运筹学课程讲义
运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
运筹学讲义
OPERATIONS RESEARCH运筹学Ⅰ——怎样把事情做到最好第一章绪论♦1.1题解Operations 汉语翻译工作、操作、行动、手术、运算Operations Research日本——运用学港台——作业研究中国大陆——运筹学Operational Research原来名称，意为军事行动研究——历史渊源绪论♦1.2 运筹学的历史早期运筹思想：田忌赛马丁渭修宫沈括运粮Erlang 1917 排队论Harris 1920 存储论Levinson 1930 零售贸易康脱洛维奇1939 LP绪论♦1.2运筹学的历史军事运筹学阶段德军空袭防空系统Blackett运输船编队空袭逃避深水炸弹轰炸机编队绪论♦1.2运筹学的历史管理运筹学阶段战后人员三分:军队、大学、企业大学：课程、专业、硕士、博士企业：美国钢铁联合公司英国国家煤炭局运筹学在中国：50年代中期引入华罗庚推广优选法、统筹法中国邮递员问题、运输问题1.3学科性质▪应用学科▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学方法。
▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制得到最优的解决方法。
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
1.4定性与定量♦例：店主进货♦两者都是常用的决策方法♦定性是基础，定量是工具，定量为定性服务。
♦定性有主观性也有有效性，定量有科学性也有局限性。
管理科学的发展，定量越来越多。
但定量不可替代定性。
1.5运筹学的模型♦模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关系、系统结构。
♦形象模型：如地球仪、沙盘、风洞♦模拟模型：建港口，模拟船只到达。
学生模拟企业管理系统运行。
♦数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。
运筹学讲义(工程硕士)
运筹学应用的成功案例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
联合航空公司（1-2/1986，$600万） 满足乘客需求以最低成本进行订票处和机场工作班次排程 Citgo石油公司（1-2/1987，$7000万） 优化炼油运作以及产品的供应、配送和营销 旧金山警署（1-2/1989，$1100万）
用计算机系统最优排程和巡警设置
荷玛特发展公司（1-2/1987，$4000万） 商业区和办公楼销售的最优化安排
Operations
Research (美国)—简称OR Operational Research(英国) 作业研究(港台) 运筹学(大陆) 管理科学 （Management Science，简称MS）
运筹学的历史
萌芽阶段 二战期间 二战之后
运筹学的应用实例
田忌赛马 盟军轰炸鲁尔水库 美洲航空公司的收益管理
运筹学应用的成功案例
宝洁公司（1-2/1997，$2亿） 重新设计生产和分销系统以降低成本和改进市场进入速度 南非国防部（1-2/1997，$11亿） 国防设施和武器系统规模和状态的重新优化设计 数字设备公司（1-2/1995，$8亿） 重构供应商、工厂、分销中心、潜在厂址和市场区域供应链 雷诺德金属制品公司（1-2/1991，$700万） 自动化超过200个工厂、仓库和供应商的货物装载调度系统 中国政府（1-2/1995，$4.25亿） 为满足国家未来能源需求的大型项目的优选和排程 Delta航空公司（1-2/1994，$1亿） 超过2，500个国内航线的飞机类型配置来最大化利润
授课内容
规划论
线性规划 目标规划 整数规划 动态规划
运筹学讲义
《管理运筹学》1、运筹学的工作步骤(1)提出和形成问题．(2)建立模型．(3)求解．(4)解的检验．(5)解的控制．(6)解的实施.2、运筹学模型三种基本形式：(1)形象模型(2)模拟模型(3)符号或数学模型构模的五种方法和思路： (1)直接分析法 (如线性规划)(2)类比法（手机的普及与电视机的普及）(3)数据分析法（如汽车销售量预测模型）(4)试验分析法（销售量与价格之间的关系模型）(5)想定(构想)法（销售与心理）3、如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式：1.如果问题是求目标函数的最小值，求min f＝∑Cjxj则可先将目标函数乘（-1），化为求极大值问题，即求 max Z=－f=－∑Cjxj2.如果有某个bk≤0，则可将该等式两边均乘以(－1)，使右端常数项bk=－bk≥03.如果第k个约束条件是∑akjxj≤bk,引入松弛变量sk≥0 , 将它写成∑akjxj+sk＝bk如果第l个约束条件是∑aljxj≥bl则引入剩余变量(也可称为松弛变量)sl≥0，将它写成∑aljxj—sl=bl 且使松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数为零。
