正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

；
1. 若x ～N (0,1),求(l)P <x <；(2)P (x >2). 解：(1)P <x <=- =-[1-]==.
(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-2利用标准正态分布表，求标准正态总体
(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2
）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)2
1
3(
-Φ＝Φ（1）＝ `
（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(
σ
μ
σμ-+Φ＝Φ（1）＝
Ｆ（μ－σ）＝)(
σ
μ
σμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－＝ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝－＝ 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π
21，求总体落入区
间（－，）之间的概率Φ（）=, Φ（）=]
解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
x f x σμσ
π，它是偶函数，
说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σ
π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分
布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1
P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-
0.57930.884810.4642=+-=
4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）
内的概率不少于，则a 至少有多大[Φ（）=, Φ（）=] ]
解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2
N ξ520500500500
(500520)(
)()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200
P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200
a a a
P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，
()0.975200a ∴Φ≥
查表知： 1.96392200
a
a ≥⇒≥
1设随机变量
(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)
( B)l —p
C ．l-2p
D ．
【答案】 C 因为,所以
P(2<X<4)=
,选 C ．
：
2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发
芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400[答案] B
[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，，所以E (ξ)＝1 000×＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.
3．设随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1 0 1
%
P
a b c
其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1
3，则D (ξ)＝( )
B ．－1
9
[答案] D
[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝
⎛
⎭⎪⎫－1－132＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132
＝59. @
4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取
到白球个数的数学期望值为6
7
，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2
[答案] A
[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，
P (ξ＝0)＝C 7－x 2
C 72＝7－x 6－x
42
，
P (ξ＝1)＝x ·7－x C 7
2
＝x 7－x
21
， P (ξ＝2)＝C x 2
C 72＝
x x －1
42
，
∴0×
7－x
6－x
42
＋1×
x 7－x
21
＋2×
x x －1
42＝67
， ∴x ＝3.
；
5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )
[答案] C
[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
E ξ＝4，D ξ＝2
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
np ＝4
np 1－p ＝2
，
解之得，p ＝1
2
，n ＝8，
∴P (ξ＝0)＝C 80
×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫128，
！
P (ξ＝1)＝C 81×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
5，
∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫128－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝247256
.
5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1
2πσi
e －x －μi
2
2σi 2
(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象
如图所示，则( )
A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
}
D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
[答案] D
[解析] 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.
6①命题“”的否定是:“”;
②若,则的最大值为4;
③定义在R上的奇函数满足,则的值为0;
④已知随机变量服从正态分布,则;
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).
【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以
①正确.
~
②若,则,即.所以
,即,解得,则的最小值为4;
所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.
④已知随机变量服从正态分布,则
,所以;所以
④正确,所以真命题的序号是①③④.
7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概
率为___________.
【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以
,所以方程有两不相等实根的概率为
.
8、下列命题:
` (1);
(2)不等式恒成立,则;
\
(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则
(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.
【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式
的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4)
,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).
2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为
（）A．26 B．25 C．23 D．18
、
【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为
,选D．
3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为
（）A．B．C．D．
【答案】C 样本数据在之外的频率为,
所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为
,选C．
4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l的正方形OABC中
任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．
【答案】【答案】B根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为
,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分的概率为,选B．
1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.
5从集合{}
【答案】
25
从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3
510C =种.则3个数能构成等差数列的
有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为
42
105
=.。