2020届浙江省杭州市高三上学期期末教学质量检测(一模)数学试题(PDF版)
杭州市2019-2020学年高三上学期期末教学质量检测
数学试题
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 设集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =I （ ）
A ．{}1x x >
B ．{}23x x <<
C ．{}13x x <<
D ．{}21x x x ><或
2. 双曲线2
214x y -=的离心率等于（ ）
A ．5
2
B ．5
C ．
32
D ．3
3. 已知非零向量a ，b ，则“0⋅>a b ”是“向量a ，b 夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4. 若实数x ，y 满足不等式组01
0x y x x y +≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩，则（ ）
A ．1y ≥
B ．2x ≥
C ．20x y +≥
D ．210x y -+≥
5. 设正实数x ，y 满足()e e e y
x y x ⋅=，则当x y +取得最小值时，x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6. 已知随机变量ξ的取值为i （0,1,2i =）．若()1
05P ξ==，()1E ξ=，则（ ）
A ．()()1P D ξξ=<
B ．()()1P D ξξ==
C ．()()1P
D ξξ=>
D ．()()1
15
P D ξξ==
7. 下列不可能．．．
是函数()()()22a x x f x x a -=+∈Z 的图象的是（ ） D.
C.
B.
A.x
x
x
y
y
y
y
x
O
O
O
O
8. 若函数()y f x =，()y g x =定义域为R ，且都不恒为零，则（ ） A ．若()()y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数 B ．若()()y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数
C ．若()y f x =，()y g x =均为单调递增函数，则()()y f x g x =⋅为单调递增函数
D ．若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数
9. 已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为2F ．设
两曲线的一个交点为P ，若2
21216
PF F F p ⋅=u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．12
B ．22
C ．34
D ．3
2
10. 已知非常数数列{}n a 满足12n n
n a a a αβαβ
+++=+（*n ∈N ，α，β为非零常数）．若0αβ+≠，则（ ）
A ．存在α，β，对任意1a ，2a ，都有数列{}n a 为等比数列
B ．存在α，β，对任意1a ，2a ，都有数列{}n a 为等差数列
C ．存在1a ，2a ，对任意α，β，都有数列{}n a 为等差数列
D ．存在1a ，2a ，对任意α，β，都有数列{}n a 为等比数列
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分
11. 设复数z 满足()1i 2i z +⋅=（i 为虚数单位），则z = ，z = ．
12. 已知二项式()6
0a x a x ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭的展开式中含2x 的项的系数为15，则a = ，展开式中各项系数和
等于 ．
13. 在ABC △中，BAC ∠的平分线与BC 边交于点D ，sin 2sin C B =，则BD
CD
= ；若1AD AC ==，则BC = ．
14. 已知函数()()()2
10cos 0x x f x x x π⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩
，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦ ；若关于x 的方程()0f x a +=在(),0-∞内有唯一实根，则实数a 的取值范围是 ．
15. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作
需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）
16. 已知函数()39f x x x =-，()()23g x x a a =+∈R ．若方程()()f x g x =有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，
且它们可以构成等差数列，则a = ．
17. 在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且3
2
MN =，若()
32
MN AD BC ⋅-=uuuu r uuu r uuu r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r
．
三、解答题：5小题，共74分
18. （本题满分14分）已知函数()22sin cos 3f x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭（x ∈R ）．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域．
19. （本题满分15分）已知函数()212f x x k x =+--．
（1）当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间． （2）若2k ≤-，试判断方程()1f x =-的根的个数．
20. （本题满分15分）如图，在ABC △中，23
BAC π
=
∠，3AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12
AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r
，若ABC △的面积为23．
（1）求m 的值；
（2）求AP u u u r
的最小值．
P
B
D A
C
21. （本题满分15分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==． （1）求n a ，n S 与n T ；
（2）若n n n c S T =⋅，求证：12(2)
2
n n n c c c ++++<
L ．
22. （本题满分15分）设函数()e x f x ax =+，a ∈R ．
（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；
（2）若对任意[)0,x ∈+∞均有()2223f x x a +≥+，求a 的取值范围．。
贵州省安顺市2024年数学(高考)统编版真题(评估卷)模拟试卷
贵州省安顺市2024年数学（高考）统编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0B．C．2D．1第(3)题技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍第(4)题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是A ．2B．3C．4D．4第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．第(7)题设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（）A．最小正周期为B．奇函数C．在上单调递增D．关于中心对称第(2)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则第(3)题双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（）A．存在直线，使得B．在运动的过程中，始终有C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
2020届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
【解析】 ，设函数，根据单调性得到 ， ，分别计算最值得到答案.
