如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 0
Pi(i1) = mi2 1
3.求系统的传递矩阵
第i个质量弹簧单元的状态向量传递关系
xiR FR
i
=
1 mi
2
0 1
xiL FL
i
=
1 mi
2
0 1
1
0
1 ki 1
第4章 固有频率的实用计算方法
4-3 传递矩阵法（Transfer Matrix Method） 4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动
图4-3-1 轴的纵向振动离散化模型
第4章固有频率的实用计算方法
4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动
传递矩阵法的求解步骤 1.系统的离散化
利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有n个自由 度的链式系统，如图4-3-1(b),并进行编号
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1 4
11 22
1221)
0
(a)
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法）
设 为方程的两个根，则有
1 4
(112
1 22
)
1 2
1 1222
0
比较（a）（b）两式，可得
（b）
1
12
二．能量法
例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能 系统的势能 U 1 k(a)2
T
1 2
J
0&2
2
令 =0 sinnt
则有：
T
=
1 2
J0&2
1 2
J 0 (-0n
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
固有频率的计算
——动力学应用专题基本内容1、单自由度系统的自由振动2、固有频率的计算3、单自由度系统有阻尼的自由振动4、单自由度系统的受迫振动5、隔振与减振基本要求1、会应用动力学基本理论建立单自由度系统的振动微分方程2、掌握自由振动、受迫振动的特征3、会计算振动周期、固有频率和振幅4、掌握共振和临界转速的概念5、了解隔振的概念引言一、振动的现象与定义1、振动：物体（或系统）在其平衡位置附近周期性的往复运动。
振动是日常生活和工程实际中常见的物理现象。
例如：钟表的摆动；汽车行驶时车厢的上、下颠簸，左、右晃动；电机、机床等工作时的振动，狂风吹得旗帜哗哗作响、对瓶口吹气引起发声；以及地震时引起的建筑物的振动等。
利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动打桩机等消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：研究并掌握振动规律，消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。
2、振动的利弊：引言一、振动的定义与现象引言二、振动的模型与分析方法xmgstlmgm k单自由度质量弹簧系统km三、振动的分类：按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动，有阻尼的自由振动（衰减振动）强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动按振动方程：可分为线性振动和非线性振动。
单自由度系统的振动多自由度系统的振动弹性体的振动按振动系统的自由度分类引言§17-1 单自由度系统的自由振动一、自由振动的概念：质量—弹簧系统一、自由振动的概念：弹簧－质量系统，物块的质量为m ,弹簧的刚度系数为k ,物块自平衡位置的初始速度为v0。
运动过程中，其方向恒指向物体平衡位置的力称为恢复力。
物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下于其平衡位置附近的往复运动称为无阻尼自由振动。
二、自由振动微分方程及其解l0mk v0一、自由振动的概念：∑=iix F xm 0=kx xm ＋ 以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox 坐标系，将物块置于任意位置x > 0 处。
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 2 U k ( a ) 系统的势能 2
2
1 22 2 T = J J ( c o st ) = J c o sn t 0 0 0 n 0 0 n 2 2 2
2 n
1 21 21 2 2 2 U =( k a ) k ( a s i n) t = k a s i n t 0 n n 0 2 2 2
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
J k a c l o
2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
1 2 2 最大动能 Tmax = J00 n 2
得：最大势能：1 来自max = ka202 2由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受
力图如图(b)。根据动量矩定理 Jo M0(F)
Joka2cl2
令其特征方程的系数行列式等于0得
2k2m k
=0
k k22m
即： (2 k 2 m )(k2 2 m )k2= 0
可得固有频率
1
2
=
0
.
