山东省青岛市第二中学高二下学期期中数学试题(解析版)
宁号”、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐 3 种卡片才可获奖，
则购买该礼品 4 袋，获奖的概率为（
A． 3 16
B． 3 8
【答案】C
）
C． 4 9
D． 8 9
【解析】购买该礼品 4 袋，购买卡片编号的所有可能结果为： n 34 ，获奖时至多有 2
张卡片相同，且“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，三种卡片齐全，即可求得答案. 【详解】
【解析】设 g(x) x3 3x, x [0, 3] 结合导数可得函数 y g x 的值域为2,0 ，
最大值与最小值之差为 2 ，从而得到函数 y x3 3x 2m, x 0, 3 的值域为
当
时，
，故选 A.
8．满足函数 f x ln mx 3在 ,1 上单调递减的一个充分不必要条件是
A． 4 m 2
B． 3 m 0
C． 4 m 0
D． 3 < m 1
【答案】D
【解析】先求出函数 f x 在 ,1 上单调递减的充要条件，再结合所给的选项进行
判断、选择即可． 【详解】
A． x N ，都有 ln x x 1 1
B． x N ，都有 ln x x 1 1
C． x N ，都有 ln x x 1 1
D． x N ，都有 ln x x 1 1
【答案】D 【解析】根据特称命题的否定，即可求得答案. 【详解】
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根据特称命题的否定
命题“ x0 N ，使得 ln x0 x0 1 1”
E. P A 0.5 ， PB 0.3 ， P AB 0.2 ，则 P A B 0.4
【答案】BD 【解析】根据复数和概率等知识，逐项判断，即可求得答案. 【详解】
对于 A，当 a 1时， a 1i 0 是实数，故 A 错；
对于 B， X 2 3 1 X 3
22
可得 D 1 D X
B． (, 2]
C．[0, )
D． (,0) (0, 2)
【答案】A 【解析】画出函数的图像，由此确定函数的值域. 【详解】
画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为 , 2 ，故选 A.
【点睛】 本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数 学思想方法，属于基础题.
5
5
5
x
a
2
ax
1 x
x2
6x 9
3x
1 x
；利用(
3x
1 x
展开式的通项公
式求出含 x2 的系数，即可求出对应项的系数.
15．设 m R ，若函数 f x x3 3x 2m 在 0, 3 上的最大值与最小值之差为 2 ，
则实数 m 的取值范围是______.
【答案】 ,01,
由 x2 4 解得 2 x 2，故 A B x |1 x 2，故选 B.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．在复平面内，复数 z 1 2i 对应的点位于（ ） i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意可得： z 2 i ，据此确定复数所在的象限即可.
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计算能力，属于基础题. 10．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若 a R ，则 a 1i 是纯虚数
B．随机变量 X ~ N 3, 22 ，若 X 2 3 ，则 D 1
C．公共汽车上有10 位乘客，沿途 5 个车站，乘客下车的可能方式有105 种 D．回归方程为 y 0.85x 85.71中，变量 y 与 x 具有正的线性相关关系
故答案为： 1, 2 .
【点睛】 本题主要考查了求复合函数定义域，解题关键是掌握复合函数定义的求法，考查了分析 能力和计算能力，属于基础题.
12．已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ，则 a1 a2 ... a7 _____． 【答案】 2 【解析】令 x 0, x 1分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.
5．如果随机变量 X N 4，1 ，则 P X 2 等于（ ）（注：
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P 2 X 2 0.9544）
A．0.210
B．0.0228
C．0.0456
D．0.0215
【答案】B
【解析】根据正态分布列的对称性可得： P(X 2) 1 [1 P(2 X 6)] ，进而得出． 2
4
又 DX 4 D 1 D X 1，故 B 正确；
4 对于 C，公共汽车上有10 位乘客，沿途 5 个车站，乘客下车的可能方式有 510 种，故 C
错误；
对于 D，回归方程为 y 0.85x 85.71，由 bˆ 0.85 0 ，可得变量 y 与 x 具有正的线
性相关关系，故 D 正确；
在使用均值不等式时，要注意要验证等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于
中档题.
5
14．若随机变量 X ~ N
2, 32
，且
P
X
1
P
x
a
，则
x
a2
ax
1
x
展
开式中 x3 项的系数是__________．
【答案】1620
【解析】随机变量 X ~ N 2,32 ，均值是 2，且 P X 1 Px a ，∴ a 3；
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【解析】正数 x ， y 满足 x 4y 2xy 0 ，可得 2 1 1，故 x 2y
x
y
(
x
y)
2 x
1 2y
，即可求得答案.
【详解】
正数 x ， y 满足 x 4y 2xy 0
x 0， y 0， x 4y 2xy
x
y
(x
y)
2 x
1 2y
5 x 2y 5 2 x 2y 2 2y x 2 2y x
9 2
当且仅当 x 2y 时取等号，结合 x 4y 2xy 0
解得： x 3 ， y 3 2
x y 的最小值为 9 2
故答案为： 9 . 2
【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求表达式的最小值，解题关键是灵活使用均值不等式，
山东省青岛市第二中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | x 1}，集合 B {x | x2 4}，则 A B （ ）
A．{x | x 2}
B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D． R
【答案】B 【解析】解一元二次不等式求得集合 B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】
ab
对于 E，
2 a
1 b
a
2
b
1 2
2 a
1 b
a
b
1 2
2
2b a
a b
3 2
1 2
2
2 3 2
22
当且仅当 b 2 2 2 ， a 4 2 2 取等号.故 E 正确.
