新北师大版八年级数学上册《七章 平行线的证明 2 定义与命题 认识证明》公开课课件_4
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明定义与命题课件
【基础训练】
1. 下列句子中，是命题的是（ D ）
A. 今天的天气好吗
B. 作线段AB∥CD
C. 连接A，B两点
D. 正数大于负数
2. 下列叙述中错误的是（ B ）
A. 所有的命题都有条件和结论
B. 所有的命题都是定理
C. 所有的定理都是命题
D. 所有的公理都是真命题
3. 下面命题中，是假命题的为（ C ） A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 B. 任意三角形的内角和都是180° C. 三角形的外角大于该三角形任意一个内角 D. 直角三角形中的两个锐角互余 4. “同位角相等，两直线平行”是 公理 ，“同旁内角互补，两直线平行” 是 定理 ，“两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称两条直线互相 垂直”是 定义 .（填“定义”“公理”或“定理”） 5. 下列命题： ①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等； ③若a=b，则 a2=b2；④角平分线上的点到角的两边的距离相等.逆命题是真命题的是：①④ .
【拓展训练】 9. 指出下面命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题，请举 出反例. 如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17. 命题的条件是已知一个等腰三角形，它的两条边长分别为5和7；结论是 这个等腰三角形的周长为17.是假命题. 反例：一个等腰三角形，它的两条边长分别为5和7，第三条边长是7的话， 满足已知条件，但是这个等腰三角形中哪些是命题:（打“√”) （1）动物都需要水（ √ ）; （2）猴子是动物的一种（ √ ）; （3）玫瑰花是动物（ √ ）; （4）美丽的天空（ ）; (5)三个角对应相等的两个三角形一定全等（ √ ）; （6）负数都小于零（ √ ）; （7）你的作业做完了吗（ ）; （8）所有的质数都是奇数（ √ ）.
八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题教案(新版)北师大版
2 定义与命题教学目标【知识与技能】1．理解公理和定理的概念；2．会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．【过程与方法】通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．【情感、态度与价值观】使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．教学重难点【重点】公理、定理的概念．【难点】正确认识公理、定理、命题(真命题)之间的区别．教学过程一、复习旧知1．判断下列句子中，哪些是命题?哪些不是命题?(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交．( )(2)画一个长方形和正方形．( )(3)直角小于钝角．( )(4)4是偶数吗?( )一般地，对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．命题由可看作由题设(或条件)和结论两部分组成．2．思考下列命题的条件是什么?结论是什么?(1)如果地面是潮湿的，那么下雨了．(2)同位角相等，两条直线平行．(3)三角形两边之和大于第三边．在上述命题中，哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?3．什么叫做真命题，什么叫做假命题?正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．二、探究新知1．新课引入．师：通过刚刚的复习，我们回顾了真命题与假命题的概念，也知道要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢?能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗?这我们在以前的学习过程中已经探讨过，这种方法不可靠．那么，是否可以根据已经知道的真命题证实呢?试想一下，这样的真命题又该如何证实它是正确的呢?2．介绍定理的概念．阅读教材内容，并回答下列问题：(1)定理的概念是什么?(2)我们学过哪些定理?小结：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．3．请用学过的定理说明下面这些命题的正确性．(1)同角(等角)的补角相等．(2)同角(等角)的余角相等．(3)三角形的任意两边之和大于第三边．几何证明如下：(1)已知∠1=∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，求证∠3=∠4．证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2．∵∠1=∠2．∴∠3=∠4．同理可证同角的补角相等．(2)证明过程与(1)类似，鼓励学生自我证明．(3)引导学生任取三角形的两个顶点，根据“两点之间线段最短”可知命题正确．三、例题讲解【例】如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC=∠BOD．【答案】∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等) 小结：得到定理：对顶角相等．四、课堂小结本节课学习了哪些内容?反思自己在学习过程中的优缺点、不足之外，并积极总结发言．。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明 2 定义与命题教学课件
小结(xiǎojié)
原名、公理、证明 、 (zhèngmíng) 定理的定义及它们的关系
一些条件
+
原名、公理
推理(tuīlǐ)的过 程叫证明
经过证明的真命题叫定 理
推理
证实其它命 题的正确性
第九页，共十二页。
谁 得 优？
A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩： A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。”
验证特例等方法.
哦……那可 怎么办
这些(zhèxiē
题证实呢?