4.如果对某个变量xj没有非负限制(这种变量称为自由变量或无约束变量)，则引进两个非负变量xj′，xj″，令xj＝xj′－xj″代人目标函数和约束条件中，可将它化为对全部变量都有非负限制的问题。
4、①目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式的模型称之为线性规划。
②如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。
③满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
④把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称为该线性规划的最优解,此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值5、图解法的启示1．最优解：如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。
（一般为封闭可行域凸集）2．无穷多个最优解：若将上例中的目标函数变为求maxZ=50x1+50x2则代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线x1+x2=300重合。
运筹学讲义
第一章绪论一运筹学的发展历史1学科起源：二战期间英美等国军事部门集中多学科人员，研究提高武器系统效能，如反空袭雷达控制系统，使雷达和高炮相配合。
诺将物理学家布莱克特（Blackett）领导研究小组“Operational Research”，多学科构成（布莱克特马戏团）。
战争结束后专家转移到企业和院校——学科形成。
2我国古代的运筹思想：齐王赛马——齐王“上中下”，田忌“下上中”丁渭修皇宫——北宋真宗宰相丁渭（澶chan州之盟的主和派），主持皇宫失火后的修复。
宫前大街取土、引汴河运料、完工后回填废土。
3我国近代以来：50年代开始钱学森、许志国等引进运筹学理论，华罗庚教授回国后从事优选法和统筹法研究推广（烧茶壶的故事）4翻译：来自汉高祖“夫运筹帷幄之中,决胜千里之外,吾不如子房;填国家,抚百姓,给饷馈,不绝粮道,吾不如萧何;连百万之众,战必胜,攻必取,吾不如韩信。
”台湾地区直译为“运作研究”。
二运筹学的特点运筹学存在多种定义，如“依照给定目标和条件，从众多方案中选择最优方案的最优化技术”，学科特点：最优化、定量化1 多种专家的协作2 科学的方法：从实际情况出发，通过假设的模型打到一个符合实际的结论3 目的在于解决实际问题。
4 需要系统的信息资料5 需要建立模型——运筹学的核心问题就是通过合适的模型分析系统的未来情况6 对于复杂问题，需要计算机三运筹学的模型运筹学的主要特点是通过模型来描述和分析所认定范围内的系统状态。
分析过程包括：1 系统分析和问题描述。
认定问题的实质——社会经济问题复杂性、不可重复性，不同于具有可控性的物理模型（提高企业效益：开发市场？增加设备？加强研发？）。
明确系统的主要目标（利润最大化、市场占有率最大化、销售收入最大化？GDP增长、可持续协调增长？）、找出系统主要变量和参数、变化范围、相互关系及其对目标的影响。
分析问题的可行性：技术可行性—有无现成的运筹学方法？经济可行性—研究的成本和预期的效果，考虑运筹决策的时间和代价，要对研究问题的深度和广度作出一定限制操作可行性—研究人员的配备2 建立数学模型——要尽可能简单；要能完整的描述所研究的系统。
运筹学基础串讲讲义
《运筹学基础》串讲讲义课程介绍一、课程性质《运筹学》是计算机、数学和经济管理等近20个专业本科生和专科生的必修课程之一。
《运筹学基础》是全国高等教育自学考试计算机信息管理专业的专业基础课，是一门理论与实际结合的课程。
通过本课程的学习，能够理论联系实际，把书本上的知识可以直接应用到日常生活中去，提高分析和解决问题的能力。
在考试中出现的考题并不难，跨章节的考题很少，但是题量很大，学员在学习的过程中要熟练掌握各章的例题和课后练习题，并提高计算速度。