【详解】
，
设 ，则 恒成立，函数单调递增，
故 ；
设 ，则 ，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 ，
则 ，故 ，当 时等号成立；
且 ，故 ，当 时等号成立.
综上所述： .
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了绝对值函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【详解】
， ，故 ，故 .
，
即 ，故 ，故 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、填空题
15．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的最大值是______
【答案】
【解析】计算得到 ，代入计算得到答案.
【详解】
， ，
故 .
故答案为：5.
【点睛】
【详解】
先从CDEF中安排两位志愿者照顾乙，有 种选择，
再从剩余的除去A的三位志愿者中选择两位照顾丙，有 种选择，剩余一位和A照顾甲，
故共有 种安排方法.
故答案为：18.
【点睛】
本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
17．已知函数 .当 ， 的最大值为 ，则 的最小值为______
（2） ， ，若对任意的正整数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设 的公差为 ，计算得到 ，故 ，得到答案.
（2）计算 ， ，根据裂项相消法计算 ，得到 ，根据数列的单调性得到答案.
【详解】
（1）设 的公差为 ， ，由 ，得 .
浙江省杭州市高级中学2024年高三第一套原创猜题(新课标I)数学试题试卷
浙江省杭州市高级中学2024年高三第一套原创猜题（新课标I ）数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 2．要得到函数312y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度 3．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -4．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．145．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．326．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 7．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝8．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞B ．(,1][3,)-∞+∞C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)9．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．36010．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．5412．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届浙江名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三第一次联考数学试题(解析版)
【详解】
如图所示，在矩形 ABCD 中，过 A 作 AF⊥BE 交于点 O ，将 ABE 沿直线 BE 折成
ABE ，则点 A 在面 BCDE 内的射影 O' 在线段 OF 上，
设 A 到平面 BCDE 上的距离为 h ，则 h A'O' ，
tan h tan h tan h
1 2
x x
0
先根据单调性可得
an
1，再利用单调性可得
0
a1
1 2
a2
a3
an
1
.
【详解】
考察函数 f (x) x ln(2 x)(0 x 2) ，
由
f
' ( x)
1
2
1
x
1 x 2x
0
可得
f
(x)
0,1
在 单调递增，
由
f
' ( x)
1 2
，
an1
an
ln
2
an
．则下列说法正确的是
（）
0
A．
a2019
1 2
B．
1 2
a2019
1
1
C．
a2019
3 2
D．
3 2
a2019
2
【答案】B
【解析】考察函数 f (x) x ln(2 x)(0 x 2) ，则
f
' ( x)
1
浙江省杭州市2023届高三上学期教学质量检测数学试题含解析
2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}210,lg 0A x x B x x =-<=≤∣∣，则A B ⋃=（）A.{01}x x <<∣B.{01}xx <≤∣C.{11}xx -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,A B ,根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得{}{}210{|11},lg 0{|01}A xx x x B x x x x =-<=-<<=≤=<≤∣∣，故{|11}A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2.若复数4i1iz =+（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.【详解】因为()()()4i 1i 4i 22i 1i 1i 1i z -===+++-，则||z ==.故选：C ．3.已知1tan 2α=-，则sin 22cos24cos24sin 2αααα+=-（）A.114B.114-C.52D.52-【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】2222221sin 22cos22sin cos 2cos 2sin tan 1tan 1474cos24sin 24cos 4sin 8sin cos 22tan 4tan 142αααααααααααααααα++-+-====-----.故选：A ．4.已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式()2log g x x >的解集是（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】作出函数()g x 与2log y x =的图象，数形结合可得出不等式()2log g x x >的解集.【详解】根据图中信息作出函数()g x 、2log y x =的图象如下图所示：因为()01f =，则()21g =，且2log 21=，由图可知，不等式()2log g x x >的解集为()0,2.故选：C.5.已知非零向量,a b的夹角的余弦值为15，且(3)(2)a b a b +⊥- ，则||||a b =（）A.1B.23C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于||||a b、的齐次方程，即可进一步求得||||a b 的值.【详解】1cos ,5a b <>= 由(3)(2)a b a b +⊥-得2222(3)(2)253230a b a b a ab b a a b b+⋅-=+-=+-=.∴2230a ab b ⎛⎫⎪+-= ⎪⎝⎭，令0at b=> ，∴2230t t +-=，解得1at b ==或32-（舍去）.故选：A.6.冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为22．A.①③B.③④C.②③D.②④【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，41x =，123567117x x x x x x ++++++<，所以1235676x x x x x x +++++<，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，且12356701x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤，所以1234567,,,,,,x x x x x x x 都不超过5，②正确.对于④，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，123456727x x x x x x x ++++++=，123456714x x x x x x x ++++++=，()()()()()()()22222221234567222222227x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，()()()()()()()22222221234567222222214x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，若自然数x 大于5，则()2216x -≥，矛盾，所以123567,,,,,x x x x x x 都不超过5，④正确.综上所述，正确的为②④.