第六页，共十二页。
哪已经知道的真 命题又是如何证
实的?.
读一读
古希腊数学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后(qiánhòu)).
原名:某些(mǒu xiē)数学名词称为原名. 公理(gōnglǐ):公认的真命题称为公理. 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推
理的过程称为证明.
定理:经过证明的真命题称为定理.
有关概念、公理 条件1
定理1
有关概念、公理
条件2
定理2 ……
第七页，共十二页。
定理3
……
本套教材选用(xuǎnyòng)如下命题作为公理 : 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面(píngmiàn)内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直； 4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 8.三边对应相等的两个三角形全等.
北师版八年级数学上册第七章 平行线的证明2 定义与命题
知2－练
解：(1)条件：两个角互为补角. 结论：这两个角相等. 假命题. (2)条件：a＝b. 结论：a＋c＝b＋c. 真命题. (3)条件：两个长方形的周长相等. 结论：这两个长方 形的面积相等. 假命题.
知2－练
3-1. 判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题， 请举出反例. (1)直角都相等. 解：真命题． (2)同角或等角的补角相等. 真命题．
如__果__两__条__线__段__分__别__是__全__等__三__角__形__对__应__ _边__上__的__高__，__那__么__这__两__条__线__段__相__等___；
感悟新知
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程 .
知3－练
解：已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC， A′D′⊥B′C′. 求证：AD＝A′D′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴AB＝A′B′(全等三角形的对应边相等)， ∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)，
定理 经过证明的真命题称为定理
核心 要点
公理不需要推理证明，定理是经过证明得到的，但并 不是所有的真命题都是定理，无论是公理还是定理都 可以作为证明的依据
感悟新知
知3－讲
特别解读 公理与定理的异同：
相同点：①都是真命题；②都可以作为证 明其他命题的依据 .
不同点：公理的真实性是通过长期实践被 证实的，不需要推理证明；定理是经过证明的 真命题 .
写成“如果……那么……”的形式为如果两条直线被第
三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行 . (2)延长 BA 到点 C
延长 BA 到点 C 不是命题 .
感悟新知
(3)同角的余角相等 解：同角的余角相等是命题 .
北师大版初中数学八年级(上)第七章平行线的证明7-2定义与命题(第1课时) 教学详案
第七章 平行线的证明2 定义与命题第1课时 认识定义与命题教学目标1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.了解命题的含义及结构，能分清楚一个命题的条件和结论，会把一个命题写成“如果……，那么……”的形式．3.了解命题结构的基础上，能判断命题的真假．教学重难点重点：通过对实例的交流分析，理解定义、命题的概念，能分析命题的条件和结论； 难点：在了解命题结构的基础上，能判断命题的真假.教学过程导入新课提出问题：你能说一说什么样的三角形是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形吗？即：三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.有一个角为90°的三角形叫做直角三角形.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形.在数学学习中，教材对许多名称和术语进行了“定义”，你能举出一些例子吗？ 探究新知1.什么是定义？一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义．即对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.如：(1)“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是__两点之间的距离的定义．(2)_两组对边分别平行的四边形_是平行四边形的定义.议一议下面语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n 为怎样的自然数，式子 的值都是质数； 211n n -+（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB＝CD.即（1）（2）（3）（4）都对事情作出了判断，（5）（6）没有对事情作出判断.一般地，对某一件事情作出正确或不正确判断的句子叫做命题．命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定.作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整.从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句．想一想观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a＝b，那么a2＝b2；（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.即：命题的形式：如果……那么…….命题的结构：由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.“如果” 引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.例下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果a≠b,b≠c,那么a≠c；（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（3）全等三角形的面积相等.【解】(1)条件：a≠b,b≠c，结论：a≠c.(2)条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，结论：这两个三角形全等.(3)条件：两个三角形全等，结论：它们的面积相等.做一做下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?(1)如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等;(2)如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形;(3)直角三角形的两锐角互余;(4)两直线平行，同位角相等;(5)如果两个角相等，那么它们是对顶角.