综上所述，正确的为：ACE. 故选：ACE. 【点睛】 本题解题关键是掌握不等式的基础知识和均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和
结合复合函数的单调性，函数 f x lgmx 3 在 ,1 上单调递减的充要条件是
m 0 m 3 0 ，解得 3 m 0 ．
选项 A 中， 4 m 2是函数在 ,1 上单调递减的既不充分也不必要条件，所以
A 不正确；
选项 B 中， 3 m 0 是函数在 ,1 上单调递减的充要条件，所以 B 不正确； 选项 C 中，4 m 0 是函数在 ,1 上单调递减的必要不充分条件，所以 C 不正确；
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选项 D 中，3 m 1是函数在 ,1 上单调递减的充分不必要条件，所以 D 正确．
故选 D． 【点睛】 解答本题时注意两点：（1）根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易 忽视函数的定义域；（2）由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围
是区间 3,0 的真子集的问题．考查转化和计算能力，属于基础题．
3r 2
2 ，解得 r
2 ，对应 x2 的系
数为 12
23
C52
270 ；令 5
3r 2
3 ，解得 r
4 3
，不合题意，舍去；∴展开式中
x3
项的系数是 6270 1620 ，故答案为 1620.
点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用
问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出 a 的值，再化
【详解】
令 x 0 得：1 a0 ， 令 x 1 得： 1 a0 a1 a2 ... a7 ，
a1 a2 ... a7 2 . 【点睛】 赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.
13．若正数 x, y 满足 x 4y 2xy 0 ，则 x y 的最小值为______.
【答案】 9 2
【详解】
P(X 2) 1 [1 P(2 X 6)] 1 [1 P(4 2 X 4 2)] 1 (1 0.954 4) 0.022 8．
2
2
2
故选： B ．
【点睛】
本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．二中“时光胶囊”社团计划做 3 种与海军节有关的精美卡片，分别是“浪花白”、“辽
其否定是： x N ，都有 ln x x 1 1
故选：D. 【点睛】 本题主要考查了特称命题的否定，解题关键是掌握特称命题的否定的求法，考查了分析 能力和计算能力，属于基础题.
2x , x 1,
4．若函数 f (x)
则函数 f (x) 的值域是（ ）
山东省青岛市高二下学期期中数学试卷+(理科)
山东省青岛市高二下学期期中数学试卷+（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的虚部为（）A . iB .C . ﹣D . ﹣ i2. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D . 或3. （2分）若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则（）A . 函数f[g(x)]是奇函数B . 函数g[f(x)]是奇函数C . 函数f(x) g(x)是奇函数D . 函数f(x)+g(x)是奇函数4. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A .B .C . 2D .5. （2分）已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A . f（x）的最小正周期为2πB . f（x）的图象关于直线x=对称C . 函数f（x）在区间上（，）是增函数D . 由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数f（x）的图象6. （2分）(2017·安庆模拟) 已知函数f（x）= ，若存在x1、x2、…xn 满足 = =…= = ，则x1+x2+…+xn的值为（）A . 4B . 6C . 8D . 107. （2分） (2016高一下·中山期中) 掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（）A .B .D .8. （2分） (2017高一下·滨海期末) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 16B . 8C . 64D . 29. （2分）二项式（2﹣x ）8展开式中不含x6项的系数的和为（）A . 0B . ﹣1120C . 1D . ﹣111910. （2分）已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC 与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A .B .D .11. （2分） (2016高二下·南城期末) 已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，点P为直线x﹣y+4=0上任意一点，则的最小值为（）A . 2B . 7C . 8D . 912. （2分） (2016高一下·台州期末) 若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数f （x）=bx2+cx+a的图象可能为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）等比数列{an}中的a1 ，a2015是函数的极值点，则log2a1+log2a2+…+log2a2015=________．14. （1分）探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是________ cm15. （5分） (2018高二上·阳高期末) 在直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程式，则圆的圆心到直线的距离为__．16. （1分）(2018·潍坊模拟) 设，满足约束条件，则的最大值为________．三、解答题： (共6题；共35分)17. （10分） (2016高二下·信宜期末) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（1）若a=b，求cosB的值；（2）若B=60°，△ABC的面积为4 ，求b的值．18. （5分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ，且S1 ， S2 ， S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （5分） (2016高三上·连城期中) 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）20. （5分）(2017·武汉模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．21. （5分） (2017高二下·彭州期中) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为4 ，且椭圆C过点（2 ，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与y轴负半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E、F，且B，E，F 构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2= 的位置关系．22. （5分）(2017·昆明模拟) 已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共35分)17-1、17-2、18-1、19-1、21-1、22-1、。
山东省青岛市高二下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一上·湖州期中) 若幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），则f（2）=（）A . 2B .C .D . 42. （2分） (2019高二下·揭东期中) 下列求导数运算正确的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二下·广东期中) 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·广东期中) 把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高二下·广东期中) 的展开式中，所有的二项式系数之和等于512，则第3项是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·珠海期末) 从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有（）种A . 1190B . 420C . 560D . 33607. （2分） (2020高二下·广东期中) 某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A . 种B . 种C . 种D . 种8. （2分） (2020高二下·广东期中) 在处有极小值，则常数c的值为（）A . 2B . 6C . 2或6D . 1二、多选题 (共4题；共11分)9. （3分）(2020·济宁模拟) 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·化州月考) 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A . 