浙江省东阳中学2020届高三上学期开学考试数学试题和答案
东阳中学2019年下学期暑假检测卷
（高三数学）
命题：史静晓 审题：史静晓
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}{}|02,|1A x x B x x =<<=<，则A
B = （ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(1,2)-
2．椭圆2219
x y +=的长轴长为 （ ）
A ．2
B ． 3
C ．
D ． 6 3．设0,0a b >>，则“1a b ->”是“221a b ->”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线．
①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥；②若//,//,l m m n l α⊥，则n α⊥； ③若//,,l m m n αα⊥⊥，则//n l ； ④若,,m n l n αα⊂⊥⊥，则//l m ． 则上述命题正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 5．把函数sin ()y x x R =∈ 的图象上所有点向左平移
6
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）
A B
C D
6．若22a a ->（0a >且1a ≠），则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若不等式组13220x y x y λλ≤⎧⎪
≤⎨⎪-+-≥⎩
表示的平面区域经过四个象限，则实数λ 的取值范围是
（ ）
A ．(,2]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[1,2)-
D ． (1,)+∞
8．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别记为,,αβγ 则（ ）
A ．αβγ==
B ．αβγ<<
C ．αβγ>>
D ． 以上都不正确 9．已知32()21f x x x ax =+-+在(1,1)-上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4(,)3-+∞
B ．(1,7]-
C ．[1,7)-
D ． 4
(,1][7,)3
--+∞
10． 若存在实数a, b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是 （ ） A ．2e B ． 4 C ． e D ． 2
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x
轴的非负半轴重合，终边过点
(1)P -，则tan α= ，cos sin()2
π
αα+-= ．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．
13．已知数列{}n a 是等差数列，公差d 不为零，若237,,a a a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．
14．已知直线280x my +-=与圆22:()4C x m y -+=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则m = ．
15．已知P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，A
为其左顶点，F 为其右
焦点，满足||||AF PF =，3
PFA π
∠=
，则点F 到直线PA 的距离为 ．
16．已知函数221,0()log ,0
⎧-≤=⎨>⎩x x f x x x ，则1
(())2=f f ____________，若(())[1,0]∈-f f t ，
则所有符合条件的t 组成的集合为________________________．
17．已知向量,,a b c 满足||1,||||,()()0a a b b a c b c =-=--=，若对每一确定的b ，||c
的最
大值和最小值分别为,m n ，则对任意b ，m n -的最小值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在 ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别是a , b , c ，且满足：2222()sin sin b c a C c B +-=． （1）求角 A 的大小；
（2）若1a = ，求b c +的最大值．
19．如图，多面体P —ABCD ，平面ABCD ⊥平面PBC ，DC BC ⊥，//DA BC ，90BCP ∠= ，M 是AP 的中点，N 是DP 上的点．
（1）若MN //平面PBC ，证明：N 是DP 的中点；
（2）若3CB CD CP ===，1AD =，求二面角A BP C --的平面角的余弦值．
20． 数列{}n a 满足11a =，
1
1n a +=，记22
2
12n n S a a a =+++，若2130
n n t
S S +-≤
，对任意的n *()n N ∈恒成立．
（1）求数列2
{}n
a 的通项公式；
（2）求正整数t 的最小值．
21．已知抛物线2:2(0)L y px p =>的焦点为F ，过点(5,0)M 的动直线l 与抛物线L 交于A ，
B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点
C ，AC 的最小值为4.
（1）求抛物线L 的方程；
（2）记ABC ∆、AFM ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S ×的最小值.