上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?即：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等，结论：这两个三角形全等；（2）条件：一个三角形中有两个角相等，结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条件：直角三角形的两锐角，结论：两锐角互余；（4）两直线平行，结论：同位角相等；（5）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.（1）（2）（3）（4）正确，（5）不正确，如图，∠AOC＝90°，则∠BOD＝90°,∠AOB=∠DOC，但不是对顶角.我们把正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，只需举一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.课堂练习1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）画一个角等于已知角.（2）两直线平行，内错角相等.（3）a、b两条直线平行吗？（4）若a2＝4，求a的值.（5）若a2＝b2，则a＝b.2.判断下列命题的真假.真命题用“√”表示，假命题用“× ”表示.（1）同旁内角互补；（2）两点可以确定一条直线；（3）两点之间线段最短；（4）一个角的补角大于这个角；（5）同角的余角相等.3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；（2）在同一个三角形中，等角对等边；（3）对顶角相等.参考答案1.（2）（5）是命题，（1）（3）（4）不是命题.2.（1）×（2）√（3）√（4）×（5）√3.（1）条件：两个三角形中三条边对应相等，结论：两个三角形全等，如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.(2)条件：在同一个三角形中有两个角相等,结论：这两个角所对的边也相等,如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(3)条件：两个角是对顶角,结论：两个角相等,如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.课堂小结1.定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.2.命题: 概念：对某一件事情作出正确或不正确判断的句子.结构：如果……那么……分类：真命题、假命题反例布置作业习题7.2第2,3题板书设计第七章平行线的证明2定义与命题第1课时认识定义与命题1.定义2.命题: 概念结构：如果……那么……分类：真命题、假命题反例。
北师大版八年级数学上册第7章 平行线的证明 定义与命题
请你举出你所熟知的一些定义例子.
例如: 1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人 民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定 义； 2.“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距 离” 是“两点之间的距离”的定义； 3.“无限不循环小数称为无理数” 是“无理数” 的定义.
结论
⑵ 在同一个三角形中，等角对等边；
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等. 条件
结论
⑶ 对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
定义与命题
定义 命题
概念：判断一个事件的句子 结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3) 平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行.
命题一般都可以写成“如果……那么……” 的形式. 反之，如果一个句子没有对某一件事情 作出任何判断，那么它就不是命题.
例如，下列句子都不是命题: (1) 你喜欢数学吗? (2) 作线段 AB = CD. (3) 清新的空气. (4) 不许讲话！
改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的
题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适
当增加词语，切不可生搬硬套.
总结归纳 命题的组成： 题设的事项
同位角相等.
题设（条件）
结论
例2 下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1) 如果两个角相等，那么它们是对顶角； (2) 如果 a＞b，b＞c，那么 a = c； (3) 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等； (4) 全等三角形的面积相等. 解：(1) 条件：两个角相等. 结论：它们是对顶角. (2) 条件：a＞b，b＞c. 结论：a = c. (3) 条件：两个三角形的两角和其中一角的对边分别 相等. 结论：这两个三角形全等. (4) 条件：两个三角形全等. 结论：它们的面积相等.
2022年北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明第2节定义与命题
2 定义与命题1．定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的__规定__．2．命题(1)定义：__判断__一件事情的句子．(2)组成：每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．(3)形式：__如果__……__那么__……(5)具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__的例子，称为反例．3．公理、定理和证明(1)公理：公认的__真__命题．(2)定理：经过证明的__真__命题．(3)证明：演绎推理的__过程__．4．命题证明的步骤(1)根据命题，画出图形．(2)结合图形，写出已知和求证．(3)写出证明过程．判一判：1．“直线AB平行于直线CD吗”是命题．( ×)2．“如果a2＝b2，那么a＝b”是命题，但不是定理．( √)3．两个角的和是180°，则这两个角是邻补角．( ×)1．下列属于定义的是(C)A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度D．两直线平行，内错角相等2．下列句子是命题的是(D)A．今天的天气好吗？ B．作线段AB∥CDC．连接A，B两点 D．正数大于负数3．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是__真命题__(填“真命题”或“假命题”).1 命题的结构【典例1】(P166“做一做”补充)指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．