下料问题(含代码程序)

实用下料问题优化模型摘要关键字：整数规划模型多目标决策优化NP问题下料方案分支定界法1.问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<.m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.就某企业考虑下面两个问题：1． 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i )为：4，11，24, 29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。

(1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料最少的模型及增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。

(2).在解决具体问题时,先制定4天的下料方案,再制定6天的下料方案,最后制定53种零件的下料方案. 这一提示对第2题也部分适用.)表1 需求材料的数据 单位：mm2． 建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二，其中 i i i n w l ,,分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i )为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.表2 需求材料的数据 单位：mm2.问题的分析本文要解决的是一个典型的多目标决策优化问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率，故企业都希望尽可能地减少下料方式的数目。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，在规定的时间需求内，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务，同时下料方式数也尽量地小。

为顺利解决这一问题，我们先从最基本的单目标决策问题人手，以材料损耗最少为目标，由于个别零件的生产有时间的要求，因此，在下料时就应该优先生产那些有时间限制要求的零件，并且通过不同的数学原理建立多个单目标决策的最优化模型，得出最初的结果，并加以比较分析，然后逐步增加其约束条件，并根据这些约束条件进一步完善我们的最优化模型，求出在需求的时间段内下料方式和损耗都最少的最优结果，紧接着再求出剩余板材下料方式和损耗的最优结果，从而最终得出既满足时间条件限制又满足损耗少、下料方式数小的最优结果。

具体流程图如下：图1 总体流程图3.模型的假设[1]. 假设每次切割都准确无误。

[2]. 每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的数量等于最大下料能力。

[3]. 模型一中每切得一个规格的零件需要()5i l mm +的原材料。

[4]. 除最后一天外，其余每天均达到最大下料能力。

[5]. 除了要求在规定时间内完成所需零件外，不要求其余零件加工排列顺序。

[6]. 模型二中，切割所引起的锯缝损耗忽略不计。

4.符号说明5.一维下料问题对于一维优化下料问题，属于整数规划问题，从计算复杂性理论分析，该问题属于NP难题,即无法在多项式时间(在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数)内求解。

虽然整数规划问题是NP难题，但是线性问题却是有有效算法的。

所以要想求出下料方案的最优解，可以考虑不先求解整数规划问题而先来求解其相应的线性问题，然后用计算机程序进行求解。

首先考虑在满足时间需求的情况下，材料总损失最少的情况，然后尽量使得总的下料方式数目最少，故这里要寻找到所有下料方式中利用率最高的方式，同时在满足生产力要求的情况下进行适当调整，采用尽可能少的下料方式，这样便可以得到一维下料问题的优化结果。

5.1模型一的建立根据题意，现有数量充足的长度为3000mm的原材料，需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务。

要求在生产能力许可的条件下，既省材料又容易操作(即下料方式尽可能少)，由于本文问题的特殊性，还需要考虑个别标号的零件在4天内及6天内完成。

故先对数据进行预处理，将4天和6天内完成的任务筛选出来，优先处理后再进行其他标号零件的加工。

按照前面的分析，我们现假设有m 种不同的下料方式，再根据每种零件的需求量，可求得每种零件应用的次数，这样采用第一种下料方式生产的第一种零件的个数为11a 个，同理可知，ji a 表示第i 种下料方式可生产第j 种零件的数量，则采用第m 种下料方式所能得到的第j 种零件的数量表示为jm a ，为更好地表示这个对应关系，建立如下对应关系矩阵：111212122211m m j j jm a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦则使用m 种不同的下料方式所使用的原材料的数目为i x ，同样用矩阵的方式来表示，则有所需原材料数目为：()123,,,,Tm X x x x x =5.1.1建立目标函数由于我们以原材料总损耗最少为目标，所以首先计算每种下料方式产生的余料长度，由于在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 故每种下料方式应用于每个原材料上所剩的余料表达式为：()()()11225555i m m jm j c L a l a l a l ⎡⎤=-+++++++⎣⎦则建立原材料总损耗最少的目标函数为：1min ()mi i i c x =∑ (1,2,,i m =)其中i x 表示第i 种下料方式所消耗的原材料数目，i c 表示第i 种下料方式所得余料。

又为方便企业加工生产，减少不必要的更换下料方式所产生的麻烦，企业希望所采用的下料方式尽可能少，因此建立第二个目标函数：min m m Z +∈5.1.2建立约束条件1)由于所要生产的每种型号的零件数量题中已经给定，故有限制条件：1mji ij i ax n ==∑ (,ji i a x Z +∈)其中，ji a 表示第i 种下料方式可生产第j 种零件的数量，i x 表示第i 种下料方式所消耗的原材料数目，j n 表示第j 种零件所需要生产的数量，1,2,,53j =。

2)由于题目中所给出的各个编号的零件都有给定的长度，且原材料长度已定，故在考虑了锯缝后，还要考虑原材料长度3000L mm =对下料方式的限制，即对于任意一种下料方式，所得到的零件总长度与锯缝总长度之和要小于等于每根原材料的总长度3000L mm =，同时还要考虑对于每一种下料方式的废料长度要小于零件的最小长度，由题中所给数据可知，需要生产的零件长度最小为155mm ，故此约束表达式为：()5312845553000ji j j a l =≤+-≤∑其中j l 为每个编号对应的零件长度。

3)因为所需零件的生产有时间的限制，相应编号的零件必须在规定的时间内生产完成，要求4天完成的零件编号为：5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48，共有11种零件；要求6天内完成的零件编号为：41124,29,32,38,40,46,50,,，共有9种型号的零件。

为了在最短时间内完成所有零件生产的任务，在满足该企业每天最大下料能力100块的生产能力条件下，我们在6天内完成的任务中增加4天内需要完成的任务，即6天内需要生产20种型号的零件，为方便下文叙述，我们将4天内需要完成的零件编号建立集合1M ，即{}15,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48M =，同理将6天内需要完成的零件编号建立集合2M ，即{}25,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48,41124,29,32,38,40,46,50M =,,，对此建立约束条件表达式为：1111111004ji ij ijij a x a ==⎛⎫⎪⎪≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑2020111006ji ij ijij a x a ==⎛⎫⎪⎪≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑其中111ji iijij a x a=∑∑表示第i 种下料方式中所切割的第j 种零件数占这种下料方式中所切割的零件4天内需要完成零件数的权数，因此111111ji ij ijij a x a ==⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑表示4天内完成零件制定零件所用的原材料数，根据该企业的生产能力要求，上述表达式所计算出采用的原材料总数要小于等于4100⨯，另外若1110ji j a ==∑，则表示第i 种下料方式中没有切割到集合1M 中的零件；同理，201ji iijij a x a=∑∑表示第i 种下料方式中所切割的第j 种零件数占这种下料方式中所切割的零件6天内需要完成零件数的权数，因此202011ji ij ijij a x a ==⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑表示6天内完成零件制定零件所用的原材料数，根据该企业的生产能力要求，上述表达式所计算出采用的原材料总数要小于等于6100⨯，另外若2010jij a==∑，则表示第i 种下料方式中没有切割到集合2M 中的零件。