函数在区间单调递增B . 函数在区间单调递减C . 函数在处取得极大值D . 函数在处取得极小值11. （3分）(2020·山东模拟) 下列命题中是真命题的是（）A . “ ”是“ ”的充分不必要条件B . 命题“ ，都有”的否定是“ ，使得”C . 数据的平均数为6，则数据的平均数是6D . 当时，方程组有无穷多解12. （3分） (2020高二下·广东期中) 已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小值为；②函数有两个零点；③若方程有一解，则；④函数的单调减区间为 .则其中错误命题的序号是（）A . ①B . ②C . ③D . ④三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019·赣州模拟) 的展开式中，的系数是________．14. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数，则使得∈Z的概率为________．15. （1分）(2019·江门模拟) 在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率 ________．16. （1分）已知a= ，则二项式的展开式中的常数项为________．四、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一上·上海月考) 证明：“已知、，若，则.”为真命题.18. （10分） (2020高二下·广东期中) 在数列中，（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前n项19. （10分） (2020高二下·广东期中) 已知函数 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值点.20. （5分） (2020高二下·广东期中) 设的内角所对的边长分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值．21. （10分） (2020高二下·广东期中) 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．22. （10分） (2019高二下·珠海期末) 函数 .（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时， .参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共11分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。
山东省青岛市数学高二下理数期中测试试卷
山东省青岛市数学高二下理数期中测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={-2,-1,0,1,2}，集合B={1,0,2,3} ，则（）A . {1,2,3}B . {0,1,2}C . {0,1,2,3}D . {-1,0,1,2,3}2. （2分） (2019高三上·广东月考) 复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（）A . 2B .C . 3D .3. （2分）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A . 2B . 1C .D .4. （2分） (2019高一下·衢州期中) 已知向量，若，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·栖霞模拟) 在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）函数的部分图象可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·集宁月考) 设变量，满足约束条件，则的最大值是（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分） (2020高一下·台州期末) 已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A .B .C .D .9. （2分）函数的一个单调增区间是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·恩施模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分）若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（）A . 只有一个小于1B . 至少有一个小于1C . 都小于1D . 可能都大于1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在等差数列中，，是它的前项和，若，且与的等比中项为4，则 ________．14. （1分）计算定积分 ________.15. （1分）观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.16. （1分） (2018高一下·六安期末) 已知，若关于实数的方程的两个实根，满足，，则的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·南开模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=1﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积S．19. （15分）(2012·北京) 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2= [ + +…+ ]，其中为数据x1 ， x2 ，…，xn的平均数）20. （10分）(2017·息县模拟) 如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD=，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．21. （5分） (2019高三上·新疆月考) 已知椭圆C的方程为，为椭圆C的左右焦点，离心率为，短轴长为2。
青岛市第二中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题含解析
A. B。 C. D。
E.
【答案】ACE
【解析】
【分析】
根据不等式知识，逐项判断，即可求得答案.
【详解】对于A，由 ,则 ，故A正确；
对于B,令 时, ,故 不成立，故B错误；
对于C，因为 ，故C正确；
对于D,因为 ，由A知 ，故 ，故D错误;
对于E，
A. 0.210B.0.0228C。 0.0456D. 0.0215
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正态分布列的对称性可得: ，进而得出．
【详解】 8．
故选： ．
【点睛】本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6。二中“时光胶囊"社团计划做 种与海军节有关的精美卡片,分别是“浪花白”、“辽宁号"、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐 种卡片才可获奖,则购买该礼品 袋，获奖的概率为（ ）
相同的 张为 ，在 个位置中选 个位置，有 种选法,
其余 个卡片有 种选法，
获奖包含的基本事件个数 ,
购买该礼品 袋，获奖的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是求出能获奖的抽取卡片种数，考查了分析能力和计算能力，属于基础题。
7。函数 的大致图象是
A。 B。
C。 D.
【答案】A
13.若正数 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
分析】
正数 ， 满足 ，可得 ，故 ，即可求得答案。
【详解】正数 ， 满足
, ,
当且仅当 时取等号，结合
D。 回归方程为 中，变量 与 具有正的线性相关关系
山东省青岛第二中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(word版,无答案)
山东省青岛第二中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题（word版，无答案）青岛二中2019-2019学年第三学段模块考试高二数学理科试题满分：150分 时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数z 满足12i i z +=，则z 的虚部为（ ）A.-1B.-i 5 D.12.用数字1，2，3组成无重复数字的三位数的个数是（ ）A.3B.6C.9D.123.盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ） A.2435 B.1835 C.1235 D.6354.已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.45.在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发X ，且X ～N （800，250），记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ，则0p 的值为（ ）参考数据：若()2,XN μσ，有()0.68p X μσμσ-<<+=， A.0.9772 B.0.6826 C.0.9974D.0.954410.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是（ ） A.481 B.881 C.1681 D.827 11.