2019新版考研高数模拟试题(含答案)
2019新版考研高数模拟考试试题(含解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．判定下列曲线的凹凸性：(1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ； 解：23121,0y y x x '''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x .解：2arctan 1x y x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.2．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？ 解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.3．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x+++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===--- (1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.4．试求过点(3，8)且与曲线2y x =相切的直线方程.解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得282(3)y x x y x -=-⎧⎨=⎩ 为(2，4)，(4，16)即为切点.。
2019最新版考研高数模拟测试试题(含解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1) sin d;||aa x x x -⎰ 解：因sin ||x x 为[－a , a ]上的奇函数，故 sin d 0.||a a x x x -=⎰(2)ln(aa x x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰; 解：因为2sin tan 3cos3x x x+为奇函数，故 原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1x x x x x x x ---++-=--⎰⎰ ()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+- π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰. 解：因为3ln3x x +-是奇函数，故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2．求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-= 解得 121,2r r ==-故原方程通解为 212e e .x x y c c -=+(2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r += 解得 1,2r i =±故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x x x t t-+=; 解：特征方程为 2420250r r -+= 解得 1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得 1,22r i =±故原方程通解为 212e (cos sin )x y c x c x =+.(5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++= 解得 122r r ==-故原方程通解为 212e ()x y c c x -=+(6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+= 解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x x y c c =+.3．利用夹逼定理求下列数列的极限:(1)lim[(1)],01;k k n n n k →∞+-<<(2)n 其中11,,,m a a a 为给定的正常数; 1(3)lim(123);(4)nn n n n →∞++。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰. 解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰ 11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444fx f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰2．利用微分求下列各数的近似值：⑴⑵ ln 0.99；⑶ arctan1.02.解：⑴ 113x ≈+，有 112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==，而21()1f x x'=+，则 21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+ 3．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=4．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/2 2.(1)y k y ''=='+6．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ， 故 23/2 1.(1)y k y ''=='+7．一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力.。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和b a 为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和b a为端点的闭区间上, 而 22(0)0,b b y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =; 当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．求下列函数的高阶导数：⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y； ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y ； ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解：⑴e sin e cos e (sin cos )x x xy x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x ''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()i x i i i y C x -==∑22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x xx x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--4．已知()f x ''存在，求22d d y x： ⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =.解：⑴ 22()y xf x ''= 222222()22()2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+ ⑵ ()()f x y f x ''= 22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=5．在括号内填入适当的函数，使等式成立：⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=;⑶ 1d( )d 1x x =+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸d( )x =; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x x x =; ⑻d( )x =. 解：⑴ (sint)cos t '=。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1． 确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =；解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈， 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加， 在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少， 在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =；。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；(2)双纽线r 2 = a 2cos2θ；(3)圆x 2+y 2 = 2ax ．解：(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a =sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰ (3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩ 故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰3． 设212s gt =，求2d d t s t =. 解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==.4．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d y x=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d y x >，曲线是凹的， 当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d y x<，曲线是凸的， 故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ.解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ-<<时，22d 0d y x >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,32a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭及3,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;解：特征方程为 210r +=得 1,2r i =±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+ 令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得 3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-得 10,3A B == 故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++. 将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+. 200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===. 解： 21090r r -+=121,9r r ==对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得 17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x x y c c =-++ 由初始条件可求得 1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x x y =+-.3．通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim ; (2)lim ;1222168(3)lim ; (4)lim ;154n n n x x n n x x x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+-+--+。
