您的位置：360文档中心› 最新空间向量在立体几何中的应用练习题

最新空间向量在立体几何中的应用练习题

合集下载

专题26 空间向量在立体几何中的运用(2)(纯答案)

专题26 空间向量在立体几何中的运用(2)(纯答案)

专题26 空间向量在立体几何中的运用（2）答案题型一、面面角例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．【解析】（1）设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a ===，2PA PB PC ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)222E A C P --. 所以31(,,0),(0,1,)22EC EP =--=-. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00EPEC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即021022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取(=m . 由（1）知AP =是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ， 则cos ,|||5⋅==n m n m n m |. 所以二面角B PC E --的余弦值为5.变式1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【解析】设AB a =，ADb =，1AAc =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内． （2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ． 设2n 为平面1A EF 的法向量，则22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --．变式2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --变式3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --． 题型二、探索性问题例2、【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析.【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）． 所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||⋅〈〉==‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P．（3）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--， 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.变式1、(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港二调）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AP ＝AD ＝2.(1) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2) 若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点M ，N 的位置．规范解答 (1)由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 从而PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0，不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分) 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝|PB →·n |PB →|·|n ||＝105，即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2)设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)．设PN →＝λPC →，则PN →＝(λ，2λ，－2λ)，而AP →＝(0，0，2)， 所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ)．(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n .所以⎩⎨⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12.所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点．(10分)变式2、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）如图，ABC 为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC 沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD 中，且直线AB 与平面ACD AD 的长.【答案】（1）2 （2. 【解析】（1）过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD . 取BC 中点O ，连接AO ，OE ， ∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴AE BC ⊥，又ABC 是正三角形，∴BC AO ⊥， 又AEAO A =，AE ，AO ⊂平面AOE ，∴BC ⊥平面AOE ，∴BC OE ⊥.又BC CD ⊥，O 为BC 的中点，∴E 为BD 的中点.∵2BC CD ==，∴112OE CD ==，AO =BD =，∴DE =AE ==∴2AD ==；（2）取BC 中点为,O 过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ,连接AO ,因为,AB AC OE BC =∴⊥.以O 为原点，以BC 为x 轴，以OE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D BC A --为θ，因为AE ⊥平面BCD ，与（1）同理可证BC ⊥平面AOE ，OE BC ⊥，AOE θ∴∠=，AO =则)A θθ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，(1,2,0)D .∴(1,)BA θθ=，(0,2,0)CD =，()CA θθ=-，设平面ACD 的法向量为(,,)nx y z =，则200n CD y n CA x y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-⋅⋅=⎪⎩， 令1z =，得(3sin ,0,1)n θ=.∴cos ,n BA <>==解得sinθ=∴1(0,,22A ，又(1,2,0)D ，∴AD ==变式3、如图1，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(如图2)．(1) 求二面角GEFD 的大小；(2) 在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程．图1图2【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则EF →＝(0，－1，0)，EG →＝(1，1，－1)． 设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝－y ＝0，n ·EG →＝x ＋y －z ＝0，取n ＝(1，0，1)．又平面EFD 的法向量为m ＝(1，0，0)，所以cos 〈m ，n 〉 ＝m ·n |m |·|n |＝22，所以二面角GEFD 的大小为45°.(2) 设PQ →＝λPB →(0＜λ＜1)，则AQ →＝AP →＋PQ →＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ)． 因为AQ ⊥PC ，所以AQ →·PC →＝0， 即2×2λ－2(2－2λ)＝0，解得λ＝12.又AD ⊥PC ，AD ∩AQ ＝A ，AD ，AQ ⊂平面ADQ ， 所以PC ⊥平面ADQ ， 故Q 是线段PB 的中点．变式4、如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA, OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1) 设P 为AC 的中点．在AB 上是否存在一点Q ，使PQ ⊥OA ？若存在，计算ABAQ的值；若不存在，请说明理由．(2) 求二面角OACB 的平面角的余弦值．【解析】 (1) 取O 为坐标原点，分别以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B(－12，32，0)．因为P 为AC 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设AQ →＝λAB →，λ∈(0，1)． 因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，所以OQ →＝OA →＋AQ →＝(1，0，0)＋λ(－32，32，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32λ，32λ，0，所以PQ →＝OQ →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32λ，32λ，－12.因为PQ ⊥OA ，所以PQ →·OA →＝0，即12－32λ＝0，解得λ＝13，所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，36，0使得PQ ⊥OA ，且AB AQ ＝3.(2) 记平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则由n ⊥CA →，n ⊥AB →，且CA →＝(1，0，－1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，－32x ＋32y ＝0，故可取n ＝(1，3，1)． 又平面OAC 的法向量为c ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，c 〉＝（1，3，1）·（0，1，0）5×1＝35，故二面角OACB 的平面角是锐角，记为θ，则 cos θ＝155.1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.D A B C M，由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)=-==(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ，2sin ,5DA =n ， 所以面MAB 与面MCD . 2、【2018年高考北京卷理数】如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交． 【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析. 【解析】（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．（2）由（1）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系E -xyz ．由题意得B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1）． ∴=(201)=(120)CD CB ，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，n ， ∴00CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量(214)=--，，n ， 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB ，，，∴cos =21||||EB EB EB ⋅<⋅>=-n n n ．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为 （3）由（2）知平面BCD 的法向量为(214)=--，，n ， ∵G （0，2，1），F （0，0，2）， ∴=(021)GF -，，，∴2GF ⋅=-n ，∴n 与GF 不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内， ∴GF 与平面BCD 相交．3、【2018年高考天津卷理数】如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】（1）见解析；（2；（3）3.【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．（1）依题意DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，， 不妨令z=–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN =（1，32-，1），可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）依题意，可得BC =（–1，0，0），(122)BE =-，，，CF =（0，–1，2）． 设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得n =（0，1，1）． 设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00BC CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得m =（0，2，1）． 因此有cos<m ，n>=||||⋅=m n m n sin<m ，n．所以，二面角E –BC –F． （3）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得(12)BP h =--，，． 易知，DC =（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DCBP DC BPDC h ⋅<⋅>==，解得h ∈［0，2］． 所以线段DP 的长为3. 4、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ，SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =.（1）证明：直线//SD 平面ACE ；（2）求二面角S AC E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）13【解析】（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似,所以2BF BC FD AD==, 又=2BE BF ES FD=,所以//EF SD , 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE ,所以直线//SD 平面ACE（2）由题,因为平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD ,以C 为坐标原点,,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,因为224BC AD CD ===,2BE ES =,则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E , 所以(0,2,2)CA =,(1,1,0)CS =,224(,,)333CE =, 设平面SAC 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CA m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)m =-,设平面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)m =--,设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3m nm n θ⋅==, 所以二面角S AC E --的余弦值为135、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABCA B C -中，平面1ACB ⊥平面11A ABB ，11AB A B =，O 为1AB 与1A B 的交点．（1）求证：1AB CO ⊥；（2）求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13. 【解析】（1）因为四边形11A ABB 为菱形，所以11A B AB ⊥，又平面1ACB ⊥平面11A ABB ，平面1A CB 平面111A ABB A B =，所以1AB ⊥平面1A CB ， 因为CO ⊂平面1A CB ，所以1AB CO ⊥.（2）因为11A B AB =，所以菱形11A ABB 为正方形，在Rt COA ∆中，CO ==在COB ∆中，CO OB ==2CB =，222CO OB CB +=， 所以，CO OB ⊥，又1CO AB ⊥，11A B AB O ⋂=，所以，CO ⊥平面11A ABB ；以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.)A，()10,A，(C，()B，设平面11ACC A的一个法向量为()1111,,n x y z=平面ABC的一个法向量为()2222,,n x y z=，则11110,0,⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11x=，得()11,1,1=-n，22220,0,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令21x=，得()21,1,1=n，设平面11ACC A与平面ABC所成锐二面角为α，则21121cos33α⋅===n nn n，所以平面11ACC A与平面ABC所成锐二面角的余弦值为13.6、（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，扇形AOB的半径为2，圆心角120AOB∠=，点C为弧AB上一点，PO⊥平面AOB且PO=，点M PB∈且2BM MP=，PA∥平面MOC．（1）求证：平面MOC ⊥平面POB ；（2）求平面POA 和平面MOC 所成二面角的正弦值的大小.【答案】(1)见证明；(2) 4【解析】（1）如图，连接AB 交OC 于点N ，连接MN ，PA ∥平面MOC ，∴PA ∥MN ，2BM MP =，2BN NA ∴=，2OA OB ==，120AOB ∠=，AB ∴=，BN ∴=，又30OBA ∠=，∴在BON △中，根据余弦定理得ON =， 222ON OB BN ∴+=，90BON ∴∠=，ON OB ∴⊥， 又PO ⊥平面AOB ，ON OP ∴⊥，ON ∴⊥平面POB ， 又ON ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面POB（2）由（1）得,,OC OB OP OC OP OB ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系O xyz -， 5OP =，2OA OB OC ===，∴OP =，(3,1,0)OA =-，(2,0,0)OC =，(0,2,0)OB =，点M PB ∈且2BM MP =，2(0,3OM ∴=， 设平面POA 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则1100n OP n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100y =-=， 令11x =，得1y =10z =，∴1(13,0)=n ，设平面MOC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则2200n OC n OM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222202033x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即22200x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21z =，得2y =，20x =，∴2(0,=n ，设平面POA 和平面MOC 所成二面角的大小为θ，则|cos |4θ==，sin 4θ∴=， ∴平面POA 和平面MOC所成二面角的正弦值的大小为4。