二、教材的选用自学教材：《运筹学基础》，全国高等教育自学考试指导委员会组编，张学群主编，经济科学出版社 2002年版三、章节体系《计算机体系结构》共11章，可分为三部分：第1章为第一部分，介绍运筹学的基本概念、决策过程的步骤，提出问题、分析问题和解决问题。
第二部分主要内容为预测，即利用以前和现在的资料，应用不同的方法预测将来要发生的事情并做好准备，主要包含：第2章、第3章、第9章和第11章。
第三部分主要内容为优化，即如何利用现有资源，合理安排之后设计可行方案，达到所耗资源最少或获得利润最大的问题，主要包含：第4章、第5章、第6章、第7章、第8章和第10章。
考情分析一、题型与分值从题型与分值来看，本课程共有四种题型模式：单项选择，填空，名词解释和计算，计算又分计算题Ⅰ、计算题Ⅱ、计算题Ⅲ和计算题Ⅳ。
题型与分值情况如下：单选（共15小题，每题1分，共15分）；填空（共10小题，每题1分，共10分）；名词解释（共5小题，每题3分，共15分）；计算题Ⅰ（共3小题，每题5分，共15分）；计算题Ⅱ（共3小题，每题5分，共15分）；计算题Ⅲ（共2小题，每题7分，共14分）；计算题Ⅳ（共2小题，每题8分，共16分）。
二、知识点分布从知识点分布来看，本课程试题覆盖了教材11章的全部内容。
1、单选题：覆盖面最广，15个选择题中每章1—2题，每章都要涉及考察基本知识点，利用排除法很容易拿分，是一个主要的得分点，尽量不丢分。
运筹学讲义完整版
等可能准则
n
max{
i
1 n
Vij
j=1
}
S1 A1 20 A2 9 A3 6
S2
S3
Vi =
1 3
Vij
1 -6
5
80
5
2 3
max=5
2 3
54
5
选 A2
第36页
5.后悔值准则（Savage原则 ） （最小机会损失决策）
定义：称每个方案aj在结局Si下的最大可能 收益与现收益的差叫机会损失，又称后悔值 或遗憾值。记Rij(si,aj)=MaxQij(si,aj)-Qij(si,aj)
第27页
收益矩阵
事件 高
方案
S1
A1
20
A2
9
A3
6
中
低
S2 S3(万元)
1
-6
8
0
5
4
第28页
1.乐观准则（Hurwicz原则、MaxMax ） （冒险型决策）
对于任何行动方案 ，都认为将是最好的状态发 生，即益损值最大的状态发生。然后，比较各 行动方案实施后的结果，取具有最大益损值的 行动为最优行动的决策原则，也称为最大最大 准则。
第39页
（3）在机会损失表中，从每一行选一 个最大的值，即每一方案的最大机会损 失值 Max Rij(si,aj) （4）再在选出的 Max Rij(si,aj)选择最 小者：
第37页
对于任何行动方案aj ,都认为将是 最大的后悔值所对应的状态发生。然后， 比较各行动方案实施后的结果，取具有 最小后悔值的行动为最优行动的决策原 则，称为后悔值准则。记
R (s,aopt) = Min Max Rij(si,aj) ji
运筹学讲义
运筹学讲义《管理运筹学》1、运筹学的工作步骤(1)提出和形成问题．(2)建立模型．(3)求解．(4)解的检验．(5)解的控制．(6)解的实施.2、运筹学模型三种基本形式：(1)形象模型(2)模拟模型(3)符号或数学模型构模的五种方法和思路： (1)直接分析法 (如线性规划)(2)类比法（手机的普及与电视机的普及）(3)数据分析法（如汽车销售量预测模型）(4)试验分析法（销售量与价格之间的关系模型）(5)想定(构想)法（销售与心理）3、如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式：1.如果问题是求目标函数的最小值，求min f＝∑Cjxj则可先将目标函数乘（-1），化为求极大值问题，即求 max Z=－f=－∑Cjxj2.如果有某个bk≤0，则可将该等式两边均乘以(－1)，使右端常数项bk=－bk≥03.如果第k个约束条件是∑akjxj≤bk,引入松弛变量sk≥0 , 将它写成∑akjxj+sk＝bk如果第l个约束条件是∑aljxj≥bl则引入剩余变量(也可称为松弛变量)sl≥0，将它写成∑aljxj—sl=bl 且使松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数为零。
4.如果对某个变量xj没有非负限制(这种变量称为自由变量或无约束变量)，则引进两个非负变量xj′，xj″，令xj＝xj′－xj″代人目标函数和约束条件中，可将它化为对全部变量都有非负限制的问题。
4、①目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式的模型称之为线性规划。