已知()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =（ ） A.18 B.24 C.36 D.5612.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）A.240种B.188种C.156种D.120种第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.设x ∈Z ，则方程2551616x x x C C --=的解集．．是_________. 14.使关于x 的不等式1x k x ++<有解的实数k 的取值范围是_________.15.在()521a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_________.16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量90 84 8380 75 68y（件）由表中数据，求得线性回归方程为y=-20x+a.若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知32nx x ⎛⎫+⎪⎪⎭（2n ≥且*n N ∈）的展开式中前三项的系数成等差数列.（Ⅰ）求正整数n ；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；18.（本小题满分12分）某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm ），若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能选修“礼仪”课程.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能选修“礼仪”课程的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望.19.（本小题满分12分）下表为2019年至2019年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x=年份-2019.1 2 3 4年份代码x95 165 230 310线下销售额y（Ⅰ）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；（Ⅱ）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否有95%的把握认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：1221n i ii n i i x y nx y b x nx∧==-=-∑∑，a yb x ∧∧=-，()21122122121212n n n n n X n n n n ++++-=20.（本小题满分12分）摩拜单车和ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费2元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时换车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人用车时间都不会超过3小时.（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率； （Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量()2p X k > 0.050 0.010ξ，求ξ的分布列及数学期望.21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）经过点（13）3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线y=k(x-1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点N 使得NP ⊥NQ ？若是，求出定点N 的坐标；若不是，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 02f x x a x a =->.（Ⅰ）若a=2，求()f x 在（1，()1f ）处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值； （Ⅲ）若()f x 在区间（1，e ）上恰有两个零点，求a 的取值范围.附加题：23.（本小题满分10分）已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为（-1,2）.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()1f x x m ≤++的解集为φ，求实数m的取值范围.。
2023-2024学年山东省青岛二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。
2018-2019学年山东省青岛二中高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷试题数：23，总分：451.（单选题，3分）已知集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A.{x|x＞-2}B.{x|1＜x＜2}C.{x|1≤x＜2}D.R2.（单选题，3分）在复平面内，复数z= 1+2ii对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，3分）命题“ ∃x0∈N∗，使得lnx0（x0+1）＜1”的否定是（）A.∀x∈N*，都有lnx（x+1）＜1B.∀x∉N*，都有lnx（x+1）≥1C.∃x∈N*，都有lnx（x+1）≥1D.∀x∈N*，都有lnx（x+1）≥14.（单选题，3分）若函数f（x）= {2x，x＜1−log2x，x≥1，则函数f（x）的值域是（）A.（-∞，2）B.（-∞，2]C.[0，+∞）D.（-∞，0）∪（0，2）5.（单选题，3分）如果随机变量X～N（4，1），则P（X≤2）等于（）（注：P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）A.0.210B.0.0228C.0.0456D.0.021 56.（单选题，3分）二中“时光胶囊”社团计划做3种与海军节有关的精美卡片，分别是“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该礼品4袋，获奖的概率为（）A. 316B. 38C. 49D. 897.（单选题，3分）函数f（x）=ln（|x|-1）+x的大致图象是（）A.B.C.D.8.（单选题，3分）满足函数f（x）=ln（mx+3）在（-∞，1]上单调递减的一个充分不必要条件是（）A.-4＜m＜-2B.-3＜m＜0C.-4＜m＜0D.-3＜m＜-19.（多选题，3分）若a＞0，b＞0，a+b=2，则对一切满足条件的a，b恒成立的有（）A.ab≤1B. √a+√b≤√2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤1E. 2a + 1b≥210.（多选题，3分）给出下列命题，其中正确的命题有（）A.若a∈R，则（a+1）i是纯虚数B.随机变量X～N（3，22），若X=2η+3，则D（η）=1C.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种D.回归方程为ŷ=0.85x−85.71中，变量y与x具有正的线性相关关系E.P（A）=0.5，P（B）=0.3，P（AB）=0.2，则P（A|B）=0.411.（填空题，3分）已知函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f(2x)lnx的定义域是___ ．12.（填空题，3分）已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=___ ．13.（填空题，3分）若正数x，y满足x+4y-2xy=0，则x+y的最小值为___ ．14.（填空题，3分）若随机变量X～N（2，32），且P（X≤1）=P（X≥a），则（x+a）2（ax-√x）5展开式中x3项的系数是___ ．15.（填空题，3分）设m∈R，若函数f（x）=|x3-3x+2m|在[0，√3]上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是___ ．16.（问答题，0分）甲、乙两名同学参加投篮比赛，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求：（1）2人都投中的概率；（2）2人至少有1人投中的概率？17.（问答题，0分）已知f（x）=4x-1-2x+5，x∈[0，2]．（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）＜2m2-am+7对任意m∈（0，2]都成立，求a的取值范围．18.（问答题，0分）4月份的二中迎来了国内外的众多宾客，其中很多人喜欢询问MT团队模式，为了了解“询问MT团队模式”是否与性别有关，在4月期间，随机抽取了80人，得到如下所示的列联表：联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为关心“MT团队”与性别有关系？（Ⅱ）若以抽取样本的频率为概率，从4月来宾中随机抽取4人赠送精美纪念品，记这4人中关心“MT团队”人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)19.