高中数学空间向量在立体几何中的应用题库

高中数学空间向量在立体几何中的应用题库

§3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝t a 或OP →＝OA →＋t a 或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2．线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔v 1∥v 2.2．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.3．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v 1，v 2，所以cos 〈v 1，v 2〉＝v 1·v 2|v 1||v 2|.但要注意，两直线的夹角与〈v 1，v 2〉并不完全相同，当〈v 1，v 2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．直线l 的方向向量是唯一的．( × )2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )3．若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( × ) 4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )题型一 空间中点的位置确定例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标． 解 (1)由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1.因此，P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫53，113，1. (2)因为AQ ∶QB ＝2∶1，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)，OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6)．反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1 已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B.⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 答案 C解析 设C (x ，y ，z )，∵C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，∴AC →＝13AB →，即(x －4，y －1，z －3)＝13(－2，－6，－2)，∴x ＝103，y ＝－1，z ＝73.题型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，所以MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c )．因为MN 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′—→， 所以MN →＝12AD ′—→，所以MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS . 证明 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则 MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c ，∴MN →＝RS →，∴MN →∥RS →，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，则根据题意得M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，MN →＝RS →， ∴MN →∥RS →，∵M ∉RS ，∴MN ∥RS . 题型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点．求直线MN 与AC 所成角的余弦值．解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a ， 所以|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉|＝|MN →·AC →||MN →||AC →|＝454454×5 ＝3510.所以直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 跟踪训练3 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1BCC 1的中心，求异面直线AF 与BE 所成角的余弦值． 解 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，B (2,4,0)， C 1(0,4,2)，A 1(2,0,2)， ∴E (1,2,2)，F (1,4,1)， AF →＝(－1,4,1)， BE →＝(－1，－2,2)，∴|AF →|＝18＝32，|BE →|＝9＝3， AF →·BE →＝1－8＋2＝－5，∴cos 〈AF →，BE →〉＝－532×3＝－5218.∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →〉|＝5218.即异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为5218.1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．不能确定答案 B解析 ∵a·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．1 B.52 C.12 D ．3答案 B解析 因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m ＝0，所以2m ＝9－4＝5，即m ＝52.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 答案 A解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A. 4．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4,2－2m,2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确答案 C解析 因为b ＝(4,2－2m,2－2m )≠0， 所以“a ∥b 的充要条件是a ＝λb ”， 得⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＝4λ，m －1＝λ(2－2m )，m －1＝λ(2－2m )，显然m ＝1符合题意，当m ≠1时，由m －1＝λ(2－2m )，得λ＝－12，代入4－2m ＝4λ，得m ＝3.5．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______. 答案 －14 6解析 ∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48(x ≠0，y ≠0)，∴x ＝－14，y ＝6.1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．一、选择题1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y (xD ＝/0，yD ＝/0)，解得x ＝6，y ＝152.2．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．－25 B.25 C ．－255 D.255答案 B解析 设l 1与l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a||b|＝|－4|5×20＝25.3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对答案 C解析 ∵AB →＝(－3，－2，－5)，BC →＝(2,6,4)， AC →＝(－1,4，－1)．∴AB →·AC →＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|， 故选C.5．已知点A (3,3，－5)，B (2，－3,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝23AB →，则点C 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B.⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫73，－1，－1 D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 答案 C解析 设C 点坐标为(x ，y ，z )，则AC →＝(x －3，y －3，z ＋5)，AB →＝(－1，－6,6)．由AC →＝23AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－23，y －3＝23×(－6)＝－4，z ＋5＝23×6＝4，解得x ＝73，y ＝－1，z ＝－1.即C 点坐标为⎝⎛⎭⎫73，－1，－1.6．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31)答案 B解析 设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)． ∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .8.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是( ) A ．①③④ B ．①②③④ C ．①③ D ．③④答案 A解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂平面D 1PQB 1，A 1M ⊄平面D 1PQB 1， ∴A 1M ∥平面D 1PQB 1.又D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 二、填空题9．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________. 答案 16解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.10．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，12，1 解析 设M (x ，y ，z )，则由已知，得 AM →＝λAB →＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)． 又AM →＝(x ，y ，z －1)，∴x ＝－λ，y ＝λ，z ＝1. 又CM →·AB →＝0，CM →＝(－λ－1，λ－2,4)， ∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0， ∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝12.∴M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 11．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫53，0，13 解析 设交点坐标为P (x,0，z )，则由A ，P ，B 三点共线可设AP →＝λAB →，得(x －1,2，z －3)＝λ(1,3，－4)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝λ，2＝3λ，z －3＝－4λ，解得⎩⎨⎧x ＝53，z ＝13.故AB 连线与xOz 平面的交点坐标是⎝⎛⎭⎫53，0，13.三、解答题12.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .证明 如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz . 设A (a,0,0)，S (0,0，b )，则B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2.所以EF →＝⎝⎛⎭⎫－a ，0，b 2. 取SD 的中点G ⎝⎛⎭⎫0，0，b2， 连接AG ，则AG →＝⎝⎛⎭⎫－a ，0，b 2. 因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ， 又AG ⊂平面SAD ， EF ⊄平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD .13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)， 根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋(t －2)2·cos 60°，所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点．14．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，0，－23 解析 因为AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)， P A →＝(－x,1，－z )，由P A →·AB →＝0，P A →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，得x ＝13，z ＝－23，所以P ⎝⎛⎭⎫13，0，－23. 15.如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO .解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1， 则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)， ∴OP →∥BD 1→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →，即AP ∥BQ ，又AP ∩OP ＝P ，BQ ∩BD 1＝B ， 则有平面P AO ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

高三数学一轮专题复习空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)

高三数学一轮专题复习空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)

