平面几何的综合应用教案
平面解析几何教案
平面解析几何教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面直角坐标系的建立及坐标轴上的点的坐标特征；（2）掌握点的坐标表示方法，学会用坐标表示直线、圆等几何图形；（3）学会用坐标解决实际问题，如距离、角度、面积等。
2. 过程与方法：（1）通过实例认识坐标系，学会在坐标系中表示点；（2）利用数形结合的思想，直观理解直线、圆等几何图形的性质；（3）运用坐标解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的空间观念，提高观察和思维能力；（2）激发学生对数学的兴趣，培养学习数学的积极性；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面直角坐标系的建立及坐标轴上的点的坐标特征；（2）点的坐标表示方法，直线、圆等几何图形的坐标表示；（3）用坐标解决实际问题。
2. 教学难点：（1）坐标系中点的坐标表示方法；（2）坐标表示直线、圆等几何图形的性质；（3）运用坐标解决实际问题。
三、教学方法1. 情境教学法：通过实例引入坐标系，让学生在实际情境中认识和理解坐标系；2. 数形结合法：利用数形结合的思想，直观展示直线、圆等几何图形的性质；3. 问题驱动法：引导学生提出问题，运用坐标解决实际问题；4. 小组合作法：鼓励学生分组讨论，培养学生的合作意识。
四、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、直尺、圆规、多媒体设备；2. 学具：练习本、坐标纸、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 导入新课：通过实例引入坐标系，让学生在实际情境中认识和理解坐标系；2. 自主学习：学生自主探究点的坐标表示方法，学会在坐标系中表示点；3. 课堂讲解：讲解直线、圆等几何图形的坐标表示，引导学生直观理解几何图形的性质；4. 实践操作：学生动手实践，运用坐标解决实际问题；5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点；6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学内容与要求1. 学习平面直角坐标系中线段的距离公式；2. 理解并掌握线段的垂直和平行关系；3. 学会运用坐标系判断线段的长度及位置关系。
教案平面解析几何
精品教案平面解析几何第一章：平面解析几何的基本概念1.1 坐标系学习笛卡尔坐标系及其特点理解原点、x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的概念1.2 点、直线和圆的方程学习点的坐标表示方法理解直线方程的斜截式、点斜式和一般式学习圆的标准方程和一般方程第二章：直线方程2.1 直线方程的斜截式学习斜截式的定义和特点掌握斜截式方程的求法2.2 直线方程的点斜式学习点斜式的定义和特点掌握点斜式方程的求法2.3 直线方程的一般式学习一般式的定义和特点掌握一般式方程的求法第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程学习圆的标准方程的定义和特点掌握圆的标准方程的求法3.2 圆的一般方程学习圆的一般方程的定义和特点掌握圆的一般方程的求法3.3 圆的方程的应用学习圆的方程在几何问题中的应用掌握圆的方程解决实际问题的方法第四章：解析几何中的图形变换4.1 坐标轴上的平移学习坐标轴上的平移对图形的影响掌握坐标轴上的平移的规律4.2 坐标轴上的旋转学习坐标轴上的旋转对图形的影响掌握坐标轴上的旋转的规律4.3 坐标轴上的对称学习坐标轴上的对称对图形的影响掌握坐标轴上的对称的规律第五章：解析几何中的几何问题5.1 点到直线的距离学习点到直线的距离的定义和求法掌握点到直线的距离公式的应用5.2 直线与圆的位置关系学习直线与圆的位置关系的定义和判断方法掌握直线与圆的位置关系解决实际问题的方法5.3 圆与圆的位置关系学习圆与圆的位置关系的定义和判断方法掌握圆与圆的位置关系解决实际问题的方法第六章：直线与直线的相交问题6.1 两直线的斜率是否存在学习如何判断两条直线斜率是否存在掌握两条直线斜率存在时的解题方法6.2 两直线垂直的条件学习两条直线垂直的判定条件掌握两条直线垂直时的解题方法6.3 