【5年高考3年模拟】2016届高考数学理科复习课件：§3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
【2016年高考数学】2016年高考数学(理)一轮复习精品三角函数
2016年高考数学（理）一轮复习精品三角函数C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图1-1A BC D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立， 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C3 三角函数的图象与性质9．C3[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3．C3[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图1-1A BC D6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为12|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立， 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像．14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．C4[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．11．C4[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．11.3π8 [解析] 方法一：将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由该函数的图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin ＝3π8.方法二：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知，π4－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8. 14．C4[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π [解析] 结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .7．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．C4、C7[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．16．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12．E3、C4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sinπxm，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．16．F2，C4[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .2．C4[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．B [解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.4．C4[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位4．C [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选C.17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.16．C5、C8[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.7．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 17．C5、C8[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.8．C5[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π28．C [解析] tan α＝1＋sin βcos β＝⎝⎛⎭⎫cos β2＋sin β2cos 2β2－sin 2β2＝cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2且tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.13．C5，C8[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．C8，C5[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C－A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2410．A [解析] 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sin A sinB sinC ＝R 3≥8.C6 二倍角公式15．H4、C6[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．B5、C6[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.C7 三角函数的求值、化简与证明16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 16．C4、C7[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．16．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1.又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C8 解三角形12．C8[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．12．－14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c＝－14.16．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 2≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．12．C8[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．12．2 [解析] 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故a b ＝2.16．C5、C8[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．16．解： (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.15．C8[2014·北京卷] 如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-215．解：(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×33144 37＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.12．C8[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．12．2 3 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.18．C8、C9[2014·湖南卷] 如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC＝7.图1-5(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.4．C8[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 34．C [解析] 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC＝12ab sin C ＝3 32. 17．C5、C8[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 16．C8[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．16.3 [解析] 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.4．C8[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5. 12．F3，C8[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.16．D2，D3，C8[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.13．C5，C8[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m. 18．C8 [2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．18．解：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6.。
2016届高考数学理科一轮复习课件3-6函数y=Asin的图象 及三角函数模型的应用
π 2
32π
52π
72π
92π
21x－π4
0
ππ 2
32π
2π
3 sin21x－π4
0
3
0 －3
0
栏 目
描点、连线，如图所示：
链
接
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
栏 目 链 接
第七页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
栏 目 链 接 图象与x轴的交点：正弦函数为____(_k_π_，_，0)k∈Z，余弦函数为 ________k，πk＋∈π2Z，，0正切函数为________ ，(kk∈π，Z0. )
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
考点探究
(4)令21x－π4 ＝π2 ＋kπ(k∈Z)，
得 x＝2kπ＋32π(k∈Z)，此为对称轴方程．
栏
令21x－π4 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝π2 ＋2kπ(k∈Z)．
目 链
对称中心为2kπ＋π2 ，0(k∈Z)．
接
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
变式探究
1．已知函数 y＝Asin12x－π5 ，给出下面 4 个命题，其中正确命题的个
目
链
C．T＝2π，A＝ 2
接
D．T＝2π，A＝2
解析：依题意，函数 y＝2sin(2x＋π3 )的最小正周期是 T＝2π 2 ＝π，最大值 A＝2，故选 B.
2016届高考数学理科一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形3-3
②中，y＝|cos x|＝
1＋cos 2
2x，周期
T＝π，②符合；
③中，周期 T＝π，③符合；
④中，周期 T＝π2，④不符合．
∴符合条件的函数为①②③.
答案：C
第二十七页，编辑于星期五：二十一点 三十九 分。
角度三 求三角函数的对称轴或对称中心
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋6π－1 最小正周期为23π，则 f(x)的图象的 一条对称轴的方程是( )
3．下列函数中周期为 π 且为偶函数的是( )
A．y＝sin2x－2π C．y＝sinx＋π2
B．y＝cos2x－π2 D．y＝cosx＋π2
解析：y＝sin2x－2π＝－cos 2x 为偶函数，且周期为 π.
答案：A
第十二页，编辑于星期五：二十一点 三十九分。
4．与函数 y＝tan2x＋π4的图象不相交的直线是(
)
π
2π
A.2
B. 3
3π
5π
C. 2
D. 3
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 三十九 分。
解析：由 y＝sinx＋3 φ是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝32π＋3kπ， k∈Z，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.
答案：C
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 三十九 分。
角度二 求函数的周期或利用周期性求参数的值
A．x＝π9
B．x＝π6
C．x＝π3
D．x＝π2
第二十八页，编辑于星期五：二十一点 三十九 分。
解析：已知函数 f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝23π，∴ω＝3，则其对称 轴方程为 3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，即 x＝π9＋k3π，k∈Z，当 k＝0 时，x＝π9， 故选 A.
