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21
x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x
=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .
8.函数()21
f x x =
-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值
11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251
x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是
15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是
16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：
18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是
19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题
20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。
[]2,3-∈x 1
2)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2
22.求函数y=x 2-2ax-2在区间[0，2]上的最小值．
23..求函数y=2x 2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
24.已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。
函数的最大值和最小值问题（高一）
一．填空题：
1.函数[]243,1,1y x x x =-+∈-的最大值是 ，最小值是 8；0
2.
函数y =的最小值是 ，最大值是 0；4
3.函数212810y x x =
-+的最大值是 ，此时x = 12
；2 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 92；113 5.函数[]3,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是 12
-；2 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 12 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 3 最小值是 -3 .
8.函数()21
f x x =
-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值
11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251
x x y x x ++=++的最大值是 6 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 （1，3］
15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 （–1≤a ≤0）
16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__m ∈［1，2］
17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： －4
9 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 [3/2,3]
19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题
20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
解：因为有固定的对称轴 ，且 （1）若 时，则 即 ∴
（2）若 时，则 即 ∴ 综上可知： 或 21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。
解：分析：对称轴 与区间 的相应位置分三种情况讨论：[]2,3-∈x 0>a 4)2(=f 418=+a 3=
a []2,31-∈
-1-=x 0<a 4)1(=-f 412=+
-a a 3-=a 3-=a 3=a 1
2)(2++=ax x a x f []1,0∈x []1,0a x =
a ax x x f -++-=12)(2
（1）当 时， ∴
（2）当10≤≤a 时， 即 无解；
（3）当 时， ∴a=2. 综上可知：a=-1 或 a=2
22.求函数y=x 2-2ax-2在区间[0，2]上的最小值．
解：对称轴x=a 与区间[0，2] 的相应位置分三种情况讨论：
（1）a ＜0时，在区间[0，2]上单调递增，故ymin=-2
（2）0≤a ≤2时，在对称轴处取最小值，故ymin=-a 2-2
（3）a ＞2时，在区间[0，2]上单调递减，故ymin=2-4a ，
综合可得，a ＜0时，ymin=-2
0≤a ≤2时，ymin=-a 2-2
a ＞2时，ymin=2-4a ．
23..求函数y=2x 2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
解: 函数y= 2x 2 + x-1 的对称轴是 x=14-
（1）当对称轴x= 1
4-在区间[ t , t+2 ] 的左侧时, 则 t >14- 此时函数y= 2x 2 + x-1在区
间[ t , t+2 ]上是增函数。
所以，当x= t 时 y m in = 2t 2 + t-1
(2) 当对称轴x=14-
在区间[ t , t+2 ] 上时, 则 t ≤14-≤t+2 即 9
4- ≤t ≤14-时，所以，当x=14-时 y m in = 98-
(3)当对称轴x=1
4-
在区间[ t , t+2 ] 的右侧时, 则 t+2<14- 即t <9
4-时， 函数在区间[ t , t+2 ]上是减函数。
所以，当x=t+2 时 y m in =2t 2 +9t+9
24.已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。
若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。
解：（1）令2a 1f ()32a --=，得1a 2
=-此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意； （2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2=符合题意；
（3）若3f ()32-=，得2a 3
=-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故0<a 21)0(=-=a f 1-=a 1>a 2)1(==a f 21)(2=+-=a a a f 12+-a a
2a 3=-符合题意。
综上，1a 2=或2a 3
=-。