（问答题，0分）青岛二中学生民议会在周五下午高峰时段，对公交321路甲站和375线乙站各随机抽取了50位乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从等车到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（1）此时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为事件M ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为事件N ．若用频率估计概率，求“两人乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（2）此时段，从乙站[30，40]的乘客中随机抽取3人（不重复抽取），抽得在[35，40]的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．20.（问答题，0分）某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下： 零件数x/个102030405060加工时间Y/min64 70 77 82 90 97 x 的回归直线方程；（2）根据（Ⅰ）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表n-2 小概率0.050.01 3 0.878 0.959 4 0.811 0.917 5 0.754 0.874 60.7070.834∑(x i −x )(y i −y )n i=1√∑(x i −x )∑(y i −y )i=1i=1∑x i y i −nxyn i=1√(∑x i −nx 2i=1)√(∑y i −ny 2i=1)̂∑(x i −x )(y i −y )ni=1∑(x −x )2n ∑x i y i −nxyni=1∑x i 2−nx2n i=1 y ̂=a ̂+b̂x 参考数据： √1750≈42.0 ； √758≈27.521.（问答题，0分）已知函数f(x)=13ax3−12x2−x+b，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，函数f（x）在区间[0，2]的最小值为f（x）min，试比较f（x）min与b2−lnb−56的大小．22.（填空题，0分）已知z，w∈C，|z+w|=1，|z2+w2|=4，则|zw|的最大值为___ ．23.（填空题，0分）一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，就将成对的牌放到一边．当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三张牌就全部取完）时，若取到三张牌中两两互不成对，游戏就结束；否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止．则书包空的概率为___ ．2018-2019学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：451.（单选题，3分）已知集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A.{x|x＞-2}B.{x|1＜x＜2}C.{x|1≤x＜2}D.R【正确答案】：B【解析】：先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：B．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，3分）在复平面内，复数z= 1+2ii对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：根据1=-i2将复数1+2ii进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．【解答】：解：1+2ii = −i2+2ii=-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．【点评】：本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.（单选题，3分）命题“ ∃x0∈N∗，使得lnx0（x0+1）＜1”的否定是（）A.∀x∈N*，都有lnx（x+1）＜1B.∀x∉N*，都有lnx（x+1）≥1C.∃x∈N*，都有lnx（x+1）≥1D.∀x∈N*，都有lnx（x+1）≥1【正确答案】：D【解析】：利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“ ∃x0∈N∗，使得lnx0（x0+1）＜1”的否定是：∀x∈N*，都有lnx（x+1）≥1；故选：D．【点评】：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.（单选题，3分）若函数f（x）= {2x，x＜1−log2x，x≥1，则函数f（x）的值域是（）A.（-∞，2）B.（-∞，2]C.[0，+∞）D.（-∞，0）∪（0，2）【正确答案】：A【解析】：分别结合指数函数，对数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】：解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）=-log2x≤-log21=0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（-∞，2），故选：A．【点评】：本题主要考查函数值域的计算，结合分段函数的解析式分别求出对应范围是解决本题的关键．5.（单选题，3分）如果随机变量X ～N （4，1），则P （X≤2）等于（ ） （注：P （μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544） A.0.210 B.0.0228 C.0.0456 D.0.021 5 【正确答案】：B【解析】：根据正态分布列的对称性可得：P （X≤2）= 12 [1-P （2＜X≤6）]，进而得出．【解答】：解：P （X≤2）= 12 [1-P （2＜X≤6）]= 12 [1-P （4-2＜X≤4+2）]= 12× （1-0.954 4）=0.022 8． 故选：B ．【点评】：本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.（单选题，3分）二中“时光胶囊”社团计划做3种与海军节有关的精美卡片，分别是“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该礼品4袋，获奖的概率为（ ） A. 316 B. 38 C. 49 D. 89【正确答案】：C【解析】：4个礼品袋中，所有可能情况结果为34，获奖时至多有两张卡片相同，且3种卡片都有，由此再利用古典概型的概率公式即可求出结果．【解答】：解：将3种不同的精美卡片随机放入4个礼品袋中，根据分布乘法计数原理可知共有34=81种不同放发，4个礼品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3× C 42× A 22 =36种， 根据古典概型的概率公式得，能获奖的概率为 3681 = 49 ，故选：C．【点评】：本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．7.（单选题，3分）函数f（x）=ln（|x|-1）+x的大致图象是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】：解：f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}．f（x）= {ln(x−1)+x，x＞1ln(−x−1)+x，x＜−1，∴f′（x）= {1x−1+1，x＞11x+1+1，x＜−1，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，-1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．8.（单选题，3分）满足函数f（x）=ln（mx+3）在（-∞，1]上单调递减的一个充分不必要条件是（）A.-4＜m＜-2B.-3＜m＜0C.-4＜m＜0D.-3＜m＜-1【正确答案】：D【解析】：根据复合函数的单调性，求出m的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．【解答】：解：若f（x）=ln（mx+3）在（-∞，1]上单调递减，则满足m＜0且m+3＞0，即m＜0且m＞-3，则-3＜m＜0，即f（x）在（-∞，1]上单调递减的一个充分不必要条件是-3＜m＜-1，故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．9.（多选题，3分）若a＞0，b＞0，a+b=2，则对一切满足条件的a，b恒成立的有（）A.ab≤1B. √a+√b≤√2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤1E. 2a + 1b≥2【正确答案】：ACE【解析】：已知a＞0，b＞0，a+b=2，根据基本不等式和柯西不等式，逐一判断即可．【解答】：解：若a＞0，b＞0，a+b=2，A，ab≤ (a+b2)2=1，当且仅当a=b时，取等号，故成立；B，由基本不等式a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b取等号，得√a+√b2≤√a+b2=1，√a+√b≤2，故不成立；C，由基本不等式a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b取等号，√a2+b2≥√22(a+b)=√2，故a2+b2≥2成立；D，不成立，比如a= 12，b=32，1a+1b=2+23≥1；E，利用柯西不等式(2a +1b)(a+b)≥(√2+1)2=3+2√2，故2a+1b≥3+2√22=32+√2＞2，故成立．故选：ACE．【点评】：本题考查了基本不等式，柯西不等式的应用，考查了运算能力，中档题．10.（多选题，3分）给出下列命题，其中正确的命题有（）A.若a∈R，则（a+1）i是纯虚数B.