故选:D7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（）A.10x ±-=B.10x y ±-=C.220x y ±-= D.210x y ±-=【分析】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，根据4||||5DE AB =求出r ，进而得到M 点横坐标；再设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，由韦达定理得到k 与M 横坐标的关系，进而求出k ．【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==，故||1MN r =-，所以8||5DE r ==，即21650250r r -+=，解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k++==，解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=．故选：C ．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．8.若过点(,)a b 可以作曲线1(0)y x x x=->的两条切线，则（）A.0b a >> B.1a b a a >>- C.10a b aa<-<< D.10a b a a-<<<【答案】B 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，结合导数法有000|x y bk y x a-='=-，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.【详解】设切点为()00,x y ，则00x >，∴211(0)y x x '=+>，则0002000111x b y b x k x x ax a---=+==--，化简得：200()20a b x x a --+=①，则44()a a b ∆=--，∵过点(,)a b 可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴()202Δ00a b aa b -⎧->⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪>-⎪⎩，∴1a b a a >>-.故选：B ．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x ．下列命题中正确的是（）A.()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B.()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x，最小值为0D.()f x【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项A,由()0f x ≥，知()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，可验证选项B ,通过单调性，即可求得最大值和最小值.【详解】对于选项A ，由(3)()f x f x -=，得()f x 的对称轴为直线32x =，因此()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项BCD ，因为2()0,()3f x f x ≥=+，函数()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，而2()y f x =在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32x =时，()f x ；当0x =或3时，()f x 取到最小值故选：ABD.10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B.()1522P A B =C.()25P B = D.()245|8P A B =【答案】BD 【解析】【分析】由题设求出()i P A 、(|)i P B A (1,2,3)i =，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，根据()(),()i i P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性.【详解】由题意11()2P A =，21()5P A =，33()10P A =，先1A 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则15(|)11P B A =，先2A 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则24(|)11P B A =，先3A 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则34(|)11P B A =，所以1115()(|)()22P A B P B A P A ==，B 正确；2224()(|)()55P A B P B A P A ==，3336()(|)()55P A B P B A P A ==，()1122339(|)()(|)()(|)()22P B A P A P B A P A P B B A A P P ++==，C 错误；则11()()()P A P B P A B ≠，22()()()P A P B P A B ≠，33()()()P A P B P A B ≠，A 错误；()2222()(|)()|()(845)P A B P B A P A P A B P B P B ⋂===，D 正确.故选：BD11.若函数()π1sin 2(0)62f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在区间0,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则（）A.存在ω，使得函数()f x 为奇函数B.函数()f x 的最大值为12C.ω的取值范围为(0,4]D.存在4个不同的ω，使得函数()f x 的图象关于直线π2x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】对A 选项，计算()f x -，得到其与()f x -的关系即可判断，对B 选项，根据正弦函数的值域即可求出()f x 的最大值，对C 选项，根据()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得到不等式组ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ，解出即可，对D 选项，令πππ2π,Z 262m m ω⨯+=+∈，解出ω，再结合C 选项ω范围则可得到ω的值.【详解】解：()π1sin 262f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为R ，()()π1π1sin 2sin 26262f x x x f x ωω⎛⎫⎛⎫-=-+-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，则不存在ω，使得函数()f x 为奇函数，故A 错误;由π1sin 216x ω⎛⎫-+⎪⎝⎭ ，得31()22f x - ，则()f x 的最大值为12，故B 正确;由于()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ,Z k ∈解第一个不等式得13k ≤，Z k ∈ ,故max 0k =，解二式得244k ω≤+，故4ω≤，又0ω>，所以04ω< ，故C 正确;令πππ2π262m ω⨯+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，Z m ∈，由04ω< 知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D 选项的判断，根据()f x 的某个单调增区间，则其整体应该在ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，即应该是后者的子集，再结合0ω>，从而得到关键的不等式组，解出ω范围，而D 选项我们采取代入法，将π2x =代入则内部整体应等于对称轴通项即ππ2x k =+，Z k ∈再结合ω范围，则得到所有ω取值.12.已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A.函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由()()1f x f x -+=可判断；对B ，根据函数单调递增可求解；对CD ，根据()f x 的性质画出函数图象，表示出直线AD 的方程，根据,B C 均在直线AD 上方建立不等关系可得.