2019新版考研高数模拟训练考题(含解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x ⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证： 921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x=++==所以，结论正确.(5)sin(ln)dx x⎰;解：1sin(ln)d sin(ln)cos(ln)dx x x x x x xx=-⋅⋅⎰⎰sin(ln)cos(ln)sin(ln)dx x x x x x=--⎰所以，原式=().sin(ln)cos(ln)2xcx x+-验证：()sin(ln)cos(ln)2xcx x'⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(ln)22sin(ln).xx x x xx xx⎛⎫=+-⋅+⋅⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d(e1)xxxx+⎰;解：原式=1e1d d de1e1e11ee1xx x x xxx xx x x--⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e1xxxc--=-+++验证：22(e1)e e eln(1e)(e1)1e(e1)e1x x x xxx x xxx xxc---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln(7)d(1)xxx+⎰;解：原式=1ln d d ln(.x x x cx=-=-++⎰验证：ln(x c'⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2xx xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.2．求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点.解：()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------3．设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量，当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热，试解答如下问题：⑴ 如何定义在C T ︒时，金属的比热； 解：0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+.4．设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++5．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时.解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=6．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+7．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- .当π2x =时，0,1y y '''==- ， 故 23/21.(1)y k y ''=='+8．设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82.9．验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.证：()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()l n 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x f x x x '===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=.10．下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1, x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩； ⑵ ()1, [0,2] f x x =-； ⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立. ⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件.而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.11．⑴ 证明：不等式ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+在[0，x]上应用拉格朗日定理，则(0,),x ξ∃∈使得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=-即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<，则11x xx x ξ<<++即ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明：11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明：令()nf x x =,在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nb a b n a b na a b ξ----<-<-,即11()().n n n n nba b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明：ln .a b a a ba b b--<< 证明：令()ln f x x =在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1ln ln ()a b a b ξ-=-因为b a ξ<<，所以1111, ()a b a b a b a b a bξξ--<<<-<, 即ln a b a a b a b b--<<. ⑷ 设0x >证明：112x +>证明：令()f x =[0,]x x ∈,应用拉格朗日定理，有()(0)()(0), (0,)f x f f x x ξξ'-=-∈ ()()(0)f x f x f ξ'=⋅+112x=+<+即112x +>12．利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin 22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==(7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=13．求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=-， 不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ-<<时，22d 0d y x >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y的拐点，且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.14．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim elim elim ee e x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦15．计算下列积分（n 为正整数）： （1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=-可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-16．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰17．设星形线的参数方程为x =a cos 3t ，y =a sin 3t ，a >0求d) 星形线所围面积；e) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积； f) 星形线的全长．解：(1)D =4⎠⎛0ay d x =4⎠⎜⎛π2a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2⎠⎜⎛0π2sin 4t cos 2t d t=12a 2⎠⎜⎛0π2()sin 4t−sin 6t d t =38πa 2． (2)V x =2π⎠⎛0a y 2d x =2π⎠⎜⎛π2()a sin 3t 2d ()a cos 3t=6πa 3⎠⎜⎛0π2 sin 7t cos 2t d t=32105πa 3(3)x t ′=-3a cos 2t sin t y t ′=3a sin 2t cos t x t ′2+y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ，利用曲线的对称性，l =4⎠⎜⎛0π2x t ′2+ y t ′2d t =4⎠⎜⎛π2 3a sin 2t cos 2t d t=12a ⎠⎜⎛0π214sin 22t d t =6a ⎠⎜⎛0π2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π2=6a ．18．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x=解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰19．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑20．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xy D M s z s x y x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π222122225322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰21．求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >. 