【思维切入】1.将命题改为“如果……那么……”的形式．2．“如果”后面是条件，“那么”后面是结论．【自主解答】①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论．①同号两数的和一定不是负数；②若x＝2，则1－5x＝0；③延长线段AB至C，使B是AC的中点．【解析】①同号两数的和一定不是负数，是命题，改写为：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数，条件是：两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数；②若x＝2，则1－5x＝0，是命题，改写为：如果x＝2，那么1－5x＝0，条件是x＝2，结论是1－5x＝0；③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题．【加固训练】下列语句是命题的是(C)(1)正三角形的三个角都是60°.(2)如果x2＞0，那么x＞0吗？(3)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．(4)过直线外一点作已知直线的垂线．A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4)【解析】(2)如果x2＞0，那么x＞0吗？是疑问句，不是命题．(4)过直线外一点作已知直线的垂线，没有进行判断．不是命题．【技法点拨】命题的判断方法1．命题是陈述某件事的句子，且必须对该事件作出判断．2．命题可以写成“如果……那么……”的形式．重点2 命题真假的判断【典例2】下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例．(1)一个角的补角大于这个角．(2)已知三条线段a，b，c，如果a＋b＞c，那么这三条线段一定能组成三角形．(3)有两角和一边相等的两个三角形全等．【自主解答】(1)假命题．反例：150°角的补角是30°，显然不大于150°.(2)假命题．反例：a＝10，b＝20，c＝1，显然a＋b＞c，但这三条线段不能组成三角形．(3)假命题．反例：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝EF，则△ABC和△DEF不全等．1．下列命题中是真命题的是(B)A．相等的角是对顶角B．数轴上的点与实数一一对应C．同旁内角互补D．无理数就是开方开不尽的数【解析】A项，相等角的顶点不一定为同一点，所以相等的角不一定是对顶角；C项，两平行直线的同旁内角才互补；D项，无限不循环小数也是无理数，故A，C，D为假命题．2．判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为(A)A．－2 B．－12C．0 D．12【解析】当n＝－2时，满足n＜1，但n2－1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，举出n＝－2作为反例．【技法点拨】判断命题真假的方法说明一个命题是假命题的关键是举反例，即所举例子具备命题的条件，而不具有命题的结论．特别提醒：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．重点3 命题的证明【典例3】【P169例题拓展】如图，①AB∥CD；②BE平分∠ABD；③∠1＋∠2＝90°；④DE平分∠BDC.(1)请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；(2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由．【自主解答】(1)(答案不唯一)如果BE平分∠ABD，∠1＋∠2＝90°，DE平分∠BDC，那么AB ∥CD.(2)(答案不唯一)这个命题是真命题，理由如下：∵BE平分∠ABD，∴∠1＝12∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠2＝12∠BDC，∵∠1＋∠2＝90°，∴∠ABD＋∠BDC＝180°，∴AB∥CD.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．【解析】(答案不唯一)题设为①AB ＝DE ，②BF ＝EC ，③∠B ＝∠E ，结论为④∠1＝∠2； ∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎨⎧AB ＝DE∠B ＝∠EBC ＝EF， ∴△ABC ≌△DEF (SAS)，∴∠1＝∠2. 【技法点拨】证明的常用依据1．基本事实．2．经过证明的真命题．3．数与式的运算律和运算法则．4．等式的有关性质．5．反映大小关系的有关性质．特别提醒：1.经过推理、论证的事实、定义、定理、公理都是真命题．2．推导的每一步都要有理有据．三角形的等角点 定义 模型点P 为△ABC 内一点，如果在△PAB 、△PBC 、△PAC 中，存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点【设题】(1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点；________；②任意的三角形都存在等角点；________；(2)如模型图，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图中∠BPC，∠ABC，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由．【解析】(1)①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点．答案：真命题假命题(2)∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，理由：延长AP，交BC于点D，则∠BPD＋∠APB＝180°，∠BAP＋∠ABP＋∠APB＝180°，∴∠BPD＝∠ABP＋∠BAP，同理：∠CPD＝∠PAC＋∠ACP，∴∠BPC＝∠ABP＋∠BAP＋∠CAP＋∠ACP即∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，又∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＝∠ABC＋∠ACP.。
八年级数学上册第7章平行线的证明2定义与命题第2课时定理与证明预学课件新版北师大版
).
(1)由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所
截，一对
内错
角的平分线互相
平行
.
(2)解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来.
解：解题过程中应用了互逆命题，互逆命题是“内错角相
等，两直线平行”与“两直线平行，内错角相等”.
5. 下列所学过的真命题中，不是公理的是(
A
A. 对顶角相等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 三边分别相等的两个三角形全等
1
2
3
4
5
6
7
)
6. 下列说法正确的是(
B )
A. 真命题都可以作为定理
B. 公理不需要证明
C. 定理不一定都要证明
D. 证明只能根据定义、公理进行
1
2
3
4
5
6
7
).
).
