2019新版考研高数模拟试题(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：__________ 考号：__________

一、解答题

1．如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：

()()

f b f a >. 证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ?∈<<，使得()()()0f x f a f x a

ξ''-''=>-, 于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >

2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).

证明：略

3．写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:

1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456

357----

解: 1(1),1

n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.

21(3)(1)21

n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.

证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ?<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.

综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.

5．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:

(1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0

lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,

0,x x y x x x ?≠?==??=? 解：因为201lim sin 0(0),x x y x

→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-, 故函数在0x =处可导.

(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤?==?->?

解：因为

1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x +

+--

→→→→=-=== 11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-

→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 11

1x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111

x x f x f x f x x +++→→---'===--- (1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.

6．已知2

()max{,3}f x x =，求()f x '.

解：23, (), x f x x x ?≤?=?>??

当x <时，()0f x '=,

当x >时，()2f x x '=,