向量法证明线面平行及垂直问题教案
2022届高三数学大一轮复习8.7立体几何中的向量方法证明平行与垂直教案理
§立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直2022高考会这样考 1 利用线线、线面、面面关系考察空间向量的运算； 2 能用向量方法证明线面的平行或垂直； 3 考察用向量方法解决立体几何中的一些探究性问题．复习备考要这样做 1 理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系； 3 能用向量方法证明相关直线和平面地点关系的一些定理包含三垂线定理； 4 认识向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．用向量表示直线或点在直线上的地点1 给定一个定点 A 和一个向量a，再任给一个实数t ，以 A 为起点作向量错误!错误 !2a1C1C1C1C的方向向量为m由共面向量定理，则存在实数λ，μ ，使m＝λ错误!＝λ错误!＝a－c·错误!＝4错误 ! －2μ－ 4λ＝ 0故错误 ! ，结论得证．方法二如下图，取BC的中点 O，连结 AO由于△ ABC为正三角形，因此 AO⊥ BC由于在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，因此AO⊥平面BCC1B1取 B1C1的中点O1，以O为原点，以错误!错误!1C1A1C1F1F1F1F1C，n，1C，若 1⊥2，则m＝________答案26．设点C2a＋1，a＋1,2 在点 2a1C1M1C1C1M1C1A1C1C1Ca＋nb＋4，－4,1 ．若c与 a 及 b 都垂直，则 m， n 的值分别为A．－ 1,2B． 1，－ 2C． 1,2D．－ 1，－ 2答案A分析由已知得c＝ m＋4， m＋2n－4， m－ n＋1，故 a·c＝3m＋ n＋1＝0， b·c＝ m＋5n－9＝0解得错误!2．已知a＝ 2，－ 1,3 ，b＝－ 1,4 ，－ 2，c＝7,5 ，λ，若a，b，c三向量共面，则实数λ 等于答案D分析由题意得 c＝ t a＋μb＝2t －μ，－ t ＋4μ，3t －2μ，∴错误!，∴错误!3如下图，在正方体 ABCD— A1 B1 C1D1中， O是底面正方形 ABCD的中心， M是 D1D的中点， N是 A1B1的中点，则直线 NO、 AM的地点关系是A．平行B．订交C．异面垂直D．异面不垂直答案C分析成立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则2,0,0， 0,0,1，A MO1,1,0， N2,1,2，错误!的地点关系是异面垂直．二、填空题每题 5 分，共15 分4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝ 1,1,2，＝，－ 2， 3，b且α⊥β，则＝________答案－ 4分析∵a·b＝－2＋6＝0，∴＝－45．已知a＝2，－1,2，b＝2,2,1，则以a，b 为邻边的平行四边形的面积为________．答案错误 !分析| a|＝错误 ! ＝3，| b| ＝错误 ! ＝ 3，a·b＝2×2＋－1×2＋2×1＝4，∴co〈a，b〉＝错误 ! ＝错误 ! ， in 〈a，b〉＝错误 ! ，S 平行四边形＝| a||b |·in〈 a， b〉＝错误!6在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，1C， N分别为 AB， BC的中点，点 Q 为平面 ABCD内一点，线段D1Q与 ON上，∴Q＋Q＝3，∴＋＝ 1，即点P坐标知足＋＝ 1∴有 2 个切合题意的点P，即对应有 2 个λ三、解答题7． 13 分在四棱锥P— ABCD中， PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD为正方形，PD＝ DC， E、 F 分别是 AB、 PB的中点．1求证：⊥；EF CD2在平面 PAD内求一点 G，使 GF⊥平面 PCB，并证明你的结论．1证明如图，以 DA、 DC、 DP所在直线分别为轴、轴、轴成立空间直角坐标系，设 AD＝ a，则 D0,0,0、Aa, 0,0、 Ba， a, 0、C0， a, 0、 E错误!、P0,0， a、 F错误!错误 ! ＝错误 ! ，错误 ! ＝ 0，a, 0．∵错误 ! ·错误 ! ＝ 0，∴ 错误 ! ⊥错误 ! ，即EF⊥CD2 解设G,0，，则错误!＝错误!，若使 GF⊥平面 PCB，则由错误 ! ·错误 ! ＝错误 ! ·a, 0,0＝ a错误!＝0，得＝错误!；由错误 ! ·错误 ! ＝错误 ! ·0，－a，a＝错误 ! ＋a错误 ! ＝ 0，得＝ 0∴ G点坐标为错误!，即 G点为 AD的中点．。
2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)
利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。
注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。
（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。
⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。
2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。
（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ， 的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。
用向量讨论垂直与平行-导学案
用向量讨论垂直与平行（导学案）使用说明：1、阅读探究课本4041p -页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
3、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
4、及时整理展示、点评结果，规范完成训练案内容，改正完善并落实好学案所有内容。
5、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上，多复习记忆。
【学习目标】1、掌握用向量法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。
2、通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法。
【重点难点】重点：用向量方法证明立体几何的垂直与平行问题难点：空间直角坐标系的正确建立，用向量语言证明立体几何的垂直与平行问题。
1.线面垂直的判定定理：2.面面垂直的判定定理：3.线面平行的判定定理：4.面面平行的判定定理：5.方向向量、法向量：二、教材助读平行与垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为 u ，v（1）平行关系线线平行：//l m //a b a b λ⇔⇔=线面平行：//l α0a u a u ⇔⊥⇔⋅=面面平行：//αβ//u v u v λ⇔⇔=（2）垂直关系线线垂直：l m ⊥0a b a b ⇔⊥⇔⋅=线面垂直：l α⊥//a u a u λ⇔⇔=面面垂直：αβ⊥0u v u v ⇔⊥⇔⋅=三、预习自测1212121212121211.,,(1,1,1),(1,2,3)(1,2,0),(1,2,0)2.,,(1,2,3),(-1,-2,-3)(2,2,-3),l l s s s s s s n n n n n ππ=-=-=-=-===已知两条不同直线的方向向量分别为判断两直线是平行还是垂直：（1）（2）已知两个不同平面，的法向量分别为判断两平面是平行还是垂直：（1）（2）2(1,-2,-2)3.,,(-1,1,1),(1,4,-3)(-1,3,2),(2,-6,-4)n l s n l s n s n ππ=-⊄====已知直线的方向向量为平面的法向量为且，判断直线与平面是平行还是垂直：（1）（2）基础知识探究例（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两天相交直线，则该直线于此平面垂直。
高三数学大一轮复习 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直教案 理