知识点1
公理与定理的概念
下列关于公理和定理的说法正确的是(
A. 公理是真命题，但定理不是
B. 公理就是定理，定理也是公理
C. 公理、定理都可作为推理论证的依据
D. 公理和定理都应经过证明后才能使用
C
)
变式1下列命题是公理的是(
B
)
A. 内错角相等
B. 同位角相等，两直线平行
一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三
角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和
等于180°”这个定理矛盾.所以在一个三角形中，至少有
一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是
八年级数学上册第7章平行线的证明2定义与命题第2课时定理与证明课件新版北师大版
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(2)在△ ABC 和△A'B'C'中， AB ＝A'B'， AC ＝A'C'，∠ A ＝
∠A'，则△ ABC ≌△A'B'C'.
解：(2)依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，是
公理.
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10. 如图，已知点 A ， D ， C ， F 在同一直线上，有下列关
又∵ CD ＝ AB ，∴ AD ＝ BD ＝ CD .
在△ ACD 中，∵ AD ＝ CD ，∴∠ DCA ＝∠ A .
同理，在△ BCD 中，∠ DCB ＝∠ B .
在△ ABC 中，∵∠ DCA ＋∠ A ＋∠ DCB ＋∠ B ＝180°，
∴∠ A ＋∠ B ＝90°.∴∠ ACB ＝90°.
B
A. 公理和定理都是真命题
B. 公理就是定理，定理也是公理
C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据
D. 公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
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)
3. 观察下列命题：
①能被3整除的数也能被6整除；
② x ＝2是一元一次方程 x －2＝0的根；
③对顶角相等.
其中可以作为定理的有(
何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出
八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题教学课件(新版)北师大版
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
哦……那可 怎么办
这些方法
往往并不 可靠.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
哪已经知道的
真命题又是如 何证实的?.
古希腊数学家欧几学名词称为原名. 公理:公认的真命题称为公理. 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法
么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那 么”引出的部分是结论. 5、命题的分类:真命题和假命题(举反例判断假命题).
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？ 1、猫有四只脚； 2、画一条曲线； 3、三角形两边之和大于第三边； 4、四边形都是正方形； 5、潮湿的空气； 6、对顶角相等； 7、全等三角形的对应边成相等； 8、过点P做线段MN的垂线。
证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理.
有关概念、公理 条件1
定理1
有关概念、公理
条件2
定理2 ……
定理3
……
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直 线平行; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 8.三边对应相等的两个三角形全等.
原名、公理、证明、定 理的定义及它们的关系
一些条件
+
原名、公理
推理的过程 叫证明
经过证明的真命题 叫定理
推理
证实其它命 题的正确性
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看一看 1.正方形内的红色线段是平行的吗？
看一看
2.如图，观察圆中各图形的边是线段吗?
所有的数学结论都可以 用实验的方法来验证吗？
先猜再算:
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道 围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙有多大（把 地球看成球形）?（精确到0.01m）
能放进一颗红枣吗？
能放进一个拳头吗？ 铁丝
A D
B
通过度量，我们猜测： DE平行BC，DE=1/2BC
E C
有人认为，对于所有自然数n，代数 式n2-n+11的值都是质数.
你怎么看待这个结论？
当n=0，1，2，3，4，5时，代数式 n2 -n+11的值是质数吗？
n
0 12345
n2 -n+11 11 11 13 17 23 31
你能否得到结论：对于所有自然数n， 代数式n2-n+11的值都是质数？
如果蓝箱子对，则红箱子和黄箱子说的都错。
苹果在这箱子里 苹果不在这箱子里
所以蓝箱子对，苹果在黄箱子里。
“推理”是检验数学结论的 苹果不在红箱子里 有效方法。
怪诞的数学推论
课堂测试
1、 练习 （1）先观察再比较线段 AB 与线段 CD 的长短。 A
A
C
C
D
B
（2）用直尺验证线段 d 与
在一条直线上。
a
b
c
B D
d
2、 当堂测试
(1) 如图，甲沿着 ACB 由 A 到 B，乙沿着 ADEFB 由 A 到 B， 同时出发，速度相等则（
）
A、 甲先到， B、乙先到，C、甲乙同时到， D、不确定、 C
D
E
F
A
B
(2)某公园计划砌一个如图甲的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边
沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿（
当n为自然数时，n2-n+11的值 一定是质数吗？找数值代入，验证你 的结论.
n
6 7 8 9 10 11
n2 -n+11 41 53 67 83 101 121
对于所有自然数n，代数式n2-n+11的 值不一定都是质数.