【详解】对A ，()()3313113133113x x xx x x xf x f x ---+=+=+=++++ ，∴函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B ，31()11313x x xf x ==-++ 在R 上单调递增，且()102f =，则1(1)2f x ->化为()(1)0f x f ->，则10x ->，解得1x >，故不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >，故B 正确；对CD ，30x >，则可得101113x<-<+，且()f x 关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，在R 上单调递增，可得()f x 函数图象如下：,B C 均在直线AD 上方，其中直线AD 的方程为()23231122f x x y x x x +-=++，则可得()()2322231122f x x f x x x x +->++，()()2333231122f x x f x x x x +->++，所以()()()()()232323232323231111122222f x x f x x f x f x x x f x x x x x x +-+-+>+++=++++，()()()23111f x x f x f x +=-=- ，()()()231112f x f x f x ∴+>-+，即()()()12332f x f x f x ++>，故C 错误，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()241(12)xx ++的展开式中3x 的系数为_______________.【答案】40【解析】【分析】利用4(12)x +的展开式的通项，令x 的指数等于3和1，即得展开式中3x 的系数.【详解】因为4(12)x +的展开式的通项()14422C C rrr r r r T x x +==，令3r =和1r =，可得3x 的系数为331442C 2C 842440+=⨯+⨯=.故答案为：40.14.将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-##5π24-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知双曲线2221y x a-=，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．【答案】213⎭【解析】【分析】设出切线方程，联立双曲线方程消元得一元二次方程，则两条切线等价于Δ0=有两个不等实根，即可进一步列判别式不等式求得参数范围，从而求得离心率的取值范围.【详解】设切线方程为(22)y k x -=-代入2221y x a-=得()222224(1)4(1)0a k x k k x k a -+----=，易得k a ≠±，由2203840k k a ∆=⇒-++=，由题意此方程有两个不等的实根，故()22146412403a a ∆=-+>⇒<，则22713c a =+<，所以13c e =<，即13e <<，又k a =±代入223840k k a -++=得1a =±，所以e =，故离心率e 的取值范围为3⎫⎪⎭．故答案为：213⎫⎪⎭．16.已知不等式()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1e e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知得出()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，而在0a >，1x >上10x a ->，()ln 10x ->，可得1a >，将()1ln ln 1x a a x ->-化为()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅，令()e x f x x =，根据导数得出其单调性，则()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅可化为()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，即可根据单调性得出ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，根据导数得出()()1e 1eg x g ≤+=，即可得出1ee a >，即可得出答案.【详解】()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，0a > ，1x >，10x a -∴>，()ln 10x ->，则要满足()1ln ln 1x aa x ->-，则ln 0a >，即1a >，()1ln ln 1x a a x ->-化为：()()1ln ln e ln 1x a a x ->-，两边乘1x -得：()()()()()()1ln ln 11ln e1ln 1ln 1ex ax x a x x x ---⋅>--=-⋅，令()e x f x x =，则()e e x xf x x ='+，令()e e 0xxf x x =+>'，解得1x >-，则()e xf x x =在()1,-+∞上单调递增，不等式()()ln ln10,1x a a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，即1x >时，()()()()1ln ln 11ln e ln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅恒成立，则()()()()1ln ln 11ln eln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅可化为：()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，当1x >，1a >时，(1)ln 0x a ->，()ln 10x ->，则根据单调性可得()()1ln ln 1x a x ->-，则ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，则()()()21ln 11x g x x --'=-，令()0g x '>，解得e 1x <+，即()ln(1)1x x g x -=-在()1,e 1+上单调递增，令()0g x '<，解得e 1x >+，即()ln(1)1x x g x -=-在()e 1,∞++上单调递减，则()()1e 1e g x g ≤+=，则1ln ea >，即1e e a >，10ee e 1>= ，综上1ee a >，故答案为1ee ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】(1)由数列{}1n S +是公比为2的等比数列，写出通项公式，用1(2)n n n a s s n -=-≥求得通项公式.(2)考查用错位相减法求和,写出n T ，n qT ，两式错位作差，化简.【小问1详解】()11112n n S a -+=+⋅，①2n ≥时，()211112n n S a --+=+⋅，②①-②()()21222n n a a n -⇒=+⋅≥，∵{}n a 为等比数列∴211111221aa a a a +=⇒=⇒=∴12n n a -=【小问2详解】12n n na n -=⋅，∴()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，①()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，②①-②得，2112222n nn T n --=++++-⋅ ()()112221212112n n n n n n n n ⋅-=-⋅=--⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）2,6]+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【小问1详解】在ABC 中，()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得222b ac ac =+-，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0B π<<，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，3B π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3a cb A C B π====，则,a A c C ==，而23A C π+=，令,33A C ππθθ=+=-，在锐角ABC 中，032032ππθππθ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得66ππθ-<<，cos 12θ<≤，于是得(sin sin 2sin cos 4cos 24333a c πππθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎤+=++-==∈ ⎪ ⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎦，则26a b c +<++≤，所以ABC周长的取值范围是2,6]+.19.