空间向量在立体几何中的应用1. (选修21P97习题14改编>若向量a＝(1，λ，2>，b＝(2，－1，2>且a与b的夹角的余弦值为错误!，则λ＝________．答案：－2或错误!2. (选修21P89练习3>已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且错误!＝a, 错误!＝b, 错误!＝c，用a，b，c表示向量错误!＝________．b5E2RGbCAP答案：错误!(b＋c－a>3. (选修21P101练习2改编>已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1>，平面α的法向量为错误!，则m＝________.p1EanqFDPw答案：－84. (选修21P86练习3改编>已知a＝(2，－1，3>，b＝(－1，4，－2>，c＝(7，5，λ>，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于________．DXDiTa9E3d答案：错误!5. (选修21P110例4改编>在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．RTCrpUDGiT答案：错误!1. 直线的方向向量与平面的法向量(1> 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2> 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．5PCzVD7HxA2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1>，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2>，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1>，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2>．jLBHrnAILg (1> 如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2> 如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3> 若l1∥α，则e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．(4> 若l1⊥α，则e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．(5> 若α∥β，则n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．(6> 若α⊥β，则n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3. 利用空间向量求空间角(1> 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是错误!.xHAQX74J0X②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|.(2> 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是错误!.LDAYtRyKfE②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.Zzz6ZB2Ltk(3> 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ> 若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①>．dvzfvkwMI1(ⅱ> 设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角>的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③>．rqyn14ZNXI题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝________.EmxvxOtOco答案：－错误!a＋错误!b＋c错误!已知空间三点A(－2，0，2>，B(－1，1，2>，C(－3，0，4>．设a＝错误!，b＝错误!.SixE2yXPq5(1> 求a和b的夹角θ；(2>若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝错误!，AF＝1，M是线段EF的中点．6ewMyirQFL求证：(1> AM∥平面BDE；(2> AM⊥平面BDF.错误!如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1> 试证：A1、G、C三点共线；(2> 试证：A1C⊥平面BC1D；题型3 空间的角的计算例3(2018·苏锡常镇二模>如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.kavU42VRUs(1> 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2> 求二面角OOFE的正弦值．错误!(2018·江苏卷>如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．y6v3ALoS89(1> 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2> 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．1. 设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0成立的点M的个数为________．M2ub6vSTnP答案：1 个2. (2018·连云港模拟>若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1>，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3>，则l与α所成角的正弦值为________．0YujCfmUCw答案：错误!3. (2018·新课标全国卷Ⅱ>如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝错误!AB.eUts8ZQVRd(1> 证明：BC1∥平面A1CD；(2> 求二面角DA1CE的正弦值．4. (2018·重庆>如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝错误!，F为PC的中点，AF⊥PB.sQsAEJkW5T(1> 求PA的长；(2> 求二面角B-AF-D的正弦值．5. (2018·连云港调研>在三棱锥SABC中，底面是边长为2错误!的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．GMsIasNXkA(1> 若D为侧棱SB上一点，当错误!为何值时，CD⊥AB；(2> 求二面角S-BC-A的余弦值大小．1. 在直四棱柱ABCD错误!-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点．TIrRGchYzg(1> 求二面角D1错误!-AE-错误!C的大小；7EqZcWLZNX(2> 求证：直线BF∥平面AD1E.2. (2018·苏州调研>三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．lzq7IGf02E(1> 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2> 求二面角B1-A1D-C1的正弦值．3. (2018·南通二模>如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.zvpgeqJ1hk(1> 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2> 在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为错误!.NrpoJac3v1 4. (2018广东韶关第二次调研>如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙>，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．1nowfTG4KI(1> 求证： DC⊥平面ABC；(2> 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3> 求二面角B－EF－A的余弦值．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2024届高考数学立体几何专项练(7)-空间向量的应用