芯衣州星海市涌泉学校§立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直2021高考会这样考1.利用线线、线面、面面关系考察空间向量的运算；2.能用向量方法证明线面的平行或者者垂直；3.考察用向量方法解决立体几何中的一些探究性问题．复习备考要这样做1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.理解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．用向量表示直线或者者点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，那么此向量方程叫做直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝(1－t)＋t，叫做空间直线的向量参数方程．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，那么l1∥l2(或者者l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α一一共面的两个不一一共线向量v1和v2，那么l∥α或者者l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，那么l∥α或者者l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，那么α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，那么l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，那么l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，那么α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.[难点正本疑点清源]利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是一一共线向量，但要注意说明这两条直线不一一共线．(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．②证明可以在平面内找到一个向量与直线的方向向量一一共线，也要说明直线不在平面内．③利用一一共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不一一共线向量是一一共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，那么l1与l2的位置关系是__________．答案平行解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1与l2不重合，∴l1∥l2.2．＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，假设⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，那么实数x，y，z分别为______________．答案，－，4解析由题意知，⊥，⊥.所以即解得，x＝，y＝－，z＝4.3．a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，那么以下结论正确的选项是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对答案C解析∵c＝2a，∴a∥c，又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b.4．假设平面α，β垂直，那么下面可以作为这两个平面的法向量的是() A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案A解析两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直．5．假设平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，那么() A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确答案C题型一利用空间向量证明平行问题例1如下列图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.思维启迪：证明线面平行，可以利用断定定理先证线线平行；也可以寻找平面的法向量．证明方法一如下列图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．那么n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二＝－＝－＝(－)＝，∴∥，又∵MN与DA1不一一共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.探究进步用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不一一共线的向量线性表示；(4)此题易错点：只证明MN∥A1D，而无视MN⊄平面A1BD.如下列图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系Axyz，那么A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，设＝s＋t，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2，又∵与不一一共线，∴、与一一共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.题型二利用空间向量证明垂直问题例2如下列图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由一一共面向量定理，那么存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.令＝a，＝b，＝c，显然它们不一一共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，那么＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证．方法二如下列图，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为n⊥，n⊥，故⇒令x＝1，那么y＝2，z＝－，故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.探究进步证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量，再用一一共线向量定理或者者一一共面向量定理及两向量垂直的断定定理．假设能建立空间直角坐标系，其证法较为灵敏方便．如下列图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系A—xyz，令AB＝AA1＝4，那么A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB中点为N，连接CN，那么N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，∴＝，∴DE∥NC，又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.题型三利用空间向量解决探究性问题例3(2021·)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？假设存在，求AP的长；假设不存在，说明理由．思维启迪：利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进展转化；对于存在性问题可通过计算下结论．(1)证明以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，那么A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.探究进步对于“是否存在〞型问题的探究方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点〞，假设该点坐标不能求出，或者者有矛盾，那么断定“不存在〞.如下列图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，那么侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．(1)证明连接BD，设AC交BD于O，那么AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，那么高SO＝a，于是S，D，B，C，＝，＝，那么·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.设＝t，那么＝＋＝＋t＝，而·＝0⇔t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.