两直线平行的问题学习两条直线平行的判定条件掌握两条直线平行时的解题方法第七章：解析几何中的最值问题7.1 直线与直线交点问题学习如何求解两直线交点问题掌握直线与直线交点问题的解题方法7.2 直线与圆的最值问题学习如何求解直线与圆的最值问题掌握直线与圆最值问题的解题方法7.3 圆与圆的最值问题学习如何求解圆与圆的最值问题掌握圆与圆最值问题的解题方法第八章：解析几何中的轨迹问题8.1 动点的轨迹问题学习如何求解动点的轨迹问题掌握动点轨迹问题的解题方法8.2 直线与圆的轨迹问题学习如何求解直线与圆的轨迹问题掌握直线与圆轨迹问题的解题方法8.3 圆与圆的轨迹问题学习如何求解圆与圆的轨迹问题掌握圆与圆轨迹问题的解题方法第九章：解析几何中的应用问题9.1 面积问题学习如何利用解析几何解决面积问题掌握解析几何解决面积问题的方法9.2 距离问题学习如何利用解析几何解决距离问题掌握解析几何解决距离问题的方法9.3 几何图形构造问题学习如何利用解析几何解决几何图形构造问题掌握解析几何解决几何图形构造问题的方法第十章：解析几何的拓展与提高10.1 参数方程学习参数方程的定义和特点掌握参数方程的求法及其应用10.2 极坐标方程学习极坐标方程的定义和特点掌握极坐标方程的求法及其应用10.3 解析几何在实际问题中的应用学习如何利用解析几何解决实际问题掌握解析几何解决实际问题的方法重点和难点解析重点环节一：直线方程的斜截式、点斜式和一般式斜截式、点斜式和一般式是直线方程的三个基本形式，掌握它们的定义和特点是理解解析几何的基础。
平面解析几何教案
平面解析几何教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面直角坐标系的概念，掌握坐标轴上的点的坐标特征；（2）掌握两点间的距离公式，了解线段中点坐标公式；（3）掌握直线的斜率公式，能够计算直线的斜率；（4）学会用两点式、截距式、斜截式求直线方程；（5）了解圆的标准方程和一般方程，能够判断点与圆的位置关系。
2. 过程与方法：（1）通过实例感受坐标系在描述几何图形中的作用；（2）利用数形结合的思想，直观理解直线的斜率概念；（3）运用转化思想，将实际问题转化为平面解析几何问题；（4）运用方程思想，解决平面解析几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力；（2）培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的积极性；（3）培养学生合作交流的能力，提高团队协作能力。
二、教学内容1. 平面直角坐标系：坐标轴上的点的坐标特征，坐标系的应用。
2. 两点间的距离与线段中点坐标：两点间的距离公式，线段中点坐标公式。
3. 直线的斜率：直线的斜率概念，斜率公式，直线的倾斜角。
4. 直线方程的求法：两点式、截距式、斜截式求直线方程。
5. 点与圆的位置关系：圆的标准方程和一般方程，判断点与圆的位置关系。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面直角坐标系的概念及应用；（2）两点间的距离公式和线段中点坐标公式；（3）直线的斜率公式及直线的倾斜角；（4）直线方程的求法；（5）点与圆的位置关系的判断。
2. 教学难点：（1）直线的斜率公式的推导；（2）直线方程的求法；（3）点与圆的位置关系的判断。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律；2. 利用数形结合，直观展示几何图形的性质；3. 通过实例分析，培养学生的实际应用能力；4. 运用合作学习，引导学生积极参与，提高团队协作能力。
五、教学准备1. 教学课件：平面直角坐标系、两点间的距离与线段中点坐标、直线的斜率、直线方程的求法、点与圆的位置关系；2. 教学素材：坐标轴、点、直线、圆的模型或图片；3. 教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
《图形与几何》教案设计
《图形与几何》教案设计一、教学目标1.让学生掌握平面几何的基本概念、性质和定理。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.激发学生对图形与几何的兴趣，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、教学内容1.平面几何的基本概念：点、线、面、角2.几何图形的性质和定理：三角形、四边形、圆3.几何图形的相互关系：平行、垂直、相交4.几何图形的变换：平移、旋转、对称三、教学重点与难点1.教学重点：平面几何的基本概念、性质和定理，几何图形的相互关系及变换。