2024届高考数学立体几何专项练(7)-空间向量的应用

2024届高考数学立体几何专项练——（7）空间向量的应用1.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l α⊄，则使//l α成立的是().A.(1,1,2)=-a ，(1,1,2)=--n B.(2,1,3)=-a ，(1,1,1)=-n C.(1,1,0)=a ，(2,1,0)=-n D.(1,2,1)=-a ，(1,1,2)=n 2.若平面α，β的法向量分别为(sin ,cos ,2)θθ=-a ，1sin ,cos ,2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，[0,2)θ∈π，αβ⊥，则θ的值为().A.4πB.2πC.34π D.32π3.已知平面α的法向量为(1,2,2)a =- ，平面β的法向量为(2,4,)b k =--，若αβ⊥，则k 等于()A.4B.4- C.5D.5-4.设平面α与平面β的夹角为θ，若平面,αβ的法向量分别为1n ，2n ，则cos θ=()A.1212⋅n n n nB.1212⋅n n n n C.1212⋅n n n n D.1212⋅n n n n 5.已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)y =n ，若AB α⊥，则()A.6x =，2y = B.2x =，6y = C.3420x y ++= D.4320x y ++=6.在三棱锥P ABC -中，CP ,CA ,CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =,建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB 的一个法向量的是()A.11,1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知点(0,1,0)A ，(1,0,1)B --，(2,1,1)C ，(,0,)P x z ，,x z ∈R ，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为()A.(1,0,2)-B.(1,0,2)C.(1,0,2)-D.(2,0,1)-8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π69.如图所示，在正方体1111A B C D ABCD -，棱长为a ，M ，N 分别为1A B ，AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.MN 在平面11BB C C 内10.（多选）已知v 为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面αβ，的法向量（αβ，不重合），则()A.12n n αβ⇔P P B.12n n αβ⊥⇔⊥C.1v n l α⇔P P D.1v n l α⊥⇔⊥11.（多选）己知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP =--，则下列结论正确的是()A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP是平面ABCD 的一个法向量 D.AP BD∥12.（多选）如图,在正方体1111 ABCD A B C D -中,以D 为原点建立空间直角坐标系,E 为1BB 的中点,F 为11A D 的中点,则下列向量中,不能作为平面AEF 的法向量的是()A.()1,2,4-B.()4,1,2--C.()2,2,1-D.()1,2,2-13.已知直线l 的方向向量为(1,2,4)=-a ，平面α的一个法向量(2,,1)x =n ，若//l α，则x 的值为__________.14.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===.M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为______.15.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，12AF AD a ==，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为___________.16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为______________.17.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（1）求证：直线//MN 平面OCD ；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小.18.如图，P ，O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中心，E 是AB 的中点，1AB kAA =.(1)求证：1//A E 平面PBC ；(2)当k 取何值时，点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心?19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ，BD 的交点.(1)求证：1A F⊥平面EBD；AA C C；(2)求证：平面EBD⊥平面11(3)若在平面EBD上有一点H，使得CH⊥平面EBD，求证：点H在EF上.答案以及解析1.答案：B解析：在选项B 中，因为(2,1,3)(1,1,1)2130⋅=-⋅-=--+=a n ，所以⊥a n .2.答案：B解析：因为cos 210θ⋅=+=a b ，[0,2)θ∈π，所以2θπ=-.3.答案：D解析： 平面α的法向量为()1,2,2a =- ，平面β的法向量为()2,4,b k =--，且αβ⊥，a b ∴⊥，()()122420a b k ∴⋅=⨯-+⨯--- ，解得5k =-.4.答案：B解析：由两个平面的夹角概念知，12121212cos θ⋅⋅==n n n n n n n n ，故选B.5.答案：A解析：因为AB α⊥，所以//AB n，由2413xy ==，得6x =，2y =，34228x y ++=，43232x y ++=.故选A.6.答案：A解析：由题意可得(0,0,2)P ,(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,则(1,0,2)PA =-uu r ，(1,1,0)AB =-uu u r，设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ruu u r n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1z =，则2x =，2y =，(2,2,1)n ∴=.又111,1,22⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，∴平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选A.7.答案：C解析：(1,1,1)AB =---uu u r ，(2,0,1)AC =uuu r ，(,1,)PA x z =--uu r .PA ⊥Q 平面ABC ，PA AB ∴⊥uu r uu u r，PA AC ⊥uu r uuu r ，0PA AB PA AC ∴⋅=⋅=uu r uu u r uu r uuu r ，10,20,x z x z -+=⎧∴⎨--=⎩解得1,2,x z =-⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为(1,0,2)-.故选C.8.答案：B解析：解法一取11B C 的中点1D ，连接11A D ，1D C .易证11//A D AD ，故11A D ，1A C 所成的角就是AD ，1A C 所成的角.2AB AC == ，2BC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，2222(2)11AD AB BD ∴=-=-=，111A D AD ∴==，又222211(2)(2)2A C AA AC =+=+=，222211111(2)3D C D C C C =+=+=，2221111A D D C AC ∴+=，11A D C ∴△为直角三角形，111cos 2D A C ∠=，即异面直线AD 与1A C 所成的角为π3，故选B.解法二易知AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22,,022D ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022AD ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，1(0,2,2)A C =-，1111cos ,2||AD A C AD A C AD A C ⋅∴==，即异面直线AD 与1A C 所成的角为π3.故选B.9.答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于123aA M AN ==，所以2,,33a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,,33a a N a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,0,33a a MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r .又11C D ⊥平面11BB C C ，所以11(0,,0)C D a =uuuu r为平面11BB C C 的一个法向量.因为110MN C D ⋅=uuu r uuuu r ，所以11MN C D ⊥uuu r uuuu r ，又MN ⊂/平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .故选B.10.答案：AB解析：Q 平面,αβ不重合，∴平面,αβ的法向量平行等价于平面,αβ平行，故A 正确；易知B 正确；当1v n P 时，l α⊥，故C 错误；当1v n ⊥时，l αP 或l α⊂，故D 错误.11.答案：ABC 解析：2240AP AB ⋅=--+= ，AP AB ∴⊥，AP AB ∴⊥，A 对；4400AP AD ⋅=-++= ，AP AD ∴⊥，AP AD ∴⊥，B 对；AP AB ⊥ ，AP AD ⊥，AB AD A = ，AP ∴⊥平面ABCD ，AP ∴是平面ABCD 的一个法向量，C 对；(2,3,4)BD AD AB =-= ，设BD AP λ= ，即2,32 ,4,λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩方程组无解，D 错.故选ABC.12.答案：ACD解析：设正方体的棱长为2,则(2,0,0),(2,2,1),(1,0,2)A E F .所以(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-uu u ruuu r.设向量(,,)x y z =n 是平面AEF 的法向量,则20,20,AE y z AF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uuu r 取1y =,得2,4z x =-=-,则(4,1,2)=--n 是平面AEF 的一个法向量.结合其他选项,检验可知只有B 选项是平面AEF的法向量.13.答案：3解析：若//l α，则⊥a n ，所以2240x ⋅=-+=a n ，解得3x =.14.答案：2解析：易知PA AB ⊥,PA BC ⊥,AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA ,BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，(2,0,2)P ，(0,2,0)C ，由M 为PC 的中点可得(1,1,1)M ，则(1,1,1)BM = ，(2,0,0)BA =，设(,,)x y z =n 为平面MBA 的一个法向量，则0,0,BA BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即20,0,x x y z =⎧⎨++=⎩令1z =-，则1y =，所以(0,1,1)=-n ，所以点P 到平面MAB 的距离||2||BP d ⋅==n n .15.答案：63解析：由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，故AF ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为原点，AF ，AB ，AD的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(,,0)G a a ，(0,2,0)B a ，(0,2,2)C a a ，所以(,,0)GB a a =-，(0,2,2)AC a a = ，(,,0)AG a a =，设平面AGC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则220,0,AC ay az AG ax ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1x =，得(1,1,1)=-n ，因此GB 与平面AGC 所成角的正弦值为||26|cos ,|3||||32GB a GB GB a⋅〈〉===⨯ n n n .16.答案：255解析：由题意得11//A B EF ，11A B ⊂/平面1D EF ，EF ⊂平面1D EF ，所以11//A B 平面1D EF ，则点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离.以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(0,0,2)D ，(2,0,1)E ，(2,2,1)F ，1(2,0,2)A ，所以1(2,0,1)D E =-uuu r ，1(2,2,1)D F =-uuur ，1(0,0,1)A E =-uuu r.设平面1D EF 的法向量为(,,)x y z =n ，则20,220,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)=n .点1A 到平面1D EF 的距离为11225||55A E ⋅-⨯==n n uuu r ，即点G 到平面1D EF 的距离为255.17.（1）解析：如图，作AP CD ⊥于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，20,,02P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)O ，(0,0,1)M ，221,,044N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.221,,144MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，20,,22OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，22,,222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面OCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0OP ⋅= n ，0OD ⋅= n ，即220,22220,22y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取1z =，解得(0,22,1)=n .因为22(0,22,1)1,,1044MN ⎛⎫⋅=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭n ，所以MN ⊥ n ，又MN ⊂/平面OCD ，从而//MN 平面OCD .（2）答案：3π解析：设AB 与MD 所成的角为θ，因为(1,0,0)AB = ，22,,122MD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以||1cos 2||||AB MD AB MD θ⋅== ，解得3θπ=，从而AB 与MD 所成角的大小为3π.18.答案：(1)证明见解析(2)2k =解析：(1)如图，以O 为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设22AB =，则可得1222,0,A k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,1,0)E ，220,0,P k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -.(1)1221,1,A E k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(2,2,0)BC =-- ，220,2,PB k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设1A E xBC yPB =+ ，则22221,1,(2,2,0)0,2,x y k k ⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x =，1y =，所以112A E BC PB =+ .因为BC PB B = ，1A E ⊄平面PBC ，所以1//A E 平面PBC .(2)由(1)知PBC △的重心2222,,333G k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则2222,,333OG k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.若点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心，则有0,0,OG BC OG PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得2k =.所以当2k =吋，点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心.19.解析：(1)如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A ，(1,1,0)F ，(2,2,0)DB =，(0,2,1)DE = .证法1：1(1,1,2)A F =--，1(1,1,2)(2,2,0)0A F DB ⋅=--⋅= ，1(1,1,2)(0,2,1)0A F DE ⋅=--⋅=，所以1A F DB ⊥ ，1A F DE ⊥，故有1A F DB ⊥，1A F DE ⊥，又DB DE D = ，所以1A F ⊥平面EBD .证法2：设平面EBD 的法向量(,,)x y z =n ，则220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩令2z =，则1,1,x y =⎧⎨=-⎩所以(1,1,2)=-n ，因为1(1,1,2)A F =-- ，1A F =-n ，所以1//A Fn ，所以1A F ⊥平面EBD .(2)证法1：因为1A F ⊂平面11AA C C ，1A F ⊥平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面11AA C C .证法2：平面11AA C C 的一个法向量1(2,2,0)DB ==n ，因为(1,1,2)=-n ，所以1(1,1,2)(2,2,0)0⋅=-⋅=n n ，所以平面EBD ⊥平面11AA C C .(3)因为(2,2,0)DB = ，(0,2,1)DE = ，设(2,2,0)(0,2,1)(2,22,)DH xDB yDE x y x x y y =+=+=+ ，又(0,2,0)C ，则(2,222,)CH x x y y =+- ，因为CH ⊥平面EBD ，所以//CH n ，而(1,1,2)=-n ，则2222112xx y y +-==-，解得16x =，23y =，152(2,22,),,333DH x x y y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，所以152,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为(1,1,0)F ，(0,2,1)E ，(1,1,1)FE =- ，222,,333FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以23FH FE = ，即点H 在线段EF 上，且满足:2:1FH HE =.。