②如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。
③满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
④把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称为该线性规划的最优解,此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值5、图解法的启示1．最优解：如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。
（一般为封闭可行域凸集）2．无穷多个最优解：若将上例中的目标函数变为求maxZ=50x1+50x2则代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线x1+x2=300重合。
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运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
1.3线性规划的基本概念和基本定理一、线性规划问题的基与解可行解最优解基基向量非基向量基变量非基变量基本解基本可行解最优基本可行解退化的基本解二、几何意义上的几个基本概念1. 凸集2. 凸组合3. 顶点三、线性规划问题的基本定理定理1：若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X (x1,x2, ,x n)T为基本可行解的充要条件是X 的正分量对应的系数列向量是线性无关的。
定理2：线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点。
引理2：K 是有界凸集，则任何一点X K 可表示为K 的顶点的凸组合。
定理3：如果线性规划问题有有限最优解，则其目标函数最优值一定可以在可行域的顶点上达到。
四、求解线性规划问题的基本思路在有限个基本可行解中寻找最优基本可行解。
找一个基本可行解( m 个线性无关的系数列向量) ，由其换到另一个基本可行解。
实质即为换基。
前提是保证新的基本可行解的目标函数值比原来的更优而不是更劣基变量。
原模型变形为第二章单纯形法它是求解线性规划最为成熟的算法。
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个，生产桌子和椅子需要木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x130x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0将其变形，得4x1 3x2 x3 1202x1 x2 x4 50x1,x2,x3,x4 0将X3,X4对应的单位矩阵作为初始可行基。
令X3,X4为基变量，X i,X2为非maX z 50X1 30X2X3 120 4X1 3X2X4 50 2X1 X2X1,X2,X3,X4 0如果令非基变量X i,X2等于零，得一个基本可行解(0, 0, 120, 50),对应的目标函数值z = 0最优性检验：该解是否最优？显然不是。
经济意义分析：X1,X2等于零意味着家具厂不开工生产,销售收入为零,资源未得到充分利用。
数学角度分析：非基变量X1,X2前的系数都为正，表明目标函数值有增4X 1 X 3 120 2X 1 50 X 2 3X 2 X 4 化简后得X 1 25 0.5X 2 0.5X 4 加的可能。
只要将系数为正的非基变量与某一基变量对换， 当换入变 量的值增加时，目标函数值就可能增加。
换基迭代：寻找下一个可行解需要进行换基迭代。
换基后需满足：（1） 新的解仍是基本可行解； （2）目标函数得到改善。
选择入基变量：X i ,X 2系数均为正。
对求目标函数极大化的问题，我们 希望目标值增加得越快越好，因此应选系数最大的 X 1入基。
选择出基变量：X 1入基后，其值从零增加并引起其他变量取值的变化。
由问题的典则表达式和变量必须取正值的条件，得下列不等式关系：X 3 120 - 4X 1 -3X 2X 4 50-2X 1 -X 2 0 因迭代后X 2仍为取零值的非基变量，上式可简化为120 4X 1 050 2X 1 0很明显，只有选 X 1 min 120/4,50/2 25时，才能使上述不等式成立， 并使基变量X 4变为零，正好满足非基变量必须为零的条件，所以可令X 4出基，新的典则方程变为 X 3 20 X 2 2X 4代入目标函数可得 z 2 1250 5X 2 25X 4得到下一个基本可行解（ 25， 0， 20， 0），并完成了第一次迭代。
