2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第9讲 对数与对数函数
1 令 log2x＝t，因为 x∈[ 2，8]，所以 t∈[2，3]， 32 1 所以 y＝t －3t＋2＝(t－2) －4，
2
3 3 1 当 t＝2时，即 log2x＝2，x＝2 2时，[f(x)]min＝－4； 当 t＝3，即 log2x＝3，当 x＝8 时，[f(x)]max＝2.
1．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的 对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化 为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较． 2．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用 配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函 数的常见题型． 3．解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉 对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原 则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论．
三
有关对数函数的综合问题
1－ax 【例 3】(2011· 长沙模拟)设 f(x)＝log 为奇函数，a x－1 2
1
为常数． (1)求 a 的值； 1x (2)若对于[3,4]上的每一个 x 的值，不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【解析】(1)因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x) 1 1＋ax 11－ax 1＋ax x－1 ⇒log2 ＝－log2 ⇔ ＝ >0 －x－1 x－1 －x－1 1－ax ⇔1－a2x2＝1－x2⇒a＝± 1. 经检验，a＝－1(a＝1 舍去)．
【解析】(1)由已知，y＝g(x)与 y＝ax 互为反函数， 所以 g(x)＝logax(a>0，且 a≠1)， 所以 f(x)＝loga(x－1)． (2)因为 f(x)＝loga(x－1)在[3，＋∞)上总有 f(x)>1， 即 loga(x－1)>1.
所以当 a>1 时，a<x－1 在[3，＋∞)上恒成立， 所以 1<a<2； 又若 0<a<1，则 loga(x－1)>1 在[3，＋∞)上不可能 恒成立． 综上可得，a 的取值范围是(1,2)．
【解析】 只有③⑤⑥正确，故选 B.
2.已知 loga2＝m，loga3＝n，则 a2m n＝ 12 .
＋
【解析】因为 loga2＝m，loga3＝n，所以 am＝2，an＝3， 所以 a
2m＋n
＝(am)2·n＝22×3＝12. a
1 1 3.计算：(lg4－lg25)÷ 100－2＝ －20 .
素材3
已知函数 y＝g(x)的图象与函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图 象关于直线 y＝x 对称，又将 y＝g(x)的图象向右平移 1 个单位 长度所得图象的解析式为 y＝f(x)，且 y＝f(x)在[3，＋∞)上总 有 f(x)>1. (1)求 f(x)的表达式； (2)求实数 a 的取值范围．
理解对数的概念及其运算性质；了解对数 换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常 用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性 质，会画对数函数的图象；了解指数函数与对 数函数互为反函数．
1．对数
1 一般的，如果a x N (a 0且a 1)，那么数x叫做
① _______ ，记作② _____ ，其中a叫做对数的 ③ _____ ，N叫做④ __________ .
1x (2)对于[3,4]上的每一个 x 的值，不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成 1x 立⇔f(x)－(2) >m 恒成立． 1x 1 2 1x 令 g(x)＝f(x)－(2) ＝log2(1＋ )－(2) ， x－1 g(x)在[3,4]上是单调递增函数， 9 9 所以 m<g(3)＝－8，即 m 的取值范围是(－∞，－8)．
，解得 x＝ 2－1.
【点评】解决与对数有关问题，首先要看对数函数定义 域，复合函数 y＝logaf(x)的单调区间也是 y＝f(x)的单调区 间． 研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解 题的突破口．
素材2
1 1 1 (1)已知 log2a<log2b<log2c，则 2a,2b,2c 三个数从 小到大的排列是 2c<2b<2a . (2)若函数 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数， 则 a 的取值范围是 (1,2) .
⑪ ______ ；② log a
0，N 0，那么① log a M N
M ⑫ ______ ；③ log a M n ⑬ ______ . N 2 对数的换底公式及恒等式 ① log a b log c b (a 0且a 1，c 0且c 1，b 0)； log c a
1 【解析】原式＝－(lg4＋lg25)×1002＝－lg100×10 ＝－2×10＝－20.
4.若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反 函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝ log2x .
【解析】因为 y＝ax 的反函数为 y＝f(x)＝logax， 又 f(2)＝1，loga2＝1，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x.
2lg3 3 【解析】(2)因为 log89＝a，所以 a＝3lg2，lg3＝2alg2. lg5 1－lg2 1 又 2 ＝5，所以 b＝log25＝lg2＝ lg2 ＝lg2－1，lg2＝
b
1 3a ，所以 lg3＝ . b＋1 2b＋1
二
对数函数的图象与性质问题
x2 【例 2】已知 f(x2－1)＝loga 2(a>0，且 a≠1)． 2－x (1)求 f(x)的解析式，并判断 f(x)的奇偶性； (2)判断函数的单调性； 1 (3)解关于 x 的方程 f(x)＝logax.
一
有关对数及对数函数的运算问题
x≥4 x<4
1x 【例 1】 (1)设函数 f(x)＝ 2 fx＋1
a b
， f(log23)＝_______； 则
2 1 (2)设 3 ＝4 ＝36，则a＋b＝__________； (3)计算： 1 lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 ) ＋lg6＋lg0.06＋52log53.