利用空间向量解决立体几何问题典例：(12分)(2021·大纲全国)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．考点分析此题以四棱锥为载体，考察多面体的构造特征，线面垂直的断定以及直线与平面所成角的计算．解题策略此题有两种解题思路：①利用常规方法，从线线垂直证明线面垂直，作出所求线面角；②利用空间向量，将线面垂直转化为两个向量的关系，利用平面的法向量求线面角．标准解答(1)证明以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，射线CB为y轴的正半轴，建立如下列图的空间直角坐标系C－xyz.设D(1,0,0)，那么A(2,2,0)，B(0,2,0)．[2分]又设S(x，y，z)，那么x>0，y>0，z>0.＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由||＝||得＝，故x＝1.由||＝1得y2＋z2＝1.①又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0.②联立①②得[6分]于是S(1，，)，＝(－1，－，)，＝(1，－，)，＝(0，，)．因为·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS.又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.[8分](2)解设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，那么a⊥，a⊥，a·＝0，a·＝0.又＝(1，－，)，＝(0,2,0)，故取p＝2得a＝(－，0,2)．[10分]又＝(－2,0,0)，cos〈，a〉＝＝，所以AB与平面SBC所成角的正弦值为.[12分]解后反思直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来判断．证明的主要思路：(1)证明线线平行：可证两条直线的方向向量一一共线；(2)证明线面平行：①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，②证明直线的方向向量可用平面内的两个不一一共线向量线性表示；(3)证明面面平行：可证两个平面的法向量一一共线；(4)证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；(5)证明线面垂直：①证明直线的方向向量和平面内的两个不一一共线向量垂直，②证明直线的方向向量与平面的法向量一一共线；(6)证明面面垂直：可证两个平面的法向量互相垂直．方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种根本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进展判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，一一共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联络，用空间向量(或者者坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．假设用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，那么以下点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)答案A解析逐一验证法，对于选项A，＝(1,4,1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．2．空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．假设|a|＝，且a分别与，垂直，那么向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或者者(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或者者(－1,1，－1)答案C解析由条件知＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，可观察出a＝±(1,1,1)．3．假设直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，那么() A．l∥α或者者l⊂αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案A4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．那么AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对答案C解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如下列图的空间直角坐标系D—xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，假设l1⊥l2，那么m＝________.答案26．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)确定的平面上，那么a＝________.答案16解析＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)．根据一一共面向量定理，设＝x＋y(x、y∈R)，那么(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，那么MN与平面BB1C1C的位置关系是________．答案平行解析∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴＝，＝，∴＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋.又∵是平面B1BCC1的法向量，∴·＝·＝0，∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.三、解答题(一一共22分)8．(10分)如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.证明如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，那么A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，所以·＝0－4＋4＝0，因此⊥，故BC1⊥AB1.(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，所以＝－，又ED和BC1不一一共线，所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.9．(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.证明(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如下列图的空间直角坐标系，那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∴E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．∵＝－，∴∥，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．假设c与a及b都垂直，那么m，n的值分别为()A．－1,2 B．1，－2C．1,2 D．－1，－2答案A解析由得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.解得2．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量一一共面，那么实数λ等于()A. B. C. D.答案D解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴，∴.3.如下列图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，那么直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案C解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，那么A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，那么直线NO、AM的位置关系是异面垂直．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，那么x＝________.