已知函数()f x 满足()2()31f x f x x =-+-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程2()1f x k x x =--恰有四个不同的实根，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()1f x x =+（2）10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）构造等式()2()31f x f x x -=--，即可解得()f x 的解析式；（2）对k 的符号分类讨论，其中0k >时，由参变分离可得11(1)31x k x =++-+恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.【小问1详解】由题意得：()2()31f x f x x -=--，∴()2[2()31]31f x f x x x =--+-，解得()1f x x =+；【小问2详解】i.当0k <时，明显无解；ii.当0k =时，|1|0x +=只有一个实根，不符合条件；iii.当0k >时，2111(1)311x x x k x x --==++-++恰有四个不相等的实根.∴11(1)31x x k ++=++与11(1)31x x k++=-+共有四个不相等的实根.∴132132k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得15k >或101k <<，∴105k <<或1k >，∴实数k 的取值范围是10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为()10n n *∈N，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得24.040K≈.男生女生合计了解6n不了解5n合计10n 10n（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）20n =，有95%的把握；（2）①2021；②()112E X =.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可解得正整数n 的值，结合临界值表可得出结论；（2）①分析可知这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：22⨯列联表如下表所示：男生女生合计了解6n 5n 11n 不了解4n 5n9n 合计10n10n20n()2220654520 4.040101011999n n n n n n K n n n n⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，N n *∈ ，可得20n =，()2 3.8410.05P K ≥= ，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；【小问2详解】解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421-=-=；②由题意可知11~10,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111110202E X =⨯=.21.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为32，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点(,2)(0)T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若TMN △的面积为TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）t =±【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；（2）分别联立直线TM 、直线TN 与椭圆的方程，解出E F 、坐标，即可写出直线EF 方程，判断定点；（3）设EF 交y 轴与P ，由TMN TMNTEF TMN FPN PEMS S S S S S =-+△△△△△△得到关于t 的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.【小问1详解】由题意可得2221,MN b b ==⇒=由椭圆的离心率为2可得22223144b e a a =-=⇒=，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】由题意知直线TM 的方程为1x y t =+，直线TN 的方程为31x y t=-．由22141x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．同理，2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以()()()()()()2222222243222236814416192436443636424824436364EFt k t t t t t t t t t t t t t t t t t t -===+----+--++-+++++++()()()2222121212161612t t ttt t -+-=-=-+，所以直线EF 的方程为：222241284164t t t y x t t t --⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即21210162t x y t -+-=，所以，直线EF 过定点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问3详解】设EF 交y 轴与P ，则2218||2||||364TEF TMN FPN PEM t t S S S S t t t =-+=-+++△△△△．因为||TMNS t =△，所以424222401441641114424144324TMN TEF S t t k S t t t t++===+≤+++++△．当且仅当22144t t=，即t =±时，等号成立．所以当t =±时，k 取得最大值43．【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。
浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题含答案
2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin f x x=的最小正周期是A.4πB.2πC.πD.2π【答案】C 【解析】【详解】sin x 的图象是将sin x 的图象在x 轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是sin x 周期的一半，即周期为π.2.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3.已知,a b 是两个单位向量，若向量a 在向量b 上的投影向量为12b，则向量a 与向量a b - 的夹角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】由条件结合投影向量的定义可求,a b，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，,a b是两个单位向量，所以1cos ,2a a b b b ⋅= ，所以1cos ,2a b = ，又[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = ，所以()21111122a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=，又11a a b =-=== ，，所以()1cos ,2a ab a a b a a b ⋅--==⋅- ，又[],0,πa a b -∈ ，所以向量a 与向量a b - 的夹角为π3，即60 .故选：B.4.设甲：“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增”，乙：“02ω<≤”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性求出ω的范围，即可判断答案.【详解】若“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增”，则0ω>，由ππ22x ω-≤≤得ππ22x ωω-≤≤，则ππ23ππ24ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得302ω<≤，所以，甲是乙的充分不必要条件.故选：A5.设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2nn n n n a b a b n a b ++==+=+=．设n S 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（）A.110B.120C.288D.306【答案】A 【解析】【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.