2.教学难点：几何图形的性质和定理的证明，几何图形的变换方法。
四、教学过程1.导入（1）通过多媒体展示一些生活中常见的几何图形，让学生初步认识平面几何。
（2）引导学生回顾小学阶段学过的几何知识，为新课学习做好铺垫。
2.授课（1）讲解平面几何的基本概念：点、线、面、角（2）讲解几何图形的性质和定理：三角形、四边形、圆（3）讲解几何图形的相互关系：平行、垂直、相交（4）讲解几何图形的变换：平移、旋转、对称3.练习（1）让学生在纸上画出一些几何图形，如三角形、四边形、圆等，并标出相关性质和定理。
（2）让学生互相交流，分享自己画图的经验和心得。
4.小组讨论（1）将学生分成小组，每组选一个组长。
1.如何证明一个三角形是等边三角形？2.如何判断两个几何图形是否相似？3.如何进行几何图形的平移、旋转、对称变换？（1）请小组代表发言，分享讨论成果。
6.作业布置（1）让学生回家后，复习本节课所学内容。
（2）完成课后练习题，巩固所学知识。
五、教学反思本节课通过生动的实例和丰富的练习，让学生掌握了平面几何的基本概念、性质和定理，以及几何图形的相互关系和变换。
在教学过程中，注重学生的参与和互动，激发学生的学习兴趣。
但在教学过程中，也发现了一些问题，如部分学生对几何图形的性质和定理掌握不够熟练，需要加强巩固。
在今后的教学中，我将针对这些问题，调整教学方法，提高教学效果。
六、教学资源1.多媒体课件2.教学视频3.练习题库4.课后辅导资料七、教学时间1课时八、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性和学习态度。
平面图形数学教案
平面图形数学教案标题：平面图形数学教案一、课程目标：1. 学生能够掌握并理解基本的平面图形，如圆形、三角形、正方形和矩形等。
2. 通过观察和实践，学生能够了解这些图形的特点和性质。
3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 平面图形的基本定义2. 常见的平面图形：圆形、三角形、正方形和矩形3. 各种平面图形的特点和性质4. 如何使用简单的工具（如直尺和圆规）来绘制平面图形三、教学方法：1. 讲解法：教师首先讲解平面图形的基本概念和常见的平面图形。
2. 实践法：然后，让学生用直尺和圆规亲自绘制各种平面图形，以增强他们的空间想象能力和动手能力。
3. 讨论法：最后，组织学生讨论各种平面图形的特点和性质，以培养他们的逻辑思维能力和团队合作能力。
四、教学步骤：1. 引入主题：首先，教师可以通过提问或故事引入平面图形的主题，激发学生的学习兴趣。
2. 教授新知识：接着，教师开始讲解平面图形的基本定义和常见的平面图形。
在讲解过程中，教师可以使用实物或图片帮助学生理解。
3. 实践活动：然后，教师指导学生使用直尺和圆规绘制平面图形。
在这个过程中，教师应该鼓励学生独立思考和尝试，而不是仅仅模仿老师的示例。
4. 分组讨论：最后，教师组织学生分组讨论各种平面图形的特点和性质。
每个小组都需要准备一个报告，并在全班面前分享他们的发现。
五、教学评估：1. 观察学生在实践活动中的表现，看他们是否能够正确地使用直尺和圆规，以及他们对平面图形的理解程度。
2. 通过学生的分组讨论和报告，评估他们的逻辑思维能力和团队合作能力。
3. 在课程结束时，进行一次小测验，检查学生对平面图形的知识掌握情况。
六、教学反思：1. 根据学生的表现和反馈，反思自己的教学方法是否有效，是否需要改进。
2. 思考如何更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
七、课后作业：1. 绘制一幅包含多种平面图形的画。
2. 写一篇关于你最喜欢的平面图形的文章，描述它的特点和性质。
教案平面解析几何