随机变量X～N（3，22），若X=2η+3，则D（η）=1C.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种D.回归方程为ŷ=0.85x−85.71中，变量y与x具有正的线性相关关系E.P（A）=0.5，P（B）=0.3，P（AB）=0.2，则P（A|B）=0.4【正确答案】：BCD【解析】：A：举反例即可说明不成立；B：根据定义求解结论即可说明其是否成立；C：根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案．D，根据对应的系数即可判断；E：直接代入条件概率计算公式即可．【解答】：解：A：若a∈R，当a=-1时，（a+1）i是实数；故A错；B：随机变量X～N（3，22），∴E（X）=3，D（X）=4；若X=2η+3⇒η= X−32，则D（η）=D（ X 2 - 32 ）= (12)2 D （X ）= 14×4=1；B 对；C ：根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，则10位乘客共有510种下车的可能方式；故C 对；D ：因为 y ̂=0.85x −85.71 中，0.85＞0，故量y 与x 具有正的线性相关关系，即D 对；E ：因为P （A ）=0.5，P （B ）=0.3，P （AB ）=0.2，则P （A|B ）= P (AB )P (B ) = 0.20.3 = 23 ，故E 错． 故选：BCD ．【点评】：本题考查了命题的真假判断与应用，其中涉及到线性回归方程，条件概率等知识点，是对知识的综合考查．11.（填空题，3分）已知函数f （x ）的定义域为[2，4]，则函数 y =f (2x )lnx 的定义域是___ ． 【正确答案】：[1]（1，2]【解析】：根据f （x ）的定义域可得出函数 y =f (2x )lnx 需满足 {2≤2x ≤4x≠1，解出x 的范围即可．【解答】：解：∵f （x ）的定义域为[2，4]， ∴函数 y =f (2x )lnx 需满足 {2≤2x ≤4x≠1，解得1＜x≤2，∴函数 y =f (2x )lnx的定义域是（1，2]． 故答案为：（1，2]．【点评】：本题考查了函数定义域的定义及求法，已知f （x ）的定义域求f[g （x ）]的定义域的方法，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，3分）已知（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 1+a 2+…+a 7=___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a 0，令x=0，可求出a 0的值，代入即求答案．【解答】：解：令x=1代入二项式（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7得，（1-2）7=a 0+a 1+…+a 7=-1，令x=0得a 0=1∴1+a 1+a 2+…+a 7=-1 ∴a 1+a 2+…+a 7=-2故答案为：-2【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是-1进行求解．本题属于基础题型．13.（填空题，3分）若正数x，y满足x+4y-2xy=0，则x+y的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 92【解析】：由正数x，y满足x+4y-2xy=0，得到4x +1y=2，由柯西不等式得，（x+y）(4 x +1y)≥（2+1）2=9，再求出结论即可．【解答】：解：正数x，y满足x+4y-2xy=0，故4x +1y=2，由柯西不等式得，（x+y）(4x +1y)≥（2+1）2=9，当且仅当x=2y时，取等号，故x+y ≥92．【点评】：本题考查了柯西不等式的应用，考查运算能力，本题的关键是对式子的灵活变换，中档题．14.（填空题，3分）若随机变量X～N（2，32），且P（X≤1）=P（X≥a），则（x+a）2（ax-√x）5展开式中x3项的系数是___ ．【正确答案】：[1]1620【解析】：根据正态分布的概率性质求出a的值，再化（x+a）2（ax-√x5=（x2+6x+9）(3x−√x )5；利用(3x−√x)5展开式的通项公式求出含x2的系数，即可求出对应项的系数．【解答】：解：随机变量X～N（2，32），均值是2，且P（X≤1）=P（X≥a），∴a=3；∴（x+a）2（ax-√x ）5=（x+3）2（3x-√x5=（x2+6x+9）(3x√x)5；又(3x−√x )5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（3x）5-r√x )r=（-1）r•35-r• C5r• x5−3r2，令5- 3r2 =1，解得r= 83，不合题意，舍去；令5- 3r2=2，解得r=2，对应x2的系数为（-1）2•23• C52 =270；令5- 3r2 =3，解得r= 43，不合题意，舍去；∴展开式中x3项的系数是6×270=1620．故答案为：1620．【点评】：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题．15.（填空题，3分）设m∈R，若函数f（x）=|x3-3x+2m|在[0，√3]上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]m≤0或m≥1【解析】：求得y=x3-3x的导数，可得在[0，√3 ]的单调性，对m分类求y=x3-3x+2m的值域，进一步求得f（x）的最值，结合题意求得实数m的取值范围．【解答】：解：由y=x3-3x的导数为y′=3x2-3=3（x-1）（x+1），可得y=x3-3x在（0，1）递减，在（1，√3）递增，即有y=x3-3x在[0，√3]上的值域为[-2，0]，当m≤0时，f（x）的最小值为-2m，最大值为2-2m，最大值与最小值之差为2，符合题意；当m≥1时，y=x3-3x+2m的值域为[-2+2m，2m]，可得f（x）的最大值2m，最小值为2m-2，最大值与最小值之差为2，符合题意；当0＜m ≤12，y=x3-3x+2m的值域为[-2+2m，2m]，可得f（x）的最大值为2-2m，最小值为0，由2-2m=2，得m=0（舍去）；当12＜m＜1时，y=x3-3x+2m的值域为[-2+2m，2m]，可得f（x）的最大值为2m，最小值为0，由2m=1，得m=1（舍去）．综上，实数m的取值范围是m≤0或m≥1．故答案为：m≤0或m≥1．【点评】：本题考查函数的最值的求法，注意运用导数求单调性和最值，考查分类讨论思想方法，考查运算求解能力，属于中档题．16.（问答题，0分）甲、乙两名同学参加投篮比赛，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求：（1）2人都投中的概率；（2）2人至少有1人投中的概率？【正确答案】：【解析】：（1）利用相互独立事件概率计算公式能求出2人都投中的概率；（2）利用对立事件概率计算公式能求出2人至少有1人投中的概率．【解答】：解：（1）甲、乙两名同学参加投篮比赛，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，2人都投中的概率p=0.8×0.9=0.72．（2）2人至少有1人投中的概率为：P=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98．【点评】：本题考查概率的求法，考查利用互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.（问答题，0分）已知f（x）=4x-1-2x+5，x∈[0，2]．（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）＜2m2-am+7对任意m∈（0，2]都成立，求a的取值范围．【正确答案】：t2-t+5，由二次函数在闭区间上的最值求【解析】：（1）可令t=2x，t∈[1，4]，则g（t）= 14法，可得所求值域；）min，再由基（2）由题意可得2m2-am+7＞5对任意m∈（0，2]都成立，即为a＜2（m+ 1m本不等式可得其最小值，进而得到a的范围．【解答】：解：（1）f（x）=4x-1-2x+5，x∈[0，2]，可令t=2x，t∈[1，4]，则g（t）= 14 t2-t+5= 14（t-2）2+4，可得g（t）在[0，2]递减，则g（t）的值域为[4，5]，即f（x）的值域为[4，5]；（2）若f（x）＜2m2-am+7对任意m∈（0，2]都成立，可得2m2-am+7＞5对任意m∈（0，2]都成立，即为a＜2（m+ 1m）min，由m+ 1m ≥2 √m•1m=2，当且仅当m=1∈（0，2]取得等号．则a＜4，即a的取值范围是（-∞，4）．【点评】：本题考查函数的值域的求法和函数恒成立问题解法，考查换元法和指数函数的单调性、参数分离法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．18.（问答题，0分）4月份的二中迎来了国内外的众多宾客，其中很多人喜欢询问MT团队模式，为了了解“询问MT团队模式”是否与性别有关，在4月期间，随机抽取了80人，得到如下所示的列联表：联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为关心“MT团队”与性别有关系？（Ⅱ）若以抽取样本的频率为概率，从4月来宾中随机抽取4人赠送精美纪念品，记这4人中关心“MT团队”人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据所给数据得到列联表，利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到答案；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）设80人中，男性人数为m ，按性别分层抽取一个容量为20的样本，男性应抽9人，则 m80 = 920 ，解得m=36．