空间向量与立体几何综合练习题之二

空间向量与立体几何综合练习题之二

空间向量与立体几何综合练习题之二一、选择题【共10道小题】1、若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）A. (a+ b) +c=a+ (b+ c)B. (a+ b) ·c=a·c+ b·cC. m(a+ b)=ma+ mbD. (a·b)c=a(b·c)参考答案与解析:D主要考察知识点:向量、向量的运算2、已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则=(++)是O为△BCD的重心的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案与解析:C主要考察知识点:空间向量3、若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a、b夹角的余弦值为，则λ等于（）A.2B.-2C.-2或D.2或-参考答案与解析:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、在以下命题中，不正确的个数为（）①|a|-|b|=|a+ b|是a、b共线的充要条件②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λ·b③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2-2-，则P、A、B、C四点共面④若{a, b, c}为空间的一个基底，则{a+ b, b+ c, c+ a}构成空间的另一个基底⑤|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|A.2B.3C.4D.5参考答案与解析:B主要考察知识点:向量、向量的运算,空间向量5、设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,则xz等于（）A.-4B.9C.-9D.参考答案与解析:B主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°参考答案与解析:B主要考察知识点:空间向量7、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是…（）A. B.4 C.3 D.2参考答案与解析:解析：如图，取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD.在Rt△ABD中，AD=4,在Rt△PAD中，PD==4.答案：B主要考察知识点:空间向量8、一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足间的距离是（）A. B. C. a D. a参考答案与解析:解析：用异面直线上两点间的距离公式求解.答案：A主要考察知识点:空间向量9、空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为（）A. B. a C. a D. a参考答案与解析:解析：当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ= a.答案：B主要考察知识点:空间向量10、如图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）参考答案与解析:解析：P在B′B上时，应为中点.轨迹符合抛物线定义.答案：C主要考察知识点:空间向量二、填空题【共4道小题】1、A1、A2、A3是空间不共线的三点，则++=___________;类比上述性质得到一般性的结论是______________________.参考答案与解析:0++…++=0主要考察知识点:空间向量2、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1=b,∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1的长=___________.参考答案与解析:主要考察知识点:空间向量3、已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),向量c与z轴垂直，且满足c·a=9,c·b=-4,则c=___________.参考答案与解析:解析：令c=(x,y,z),则解得∴c=(,-,0).答案：(,-,0)主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为___________.参考答案与解析:主要考察知识点:空间向量三、解答题【共6道小题】1、如图，E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值.参考答案与解析:解析：设正方体棱长为a,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=a·c=0.又∵=a+b,=c+a,∴·=(a+b)·(c+a)=a2=a2.又||=a,||=a,∴cos〈,〉==.主要考察知识点:空间向量2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C.参考答案与解析:证明：∵=+, =+, ·=(+)·(+)=·-2=0,∴2=·.同理,=+ ,=+, ·=·+2=0(∵=),∴·+·=0.又=,∴·(+)=0.设D为BC的中点，则+=2,∴2·=0.∴BC⊥AD.∴AB=AC.又A1A=B1B,∴A1C=AB1.主要考察知识点:空间向量3、设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数λ、μ、υ，a4=λa1+μa2+υa3成立？如果存在，求出λ、μ、υ;如果不存在，请给出证明.参考答案与解析:解析：假设a4=λa1+μa2+υa3成立,∵a1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),a3=(-2,1,-3),a4=(3,2,5),∴(2λ+μ-2υ,-λ+3μ+υ,λ-2μ-3υ)=(3,2,5).∴解之,得故有a4=-2a1+a2-3a3.综上,知存在,且λ=-2,μ=1,υ=-3.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.参考答案与解析:(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则D(0,0,0)、E(0,0,)、C(0,1,0)、F( ,,0)、G(1,1,)，∴=(,,-),=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,).∵·=×+×(-)+(-)×0=0,∴⊥,即EF⊥CF.(2)解析：∵·=×1+×0+(-)×()=,||==,||==,∴cos〈,〉===.(3)解析：||=.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示,空间向量5、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线；(2)求D1到平面BDE的距离.参考答案与解析:(1)证明：建立如图所示的坐标系，得B(0,1,0),D1(1,0,2),F(,,1),C1(0,0,2), E(0,0,1).∴=(,,0),=(0,0,2),=(1,-1,2).∴·=0, ·=0,即EF⊥CC1,EF⊥BD1.故是CC1与1的公垂线.(2)解析：同(1)B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1).设平面BDE的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.∴(x,y,z)(1,-1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,即∴∴点D1到平面BDE的距离d====.主要考察知识点:空间向量6、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点，E为B1C的中点,(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明 理由.参考答案与解析:解析：(1)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC= a.∴B(0,0,0),C(0,a,0),A(a,0,0),A1(a,0,3a),C1(0, a,3a),B1(0,0,3a).∴D(a, a,3a),E(0,a,a).∴=(a,-a,3a),=(0,a,a).∴||=a,||= a.∴·=0-a2+a2=a2.∴cosθ==.(2)假设存在点F ，要使⊥平面B1DF，只要⊥且⊥.不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a), =(a,a,0).∵·=a2-a2=0, ∴⊥恒成立.·=2a2+b(b-3a)=0b=a或b=2a,故当||=a或2a 时，⊥平面B1DF.。