精品教案平面解析几何第一章：平面解析几何简介1.1 平面解析几何的概念解析几何的定义平面解析几何的研究对象1.2 平面直角坐标系坐标系的定义平面直角坐标系的构成坐标轴、象限和坐标平面的概念1.3 点、直线和圆的方程点的坐标表示直线的方程圆的方程第二章：直线方程2.1 直线的一般式方程直线的斜率直线的截距直线方程的斜截式和点斜式2.2 直线的点斜式和斜截式点斜式的定义和应用斜截式的定义和应用2.3 直线的平行和垂直关系直线平行的条件直线垂直的条件第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程圆的定义圆的标准方程的形式3.2 圆的一般方程圆的一般方程的形式圆的方程与圆的性质3.3 圆的方程的应用圆的方程与圆的参数方程圆的方程与圆的切线和割线第四章：圆锥曲线4.1 椭圆的方程椭圆的定义椭圆的标准方程的形式4.2 双曲线的方程双曲线的定义双曲线的标准方程的形式4.3 抛物线的方程抛物线的定义抛物线的标准方程的形式第五章：解析几何的应用5.1 距离和弧长两点间的距离公式圆弧的长度公式5.2 面积和体积三角形的面积公式圆的面积公式立体的体积公式5.3 解析几何在实际问题中的应用解析几何在几何作图中的应用解析几何在物理学和工程学中的应用第六章：直线与圆的位置关系6.1 直线与圆的交点直线与圆的交点公式直线与圆相切的情况6.2 直线与圆相交的条件直线与圆相交的判定条件直线与圆相切的判定条件6.3 直线与圆的位置关系的应用求解直线与圆的交点求解直线与圆的位置关系第七章：解析几何与函数7.1 解析几何与一次函数一次函数的图像一次函数与直线的关系7.2 解析几何与二次函数二次函数的图像二次函数与抛物线的关系7.3 解析几何与函数的应用求解函数的零点求解函数的最大值和最小值第八章：坐标变换8.1 平移变换平移变换的定义平移变换的坐标表示8.2 旋转变换旋转变换的定义旋转变换的坐标表示8.3 缩放变换缩放变换的定义缩放变换的坐标表示第九章：解析几何与向量9.1 向量与解析几何的关系向量的定义和表示向量与坐标的关系9.2 向量的运算向量的加法、减法和数乘向量的点积和叉积9.3 向量在解析几何中的应用向量与直线的关系向量与圆的关系第十章：解析几何与几何作图10.1 几何作图的基本原理几何作图的定义几何作图的基本方法10.2 解析几何在几何作图中的应用利用解析几何作图的方法解析几何作图的实际应用10.3 几何作图的综合应用几何作图在实际问题中的应用几何作图与其他数学知识的结合第十一章：解析几何与概率论11.1 解析几何与概率的关系几何概率的定义几何概率的基本事件11.2 几何概率的计算几何概率的计算公式几何概率的图形表示11.3 解析几何在概率论中的应用利用解析几何解决概率问题解析几何与概率论的实际应用第十二章：解析几何与数列12.1 解析几何与等差数列等差数列的定义和性质等差数列的图形表示12.2 解析几何与等比数列等比数列的定义和性质等比数列的图形表示12.3 解析几何在数列中的应用利用解析几何解决数列问题解析几何与数列的实际应用第十三章：解析几何与方程组13.1 解析几何与线性方程组线性方程组的定义线性方程组的解法13.2 解析几何与非线性方程组非线性方程组的定义非线性方程组的解法13.3 解析几何在方程组中的应用利用解析几何解决方程组问题解析几何与方程组的实际应用第十四章：解析几何与数学建模14.1 解析几何与数学建模的关系数学建模的定义解析几何在数学建模中的作用14.2 解析几何建模的方法与步骤解析几何建模的基本方法解析几何建模的实践步骤14.3 解析几何建模的实际应用利用解析几何解决实际问题解析几何建模与其他数学知识的结合第十五章：解析几何综合练习15.1 解析几何综合练习的目的综合练习的重要性解析几何综合练习的目标15.2 解析几何综合练习的内容综合练习的知识点综合练习的题型与难度15.3 解析几何综合练习的指导解题方法的指导练习与复习的建议重点和难点解析本文主要介绍了平面解析几何的基本概念、直线方程、圆的方程、圆锥曲线、解析几何的应用、坐标变换、解析几何与函数、解析几何与向量、几何作图、概率论、数列、方程组、数学建模以及综合练习等内容。
教案平面解析几何
精品教案平面解析几何第一章：平面解析几何基础1.1 坐标系与直线方程学习坐标系的定义与分类掌握直线方程的斜截式、点斜式和一般式1.2 点、直线、圆的位置关系理解点与直线、点与圆的位置关系掌握点到直线的距离公式、点到圆的距离公式第二章：直线与圆锥曲线2.1 直线与圆锥曲线的基本概念学习直线与圆锥曲线的定义和性质理解直线与圆锥曲线的交点性质2.2 直线与圆锥曲线的相交问题掌握直线与圆锥曲线相交的判定条件学习直线与圆锥曲线相交的解法第三章：圆与圆锥曲线3.1 圆的基本概念与性质学习圆的定义、方程和性质掌握圆的直径、半径和弦长等概念3.2 圆与圆的位置关系理解圆与圆相交、相切和相离的概念学习圆与圆位置关系的判定方法和解法第四章：空间解析几何4.1 空间坐标系与点、直线、平面方程学习空间坐标系的定义与分类掌握点、直线、平面的方程及其性质4.2 空间点、直线、平面的位置关系理解空间点与直线、点与平面的位置关系掌握空间点到直线的距离公式、点到平面的距离公式第五章：空间几何体的性质与应用5.1 空间几何体的基本概念与性质学习空间几何体的定义和分类掌握空间几何体的体积、表面积等概念5.2 空间几何体的应用问题学习空间几何体的切割、拼接和变形等问题解决实际应用问题，如立体图形的计算和设计等。