议一议
通过实验、观察、归纳得到的结论都 正确吗？你怎样判断一个结论是否正确？ 说出你的经验与困惑。
）
A、甲需要的材料多
B、乙需要的材料多
C、一样多
D、不确定
(3)把正方形 ABCD 的各边
长度扩为原来长度的两倍，
得 到 正 方 形 EFGH ， 则 正 方 形
ABCD 的面积是正方形 EFGH 的面积的两倍， 甲
乙
这个判断对吗？说明理由。
课后提升
1、对于多项式 n2 12n ，当 n 1时，n2 12n 11；当 n 2 时，n2 12n 20 ； 当 n 3时，n2 12n 27 。由此断定，n>0 时，n2 12n <0，这个判断对吗？为什么？
赤道
x 解：设赤道的周长为 m，
则铁丝与赤道的间隙为：
南极
x 1－ x 1
2 2 2
间隙
0.16(m)
假如用一根比篮球周长长1 米的铁丝将 篮球围起来，那么铁丝与篮球之间的间隙能有 多大？与地球相比谁的间隙大？
做一做:
在△ABC中，点D，E分 别是AB，AC的中点， 连接DE。DE与BC有怎 样的位置关系和数量关 系？
合作交流
2、红、黄、蓝三只箱子的某一只中，放有一个 苹果。只见红箱盖上写着：“苹果在这箱子里”；
黄箱盖上写着：“苹果不在这箱子里”；蓝箱盖上
写着：“苹果不在红箱子里”。已知这三句话中只
有一句是正确的。你能根据这些信息判断出苹果
在哪只箱子里吗?
如果红箱子对，则黄箱子说的也对，所以不成 立； 如果黄箱子对，那红箱子和蓝箱子说的必定有 一个对，所以不成立。
2、检验一个数学结论是否正确的常用方法： 实验验证、举出反例、推理.
历史上很多数学家都想找到求质数的公式，
1640年，数学家费马验证了，当n＝0、1、
2、3、4时，式子 22n 1 的值为3、5、
17、257、65537都是质数，于是他断言
“对于所有的自然数n， 22n 1 都是
质数”由于费马在数学界的威望,在很长
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不 正确，因此要判断一个数学结论是否正确仅凭观察、实 验、归纳是不够的，必须 一步一步、有根有据地进行推 理！
练一练
1.三条线段a,b,c，哪条和线段d在同一直线上？ abc
d
2、图中两条线段a与线段b的长度相等吗?
a=b
练一练
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值总是质数吗？
认识证明
为什么要证明俗ຫໍສະໝຸດ 说“耳听为虚， 眼见为实” ，是真的吗？
是 静 还 是 动 ？
是 平 行 线 吗 ？
现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界。数学学习 中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出了很多结论，观察、 实验、归纳的方法得到的结论一定正确吗？如果不是，那么， 用什么方法说明它呢？
2、由幂的乘方运算性质得：(ab)2 a2b2 、(ab)3 a3b3 、(ab)4 a4b 4 、、、、、、， 类比上述等式，可得 (a b)2 a2 b2 、(a b)3 a3 b3 、(a b)4 a4 b4 、、、、、、、，
解：当n为1，2，3，4，5时， n2+3n+1的值分别为5，11，19，29，41， 但是当n等于6时， n2+3n+1的值为55， 55是合数， 所以，当n为正整数时， n2+3n+1的值不总是质数。
课堂 小结
1、实验、观察、归纳得到的结论不一定正 确。因此，要判断一个结论是否正确，仅靠 实验，观察，归纳是不够的，必须进行有根 有据的证明。
费马(1601～1665)法国
有人甚至给出一个新的猜想：
当 n 5 ，费马数全都是合数！！
欧拉（1707-1783 ）瑞士
这个故事告诉我们：
1、 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度。
2、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测 的结论可能潜藏着错误，未必正确。
3、要证明一个结论是错误的，举反例就 是一种常用方法。
一段时间里，没有人怀疑这一结论的正确 费马(1601～1665)法国
性，并把这类数称为费马数。
1732年，数学家欧拉指出，当n＝5时
22n 1 232 1
4294967297 641 6700417
从而否定了费马的结论。
更有意思的是，从第6个费马数开始, 数学家们在费马数中再也没有发现一个 新的质数，全都是合数.