关心“MT 团队”不关心“MT 团队”合计 男性 241236 女性368 44 合计60 2080将列联表中的数据代入计算可得 K 2=80×(24×8−12×36)236×44×60×20≈2.424，由2.424＜3.841，可得在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为关心“MT 团队”与性别有关系； （Ⅱ）根据题意可得X 服从二项分布：X∽B （4， 34 ），则P （X=i ）=C 4i （ 34 ）i （ 14 ）4-i ，i=0，1，2，3，4，故X 的分布列为： X 1 2 3 4 P1256 364 27128 2764 81256则E （X ）=np=4× 34=3．【点评】：本题考查独立性检验中的计算K 2，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，0分）青岛二中学生民议会在周五下午高峰时段，对公交321路甲站和375线乙站各随机抽取了50位乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从等车到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（1）此时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为事件M；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为事件N．若用频率估计概率，求“两人乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（2）此时段，从乙站[30，40]的乘客中随机抽取3人（不重复抽取），抽得在[35，40]的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P （A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，由此能求出“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（2）X的可能取值为0，1，2，由古典概率的计算公式能求出随机变量X的分布列与数学期望．【解答】：解：（1）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B 乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，∴“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率：P（C）=P（MN）=P（M）P（N）=0.5×0.4=0.2；（2）从乙站[30，40]的乘客5人中随机抽取3人（不重复抽取），而，在[30，35）的人数为3人，在[35，40]中的人数为2，X的可能取值为0，1，2，=0.1；P（X=0）= 1C53=0.6；P（X=1）= 2×310P（X=2）= 1×3=0.3，10∴X的分布列为：【点评】：本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，0分）某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：x的回归直线方程；（2）根据（Ⅰ）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表i ii=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1i ii=1√(∑x i−nx2i=1)√(∑y i−ny2i=1)i ii=1∑(x−x)2ni ii=1∑x i2−nx2ni=1ŷ=â+b̂x参考数据：√1750≈42.0；√758≈27.5【正确答案】：【解析】：（1）由已知数据求得|r|，可得|r|=0.997＞r0.05，从而有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系，然后求出b̂与â的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x=60求得y 值即可．【解答】：解：（1）由表格中的数据可得： ∑x i 6i=1y i =17950 ， ∑x i 26i=1=9100 ，∑y i 26i=1=39158 ，x =35 ， y =80 ． ∴|r|= √9100−6×352×√39158−6×802 =0.997＞r 0.05．从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．b ̂ = ∑x i 6i=1y i −6xy ∑x i 26i=1−6x 2 =0.657， a ̂=y −b ̂x =57 ． ∴线性回归方程为 y ̂=0.657x +57 ；（2）在 y ̂=0.657x +57 ，取x=60，得y=0.657×60+57=96.42．∴每小时加工零件的数量额定为96个比较合理．【点评】：本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21.（问答题，0分）已知函数 f (x )=13ax 3−12x 2−x +b ，a∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a=2时，函数f （x ）在区间[0，2]的最小值为f （x ）min ，试比较f （x ）min 与 b 2−lnb −56 的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由于f′（x ）=ax 2-x-1，分a=0，- 14 ＜a ＜0，a≤- 14 ，a ＞0四类情况讨论，结合二次函数的单调性质及函数与导数之间的关系即可判断函数f （x ）的单调性；（2）由（1）知，当a=2时，f （x ）min =f （1）=- 56 +b ，令h （b ）= b 2−lnb −56 -（- 56 +b ）=b 2-lnb-b ，则h′（b ）=2b- 1b -1=(2b+1)(b−1)b ，通过对b 取值范围的讨论即可比较f （x ）min 与b 2−lnb −56 的大小．【解答】：解：（1）∵ f (x )=13ax 3−12x 2−x +b ，∴f′（x ）=ax 2-x-1，① 若a=0，当x∈（-∞，-1）时，f′（x ）＞0，当x∈（-1，+∞）时，f′（x ）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减；② 若a＜0，△=1+4a，当- 14＜a＜0时，ax2-x-1=0的两根x1= 1+√1+4a2a＜0，x2= 1−√1+4a2a＜0，同理可得，f（x）在（-∞，1+√1+4a2a ），（1−√1+4a2a，+∞）上单调递减；在（1+√1+4a2a，1−√1+4a2a）上单调递增；当a≤- 14时，△≤0，即f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减；③ 当a＞0时，△=1+4a＞0，ax2-x-1=0的两根x1= 1−√1+4a2a ＜0，x2= 1+√1+4a2a＞0，同理可得，f（x）在（-∞，1−√1+4a2a ），（1+√1+4a2a，+∞）上单调递增；在（1−√1+4a2a，1+√1+4a2a）上单调递减；综上所述，当a≤- 14时，f（x）在R上单调递减；当- 14＜a＜0时，f（x）在（-∞，1+√1+4a2a），（1−√1+4a2a，+∞）上单调递减；在（1+√1+4a2a，1−√1+4a2a）上单调递增；当a=0时，f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，1−√1+4a2a ），（1+√1+4a2a，+∞）上单调递增；在（1−√1+4a2a，1+√1+4a2a）上单调递减；（2）由（1）知，当a=2时，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；∴f（x）min=f（1）= 13 ×2×13- 12×12-1+b=- 56+b，令h（b）= b2−lnb−56 -（- 56+b）=b2-lnb-b，显然b＞0．则h′（b）=2b- 1b -1= (2b+1)(b−1)b，当0＜b＜1时，h′（b）＜0，当b＞1时，h′（b）＞0，∴当b=1时，h（b）取得极小值h（1）=0，∴h（b）≥h（1）=0，即b2−lnb−56≥f（1）min=- 56+b．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，着重考查分类与整合思想、函数与方程思想的运用，考查二次函数的性质，考查综合运算能力和推理能力，属于难题．22.（填空题，0分）已知z，w∈C，|z+w|=1，|z2+w2|=4，则|zw|的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 52【解析】：由已知配方得|z 2+w 2|=|（z+w ）2-2zw|=4，再由复数性质（z+w ）2=|z+w|2=1，则|1-2zw|=4，利用复数性质|z 1-z 2|≥|z 1|-|z 2|可求出|zw|的最大值．【解答】：解；因为|z 2+w 2|=|（z+w ）2-2zw|=4，又|z+w|=1，即（z+w ）2=1，∴4=|1-2zw|≥|2zw|-1，即|zw|≤ 52∴|zw|的最大值为 52 ．故答案为： 52 ．【点评】：本题考查了复数模的运算法则，模的不等关系，配方等方法，是复数问题的小综合题．23.（填空题，0分）一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，就将成对的牌放到一边．当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三张牌就全部取完）时，若取到三张牌中两两互不成对，游戏就结束；否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止．则书包空的概率为___ ．【正确答案】：[1] 275005【解析】：设P （n ）为开设时书包有n 对互不相同的牌，且按题意规则取牌而使书包空的概率，则P （2）=1，根据题意P （n ）= 32n−1 P （n-1）（n≥3），反复利用此递推公式即可求出结果．【解答】：解：设P （n ）为开设时书包有n 对互不相同的牌，且按题意规则取牌而使书包空的概率，则P （2）=1，设书包中有n （n≥2）对互不相同的牌，则前三张牌中有两张成对的概率为 C n 1C 2n−21C 2n 3 = 32n−1 ， 由此，P （n ）= 32n−1 P （n-1）（n≥3），反复利用此递推公式得P （n ）= 32n−1•32n−3•……•35P (2) ，从而P （7）= 275005 ，故答案为： 275005 ．【点评】：本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．。