第六章：解析几何中的最值问题6.1 解析几何中最值问题的基本概念学习函数在几何中的运用理解最值问题的意义和求解方法6.2 解析几何中最值问题的解法掌握一元二次函数在几何中的运用学习利用导数、二次函数的最值性质求解最值问题第七章：解析几何中的轨迹问题7.1 解析几何中轨迹问题的基本概念学习轨迹问题的定义和分类理解轨迹问题的求解方法7.2 解析几何中轨迹问题的解法掌握直线、圆锥曲线、圆的轨迹方程的求法学习利用解析几何方法解决轨迹问题第八章：解析几何中的定值问题8.1 解析几何中定值问题的基本概念学习定值问题的定义和特点理解定值问题的求解方法8.2 解析几何中定值问题的解法掌握解析几何中定值问题的常见类型和解法学习利用定值问题的性质和条件求解第九章：解析几何中的应用问题9.1 解析几何中应用问题的基本概念学习解析几何在实际问题中的应用理解解析几何解决实际问题的方法和步骤9.2 解析几何中应用问题的解法掌握解析几何在几何计算、设计、优化等方面的应用学习利用解析几何解决实际应用问题第十章：解析几何的综合训练10.1 解析几何综合训练的基本概念学习解析几何综合训练的目的和意义理解综合训练的题型和解题方法10.2 解析几何综合训练的解法掌握解析几何综合训练的解题技巧和策略学习利用综合训练提高解析几何解题能力重点和难点解析一、平面解析几何基础难点解析：坐标系的转换，直线方程的适用条件，点到直线的距离公式的灵活运用。
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平面几何的综合应用教案
一、教学目标：
1. 了解平面几何的基本概念和性质；
2. 掌握平面几何中的基本定理和推理方法；
3. 运用平面几何知识解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学内容：
1. 平面几何的基本概念和性质；
2. 平面几何中的基本定理和推理方法；
3. 平面几何的实际应用。
三、教学重点：
1. 平面几何的基本定理和推理方法；
2. 平面几何的实际应用。
四、教学难点：
1. 运用平面几何知识解决实际问题；
2. 培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
五、教学方法：
1. 导入法：通过展示一幅平面几何图形或提出一个实际问题引起学生的兴趣；
2. 讲解法：系统地讲解平面几何的基本概念、定理和推理方法；
3. 案例法：通过解析一些实际问题来运用平面几何知识；
4. 综合应用法：设计一些综合应用题，让学生运用所学平面几何知识解决问题。
六、教学过程：
第一节：平面几何的基本概念和性质
导入：出示一幅平面几何图形，引导学生观察图形并提出问题，激发学生的思考。
讲解：依次讲解平面几何的点、直线、线段、角等基本概念，并介绍它们的性质和表示方法。
练习：让学生自己找一些实际例子，运用平面几何的概念和性质进行解释和描述。
第二节：平面几何中的基本定理和推理方法
导入：通过一些有趣的问题引导学生思考，激发学生对平面几何基本定理和推理方法的兴趣。
讲解：讲解平面几何的基本定理和推理方法，如垂直线段定理、平行线与交叉线定理、三角形的性质等。
练习：设计一些练习题，让学生独立思考并运用所学知识解答问题。
第三节：平面几何的实际应用
导入：提出一些实际问题，引导学生思考并尝试用平面几何知识解
决问题。
讲解：通过解析一些实际问题，讲解平面几何在实际生活中的应用，如建筑设计、地图制作等。
练习：设计一些综合应用题，让学生独立思考并解决问题，培养学
生的逻辑思维和空间想象能力。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对平面几何的基本概念和性质有了更深入
的了解，掌握了平面几何中的基本定理和推理方法，并能够灵活运用
平面几何知识解决实际问题。
同时，通过设计的综合应用题，培养了
学生的逻辑思维和空间想象能力。
在教学过程中，我注重启发学生的
思考，激发学生的兴趣，使学生能够主动参与到教学中来。
通过合作
学习和讨论，学生之间可以相互交流和学习，提高了学生的学习效果。