答案－4解析∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.5．a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，那么以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．答案解析|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|·sin〈a，b〉＝.6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，那么满足＝λ的实数λ的有________个．答案2解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，那么P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.三、解答题7．(13分)在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．(1)证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，那么D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.＝，＝(0，a,0)．∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.(2)解设G(x,0，z)，那么＝，假设使GF⊥平面PCB，那么由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.∴G点坐标为，即G点为AD的中点．。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
空间向量的平行与垂直导学案
空间向量的平行与垂直导学案学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.30编写人：陈平审核人：邓朝华班级：姓名：【导案】【学习目标】1．理解直线的方向向量与平面的法向量。
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。
3．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。
【学习重点】空间向量的平行与垂直【学案】1.直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_________的向量，显然一条直线的方向向量可以有___________。
2.平面的法向量所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面_________的向量，显然一个平面的法向量有________个，它们是_________向量。
3.直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面平行关系中的应用（1）若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1∥l2⇔________,即________，（2）若直线l的方向向量为u，平面a的法赂量为v, 则有l∥a⇔_________，即_________，若u=(a1、b1、c1)，v=（a1、b1、c1），则l∥a⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.（3）若两平面α、β的法向量分别是v1、v2则有α∥β⇔________即_________。
4.5、直线l、m的方向向量分别为a=（a1、a2、a3）,b=（b1、b2、b3），则b⊥m⇔______⇔______⇔_______.6.直线的方向量与平面的法赂量的坐标关系设直线l的方向向量是u=(a1、b1、c1)，平面α的法向⊥量v=(a1、b1、c1)，则l⊥a⇔________⇔________⇔________⇔___________（a2²b2²c2≠0）7.两垂直平面法向量的坐标关系若平面a=(a1、b1、c1)，平面β的法向量v=(a1、b1、c1)，则a⊥β⇔_______⇔_______⇔__________.【例1】已知平面a经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1）C（3，-2，0），试求平面a的一个法向量.【例2】在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2求证：平面GEF⊥平面PBC.【例3】如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥AC=a，PB=PD=2a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1。
《用向量讨论垂直与平行》第二课时参考教案
用向量讨论垂直与平行 第二课时教案一、教学目标：1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理； 3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
二、教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 （二）、探析新课1、用向量描述空间线面关系设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论2、相关说明：上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。
（三）、知识运用1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）已知：如图,OB 是平面α的斜线，O 为斜足，α⊥AB ，A 为垂足，OA CD CD ⊥⊂,ααABCDOαlmng求证：OB CD ⊥证明：0=⋅⇒⊥OA CD OA CD⇒⊥αAB 0=⋅⇒⊥AB CD AB CD AB OA OB +=0)(=⋅+⋅=+⋅=⋅AB CD ⊥∴2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（直线于平面垂直的判定定理） 已知：B n m n m =⊂⊂ ,,αα，n l m l ⊥⊥, 求证：α⊥l证明：在α内任作一条直线g ，在直线n m g l ,,,上分别取向量,,,y x +=所以n l y m l x n y m x l g l ⋅+⋅=+⋅=⋅)( 因为⊥⊥, 所以0,0=⊥=⋅n l m l 可得0=⋅ 即g l ⊥3、例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
关于平行与垂直教案(精选范文4篇)
关于平行与垂直教案(精选范文4篇)垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线相互垂直。
通常用符号“⊥”表示。
设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的，以下是为大家整理的关于平行与垂直教案4篇, 供大家参考选择。
平行与垂直教案4篇【篇一】平行与垂直教案第四单元平行四边形和梯形第____课时总序第____个教案编写时间:____年____月____日执行时间:____年____月____日【篇二】平行与垂直教案垂直与平行教学内容：人教版《义务教育课程标准试验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。
教学目标：1．引导学生通过视察、探讨感知生活中的垂直与平行的现象。
2．协助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步相识垂线和平行线。
3．造就学生的空间观念及空间想象实力，引导学生树立合作探究的学习意识。
4、在分析、比拟、综合的视察与思维中渗透分类的思想方法。
教学重点：正确理解“相交”“相互平行”“相互垂直”等概念，开展学生的空间想象实力。
教学难点：相交现象的正确理解〔尤其是对看似不相交而事实上是相交现象的理解〕教学过程：一、画图感知，探究两条直线的位置关系同学们，前面我们相识的直线，知道了直线的特点是可以向两端无限延长，这节课咱们接着探究和直线有关的学问！首先教师向学生出示一个魔方，说怎么玩？生：把一样颜色的方块转到同一个平面上。