山东省青岛市高二下学期期中数学试卷
山东省青岛市高二下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合A={x|x2+4x﹣12＜0}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A . {x|x＜6}B . {x|1＜x＜2}C . {x|﹣6＜x＜2}D . {x|x＜2}2. （2分）(2018高二下·泸县期末) 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，A>B是cosA<cosB的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高三上·玉林月考) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高三上·漳州开学考) 若n= 2xdx，则（x﹣）n的展开式中常数项为（）A .B . ﹣C .D . ﹣6. （2分） (2017高二下·惠来期中) 在校庆文娱汇演节目中，高二级有3名男生3名女生站成一列合唱“爱我中华”，恰好有两位女同学站在一起的站法一共有（）A . 216种B . 288种C . 360种D . 432种7. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 给出下列四个结论：①命题“ ，”的否定是“ ，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“ 是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2016高三上·平湖期中) 设函数f（x）= （a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t）（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣8D . 不能确定二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高一上·阳东期中) 若集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则由实数m的值组成的集合为________．10. （1分） (2016高一上·上杭期中) log3 +lg25+lg4﹣7 ﹣（﹣9.8）0=________．11. （1分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=________12. （1分） (2016高二下·潍坊期末) 观察下列不等式：1+ ，1+ ，1+ + +…照此规律，第五个不等式为________．13. （1分） (2016高二下·衡水期中) 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为________（结果用数值表示）14. （1分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是________15. （1分）已知函数f（x）=ax5+bx3+cx+1，f（2）=﹣1，求f（﹣2）=________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2019高一上·凌源月考) 已知 .（1）求： .（2）写出函数与的定义域和值域.17. （10分）在数列{an}中，a1=2，an+1= （n∈N+），（1）计算a2、a3、a4并由此猜想通项公式an；（2）证明（1）中的猜想．18. （10分） (2019·哈尔滨模拟) 已知函数 .（1）讨论在上的零点个数；（2）当时，若存在，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，其值为2.71828……）19. （10分） (2016高三上·嵊州期末) 已知椭圆C：的离心率为，直线l：x+y ﹣1=0与C相交于A，B两点．（1）证明：线段AB的中点为定点，并求出该定点坐标；（2）设M（1，0），，当时，求实数λ的取值范围．20. （5分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为．（Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求取得最值时对应的x的值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
山东省青岛市数学高二下学期理数期中考试试卷
山东省青岛市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共13题；共13分)1. （1分）Cn1+2Cn2+22Cn3+…+2n﹣1Cnn=________．2. （1分）已知复数z满足（1﹣i）z=4i，则|z|=________．3. （1分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊈平面α，直线a⊆平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为________4. （1分）如图，一个“粒子”在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．则该“粒子”从原点运动到点P（16，44）时所需的时间为________5. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知向量 =（2，﹣1，2）， =（﹣4，2，m），且∥ ，则m的值为________．6. （1分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是________7. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．8. （1分）已知向量 =（4，3）， =（﹣2，1），如果向量+λ 与垂直，则λ的值为________．9. （1分） (2018高二下·邗江期中) 设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥ ，则的值为________10. （1分）(2017·邯郸模拟) 一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有________对．11. （1分）用数学归纳法证明：第一步应验证的等式是________．12. （1分） (2015高二下·上饶期中) 在凸多边形当中显然有F+V﹣E=1（其中F：面数，V：顶点数，E：边数）类比到空间凸多面体中有相应的结论为；________．13. （1分）(2018·肇庆模拟) 已知函数，若有且只有一个整数根，则的取值范围是________.二、解答题 (共7题；共85分)14. （15分） (2017高一下·池州期末) 将A，B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？15. （10分） (201920高三上·长宁期末) 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.16. （10分）(2018·朝阳模拟) 已知集合是集合的一个含有个元素的子集.（1）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（2）证明:对任意一个 ,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.17. （10分） (2019高三上·长春月考) 将边长为的正方形沿对角线折叠,使得平面平面 , 平面 , 是的中点,且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18. （5分）(2017·顺义模拟) 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；（III）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19. （15分）已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记集合．（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．20. （20分） (2018高二下·邗江期中) 观察如图：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15……问：（1）此表第行的最后一个数是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3） 2018是第几行的第几个数？（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 (共13题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、解答题 (共7题；共85分)14-1、14-2、14-3、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、20-4、。