证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-,于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略3．写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.1(2)cosπ2n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=. 综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.5．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1) sin ,0;y x x ==解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x+++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导.(2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x xx ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)limlim 00x x x f x f x y x x→→-'===-,故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-===11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.6．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x xxf xf-+'===-'==故(f'不存在.又20,(xx xff x-+'=='==+=故f'不存在.综上所述知0,()2,xf xx x⎧<⎪'=⎨>⎪⎩7．求下列函数的导数：⑴3e xy=; ⑵2arctany x=;⑶y=; ⑷2(1)ln(y x x=+⋅;⑸221siny xx=⋅；⑹23cosy ax=（a为常数）；⑺1arccosyx=；⑻2(arcsin)2xy=；⑼y=; ⑽sin cosny x nx=⋅；⑾y=⑿arcsiny=；⒀ln cosarctan(sinh)y x=；⒁2arcsin (02a xy aa=>为常数）.解：⑴33e xy'=;⑵421xyx'=+;⑶2y'==;⑷22ln((1)(1 y x x x'=⋅++++2ln(x x=;⑸ 22231122sincos ()y x x x x x '=+⋅- 221212sincosx x x x =-； ⑹ 3322cos (sin )3y ax ax ax '=⋅-⋅233sin 2ax ax =-； ⑺21()y x '=-=⑻12arcsin22x y '=2arcsinx=⑼12ln y x x '=⋅=; ⑽ 11sin cos cos sin (sin )sin cos(1)n n n y n x x nx x nx n n x n x --'=⋅+-⋅=⋅+；⑾y '==⑿2(1)(1)(1)x x y x -+--'==+⒀ 211[sin arctan(sinh )]cosh tanh cos arctan(sinh )1(sinh )y x x x x x '=⋅-⋅⋅=-+； ⒁21(2)2x y x a '=-=.8．若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x xy f x='=⋅-'===9．求下列隐函数的导数：⑴ 3330x y axy +-=； ⑵ ln()x y xy =； ⑶ e e 10yxx y -=； ⑷ 22ln()2arctan y x y x+=； ⑸ ex y xy +=解：⑴ 两边求导，得：2233330x y y ay axy ''+⋅--=解得 22ay x y y ax-'=-.⑵ 两边求导，得：11ln()()y xy y y xy xy''=+⋅+ 解得 (ln ln 1)x yy x x y -'=++.⑶ 两边求导，得：e e e e 0y y x x x y y y ''+⋅++=解得 e e =e e y xy xy y x +'-+.⑷ 两边求导，得：222211(22)21()y x yx yy y x y x x'-'⋅+=⋅⋅++ 解得 =x yy x y+'-.⑸ 两边求导，得：e (1)x y y xy y +''+=+解得 e =e x y x yyy x ++-'-.10．设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩ 可导，且导函数连续.证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g xg x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''== 故 ()g x 是可导的，且导函数为 2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x→→'-'= 000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.11．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=12．没1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x- 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++13．设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？ 解：因弹性的经济意义为：当自变量x 变动1%，则其函数值将变动%Ey Ex ⎛⎫⎪⎝⎭. 故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.14．下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.15．判定下列曲线的凹凸性： (1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y x x '''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1xy x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.16．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.17．利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰2d (3)21xx -⎰; 解：原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰21ln (8)d (ln )xx x x +⎰; 解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e 5x c --+.d (12)12xx-⎰; 解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)x ⎰;解：原式=ln .c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x ==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)⎰解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰arcsin .xa c a=⋅ d (23)e e x xx-+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )x x x c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26)⎰;解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式23(2.3x c x-=+(27)d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=++(28);x 解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =.(30).解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② － ① = ln |sin t +cos t | + c 2 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰18．计算下列积分：4(1)x ⎰;333211221313d.36222t t tt⎛⎫⎛⎫==++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e1(2)⎰解：原式=221e211).(1ln)d(1ln)x x-=++=⎰1(3)解：原式=211112⎛⎫+⎪-==π4sin(4)d1sinxxx+⎰;解：原式=πππ244422000sin(1sin)sind d tan dcos cosx xx x x xx x-=-⎰⎰⎰π4π12.tan4cosx xx⎛⎫==+-+⎪⎝⎭ln3ln2d(5)e ex xx--⎰;解：原式=ln3ln32ln2ln2de113e1ln ln.(e)1222e1x xx x-==-+⎰π(6)x⎰;解：原式=πππ2π0002d cos d cos dcosx x x x x xx==-⎰⎰ππ2π02x x==(7)x⎰;解：原式=π33π222π002d sin d sin sin d sinx x x x xx=-⎰⎰⎰ππ55222π2422.sin sin555x x=-=231(8)ln dx x x⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解：ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d x xx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.120ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解：原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333xx x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰322d (11)2xx x +-⎰;解：原式=3322111111d ln ln 2ln5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰; 解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭212(14)e d t t t -⎰;解：原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰19．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=1120+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰20． 求半径为R ，高为h 的球冠的表面积． 解：D =2π⎠⎛R -hR x 1+x ′2d y=2π⎠⎜⎜⎛arc sin R -hRπ2R cos θ()R cos θ′2+()R sin θ′2d θ=2π⎠⎜⎜⎛arc sin R -hR π2R 2cos θd θ=2πR 2[]sin θπ2arc sinR -h R=2πRh ．21．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。