2019最新考研高数模拟考试试题(含标准答案)
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________
考号：__________
一、解答题
1．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π
3
x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解：f (x )为可导函数，故在π
3
x =
处取得极值，必有 π3
π
0()(cos cos3)3x f a x x =
'==+，得a =2. 又
π3
π
0()(2sin 3sin 3)
3
x f x x =''=<=--，
所以π3x =
是极大值点，极大值为π
()3
f =
2．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r
=-
+构成力场，其中k 为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为． 33d d L
k k W x x y y r r =-
-⎰ 其中3kx P r =-，3ky
Q r
=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且
53(0)P kxy
Q x y r x
∂∂==>∂∂ 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．
3．已知2
()max{,3}f x x =，求(
)f x '.
解：
23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
当x <时，()0f x '=, 当x >时，()2f x x '=,
2
((
(0,
x x
x
f x
f
-
+
'===-
'==
故(
f'不存在.
又
2
0,
(
x
x x
f
f x
-
+
'==
'==+=
故f'不存在.
综上所述知
0,
()
2,
x
f x
x x
⎧<
⎪
'=⎨
>
⎪⎩
4．证明：双曲线2
xy a
=上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2
2a.
证明：在双曲线上任取一点
00
(,),
M x y
则
222
22
,,
x
a a a
y y y
x x x
=
''
==-=-，
则过M点的切线方程为：
2
00
2
()
a
y y x x
x
-=--
令
22
000
000
22
02
x y x a
y x x x x
a a
=⇒=+=+=
得切线与x轴的交点为
(2,0)
x，
令
2
00
000
00
02
x y
a
x y y y y
x x
=⇒=+=+=
得切线与y轴的交点为
(0,2)
y，
故2
0000
1
2222.
2
S x y x y a
===
5．已知
e sin,
e cos,
t
t
x t
y t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
求当
π
3
t=时
d
d
y
x
的值.
解：
d
d e cos e sin cos sin
d
d
d e sin e cos sin cos
d
t t
t t
y
y t t t t
t
x
x t t t t
t
--
===
++
π3
ππcos sin
d 332ππd sin cos 33
t y x =
-=
=+.
6．求n 次多项式11
01n
n n n y a x a x a x a --=++
++的n 阶导数.
解： 1()
()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y
a x a x a x a a x a n --=++++⋅
7．求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d y
x
：
⑴ 2
2
2
2
22
b x a y a b +=； ⑵ 1e y
y x =+； ⑶ tan()y x y =+； ⑷ 2
4
2ln y y x +=. 解：⑴ 两边对x 求导，得
22220b x a yy '+=
224
222
23b x b y xy b y y a y a y a y
'-'''⇒=-⇒=-⋅=-. ⑵ 两边对x 求导，得
e e y y y x y ''=+
22
3
e e (2)e ()e (3)
2(2)(2)y y y y y y y y y y y y y ''----'''⇒=⇒==---. ⑶ 两边对x 求导，得
2sec ()(1)y x y y ''=++
2321cot ()
2cot()cot()csc()(1)2cot ()csc ().
y x y y x y x y x y y y x y x y '⇒=--+'''⇒=+⋅+⋅+⋅+''⇒=-+⋅+ ⑷ 两边对x 求导，得
32
24yy y x y
''+
⋅= 3
2
322322
2224223
21(223)(1)22(1)2[3(1)2(1)]
.
(1)yx y y y x y x y yx yy y y x y y x y y '⇒=
+''
+⋅+-⋅''⇒=+++-=+
8．设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：