【详解】711223344556677S a b a b a b a b a b a b a b =+++++++++++++()()()()()()11232345456767a b a b b a a b b a a b b a =+++++++++++++246112222422622448161264110=++⨯++⨯++⨯+=++++++=.故选：A.6.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A.300B.240C.150D.50【答案】C 【解析】【分析】先分组，人员构成可能为1、1、3或1、2、2，再将3组全排列即可得.【详解】先将5名志愿者分成3组，若这三组的人员构成为1、1、3，则共有35C 种分组方案，若这三组的人员构成为1、2、2，则共有225322C C A 种分组方案，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有33A 种分配方案，故共有2233535322C C 103C +A 106150A 2⎛⎫⨯⎛⎫⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种分配方法.故选：C.7.设集合{1,1}M =-，{|0N x x =>且1}x ≠，函数()xxf x a a λ-=+（0a >且1a ≠），则（）A.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为增函数B.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为减函数C.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为奇函数D.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为偶函数【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.【详解】当1λ=时，()x xf x a a -=+，1a >时，()f x 在(,0)-∞上不是增函数，故A 不正确；当1λ=-时，()xxf x a a-=-，1a >时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，B 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故C 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故D 正确；故选：D.8.在ABC 中，已知sin cos sin ,cos sin cos A A n C n C B B ==．若πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则n =（）A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】由πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2A =，进而得到tan tan tan 2A B C =⋅=，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得tan tan 2B C +=，设tan B t =，有2220t t -+=，可得该方程无解，故不存在这样的n .【详解】由π1tan tan 341tan AA A+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，即tan 2A =，则cos 0A ≠，由sin cos sin ,cos sin cos A An C n C B B ==，知cos 0C ≠，则tan tan tan AC B=，则tan tan tan 2A B C =⋅=，又()()tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C B C+=--=-+=-=+-⋅，故tan tan 2B C +=，设tan B t =，则tan 2C t =-，有()22t t -=，即2220t t -+=，4840∆=-=-<，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<的两根为1z 和2z ，则（）A.12z z =B.121z z ⋅=C.12=z zD.1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】求出方程的两根，即可判断A ，利用韦达定理判断B ，计算出两根的模，即可判断C ，利用复数代数形式的除法运算及B 项的结论化简12z z ，即可判断D.【详解】关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<，则240t ∆=-<，4i 2t x -±∴=，不妨设1422t z =-+，24i 22t z =--，12z z ∴=，故A 正确；由韦达定理可得121z z =，故B正确；121z z ==，故C 正确；121z z = ，∴2222111212222z z t t z z z z ⎛⎫-===-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21222z t z ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当0t ≠时，12R z z ∉，此时1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：ABC ．10.已知函数()f x 对任意实数x 均满足()()2211f x f x +-=，则（）A.()()f x f x -=B.1f=C.()113f -=D.函数()f x在区间上不单调【答案】ACD 【解析】【分析】令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，可推导出()()f x f x -=，进而可判断A ，利用赋值法可判断B ,C ；先算出满足21x x =-的x 值，由此可得1123f f ⎛⎫+==⎪⎪⎝⎭，即可判断D .【详解】对于A ，令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，所以()()()2112f x f x f x ---==，故A 正确；对于B ，令1x =，则()()2101f f +=，令0x =，则()()2011f f +=，解得：()()1013f f ==，令x =，()211ff +=，则13f =，故B 错误；对于C ，由A 知，()()f x f x -=，所以()()1113f f -==，故C 正确；对于D ，令21x x =-，所以210x x --=，解得：12x ±=，令12x =，则112122ff ⎛⎫⎛+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以15123f ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，因为152+∈，15123f f⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间上不单调，故D 正确.故选：ACD .11.过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.直线NB 与抛物线C 有2个公共点B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠D.3MNAB的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】设出直线AB 的方程为2x ty =+，代入24y x =，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB ；根据B 可得M 的轨迹方程，从而判断C ；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出3MN AB，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.【详解】设直线AB 的方程为2x ty =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，对于A ：抛物线C 在点A 处的切线为21124y y y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2x =-时得12112144282222y y y y y yty -=-=+=-=，即()2,2N t -，所以直线NB 的方程为1221222242424y y y y y y x y --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭--，整理得1144y y x y =--，联立112444y y x y y x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，消去x 的122116604y y y y ++=，解得18y y =-，即直线NB 与抛物线C 相切，A 错误；对于B ：直线MN 的方程为()122x y t t +=--，整理得y x t=-，此时直线MN 恒过定点()0,0，B 正确；对于C ：又选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠，C 正确；对于D：222t MN +==，AB ===则()()3253222222221t t MN AB t ⎛⎫++==+，,m m =≥则()352221MN m ABm =-，设()()5222,1m f m m m=≥-则()()()()()()()2426242244221018121511m m m m m m mf m m m -----'==--，当>m 时，()0f m '>，()f mm <<时，()0f m '<，()f m 单调递减，所以()()2min 25255851f m f ===-，D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出与圆221x y +=相切且方向向量为(的一条直线的方程______．