瞬时变化率 (新)
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
平均变化率和瞬时变化率公式
平均变化率和瞬时变化率公式平均变化率是指在一段时间内某一量度的变化幅度与时间的比值。
例如，如果一辆汽车在1小时内行驶了100公里，那么它的平均速度就是100公里/小时。
在这个例子中，平均变化率就是汽车速度相对于时间的变化率。
计算平均变化率的公式为：平均变化率 = （终值 - 初始值）/ 时间其中，终值和初始值是量度的两个不同的时间点，时间是这两个时间点之间的时间间隔。
例如，如果你想计算在一个小时内你的学习成绩提高了多少分，你首先需要记录下这段时间的初始成绩和终值成绩。
然后，你可以使用上述公式来计算这段时间内的平均变化率。
平均变化率的计算方法不仅适用于学生的学习成绩，也适用于企业的收益、股票的价格和其他许多领域。
通过对平均变化率的计算和分析，人们可以更好地了解一个量度的历史变化趋势，为未来做出更好的决策提供较为准确的参考。
瞬时变化率，又称为瞬时速率，是指在某一瞬间的变化率。
如果把时间间隔缩小到无穷小的时候，就可以得到瞬时变化率。
例如，在汽车行驶的路程中，如果我们想知道汽车在某个时间点的瞬时速度，我们可以把时间间隔缩小到0，计算在该瞬间内位置的变化率，从而得到汽车在该瞬间的瞬时速度。
瞬时变化率的计算方法为：瞬时变化率 = 极限（∆y / ∆x），其中∆x 趋向于0。
瞬时变化率可以用来描述瞬间的速度、瞬间的斜率等等。
在微积分中，瞬时变化率是一种重要的概念，它被用于表示曲线在某个点的切线斜率。
因此，瞬时变化率在科学研究和工程计算中具有不可或缺的作用。
综上所述，通过理解和运用平均变化率和瞬时变化率这两个概念，我们可以更好地理解各种现象的变化规律，为我们的生活和工作提供有益的指导和帮助。
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
瞬时变化率
瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
第二节瞬时变化率
班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组§1(2) 瞬时变化率【学习目标】1.复习理解函数平均变化率的意义；2.理解函数的瞬时变化率的概念；3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】函数的瞬时变化率 【学习难点】求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为221gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度.解：3．函数的瞬时变化率：对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .t 1/st 2/s时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（ts∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … ………二.合作探究1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。
三． 课堂检测1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为221gt S =（g为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。
瞬时变化率
x 0
平均变化率
瞬时变化率
作业： 1、课后巩固 2、预习导数的概念
·P
C1
放大
·P
再放大
·P
放大
C2
·P
再放大
·P
放大
C3
·P
再放大
·P
l1
·P
l2
P
· l3
大多数函数曲线就一小范围来看，大 致可看作直线，所以，某点附近的曲线 可以用过此点的直线近似代替，即“以 直代曲” （以简单的对象刻画复杂的 对象）
如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，直线
PQ称为曲线的割线
s=s(t). 以t0为起始时刻，物体在t时 间内的平均速度为
vv ss ff((tt00 t) f (t0 ) 。。
tt
t
当t0时， v 常数
这个常数就是物体在t0时刻的瞬时速度.
例2.一质点的运动方程为 S t3 10
（位移单位：m ，时间单位：s ），
(1)试求该质点在 3s 时的瞬时速度； (2)试求该质点在 ts 时的瞬时速度 ； (3)试求该质点在 3s时的瞬时加速度；
2.求曲线 f (x) x2 在点(1,1)处的切线的斜率. 3.求曲线 f (x) x3 在点(1,1)处的切线的斜率.
在物理学中，我们学过平均速度v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
物理意义——瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为
4．圆面积A和直径d的关系为 A d 2 ，
4
求当直径 d 10时面积对于直径的瞬时变
化率.