2016高考数学(理)大一轮复习配套课件：第三章 三角函数、解三角形3-5
[答案] 1
第三章 第5讲 第18页
第十八页，编辑于星期六：点 五十三分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
记牢2个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
(3)[2013·重庆高考]4cos50°－tan40°＝( )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D. 2 2－1
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＝2sin50°12cocso1s01°0＋°
3 2 sin10°
＝2sin50°csoins1300°°＋10°
＝2sinc5o0s°1c0o°s50°＝scions11000°°＝ccooss1100°°＝1.
(3)原式＝csoins2200°°＋4sin20°
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
第三章 第5讲 第3页
第三页，编辑于星期六：点 五十三分。
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第三章 三角函数、解三角形
第三章 第5讲 第1页
第一页，编辑于星期六：点 五十三分。
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2016届高考数学理科一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形3-8
解析
设
MN＝x
m，则
MA＝
2x 3
m．△ABC
中，BC＝100
m，则
AC＝100 2 m，在△MAC 中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦
定理得sin∠ACAMC＝sin∠MMA CA，
2x
则s1i0n0452°＝sin
3 60°.
解得 x＝150.
解析：设 AD＝x，则 BD＝9－x，CD＝ 92＋9－x2，在△ACD 中
应用正弦定理得sin∠CDDAC＝sin∠ADACD，即
92＋9－x2＝ 2
x， 26
2
26
所以 2[92＋(9－x)2]＝26x2，即 81＋81－18x＋x2＝13x2，所以 2x2＋
3x－27＝0，
即(2x＋9)(x－3)＝0，所以 x＝3 米．
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十分。
高度问题(师生共研) 例2 (2014年高考新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°， C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°. 已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
在△ACD 中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝3 3＋
9.
由余弦定理得 AD＝
AC2＋CD2－2AC·CDcos 120°＝9
2＋ 2
6 km.
第二十八页，编辑于星期五：二十一点 四十分。
由正弦定理得 sin∠CAD＝CD·siAn∠D ACD
＝393＋2＋9×623＝ 22. 2
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第3章 三角函数、解三角形-4
第19页
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第三章 第四节 第十九页，编辑于星期五：二十一点 二十三分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
第20页
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第三章 第四节 第二十页，编辑于星期五：二十一点 二十三分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
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第三章 第四节 第二十一页，编辑于星期五：二十一点 二十三
分。
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第三章 第四节 第二十二页，编辑于星期五：二十一点 二十三
分。
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第三章 第四节 第二十三页，编辑于星期五：二十一点 二十三
分。
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第三章 第四节 第二十九页，编辑于星期五：二十一点 二十三
分。
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第三章 第四节 第三十页，编辑于星期五：二十一点 二十三分。
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第三章 第四节 第二十七页，编辑于星期五：二十一点 二十三
分。
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2016届高考数学文一轮复习课件3.3导数的综合应用
思维点拨
解析
某商场销售某种商品的经验表
(1)由x＝5时y＝11求a；
明，该商品每日的销售量 y( 单位：
千克 ) 与销售价格 x( 单位：元 / 千克 ) a 满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其 x －3 中3<x<6，a为常数.已知销售价格为
5 元 / 千克时，每日可售出该商品 11
千克.
(1)求a的值；
(2) 若曲线 y ＝ f(x) 与直线 y ＝ b 有 两个不同交点，求b的取值范围.
解析
思维升华
∵函数f(x)在区间(－∞，0) 和(0，＋∞)上均单调， ∴当b>1 时曲线y＝f(x)与直 线 y ＝ b 有且仅有两个不同 交点.
综上可知，b的取值范围是
(1，＋∞).
(2) 若曲线 y ＝ f(x) 与直线 y ＝ b 有 两个不同交点，求b的取值范围.