空间向量在立体几何中的应用专项练习学生版

空间向量在立体几何中的应用专项练习学生版

空间向量的应用一知识切片二．知识点击模块一利用空间向量证明平行、垂直1.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝k b(k∥R)．线面平行(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a∥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示即可．面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.2.利用空间向量证明垂直问题线线垂直：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量．线面垂直：利用向量法证明线面垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直于平面中的两条相交直线所在的方向向量，即证明它们的方向向量的数量积为0.面面垂直：α∥β∥n1∥n2∥n1·n2＝0.题型一利用空间向量证明平行问题例1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.练习1.如图3­2­5，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D.图3­2­5练习2.在如图3­2­6所示的多面体中，EF∥平面AEB，AE∥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.图3­2­6题型二利用空间向量证明垂直问题线线垂直例1.在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F∥C1E. 练习1.正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：图3­2­3(1)BD1∥AC；(2)BD1∥EB1.线面垂直例2.如图3­2­14所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE∥平面A1D1F.图3­2­14方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．练习1.如图3­2­15，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1∥平面P AC.图3­2­15面面垂直1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．例3.如图3­2­17所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1∥平面AA1C1C.图3­2­17练习1.在四面体ABCD中，AB∥平面BCD，BC＝CD，∥BCD＝90°，∥ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF∥平面ABC.练习2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED∥平面B1BD.模块二 异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则l 1与l 2所成的角θa 与b 的夹角β范围(0，π2][0，π]求法cos θ＝|a ·b ||a ||b |cos β＝a ·b|a ||b |注意：1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．2．由于两异面直线夹角θ的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．题型一 异面直线夹角 几何法例1.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与1DC 所成角的大小为( )A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒练习1.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 5 B 5 C 10 D 10练习2.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，13AA AB=1BC 与1D C 所成角的余弦值为( )A ．12B ．35C ．34D 2练习3.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是( ) A 3 B 2 C 3 D 2向量法例2.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB 11AA =，则直线1A C 和1BC 所成的角的余弦值为( ) A 7 B 27C 42D 6练习1.如图3­2­7，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )图3­2­7A.15 B ．25 C.35 D ．45练习2.如图3­2­4，在三棱锥V ­ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∥VDC=π3，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．图3­2­4第 11 页 共 49 页模块三 线面角 1.平面的法向量已知平面α，如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n 与平面α正交． 2.三垂线定理 （1）正射影已知平面α和一点A ，过点A 作α的垂线l 与α相交于点A ′，则A ′就是点A 在平面α内的正射影，简称射影． （2）三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直． （3）三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 3.直线与平面所成的角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0；(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)； (4)直线与平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. 4.直线与平面所成角的求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |. 5.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：如图，OB 是OA 在平面α内的射影，OM∥α，θ是OA 与OM 所成的角， θ1是OA 与OB 所成的角，θ2是OB 与OM 所成的角，则cos θ＝cos_θ1cos_θ2. (2)最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．第 12 页 共 49 页题型一 定义法求线面角求法：作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．例1.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，试求B 1D 1与平面A 1BCD 1所成角的正弦值 ．练习1.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上的点，且4AB EB =，则直线1C E 与平面11ADD A 所成角的正切值为( )A 2B 2C 2D 17练习2.正三棱柱111ABC A B C -中1AB AA =，则1B C 与平面11AA B B 所成角的余弦值为( ) A 10 B 15 C 6D 6练习3.在三棱锥P ABC -中，已知ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，12PA =，则AB 与平面PBC 所成角的余弦值为( )A 257B 57C 133D 133第13页共49页题型二最小角定理求线面角例1.如图所示，已知BOC∠在平面α内，OA是平面α的斜线，且60AOB AOC∠=∠=︒，OA OB OC a===，2BC a=，求OA和平面α所成的角．练习1.PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60︒，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为()A．12B．63C．33D．32练习2.已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且45AOB BOC∠=∠=︒，则AOC∠的大小为()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒练习3.四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD∥平面ABCD.若∥PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.第14页共49页第 15 页 共 49 页题型三 向量法求线面角 长方体建系例1.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =． （1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角；练习1.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===． （1）证明：AE ⊥平面ECD ．（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．第16页共49页第 17 页 共 49 页菱形建系例2.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD AD =，60DAB ∠=︒，PD ⊥底面ABCD ． （1）求证AC PB ⊥；（2）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值．练习1.如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （∥）证明1AB AC ⊥； （∥）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，2AB CB ==，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．第 18 页 共 49 页练习2.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（∥）证明：PC ⊥平面BED ；（∥）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小．第 19 页 共 49 页梯形建系例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC BC ===，22AB =，//AB DC ，90BCD ∠=︒．（∥）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（∥）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．练习1.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =（∥）证明：AC ⊥平面BCDE ；（∥）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．棱台建系第 20 页 共 49 页例4.已知三棱台111A B C ABC -，111224AB AC AA A B ====，160A AB ∠=︒，90CAB ∠=︒，1BB AC ⊥，E 为线段AB 的中点． （1）证明：1AC B E ⊥；（2）求直线CE 与平面11A C E 所成角的正弦值；练习1.如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，11122AB AA A B ===．（∥）若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面11AA B B ； （∥）求直线1DD 与平面1A BD 所成角的正弦值．圆建系例5.如图，在圆锥PO 中，已知2PO =OD 的直径2AB =，点C 在AB 上，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点．（∥）证明：AC ⊥平面POD ；（∥）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．练习1.圆O 上两点C ，D 在直径AB 的两侧（如图甲），沿直径AB 将圆O 折起形成一个二面角（如图乙），若DOB ∠的平分线交弧BD 于点G ，交弦BD 于点E ，F 为线段BC 的中点． （∥）证明：平面//OGF 平面CAD ；（∥）若二面角C AB D --为直二面角，且2AB =，45CAB ∠=︒，60DAB ∠=︒，求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值．模块四二面角1．二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α­l­β，若A∥α，B∥β，则二面角也可以记作A­l­B平面角在二面角α­l­β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA∥l，OB∥l，则∥AOB叫做二面角α­l­β的平面角(2)二面角的范围设二面角为α，则0°≤α≤180°.2．直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角．3．二面角的度量(1)如图∥，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．(2)如图∥∥，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．题型一 定义求二面角用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；例1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π练习1.如图3­2­24，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A ­VB ­C 的余弦值 ．图3­2­24练习2.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长都相等，则二面角1A BC A --的平面角的正切值为( )A ．62B ．3C ．1D ．233例2.如图所示，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处，从A ，B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值．练习1.已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，52CD =，则这个二面角的度数为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．90︒D ．150︒题型二 向量法求二面角例3.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥． （1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．例4.在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=︒，N 是BC 的中点，将ABCD 绕AB 旋转90︒，得到梯形ABC D ''． （1）求证//C N '平面ADD '； （2）求二面角A C N C -'-的余弦值．练习1.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，E 、F 、G 分别是棱11A B 、AB 、11A D 的中点．（∥）求证：GE ⊥平面1FCC ； （∥）求二面角1B FC C --的余弦值．练习1.如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．（∥）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ； （∥）求二面角E BC F --的正弦值；（选做）（∥）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．模块五 距离点到平面的距离（点线距、线线、线面距、面面距计算方式与点面距相同）如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为 |BO →|＝|AB →·n ||n |.题型一 点线距例1．在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，PA ⊥平面ABC ，8PA =，则点P 到BC 的距离是( )A 5B ．5C ．35D ．45练习1．已知长方体1111ABCD A B C D -的1AA 、AB 、AD 的长分为3、4、5，则点A 到棱11B C 的距离为 ． 练习2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为( )A ．25144B ．512C ．1320D 105例2．已知(1A -，2，1)，(0B ，1，1)，(2C ，0，1)-，则点A 到直线BC 的距离等于( ) A 2 B 3 C ．1D ．2题型二 异面直线距离例1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为 ．练习1．ABCD 是边长为2的正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 的距离为( ) A 2 B 3C 3 D ．1题型三 点到面的距离例1．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC AB ====，设S ，A ，B ，C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则O 到平面ABC 的距离为( )A 3B 2C 6D 2练习1．从平面α外一点P 引平面α的垂线，垂足为H ，PA 、PB 是平面α的两条斜线（点A 、B 在平面α内），5PA =，42PB =34AH BH =，则点P 到平面α的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．143第 31 页 共 49 页练习2．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例2.在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为( ) A 3 B 3 C 33D 3练习1．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，则点1A 到平面11AB D 的距离为( ) A 3 B 35C 310D 3练习2．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则平面11AB D 与平面1BC D 间的距离为( ) A 3B 6 C 43D ．23第 32 页 共 49 页例3．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，12AB DC =，F 为PD 的中点． （1）求证：//AF 平面PBC ；（2）设二面角P CD B --为45︒，若2AD =，4CD =，求点F 到平面PBC 的距离．练习1．如图，在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，SAC ∆是等腰直角三角形，90ASC ∠=︒，且2AB SB ==，O 为AC 中点．（1）求二面角S AC B --的大小． （2）求点O 到平面SAB 的距离．第 33 页 共 49 页模块六 存在性问题题型一 存在平行垂直例1．在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （∥）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（∥）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论．练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB DC ，DC AC ⊥． （∥）求证：DC ⊥平面PAC ；（∥）2AB =，1AC PC ==，求点C 到面PBA 的距离；（∥）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面CEF ？说明理由．第34页共49页第 35 页 共 49 页例2．如图．在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面三角形ABC 是等边三角形）中，1BC CC =，M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点．（1）求证：平面//NPC 平面1AB M ；（2）在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点． （1）若F 为PC 的中点，求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（3）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．第36页共49页第 37 页 共 49 页题型二 存在线面角、二面角例1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AB AD =，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PD 的中点．（1）在棱BC 上取一点F 使直线//EF 平面PAB 并证明；（2）在（1）的条件下，当PF 上存在一点M ，使得直线CM 与底面ABCD 所成角为45o 时，求二面角M CD A --的余弦值．练习1．如图，在等腰直角三角形ADP 中，90A ∠=︒，3AD =，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且//BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，现将PBC ∆沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF ．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）是否存在点B ，当将PBC ∆沿BC 折起到PA AB ⊥时，二面角P CD E --15？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由第 38 页 共 49 页例2．如图，四边形ABCD 为矩形，ABE ∆和BCF ∆均为等腰直角三角形，且90BAE BCF DAE ∠=∠=∠=︒，//EA FC ．（1）求证：//ED 平面BCF ； （2）设BCABλ=，问是否存在λ，使得二面角B EF D --3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC ==，22AD =2PB ，PB AC ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的6AEAP的值；若不存在，请说明理由．第 39 页 共 49 页练习2．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 211CMCA的值；若不存在，请说明理由．第 40 页 共 49 页三 当堂练习1．若正四面体D ABC -的每条棱长均为2，则二面角D AC B --的余弦值为( ) A ．12B ．13C ．14 D ．12-2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点． （∥）求证：1//BC 平面1AD E ；（∥）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．3.在长方体1111ABCD A B C D -中，如果1AB BC ==，12AA =，那么A 到直线1A C 的距离为( ) A 26B 36C 23D 6第 41 页 共 49 页4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，若6AB =，则点B 到平面ACE 的距离等于( )A 5B 6C 36D ．35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BCD ∠=︒，2BC AD =，E 是PB 的中点．（1）证明：//AE 平面PCD ；（2）已知2PA =，1AD CD ==，求点E 到平面PCD 的距离．第 42 页 共 49 页6.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，2AB =，1BC =，设EAB θ∠=，且3tan θ=，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ．（1）求三棱锥C ABE -的体积；（2）在CD 上是否存在一点M ，使得//MO 平面ADE ？证明你的结论．7．如图，在多面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，EF ⊥平面ADE ，BE DE ⊥（1）求证：AE CF ⊥．（2）若244AB EF CD ===，2AE DE +=，且直线BD 与平面ABFE 所成θ的正切值为17，求二面角A BC F --的余弦值．第 43 页 共 49 页四 典型题巩固1．若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为( )A ．14B ．13C ．12D ．232.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为( )A 3B 5C 3D 53.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒．（1）证明：AC PE ⊥；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 33，若存在，确定点F 位置；若不存在，说明理由．第 44 页 共 49 页4.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒．（∥）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；（∥）若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．5.如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为直角梯形，BC CD ⊥，1CD =，N 为AB 中点，(,0)AM AF R λλλ=∈>． （∥）设ND 中点为Q ，12λ=，求证：//MQ 平面ABC ； （∥）若M 到平面BCD 33，求直线MC 与平面BCD 所成角的正弦值．第 45 页 共 49 页6.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=︒，45BDC ∠=︒，PD 垂直底面ABCD ，22PD R =，E ，F 分别是PB ，CD 上的点，且PE DF EB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG ∆是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG ∆的面积．第 46 页 共 49 页7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<（∥）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（∥）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．8.如图，已知直角梯形ACEF 与等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，//EF AC ，12EF AC ==，EC AC ⊥，112AD DC CB CE AB =====． （∥）证明：BC AE ⊥；（∥）求二面角D BE F --的余弦值；（∥）判断直线DF 与平面BCE 的位置关系，并说明理由．第 47 页 共 49 页9．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，且12PA =，则点P 到BD 的距离为( )A ．66B ．63C 2D ．6510．在三棱锥A BCD -中，AC ⊥底面BCD ，BD DC ⊥，BD DC =，AC a =，30ABC ∠=︒，则点C 到平面ABD 的距离是( ) A 5 B 15 C 3 D 1511．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．（1）求证：//AF 平面PEC ；（2）求点D 到平面PEC 的距离．第 48 页 共 49 页12．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒．（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PM MC的值．13．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，3AB AD AE ===EC BD ⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）设线段AE 的中点为M ，线段AB 的中点为N ，且P 在线段MN 上运动，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．第49页共49页。