新解是最优解吗？需进行最优检验。
由于目标函数中 X 2的系数仍为 正，说明多生产椅子仍有利可图，该解仍不是最优解。
再次迭代。
x 2 入基， x 3 出基，换基后典则形式变为z 3 1350 5x 3 15x 4x 1 15 0.5x 3 1.5x 4x 2 20 x 3 2x 4第三个基本可行解为（15，20，0，0），松弛变量都已为零，表明资源已得到充分利用；非基变量在目标函数中的系数全为负值，说明目标函数已无法进一步改善，因此该解已是最优解。
2.1 单纯形法原理构造初始可行基1. 引入附加变量，把数学模型化为标准型2. 若约束条件中附加变量的系数是-1或原约束即为等式，则必须引入人工变量，以构成初始可行基3. 目标函数中，附加变量的系数为0,而人工变量的系数为M （很大的正数）求出一个基本可行解1. 用非基变量表示基变量和目标函数式4x1 3x2 8x3 M 2 x1 x3 x4 M 5 2x2 2x5 x54 M x1 3 M x2 8 3M x3 Mx 4 Mx5 7M2. 求出一个基本可行解及相应的z 值三、最优性检验1. 最优性检验的依据—检验数2. 最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数j 0，且人工变量为0，则这个基本可行解是最优解。
对于极大化问题，只要把上述定理中的j 0 改成j 0即可这里的检验数j即为（C j-Z j）。
3. 无穷多最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数j 0，又存在某个非基变量的检验数为0，且人工变量为0，则线性规划问题有无穷多最优解。
4. 无可行解情况若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数j 0，但人工变量0，则该线性规划问题无可行解。
四、基变换1. 基本可行解的改进定理2. 换入变量的确定3. 换出变量的确定最小非负比值规则=b r /a rk = min {b i /a ik |a ik >0}在单纯形法迭代中，基变换带来可行域顶点的变换，且相邻两次迭代所对应的顶点也是相邻的。
4. 无有限最优解（无界解）判定定理：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，有一个非基变量的检验数k<0,但P k列中没有正元素，且人工变量为0，则线性规划问题无有限最优解（具有无界解）。
2.2 单纯形法的表格形式构造初始可行基，并计算检验数jj =c j -z j乙=(C i,C2,…,C m)?P j=(C B)?P'j二、从表中找到基本可行解和相应目标函数值三、最优性检验四、基变换1. 换入变量的确定负检验数中最小2. 换出变量的确定最小非负比值规则3. 主元素的确定换入元素所在列和换出元素所在行交点处的元素4. 取主变换通过矩阵行的初等变换，把换入向量变换为单位列向量。
即基变换，亦即单纯形法的一次迭代。
2. 3大M法和两阶段法根据处理人工变量的方法不同，单纯形法的两种常见形式大M 法也叫罚函数法，前已介绍。
两阶段法将线性规划问题的求解分为两个阶段。
第一阶段：判断原线性规划问题是否有可行解。
该阶段所要求解的线性规划问题的约束条件即原问题的约束条件，而目标函数取全部人工变量之和，求其最小值。
若求解结果是上述目标函数的最小值为0，则说明所有人工变量都能退出基，原问题有可行解，且第一阶段的最终单纯型表上的基本可行解就是原问题的一个基本可行解。
若求解的结果是上述目标函数的最小值大于0，则说明最终人工变量不能完全退出基，原问题无可行解，应停止计算。
第二阶段：求解原线性规划问题的最优解。
以第一阶段的最终单纯型表为基础，去掉其中的人工变量列，把目标函数换成原问题的目标函数，并修正因C j改变而改变的（C B）T、j和-Z。
以此作为第二阶段的初始表，继续迭代，得原问题的最优解。
438 000迭代次数C B T 基变量x1x2x3 x4x5b18x3210211 3x220023192.4退化问题一、什么是退化当基本解、基本可行解、最优基本可行解中有基变量为0 时，即出现了退化。
退化情况下，即使存在最优解，也可能出现循环现象，即迭代过程总是重复解的某一部分序列，目标函数值总是不变，永远达不到最优解二、摄动法1. 摄动法简介对线性规划原问题，为了避免退化情况下发生循环，而使向量b 摄动。