10_相对论量子力学

首先提出的Klein—Gordon方程，原本作为非相对论单粒 子方程——薛定谔方程向相对论性单粒子方程的推广。说是 “单粒子”方程有两层含意：i，它是通过一次量子化办法， 模拟经典单粒子的能量-动量关系建立起的；ii, 其中波函数 的模平方应当具有空间概率密度分布的解释。但是，人们立 即发现存在许多难以合理解释的困难（详细见下）。这些困 难使得K—G方程不适合作为单粒子的状态方程。这导致20年 代末和30年代初的一段时间内放弃了Klein—Gordon方程。
利用等式： E E E E E




设磁矩μ沿z轴方向，线电荷的线长也沿z轴方向，则电场 E在x-y平面内，又磁矩大小与坐标无关。因此上面第1、 3、4项皆为零，只保留第二项：
话又应当说回来，Dirac方程的单粒子图像仍能适用于一 些有限的情况。鉴于正能谱和负能谱之间留下一个相当宽的能 隙，在（与静止质量相比较）场的能量较弱、（与Compton波 长尺度相比较）场的空间变化较缓慢的情况下，这个宽能隙就 阻止了反粒子解的影响，从而进入了粒子数守恒的“力学”范 畴。在这点上Klein—Gordon方程情况相似。也只有在弱而且 变化平缓的场的范围内，这两个方程才可以建立各自近似的单 粒子量子力学——相对论量子力学。即便如此，以这两个方程 为基础的单粒子相对论量子力学，还是限于不断出现佯谬或粒 子产生、湮灭和转化的多粒子效应，使以这两个方程为基础的 单粒子量子力学适用范围相当局限，远不及薛定谔方程那么广 泛；而且更不及非相对论量子力学那么逻辑自恰。
§10.2 Klein-Gordon方程
一、自由的Klein-Gordon方程 二、外磁场中的Klein-Gordon方程
三、K-G方程作为单粒子方程的困难
一、自由的Klein-Gordon 方程
1）Klein-Gordon方程的引入
按前面所说的思路，很容易构造一个相对论性的微观 动力学方程，这就是根据最简单的情况——自由的点状粒 子的相对论能量关系式 ， 2 2 2 2 E p c m0 c 4
2 2
i
2

2
其中相位差为：
1 2 ( E ) dl ( E ) dl (1) c ( 2 ) 1 1 2 ( E ) dl 2 ( E ) dS c c
总结说来，非相对论量子力学的前提中含有四条逻辑要 素：i) 非相对论性的“低能量”——粒子运动所涉及的势能 和动能都远低于粒子的静止能量；ii) 传统的“力学理论范 畴”——只考虑粒子在力（势场）作用下的时空运动，不考 虑粒子产生、湮灭、不同种类粒子之间的转化；iii)（只要 系统不和外界交换粒子）运动中自动保持“粒子数守恒”； iv) “定域描述”方式——这意味在理论上可以将粒子定域描 述到几何点的精度。抛开非相对论量子力学在多大范围和多 精确程度上与实验符合问题不谈，单纯就“低能量”、 “力 学范畴”、“粒子数守恒”、 “定域描述”这四条内在逻辑 要素而言，不难看出它们之间的关系是相容相洽的。
二、向相对论量子力学推广的思路及其困难
为了使已建立的量子理论可以应用到高能粒子，必 须推广它，使之合乎狭义相对论的原理。 就是说，应当 寻找代替非相对论薛定谔方程的、具有洛仑兹变换协变 的、微观粒子的相对论性动力学方程。具体途径就是上 面“引出”薛定谔方程的“一次量子化”程式。在量子 理论早期发展过程中，这个思路曾经主导过建立相对论 量子力学的过程，以为只要改进薛定谔方程，使之具有 洛仑兹变换协变性，就能提供关于微观粒子相对论性力 学运动的正确描述。Klein—Gordon方程和Dirac方程就 是那时沿此思路所得的两个产物。
当时，Dirac为了克服Klein—Gordon方程的那些困难， 特别是关于概率密度不正定的困难和时间二阶导数问题，以 便得到对氢原子精细结构的相对论量子力学解释，他于1928 年提出了一个单粒子方程——后来称作Dirac方程。
Dirac方程解决了氢原子光谱精细结构问题。特别是，自 然地导出了电子的1/2自旋，并且避免了概率密度不正定的困 难以及对时间二阶导数的困难。然而，Dirac方程和Klein— Gordon方程一样，仍然存在负能态解。为了解释它，Dirac引 入了正电子理论，并取得了预言的证实。然而，这个被称作 “Dirac海”的无穷大密度的正电子真空背景，在单粒子Dirac 方程理论范畴内毕竟是外来强加的东西，不是理论本身逻辑 发展的自然结果。更何况，占据了所有负能态、无所不在、 密度无限大的正电子海的存在总会产生一个难以圆满回答的 疑问——这个电荷密度为均匀无穷大的负能量电子海，其平 均电磁场效应竟然为零！这无论如何，总是难以理解的。
E E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


0
代入上式，有：
1 2 c 0 A dS 2 c 0
其中 A dS
是回路包围的线电荷密度。
3）实验验证
A-C效应比A-B效应微弱得多，更不易被实验观测到。 1989年，Kaiser和Cimmino等人使用反应堆热中子，使 之进入硅晶体中子干涉仪，中子束由直进和Bragg反射， 分别通过两个电极后再会聚，观测到了A-C效应。
§10.3
Dirac方程
一、Dirac方程的引入 二、自由粒子 Dirac方程的解
三、协变形式下的 Dirac方程 四、Dirac方程作为单粒子方程的困难
2）理论分析
中性磁矩在电场中，从实验室坐标系看，等效于一个电偶 极子。哈密顿量为： 1 1 2
H P 2 E 2m c
第十章 相对论量子力学
§10.1 引 言 §10.2 Klein-Gordon方程 §10.3 Dirac方程
§10.1 引
言
一、非相对论量子力学概括评论
二、向相对论量子力学推广的思路
及遇到的困难
一、非相对论量子力学概括评论
以前的量子力学是以薛定谔方程为基本动力学规律 的理论，是非相对论性的量子理论。形式上，坐标表象 中的薛定谔方程可以这样来得到：从经典非相对论粒子 的能量——动量关系式出发，经过“一次量子化”程式， 并将得到的算子方程作用到表征微观粒子状态的波函数 上。显然，如此得到的方程是伽利略变换不变的，但不 是洛仑兹变换不变的。 值得强调指出，除特殊奇性位势需代以边条件表达之 外，任何位势的薛定谔方程均自动蕴含着关于波函数模平 方的连续性方程。这个方程显示了的定域守恒性质，说明 薛定谔方程中波函数的模平方有资格作为概率解释，并表 明非相对论量子力学粒子数的自动守恒。就是说，该理论 只研究粒子在各种位势下的运动，不涉及不同种类粒子之 间的转化问题。所以，它虽然是个非经典的非相对论性理 论，却是一个标准的 “力学”理论。
可以证明波函数为：
i r , t 0 r , t exp 2 c ( r0 ) ( E ) dl
(r )

其中ψ0 是电场为0时的波函数（即自由粒子波函数）。
当两束中子1和2回合后，也会有：
0 (1 e ), 0 4 cos