空间向量在立体几何中的应用 A卷 必备知识全优+答案解析(附后)

第一章空间向量与立体几何单元 2 空间向量在立体几何中的应用A卷必备知识全优一、单选题（本大题共6小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若平面，且平面的一个法向量，则平面的一个法向量可以是( )A. B. C. D.2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，在长方体中，设，，P是的中点，则与所成角的大小为( )A. B. C. D.4.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )A. 10B. 3C.D.5.设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，且，当为锐角时，的取值范围是( )A. B. C. D.6.如图，四边形ABCD是矩形，，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，平面ABCD，若，则直线EG与平面ABG所成角的正弦值为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15分。

在每小题有多项符合题目要求）7.已知，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是( )A. B. C. D.8.下列命题中是假命题的为( )A. 若向量，则与，共面B. 若与，共面，则C. 若，则P，M，A，B四点共面D. 若P，M，A，B四点共面，则9.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成的二面角，已知直角边，，那么下列说法正确的是( )A. 平面平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是三、填空题（本大题共3小题，共15分）10.已知两个不同的平面，的法向量分别是，，则平面，的位置关系是__________.11.若平面的一个法向量，平面的一个法向量，两平面夹角的正弦值为，则___________.12.在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，且，，则直线DA与平面ABC 所成角的余弦值为__________.四、解答题（本大题共4小题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.本小题12分如图所示，平行六面体中，平面ABCD，，证明：平面；求点B到平面的距离．14.本小题12分如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．证明：；当E为AB的中点时，求点E到平面的距离．15.本小题12分如图，在三棱柱中，侧面为正方形，点M、N分别是、AC的中点，平面求证：平面BCM；若四边形是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．16.本小题12分如图，已知斜三棱柱中，，，点在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且.求证：；在直线上找一点M，使得二面角的平面角为答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面的法向量，应用法向量的定义求解即可.【解答】解：平面，平面的法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为对于A，，A错误；对于B，，B错误;对于C，，C正确;对于D，，D错误．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面平行的坐标表示，属于基础题.【解答】解：，对于选项A，，A不正确;对于选项B，，B不正确；对于选项C，，所以，所以，C正确;对于选项D，，D不正确．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间异面直线所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以与所成角的大小为，一题多解：连接，PD，易知为所求角．在中，，所以为等边三角形，所以4.【答案】D【解析】【分析】本题考查点面距离的向量求法，属于基础题.【解答】解：易知，则点P到平面的距离故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量夹角的坐标表示，属于基础题.【解答】解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，显然，不共线，由为锐角得，即，所以，即，解得或，由题意知，所以故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间线面角的求法，属于基础题.【解答】解：四边形ABCD为矩形，∽，是AD的中点，又矩形ABCD中，，，，在中，，易知，在中，，，平面ABCD，AC，平面ABCD，，、FE、FG两两垂直．如图，以点F为原点，FA、FE、FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，设是平面ABG的法向量，则取，则，，设直线EG与平面ABG所成角的大小为，则，，直线EG与平面ABG所成角的正弦值为故选7.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面的法向量，属于基础题.【解答】解：设平面AOB的法向量是，则即得，令，解得，令，解得故或故选8.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，共面定理，属于中档题.【解答】解：对于选项A，由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题;对于选项B，若，共线，则不一定能用，表示出来，B是假命题;对于选项C，若，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则不成立，D是假命题．故选9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查空间面面垂直的判定，棱锥的体积，二面角与线面角的向量求法，属于较难题.【解答】解：如图所示．对于B选项，由于，，故是二面角的平面角，则，，平面BCD，过点B作交CD的延长线于点平面BCD，平面BCD，，，，平面ACD，故BE是三棱锥底面上的高.折叠前，易知，，，，，，故B选项错误;以D为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，过D点且平行于BE的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A选项，易知，，，，，设平面ABC的法向量为，则取，则，，，易知平面ACD的一个法向量为，则，平面ACD与平面ABC不垂直，故A选项错误;对于C选项，易知平面BCD的一个法向量为，，，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，，，故C选项正确;对于D选项，易知，又平面ACD的一个法向量为，，，与平面ACD所成角的正弦值是，故D选项正确.故选10.【答案】【解析】【分析】本题考查面面平行的向量表示，属于基础题.【解答】解：，，，，故答案为11.【答案】【解析】【分析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：设平面，的夹角为，又平面的一个法向量，平面的一个法向量，所以.由已知得，故故，即，即，解得故答案为12.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面ABC的法向量，则即令，得，，，设直线OA与平面ABC所成的角为，则，，故答案为13.【答案】解：证明：平面ABCD，，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，，又，，以C为原点，CD，CA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知，，，，，，，，，，，又，平面，平面，平面由可知是平面的一个法向量，又，，点B到平面的距离【解析】本题考查线线垂直的坐标表示，空间向量求点到直线的距离，属于基础题.14.【答案】解：分别以DA、DC、为x、y、z轴，建立如图的坐标系，，，，，，则，设，所以，，；当E为AB的中点时，，，设平面的法向量是，求出，，由，得由点到平面的距离公式，得，点E到面的距离是【解析】本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．建立如图的坐标系，则，设，则，通过向量的数量积为0，计算可得；当E为AB的中点时，，，求出平面的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面的距离．15.【答案】解：证明：设BC的中点为Q，连接NQ，MQ，因为Q、N分别为BC、AC的中点，所以，且，又，且，M为中点，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又因为平面BCM，平面BCM，所以平面因为平面BCM，BM，平面BCM，所以，因为，，，所以平面以B点为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为四边形是边长为2的菱形，点M是中点，且，所以，易知，，，，，，则，，设平面的法向量为，则即令，则，，则，设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查线面平行的判定，空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题.16.【答案】解：证明：作交AB于点E，分别以DE，DC，所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，所以，，所以，所以设，易知，，设平面的法向量为，则即解得，令，得，，所以易知平面的一个法向量为，所以，解得，所以点M在的延长线上且【解析】本题考查线线垂直的坐标表示，空间向量求二面角，属于中档题.。