【答案】2y =+或2y =-（写出一个即可）【解析】【分析】由条件可设直线方程为y b =+，结合条件列方程求b 即可得结论.【详解】因为切线的方向向量为(，故可设切线方程为y b =+，因为直线y b =+与圆221x y +=相切，又圆221x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为1，圆心()0,0到直线y b =+2b =，所以12b =，所以2b =或2b =-，所以与圆221x y +=相切且方向向量为(的直线为2y =+或2y =-，故答案为：2y =+或2y =-（写出一个即可）.13.函数()2f x=______．【答案】【解析】【分析】借助换元法令t =，可得()()325f x h t t t t==-+-，借助导数求取函数()h t 的单调性后，即可得解.【详解】令0t =>，则21x t =-，故()()()2223321125f tt t x t t t-++==-+---，令()()3250h t t t t t=-+->，则()()(242222231235235t t t t t t th t t t '++--++=-++==-，当(t ∈时，()0h t '>，当)t ∈+∞时，()0h t '<，则()h t在(上单调递增，在)+∞时单调递减，故()35h t h≤=-+⨯即函数()2f x =.故答案为：.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．【答案】17【解析】【分析】依题意，利用等腰三角形ABC 求得cos α,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点,P Q ，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点P 坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.【详解】如图，设BCD α∠=,因12,8AB AC BC ===,故41cos 123α==，又6CD =,由余弦定理，22212cos 3664268683BD CD BC CD BC α=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD =,设椭圆中心为O ,作圆锥的轴截面AMN ,与底面直径BC 交于E ，与椭圆交于,P Q ，连AE 交BD 于G ，以点O 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系.则23AG AE =,又由APQ AMN 得216,33PQ MN ==133DG DB ==,从而33OG =-=则得8(,)33P -,不妨设椭圆方程为22221x y a b+=，把a =和点P坐标代入方程，解得b =，则3c ==，故.17c e a ===故答案为：31717.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．【答案】（1）()21n a n n *=-∈N （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意可得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解方程求出1,a d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得12123n n b n b n +-=+，由累乘法可求出{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由4224,21n n S S a a ==+，得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得：1a 1,d 2==，所以()()12121n a n n n *=+-=-∈N ．【小问2详解】由（1）知，()()12123n n n b n b +-=+，即12123n n b n b n +-=+，12321n n b n b n --=+，122521n n b n b n ---=-，……，322151,75b b b b ==，利用累乘法可得：1211212325313212175n n n n n b b b n n b b b b b n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，12311nkn nk bb b b b b -==+++++∑ ()()9911212122121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭9111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ 911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以191912212nk k b n =⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∑．16.已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．【答案】（1）答案见解析；（2）（ⅰ）10a -<<；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a ≤-、10a -<<、0a ≥三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【小问1详解】函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得11x =，21x =，因为10a -<<，所以011a <+<，则211-<<-，所以当()2,1x ∈-时()0f x '<，当()1x ∈时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1--上单调递减，在()1上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知10a -<<．（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa =-=+-<极大值，又())110f f<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1--上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．17.如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．（1）证明：90ABQ ∠=︒；（2）若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解DM =，即可求证DM DC ⊥，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，（2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得PM h ==坐标系，求解法向量求解.【小问1详解】在DCM △中，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，所以90MDC ∠=︒，所以DMDC ⊥．又因为DC PD ⊥，,,DM PD D DM DP ⋂=⊂平面PDM ,所以DC ⊥平面PDM ,PM ⊂平面PDM ．所以DC PM ⊥．由于//,2PQ BM PQ BM ==,所以四边形PQBM 为平行四边形，所以PM QB ∥．又AB DC ，所以AB BQ ⊥，所以90ABQ ∠=︒．【小问2详解】因为QB MD ⊥，所以PM MD ⊥，又PM CD ⊥，,,DC MD D DC MD ⋂=⊂平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD ．取AD 中点E ，连接PE ，设PM h =．设多面体ABCDPQ 的体积为V ，则33P CDEM A PEM P CDEM P AEM P CDEM ABQ PEM V V V V V V V ------=+=+=+三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥112π152212551sin 333323AEM AEM AEM AEM CDEM S h S h S h S h S h h =⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=△△△△四边形．