2
1
9
2
k m
2 2
=
2
.2 8
0
8
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
U = 1 2 k (a)2 1 2 k (a0 s inn t)2 = 1 2 k a 20 2 s in 2n t
最大动能
Tmax
=
1 2
J 2 2 00 n
最大势能：
Umax
=
1 2
ka22 0
由 Tmax=Um
系统的固有频率
= ka2
n
J0
若取
u1
1
2
代入式4-2-7进行试算
k1 k 0.333k
01 3m
m
2m1 瑞利法的计算精度决定
于对振型的假设。计算
一阶固有频率精度较高
2k k1
但数值偏大
若取 n2u12{{uu11}}TT1M 1K{{uu11}} =n2{{211{ 2{ 2u }u }22}} m 0T TkM K{2{0 uu m k22}} =1 22{{ 11 9 21 m 1 k}} 2m 00kk.222 20m kkm k 1111 35m k1.667m k
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的有阻尼受迫振动
2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。
kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。
d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。
sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。
02-2 计算固有频率的方法
d L j dt q
L 0 q j
L 3 2 M ( R r ) 2
L Mg ( R r ) sin
d L 3 2 M ( R r ) dt 2
荷mg作用下的静挠度曲线一样。
燕山大学
Yanshan University
梁中点 挠度。
mg 3l x 4 x 2 3 3l x 4 x ym 3 y 48EJ l
2
3
mgl ym 48EJ
3
3l x 4 x y m y l3
2
3
梁的动能为T 2
l 2 0
1 3l x 4 x 1 17 2 y dx l y m m 3 2 l 2 35
由Tmax＝Umax:
1 17 1 2 2 2 (m l ) A n kA 2 35 2
最大动能与最大势能 ： Tma x 固有频率 ：
Tmax U max
求固有频率
Tmax U max
1 m( An ) 2 2
Vma x
n k m
1 2 kA 2
燕山大学
Yanshan University
例 4 质量为 m ，半径为 r 的实心圆柱体，在半径为 R 的圆柱形面上 无滑动地滚动。求圆柱体绕平衡位置作微小振动时的固有频率n。
1 2 2 1 A n ( m m' ) 2 3
燕山大学
Yanshan University
例7 设一均质等截面简支梁，如图所示。在中间有一集中质量 m，梁的线密度ρ,如把梁本身质量考虑在内，试计算此系统的固 有频率和梁的等效质量。
单自由度系统固有频率的计算方法
=
Hale Waihona Puke ������ሶ���2��������������� 2
������������ (3)
显然，系统的全部动能应该是质量块的最大动能与弹簧的最大 动能之和：
������max
=
1 2
m������ሶ���2���������������
+
������ሶ ���2��������������� 2
������������ 3
以弹簧质量系统为例
假设弹簧上距固定端为h处的位移为： x
xh = h ������ 式中 L-处于平衡位置时弹簧的长度；
x-弹簧在联结质量块一端的位移。
单自由度系统固有频率的计算方法
当质量块在某一瞬时的速度为xሶ 时，弹簧在h处的微段dh的速度
应为hxሶ 。令������表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段dh的质量为
所以系统的固有圆频率为：
kg wn = m = λs
由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形λs，就可以计算出 系统的固有频率。
单自由度系统固有频率的计算方法
(3)能量法 在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量损失，所以振幅始终保 持为一常数，我们将这样的系统称为保守系统。 根据能量守恒定律，保守系统动能变化量等于势能变化量
U=12 k x + ������������������ 2 − ���������2��������� − ������������������ 在静平衡位置处有：k������������������=mg
势能： 动能：
U=12
kx2
=
1 2
k������2������������������2(������������������
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1
机械振动基础
•振动:描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化。
•机械振动: 力学和机械系统中的振动。
钟表摆的运动
编钟敲击后的振动
2
机械振动基础
研究振动的目的：