小结:
(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用平均变化率
瞬时变化率
1 瞬时变化率
一．问题提出：
前面我们用平均变化率刻画了函数在某个自变量区间上变化快慢，但现实可能更多的是我们需要知道函数在某个点的变化快慢，为此，我们需要研究：瞬时变化率。
二．案例分析：
一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为：
212
s gt = 其中g 为重力加速度（g=9.8m/s 2）.试着估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
三．抽象概括：
1．瞬时变化率的定义：一般地，对于函数()y f x =来说，设其自变量的变化量为x ∆，因变量的变化量y ∆，那么函数在区间[]00,x x x +∆平均变化率可以表示为：
那么，当 时，平均变化率就趋于一个 ，其就叫做函数在0x 处的瞬时变化率。
2．瞬时变化率的意义：瞬时变化率是用来描述 的数学量。
四．问题解决：
例：一根质量分布不均匀的合金棒，设其上某点离某端的距离为x （单位：m ），这段质量为y （单位：kg ），且二者满足：
()y f x ==
试估计合金棒在2x =处的线密度。
五．当堂检测
1．通过平均变化率估计函数21y x =-+在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。
2．通过平均变化率估计函数22y x =在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。
3．某个人走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：2
1s t =-，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
1）0t =； 2）2t =； 3）4t =。
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3.
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0） 在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
平均变化率的缺点：它不能具体说明 函数在这一段区间上的变化情况.
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
1 2 s gt 其中，g为重力加速度 ( g 9.8m / s 2 ) 2
，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
s (6) s (5) 176 .4 122 .5 53.9（m/s） 小球的平均速度 65 1
s (t1 ) s (t 0 ) s 可以求出从5s到6s这段时间内 t t1 t 0
0.70 0.71 0.71 0.71 …
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋 于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在 x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分 析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物 理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金 棒，其质量将为0.71kg。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒， 长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y （单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足 以 下函数关系：
y f ( x) 2 x
估计该合金棒在x=2m处的线密度 分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度， 就是这段合金棒的平均线密度。 解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到 下表
x2-x1 =△x
0
2 平均变化率的几何意义：
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、
平均变化率 一般地,函数 的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上
x0/s
x1/s
长度x的改变 量 （Δ x）/m
质量y的改变 量 平均线密度 （Δ s ）/kg /（kg/m）
y x
2 2 2 2 2
2.1 2.01 2.001 2.0001 …
0.1 0.01 0.001 0.0001 …
0.070 0.0071 0.00071 0.000071 …
49.5 49.049 49.0049 49.00049 …
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于 49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为 49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为 49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行 运动的话，每秒将要运动49m。
x0
x f ( x0 ) . x
而当x 0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率。瞬时变化率刻画的是 函数在某一点处变化的快慢。
（四）、练习： P30练习2：1、2. （五）、作业： P31 习题2-1：3、4、5 反思：瞬时变化率刻画的是函数在一 点处变化的快慢。
探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示？
（三）、抽象概括：对于一般的函数 y f
( x)
，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０， y f ( x1 ) f ( x0 )，则函数的 平均变化率是
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提 高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内 的平均速度
s(5.1) s(5) 127 .45 122 .5 49.5（m/s）。 5.1 5 0.1
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果 时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速 度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相应的平均速度得到下表：
复习巩固
1 平均变化率的定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1) =△y
x
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
1 10
t0/s
t1/s
时间的改 变量 （Δ t）/s 0.1 0.01 0.001 0.0001 …
路程的改 变量 （Δ s ） /m 4.95 0.49 0.049 0.00s）
5 5 5 5 5
5.1 5.01 5.001 5.0001 …
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的 瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一 点处变化的快慢。
练习
物体作自由落体运动,运动方程 1 2 为： s = gt 其中位移单位是m，时 2 间单位是s，g=10m/s2.求：
（1） 物体在时间区间[2，2.1]上的
平均速度；
（2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δ t=0.1 代入上式，得 : __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
解:
__
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
(2) 当Δt 0时,
s 2 g 20m / s t
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近 =2(s) t0 时的瞬时速度 v=20(m/s).
小结：
对于一般的函数y f
x ，在自变量
x从x0变化到x1的过程中，设x x1 x0 , y f ( x1 ) f ( x0 ), 则函数的平均变化率 f y f ( x1 ) f ( x0 ) 是 x x1 x0