【要点指南】
1.若 a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式： ①(logax)n＝nlogax; ②(logax)n＝logaxn； 1 1 n ③logax＝－logax； ④ logax＝nlogax； x－y x＋y logax n ⑤ n ＝loga x； ⑥loga ＝－loga . x＋y x－y 其中正确的个数有( A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 )
②a log a N N (a 0且a 1)； ③ log a n b m log a b( a 0且a 1，m、n N* )．
3．对数函数 一般的，我们把函数⑭ __________ (a 0且a 1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域为⑮ _____ .
1 1 1 1 【解析】(1)因为 log2a<log2b<log2c，又 y＝log2x 是减 函数， 所以 a>b>c>0，而 y＝2x 为增函数，所以 2a>2b>2c. (2)因为 a>0，且 a≠1，所以 t＝2－ax 在(0,1]上为减函 数，且 t>0， 所以 2－a>0，即 a<2， 又 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数， 所以 y＝logat 是增函数，所以 a>1， 故 1<a<2，即 a 的取值范围是(1,2)．
素材1
2 (1)计算：lg5 ＋3lg8＋lg5· lg20＋(lg2)2＝ 3 ；
2
3a (2)已知 log89＝a,2 ＝5，则 lg3＝ (用 a，b 2b＋1
b
表示)．
【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5· lg2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＝2＋1＝3.
5.已知函数 f(x)＝
1 ， 则函数 f(x)的定义域是( ) 1 log22x＋1 1 B．(－2，0] D．(0，＋∞)
1 A．(－2，0) 1 C．(－2，＋∞)
1 1 【解析】由 log2(2x＋1)>0＝log21，得 0<2x＋1<1， 1 所以－1<2x<0，所以－2<x<0， 1 所以 f(x)的定义域为(－2，0)，故选 A.
1＋x1 1＋x2 (ⅱ)当 0<a<1 时，loga >loga ， 1－x1 1－x2 即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在(－1,1)上是减函数．
1＋x 1 (3)由(1)可知，loga ＝logax， 1－x
1＋x 1 ＝x 1－x 所以 －1<x<1 x>0
x2＋2x－1＝0 ⇒ 0<x<1
(2)设－1<x1<x2<1，则 1－x1>1－x2>0， 2 2 所以 < ， 1－x1 1－x2 1＋x1 2 1＋x2 2 ＝－1＋ < ＝－1＋ . 1－x1 1－x1 1－x2 1－x2 1＋x1 1＋x2 (ⅰ)当 a>1 时，loga <loga ， 1－x1 1－x2 即 f(x1)<f(x2)，故 f(x)在(－1,1)上是增函数；
2 以10为底的对数叫做⑤ _______ ，记作⑥ ______. 3以e为底的对数叫做⑦ ________ ，记作⑧ ______. log log 4 负数和零没有对数； a 1 ⑨ ____ ， a a ⑩ ____ .
2．对数的运算性求解解析式，用定义判断奇偶性， 证明单调性；解不等式时，注意函数的单调性．
【解析】(1)令 x2－1＝t，则 x2＝t＋1， 1＋t x2 2 所以 f(t)＝loga ，又 2>0，所以 0<x <2， 1－t 2－x 所以 0<t＋1<2，即－1<t<1， 1＋x 故 f(x)＝loga (－1<x<1)． 1－x 1－x 1＋x －1 而 f(－x)＝loga ＝loga( ) 1＋x 1－x 1＋x ＝－loga ＝－f(x)， 1－x 故 f(x)是奇函数．
2.6对数与对数函数(一轮复习)
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第 8页
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基 础 分 层 导 学
考点 4
反函数
ax
lg 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝ o
(a＞0 且
a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
[双基夯实]
真 题 演 练 集 训
1 ( .) 1 A. 2
[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( B ) B．1 D．100
题 型 重 点 研 讨
C．10
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第12页
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基 础 分 层 导 学
( 2 ) [教材习题改编]( o lg 1 A. 4 C．2 1 B. 2
o ( l ) · g 29
34)＝(
D )
D．4
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第13页
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基 础 分 层 导 学
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题 型 重 点 研 讨
必考部分
真 题 演 练 集 训
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第二章 §2.6
第 1页
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题 型 重 点 研 讨
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考数学一轮复习第二章函数第六节对数与对数函数课件文
13036810=t(t>0),
∴3361=t·1080,∴361lg 3=lg t+80,
∴361×0.48=lg t+80,∴lg t=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.
故选D.
栏目索引
1-2 设2a=5b=m,且 1 + 1 =2,则m=
ab
答案 10
10 .
解析 ∵2a=5b=m>0,
栏目索引
考点突破
答案 (1)A (2)A
解析
(1)由题意知x1=lo g1 2<0,x2= 212
3
= 2 ∈(0,1), 2
对于x3,满足
1 3
x3
=log3x3,画出y=
1 3
x
与y=log3x的图象(图略)可知x3>1,因
此,三者之间的大小关系为x1<x2<x3.
log log
2
1 2x, x (Fra bibliotekx), x 0.