解得PM h ==建立如图所示的空间直角坐标系，则()())2,0,,1,0A B C-，)(((),,,0,0,0DP Q M ．则平面QAB 的一个法向量()1,0,0n =．所以()0,1,0,CD PD ==-，设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y =⎧⎪-=取()3,0,1m = ．所以cos 10m n m n θ⋅==⋅ ．所以平面PAD 与平面PMD夹角的余弦值为10．18.已知,A B 是椭圆22:14xE y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.（1）求点M 的坐标.（2）过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，4525±【解析】【分析】（1）设()00,P x y，利用两点距离距离得PM =，然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【小问1详解】设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x ==-≤≤，①若min30,12m PM <≤==，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >==，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.【小问2详解】（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t>或t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =+-，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y-+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以253n =±，即425,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故直线AC 的方程为()25y x =±+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，解得2A x =-,所以412929C x =-⋅-=，所以9C y =±,故25l MC k k ==±.19.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次．假设每次摸出红球的概率为p ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为p m n=．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y ，则()3,Y B p ～．注：()p P Y k =表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率）（ⅰ）完成下表；k0123()14P Y k =2764164()34P Y k =9642764（ⅱ）在统计理论中，把使得．．()p P Y k =的取值达到最大时的．．．．．．．．p ，作为p 的估计值，记为 p ，请写出 p 的值．（2）把（1）中“使得()p P Y k =的取值达到最大时的p 作为p 的估计值 p ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数()l θ，再对其关于参数θ求导，得到似然方程()0l θ'=，最后求解参数θ的估计值．已知(),Y B n p ～的参数p 的对数似然函数为()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，其中0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次摸出白球第次摸出红球．求参数p 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．【答案】（1）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；（2）11ni i X n =∑，答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）分14p =与34p =计算即可得；（ⅱ）结合题意与所得表格即可得解；（2）求取函数()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑的导数，借助导数得到函数的最大值点，即可得解.【小问1详解】因为袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，且()3,Y B p ～，所以p 的值为14或34；（ⅰ）当14p =时，()()211134271C 164P Y p p ==-=，()()2213492C 164P Y p p ==-=，当34p =时，()()30033410C 164P Y p p ==-=，()()22334272C 164P Y p p ==-=，表格如下k0123()14P Y k =27642764964164()34P Y k =16496427642764（ⅱ）由上表可知()()33C 1kk kp P Y k p p -==-．当0y =或1时，参数14p =的概率最大；当2y =或3时，参数34p =的概率最大．所以1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】由()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，则()()111111n ni i i i l p X X p p =='=---∑∑，令()1111101n n i i i i X X p p ==--=-∑∑，即()11111111nniii i nnniiii i i X n X pnpXXX=====---===-∑∑∑∑∑，故11n i i p X n ==∑，即当110,n i i X n p =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '>，当11,1n i i p X n =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '<，故()l p 在110,n i i X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑上单调递增，在11,1n i i X n =⎛⎫⎪⎝⎭∑上单调递减，即当11n i i p X n ==∑时，()l p 取最大值，故11ˆni i pX n ==∑，因此，用最大似然估计的参数 p 与频率估计概率的 p 是一致的，故用频率估计概率是合理的．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取函数()l p 取最大值时的p ，得到11ˆni i pX n ==∑.。
2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考数学试题
浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
e
c a
2
3 3
，故选
C.
【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.
3.已知 a, b 是不同的直线，， 是不同的平面，若 a ， b ， a / / ，则下列命题
中正确的是（ ）
A. b
B. b / /
C.
D. / /
【答案】C
【解析】
【分析】
构造长方体中的线、面与直线 a, b, , 相对应，从而直观地发现 成立，其它情况均
而后面推不出前面（前面是后面的子集），
所以“ 2 a b 0 ”是“函数 f (x) 至少有一个零点属于区间[0，2]”的充分不必要条件，
故选 A. 【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于 基础题.
10.已知数列 {an } 满足：
0
a1
1 2
，
an1
f
(0)
f
(2)
0,
f (0) f (2) b(4 2a b) b2 2ab 4b b2 2ab a2 4b a2
(a b)2 4b a2 0 ，即 (a b)2 a2 4b 又因为 a2 4b 0 ，所以， a2 4b a b a2 4b ；
当 O' 与 O 重合时， (tan )max
h OB
(tan )min
，
h OC
，
h 因为 OB
h OC
，所以 (tan )max
(tan )min ，则 tan
tan
，所以
，
所以 ，故选 D.
【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切
函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.