1. 认识振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动 利用振动
双轮串联振动式压路机
3
机械振动基础
汽车减震器动力学的计算机仿真
问题：用什么方法建立运动微分方程？
•牛顿第二定律 •动量定理
•动量矩定理
•动能定理 •动静法
k
l0
st
x
o'
•动力学普遍方程
•拉格朗日方程
m
o
y
9
§7-1 单自由度系统的振动
ma F mg
k
F
m
1 mg F x mg F x1 : m x : m x o ' m mg k ( x st ) x 1 mg kx1 st m x mg kx k st m x o 1 kx1 mg m x kx 0 m x x1 x
g 设 ： 2 , a 0.1 4 L sin( 0.1 t ) L
13
§7-1 单自由度系统的振动 问题：如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率？
o
o
o
g
~ ~ k q 0 mq
B
A
1 2 L mL mg 0 3 2
x
14
§7-1 单自由度系统的振动 二、微幅自由振动微分方程建立的方法 设：定常约束的单自由度质点系，广义坐标为q，系统的平 衡位置为q=0，系统的势能函数连续可微，并且V（0）=0。
消除或减小振动
4
机械振动基础
利用振动来消除或减小振动
5
机械振动基础
建筑工程中的减震研究
6
机械振动基础
问题：如何建立机械振动的力学模型？ 车 辆 减 震 系 统
7
机械振动基础
v 车
身 振 动 的 最 大 振 幅
m
m
8
§7-1 单自由度系统的振动
一、质量-弹簧系统的自由振动
•自由振动：质量块受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。
B
k1
d 2V 3 2 2 ( k k ) L cos 2 ( k L m gL) cos 1 2 2 2 d 2
1 1 2 | q | 1 T mi vi2 m( q)q 2 i 2 1 2 2 T [ m ( 0) m ' ( 0) q 1 m " ( 0 ) q ] q 2 2
2 V (q) V (0) V ' (0)q 1 V " ( 0 ) q 2
2 2
x
~ ~ k q 0 mq
16
§7-1 单自由度系统的振动 例：系统如图所示，滑块的质量为m，杆长为L，质量为m， 弹簧刚度系数分别为
k1, k2 。当杆铅垂时，弹簧无变形，确
定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率。
k2
A
mg
L
mg
B
17
k1
§7-1 单自由度系统的振动
T
~ m m(0)
1 1~ 2 2 m m(0)q q 2 2
广义等效质量
~ V ' ' (0) k 等效刚度系数
因为：q = 0 是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有
V (0) 0 V ' (0) 0
V " (0) 0
1~ 2 1~ 2 应用拉格朗日方程 L T V mq kq 2 2
1 1~ 2 2 V (q ) V " (0)q k q 2 2
~ ~ k q 0 mq
15
§7-1 单自由度系统的振动
例：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率
o
g
C 为 AB 杆 的 质 心
解：系统的动能和势能
1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos
k
l0 o x
m
光滑
k
m
纯滚动
kx 0 m x
k x 0 x m
0
k m
3m kx 0 x 2
2k x x0 3m 2k 0 3m
11
§7-1 单自由度系统的振动ຫໍສະໝຸດ 例：图示单摆系统，其支座以加
速度 a 运动，求系统作微幅振动 的固有频率。已知：a, L，m，k
A
B
1 2 2 2 ~ T ( m L 6m L2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4m gL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m(0)q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL
解：给出系统的动能，取 =0 为系统的零势位
k2
A
T
1 2 1 2 1 1 1 2 2 mv A mv C J C AB mL2 (sin 2 ) 2 2 2 2 3
mg
L
mg
3L 1 1 2 2 2 2 (1 cos ) V k1 L sin k 2 L (1 cos ) mg 2 2 2 dV 3 [( k1 k 2 ) L2 cos k 2 L2 mgL ] sin d 2
l0
坐标原点选在静平衡位置，可得到齐次常微分方程
2 x 0 x 0 x c1 cos0t c2 sin 0t mg A sin(0t ) k 2 固有频率 0 m 10
§7-1 单自由度系统的振动 例：求下列单自由度系统振动的固有频率
l0 o x
a
o
系统A
FI
mg
(A)
mgLsin maLsin mL ( g a) sin 0 L g a ( g a) 0 0 L
2
L
12
§7-1 单自由度系统的振动
a
o
FI
mg
(A)
g sin 0, a 0 L ( g a) sin 0 L