0,
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
( C )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
栏目索引
考点突破
答案 C 解法一:①若a>0,则-a<0,
(2)a=log46,b=log40.2,
c=log23= log43 = log43 =2log43=log49, log4 2 log4 4
∵9>6>0.2,∴log49>log46>log40.2,
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
高考数学全程一轮复习第二章函数第七节对数与对数函数课件
因为m>0，所以m＝6.
y
(2)计算：log23·log34＋(lg
解析：log23·log34＋(lg
5)2＋lg
5)2＋lg
5·lg
1
20＋ lg
2
lg 3 lg 4
1
· ＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋ lg 24－3
lg 2 lg 3
2
2 lg 2
＝
＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
由图象可知0<a<1<b<10<c<12，
由f(a)＝f(b)得|lg a|＝|lg b|，
即－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，则ab＝1，
∴abc＝c，10<c<12，
∴abc的取值范围是(10，12)．
，若a、b、
)
答案：C
题后师说
与对数函数图象有关问题的解题策略
巩固训练2
(1)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过(
∴0<a<1，
a+1>1
∴loga(a＋1)<loga(2 a)<0＝loga1，∴ቊ
，
2 a>1
1
4
解得 <a<1.
1
4
∴实数a的取值范围是( ，1)．
角度三 对数函数的性质及应用
例5 [2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，
(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
3．(教材改编)函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
－ －
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
浙江新人教版2013届高三数学一轮复习教案对数与对数函数1
教材分析：对数函数放在指数函数之后学习，它是指数函数的反函数，与指数函数关系密切。
对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。
主要考察利用对数函数的性质比较数值大小，求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。
学情分析：对数函数是指数函数的反函数，在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系，在此基础上研究对数的相关性质。
由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念、性质为主，为接下来对数函数性质的学习做铺垫。
教学目标：1. 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2. 理解和掌握对数的性质；3. 掌握对数式与指数式的关系.教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质教学难点：推导对数性质。
教学过程：一、知识梳理：1、对数的概念一般地，若错误!未找到引用源。
，那么数错误!未找到引用源。
叫做以a为底N的对数，记作错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：错误!未找到引用源。
，读作2是以4为底，16的对数.错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，读作错误!未找到引用源。
是以4为底2的对数.提问：你们还能指出一些对数的例子吗？2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1（2）错误!未找到引用源。
指数式错误!未找到引用源。
对数式幂底数←错误!未找到引用源。
→对数底数指数←错误!未找到引用源。
→对数幂←N→真数说明：对数式错误!未找到引用源。
可看作一记号，表示底为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1），幂为N的指数表示方程错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
高考数学一轮总复习第二章函数 5对数函数课件
2.5 对数函数
1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数
函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
2.知道对数函数 = log 与指数函数 = 互为反函数( > 0，且 ≠ 1).
【教材梳理】
1.对数函数
= log
≠ 1)的图象一定相交，且交点必在直线 = 上.
( ×)
2.若函数 = log 2 + 1 的定义域是[0,1]，则函数 的值域为(
A.[0,1]
√
B. 0,1
C.(−∞, 1]
)
D.[1, +∞)
解：由题意，知 在[0,1]上单调递增.又 0 = 0， 1 = 1，所以 ∈ [0,1].故选A.
1
4
< < 4.
1
故的取值范围是( ,4).故选C.
4
命题角度3 综合应用
例4 已知函数 = 2log 4 − 2
log 4 +
（1）当 ∈ [1,16]时，求 的值域；
（2）求不等式 > 2的解集.
1
2
.
解：（1）令 = log 4 ，当 ∈ [1,16]时， ∈ [0,2].
3
0,
4
∪ 1, +∞ ．
【点拨】 在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的
单调性.在利用单调性时，一定要明确底数的取值对函数增减性的影响，同时注意真
数必须为正.
变式3（1） 若log 2 + 1 < log 2 < 0，则的取值范围是(
A. 0,1
1
高考数学一轮复习 第9讲 对数与对数函数课件 理 (浙江专)
x≥4 ，则 f(log23)＝_______；
fx＋1 x<4
(2)设 3a＝4b＝36，则a2＋1b＝__________；
(3)计算：
lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 3)2＋lg16＋lg0.06＋52log53.
素材1
(1)计算：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝ 3 ；
备选例题
已知 2x≤256，且 log2x≥12，求函数 f(x)＝log22x·log
2
x 2
的最大值和最小值．
(2)已知 log89＝a,2b＝5，则 lg3＝
3a 2b＋1Leabharlann (用 a，b表示)．
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
二 对数函数的图象与性质问题
【例 2】已知 f(x2－1)＝loga2－x2x2(a>0，且 a≠1)． (1)求 f(x)的解析式，并判断 f(x)的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)解关于 x 的方程 f(x)＝loga1x.
高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
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第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
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第十一页，共四十五页。
2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
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第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．