然后教师又拿出一张白纸，我们把这张白纸看成一个平面，闭上眼睛想象在这个平面上出现了一条直线，又出现了一条直线，你想象的这两条直线是什么样儿呢？睁开眼睛!把他们用直尺和彩色笔画在纸上！〔生画直线，师巡察〕二、视察分类，了解平行的特征师：好多同学都已经画完坐端正了，你们都画完了吗？好！刚刚教师收集了几幅作品，我们贴黑板上吧！师：你们看，同学们的想象真丰富，我们在同一个平面内想象两条直线，竟然出现了这么多不同的样子，真不简洁！师：细致看看，能不能给他们分分类呢？好！为了大家表达起来便利，咱们给他们编上号，一起来吧！师：下面请你把分类的状况写在练习本上，用序号表示〔小组合作完成〕〔起先吧！〕师：都分好了吗?谁情愿到前面来分给大家看看！给大家说说你分的理由！1、教学相交师：这个同学把黑板上的分成了两类！对于这样的分发你有没有不同的想法？这个同学的观点认为4号是穿插的，你们认为呢？为什么？谁能再说说理由？大家说能再画长一些吗？〔能〕师小结：也就是说这幅作品把穿插的局部没画出来，它穿插了吗？〔穿插了〕嗯！它看似不穿插实际却是穿插了的！此时此刻我们可以把它放到哪一类？〔穿插的一类〕师总结：好！大家看，我们把黑板上的作品分成了两类，这一类是两条直线相互穿插了，这一类就是相交〔板书：相交〕2、教学相互平行师:那这一类相交了吗？是不是因为这两条直线画的太短了呢？那是为什么？你从哪儿看出来再画也不会相交呢？师：也就是说这边的宽窄和这边儿的宽窄一样，对吗？那你用什么方法证明这两边的宽窄一样呢？〔用尺子量〕谁情愿上来量？这一幅谁来量？师：这两个同学量了这边儿是3厘米，这边儿也是3厘米，这幅这边是2厘米，这边儿也是2厘米，把它们画的再长些，这两条直线会相交吗？为什么？谁能再说说理由！师小结：也就是说这两条直线之间必需一样宽窄！那么像这样在同一平面内的两条直线画的再长、再长也不会相交。
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龙文学校个性化辅导教案提纲
教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段
一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直
掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．
二、授课内容及过程：
考点1.利用空间向量证明空间垂直问题
例1:已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12
AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；
证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空
间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,
12），N （12,0,0），S （1,12,0）111(1,1,),(,,0)222
CM SN =-=--, 因为110022
CM SN •=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通
过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
例2:在长方体1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得
(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=
所以AF ⊥平面1A ED
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法
向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量
法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.
例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，
//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.
求证：平面EFG ⊥平面PDC .
解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如
图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－
2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12
),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG =(-1,0,12
),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG •m =12x z -+
=0且GF •m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）, 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA •m =200100⨯+⨯+⨯=0,
∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC
【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
考点2.利用空间向量处理空间平行关系
例4:在正方体1111ABCD A BC D -，E 是棱1DD 的中点。
在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A
BE ?证明你的结论。
解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则
B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE =(－2,2,1),1BA =（－2，0，2）
， 设面1BEA 的法向量为m =（x ，y ，z ），则
BE •m =22x y z -++=0且1BA •m =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32
， ∴m =（1，32
，－1）,假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ， 设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BF =（02x -，2，2）， 则BF •m =031(2)2(1)22
x ⨯-+
⨯+-⨯=0， 解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .
【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围. 例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD ∥面1AC D .
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解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，则A （a ,0,0），
1C (0，2b ，c )，1B (0,0, c )，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，
0)（0≤0y ≤2b ），∴AD =(－a ，0y ，0)，1AC =(－a ，2b ，c )，
1BA =(a ，0，c )，1BD =（0，b ，c ）
，设面1AC D 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则AD •m =101ax y y -+=0且1AC •m =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，则1x =0y ，
1z =
02ay ab c -，则m =（0y ，a ，02ay ab c
-）， 又∵1A B ∥面1AC D ， ∴1BA •m =002ay ab ay c c -+⨯=0，解得0y =b ， ∴m =（b ，a ，ab c -）， 设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),则1BA •n =22ax cz +=0且1BD •n =22by cz +=0，
取2z =1，则2x =c a -
，2y =c b -，则n =(c a -，c b -，1)， ∴n =c ab
-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.
六、本次作业及点评：
课后练习
四、学生对本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：______________
五、教师评定：
1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字：_______________。