高三数学 寒假作业专题四空间向量在立体几何中的应用 试题

舒城中学高三年级2021─2021学年寒假作业制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

数学局部专题〔四〕空间向量在立体几何中的应用一．利用空间向量求空间角和间隔〔一)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，那么cos φ＝|cos θ|＝a b a b (其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．[例19] 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4， AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FBEC 1与FD 1所成角的余弦值．解：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，那么D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，于是EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)．设EC 1与FD 1所成的角为β，那么 cos β＝1111EC FD EC FD＝222222143222132422⨯-+⨯+⨯++⨯-++＝2114.变式训练43,直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点． 〔1〕求证：CE ⊥A ′D ；〔2〕求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．变式训练44,在几何体A －BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.〔1〕求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；〔2〕试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．〔二〕直线和平面所成的角的求法如下图，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，那么有sin φ＝|cos θ|＝n e n e .[例20]如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．求AB 与平面SBC 所成角的大小．解：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如下图的空间直角坐标系C —xyz 。

(整理版)空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案

空间向量在立体几何中的应用莎【考纲说明】1能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2•会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题; 3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算1、向量的几何运算(1)向量的数量积：已知向量，贝U 叫做的数量积，记作，即空间向量数量积的性质：①；②；③•r r r r r r (2)向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯个实数，使b a .2、向量的坐标运算(1)若，，则.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

(2)若，，则；(3)夹角公式：(4)两点间的距离公式：若，，贝U二、空间向量在立体几何中的应用2利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利甲线向量和共面向量定理进行证明.二3•利用空间向量证明垂直问题’对于垂直问题，一般是利用进行证明；4•利用空间向量求角度(1)线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为(2)线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为(线线角的范围[0°,900])(3)二面角的求法：设n i，n2分别是二面角其补角的大小(如图)的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或5•利用空间向量求距离(1)平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，列出两个三元一组解，即得到平面的一个法向量(如图) 。

次方程，联立后取其(2)利用法向量求空间距离(a) 点A到平面的距离：(b) 直线与平面之间的距离：(c) 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

，其中，是平面的法向量。

，其中，是平面的法向量。

【经典例题】【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-AB i C i D i 中，B B i 与平面AC D i 所成角的余弦值为（【解析】D【例2】（20i0全国卷2文）已知三棱锥 SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面 ）（20i2重庆）如图，在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，AB=4 , AC=BC=3 , D 为AB 的中点。

高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)

高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

D1
A1
D
A
B1C1C
B
教师: 李老师 学生: 年级: 科目： 数学 时间: 2012 年 月 日 内容：
空间向量在立体几何中的应用练习题
一、 选择题：
1．三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA=4，AB=3，D 为AB 的中点∠ABC=90°，则点D 到面SBC 的距离等于 （ ）
A ．125
B ．95
C ．65
D ．3
5
2．向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线（其中n
m
n R n m 则且)0,≠∈等于 （ ）
A ．21-
B ．21
C ．－2
D ．2
二、 填空：
1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶1111D C B A ABCD -的容
积是V ，里面装有体积为V 3
2
的水，放在水平的地面上（如图所示）. 现以顶
点A 为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A 处流出时，棱1AA 与地面所成角的余弦值为
2. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+PB PA ，则点P 的轨迹是 .
3．（浙江省桐乡一中2011届高三文）如图，边长为a 的正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：
①动点A′ 在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②三棱锥A′—FED 的体积有最大值；③恒有平面A′GF ⊥平面BCED ；④异面直线E A '与BD 不可能互相垂直； ⑤异面直线FE 与D A '所成角的取值范围是(0,)2
π
.
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
1．如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

（I ）求证：C 1D//平面ABB 1A 1；
（II ）求直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D —A 1C 1—A 的余弦值。

2．如图①，正三角形ABC 边长2，CD 为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC 中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图②
(1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由 (2)求二面角D AC B --的余弦值 (3)求点C 到面DEF 的距离
图 ① 图 ②
3． 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中
点.
（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值；
（2）求证：11//AC B CD 面； （3）求证：11A B B CD ⊥面
4． 如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2． （1）求证：AE//平面DCF ；
（2）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60．
5.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交
点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；
O S A B
C D E （Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时，
试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．
6.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交
点为O ，E 为侧棱SC 上一点．
（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；
（Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．
7. 已知：如图，长方体
中，、
分别是棱
,
上的点，
,
.
（1） 求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2） 证明平面
； （3） 求二面角
的正弦值.
8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，且11(01)PC CC λλ=<<u u u u r u u u u r
． （I ）求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥；
（II ）若1
3
λ=，求二面角1P AB B --的余弦值；
（III ）是否存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影 平分
1B AC ∠？若存在, 求出λ的值, 若不存在，说明理由．
9.已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD .异面直线PB 与CD 所成的角为45°.求： ⑴二面角B —PC —D 的大小；
⑵直线PB 与平面PCD 所成的角的 大小.
10.如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，
四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC。

（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若2
AB=，1
BC=，
3
tan
2
EAB
∠=，试求该几何体的体积V．
11.如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是矩形，,2
PA ABCD PA AB
⊥==
底面,点E是棱PB的中点. （1）证明：AE PBC
⊥平面;
(2)若AD=1，求二面角B EC D
--的大小.
E
P
D
C
B
A
12.如图， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点
（Ⅰ）求证：AC ⊥BC 1；
（Ⅱ）求二面角1D CB B --的平面角的正切值．。

相关文档
最新文档