π (5)已知x∈(0，)，则sin x>x.( × ) 2 1 3 (6) 若 a>2 ， 则 方 程 x － ax2 ＋ 1 ＝ 0 在 (0,2) 上 没 有 实 数 3
根.( × )
题号
1
答案
C D D C
解析
2
3
4
A错，因为极大值未必是最大值. B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对 称，－x0应是f(－x)的极大值点. C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称， x0应为－f(x)的极小值点. D 对，函数 y ＝ f(x) 与 y ＝－ f( － x) 的图象关于原点对称，
例1 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ 1 x2＋2ax，g(x)＝ 2 解2 设两曲线的公共点为(x0，y0)， 3a ln x＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点， 3a2 f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ 且在该点处的切线相同 . x ， 由题意知 f(x )＝g(x0b )的最大值； ，f′(x0)＝g′(x0)， (1) 用a表示 b0 ，并求 1x2＋2ax ＝3a2ln x ＋b， 0 0 2 0 即 2 3 a x ＋2a＝ x . 0
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第三章第5讲三角函数的图象与性质
第5讲 三角函数的图象与性质[做一做]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案：B2．函数y ＝tan 3x 的定义域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z1．辨明三个易误点(1)y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． [做一做]3．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 解析：选B.由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：选B.由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.,[学生用书P 64～P 66])考点一__三角函数的定义域和值域____________(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________；(2)(2014·高考大纲全国卷)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． [解析] (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)32本例(2)变为函数y ＝cos 2x ＋4sin x (|x |≤π6)的最大值为________． 解析：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1，设t ＝sin x (－12≤t ≤12)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋4t ＋1＝－2(t －1)2＋3，∴当t ＝12时，函数取得最大值52.答案：52[规律方法] (1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法：①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(本讲典例2(3))． ③把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1.(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________；(2)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 解析：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0x ＞0tan x ≥0x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2（k ∈Z ）.利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4.(2)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)．y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y 取最大值为2＋12，当t ＝－1时，y 取最小值为－1. ∴函数值域为[－1，12＋2]．答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4 (2)[－1，12＋2]考点二__三角函数的单调性(高频考点)__________三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)； (4)利用三角函数的单调性比较大小．(1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2)(3)(2015·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2.①求f (x )的单调增区间；②当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．[解析] (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.[答案] (1)B (2)A(3)解：①f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.[规律方法] 三角函数单调性问题解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．2.(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)(2015·山东聊城期末测试)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2D ．3(3)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．(4)函数y ＝|tan x |的单调增区间为________．解析：(1)a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增，则c <a <b .(2)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. (3)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．(4)如图，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .答案：(1)B (2)B (3)⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) (4)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z考点三__三角函数的奇偶性、周期性及对称性__(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)(2015·揭阳模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点()π，0对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 [解析] (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. (2)∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(k ∈Z )．∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．[答案] (1)C (2)C[规律方法] (1)三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．(3)三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．[提醒] 判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称．3.(1)(2015·宁夏银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数(2)(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：(1)C (2)π考题溯源——函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(2014·高考福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] 法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cosπ4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .[考题溯源] 本考题源于教材人教A 版必修4 P 147复习参考题A 组11题“已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．”(2015·河北高阳中学第一次月考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．解：(1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：选C.∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．函数f (x )＝(1＋sin x )(sin 2x ＋cos 2x －sin x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B.f (x )＝(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝12cos 2x ＋12，所以f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．－1－3B ．－1C ．0D ．2－ 3 解析：选D.∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.5．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32C ．0D ．－12解析：选A.∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A.6．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10.答案：＞7．(2014·高考山东卷)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1，1]π129．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标． 解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )．∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数．f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以，函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C.由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，于是f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32.2．(2015·开封市第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，q ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6，r ＝f ⎝⎛⎭⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r解析：选C.f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫2π9，∴f ⎝⎛⎭⎫2π9是最大值． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .3．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7824．(2015·内蒙古包头一模)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β. 其中所有真命题的序号是________． 解析：对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0，因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin 390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②5．(2015·辽宁省五校联考)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4.(1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z .即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π.6．(选做题)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2016届高考数学理科一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形3-4
4．(2013 年高考四川卷)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－2π<φ<π2)的部 分图象如图所示，则 ω，φ 的值分别是( )
A．2，－π3 C．4，－π6
B．2，－6π D．4，π3
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解析：由图象知 T＝2×1112π－152π＝π，ω＝2.又点51π2，2在图象上， 所以 sin2×51π2＋φ＝1，56π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，由－2π<φ<π2得 φ＝ －π3.，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，图象向 右平移π3个单位后得 y＝sin2x－π3＋φ＝sin2x＋φ－23π，此函数要为奇函 数，需 φ－23π＝kπ，k∈Z.即 φ＝kπ＋23π，k∈Z.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴y ＝sin2x－π3，又 2x－π3＝kπ＋π2，k∈Z 时，y 取最值，∴x＝k2π＋51π2，k∈ Z.
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五点法描图(师生共研) 例1 已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x.
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(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； (2) 用 “ 五 点 法 ” 在 给 定 的 坐 标 中 ， 作 出 函 数 f(x) 在 [0 ， π] 上 的 图 象．
第五页，编辑于星期五：二十一点 四十分。
2．五点法作图中的五点是函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点， 两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但 也不能只依赖这五个点，其他的特殊点也应考虑．
3．由 y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法： 确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点－ωφ，0作为突 破口．具体如下：
【5年高考3年模拟】2016届高考理科数学(江苏专版)一轮复习练习3.3函数y=Asin(ωxφ)的图象和性质
§3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质考点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象考点2函数y=Asin(ωx+φ)的性质4.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin cos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.6.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=sin sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.。