22．已知函数2()ln 2()f x x x mx m R =+-∈．
（1）若函数()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的最大值；
（2）若存在正实数对(,)a b ，使得当()()1f a f b -=时，1a b -=能成立，求实数m 的取值范围．
参考答案：
1~10 ADABA CDCCB
11，0 12．3
2
π，5+2
π13．2,1
3
-14．2或14 15．
15
2
16．0，
1
[[1,0][,1][2,2]
2
-17．
1
2
18．
19．
20．
21．解：（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得p AC 2||min =＝4
∴2=p
∴抛物线L 的方程为x y 42=. 5分
（Ⅱ）设直线5:+=ty x AB ，1:+=my x AC
),(),,(),,(332211y x C y x B y x A
由⇒⎩⎨⎧=+=x
y ty x 45202042=--ty y 20,42121-==+⇒y y t y y 同理可得431-=y y ，从而)4,4(
1
21y y C -， 9分 点C 到AB 的距离|416
|
111|544|
21
2
2
1
21++=
+-+=
y t t y t y d |20|1||1||1
12212y y t y y t AB +
+=-+= ∴)20)(14(||2|20||14|
22
12
111121
1++⋅=+⋅+=y y y y y y S 又||42
1
12y S ⨯⨯=
=||21y 13分 ∴21S S ⋅=4)20)(14(
2121++y y =)2480(421
2
1++y y 53296)2458(4+=+≥ 当且仅当542
=y ，即)52,5(4±A 时21S S ⋅有最小值53296+. 15分 22．。
浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期10月阶段考试数学试题
浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期10月阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1,0,1,4,5}A =-，{2,3,4}B =，{02}C x R x =∈<<∣，则()AC B =（ ） A ．{4}B ．{2,3}C ．{1,2,3,5}-D ．{1,2,3,4}2．已知复数3i z =+（i 为虚数单位），则2z =（ ） A ．106i -B ．106i +C ．86i -D ．86i +3．已知x 是实数，则“45x x+>”是“4x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若实数x ，y 满足条件2000x y x y x +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-（ ）A ．有最小值，无最大值B ．有最小值，有最大值C ．无最小值，有最大值D ．无最小值，无最大值5．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（ ） A ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 6．在同一个直角坐标系中，函数a y x =，log a y x b =+（0a >且1a ≠）的图象如图，则a ，b 的取值可能是（ ）A ．1,1a b >>B ．01,01a b <<<<C ．01,1a b <<>D ．1,01a b ><<7．已知函数()f x 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ⋅⋅⋅则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．10B ．10-C ．5D ．208．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个D ．12个9．已知x ∈R ，若函数()2f x x x a =--有4个零点，则方程210ax x ++=的实数根个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与a 的取值有关10．设函数2,11()2,11x k x x f x kx x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，2()g x kx bx c =++，,,k b c 为实数，则（ ）A ．若[()]f g x 的值域为[0,)+∞，则13k ≤-；B ．若[()]f g x 的值域为[1,)-+∞，则0k ≥；C ．若1k，则[()]f g x 的值域可能为[0,)+∞；D ．若0k ≤，则[()]f g x 的值域可能为(,0]-∞.二、双空题11．已知函数2log ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；若1()2f x =，则x =______.12．在62123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式的中，常数项是________，其二项式系数之和为________. 13．已知函数2()(3)1f x ax a x =+-+.若()f x 在区间上[1,)-+∞递减，则实数a 的取值范围是_________；若函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值为2，则a 的值为__________.三、填空题14．有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本，现随机拿出2本.两本书不同类的概率为__________.15．把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______(用数字作答)．16．已知实数0,0a b >>，且1112a b+=，则89211a ba b +--的最小值为__________. 17．若函数()xx af x e e=+在区间(0,1)上存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题18．已知函数()sin (sin )f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，122PA PB AD CD BC =====，//AD BC ，AD CD ⊥，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB CE ⊥；（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值.20．等差数列{}n a 满足13a =，21a +，51a +，95a +成等比数列，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列1n n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明1n T <.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.22．已知函数2()ln ()2af x a x x ax a R =+-+∈. （Ⅰ）当9a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值点1x 与极小值点2x，当21x x -≥时，有()()12(3ln6)f x f x λ+≤-恒成立，求实数λ的取值范围.。
浙江省名校协作体2020年上学期高三开学数学考试试题
浙江省名校协作体2020年上学期高三开学数学考试试题考生注意:1.本卷满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效。
4.考试结束后,只需上交答题卷。
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,2},B={1,2,4},则A∪B为A.{2}B.{2,4}C.{0,1,2,4}D.{0,2,4}2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,则该双曲线的离心率是A.B.C.D.3.已知两个不重合的平面α,β,若直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.元朝《洋明算法》记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌:尖堆法用三十六,倚壁须分十八停.内角聚时如九一,外角三九甚分明.每一句表达一种形式的堆积公式,比如其中第二句的意思:粮食靠墙堆积成半圆锥体,其体积为底面半圆弧长的平方乘以高,再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆,其三视图如图所示,则按照古诗中的算法,其体积近似值是(取π≈3)A.2B.4C.8D.165.若实数x,y满足不等式组则z=x-2y的最小值是A.-3B.-2C.-1D.06.已知函数f(x)的局部图象如图所示,则f(x)的解析式可以是A.f(x)=·sin xB.f(x)=·cos xC.f(x)=ln·sin xD.f(x)=ln·cos x7.若实数x,y,z满足记P=xy+yz+xz+y2,Q=x+2y+z,则P与Q的大小关系是A.P<QB.P>QC.P=QD.不确定8.如图所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=3AA1=A1B1=3,记侧面ABB1A1与底面ABC,侧面ABB1A1与侧面BCC1B1,以及侧面ABB1A1与截面A1BC所成的锐二面角的平面角分别为α,β,γ,则A.γ<β=αB.β=α<γC.β<α<γD.α<β<γ9.已知函数f(x)=若函数y=f(x)+a恰有两个零点x1,x2,则|x1-x2|的取值范围是A.[,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(1,]10.已知数集S={a1,a2,a3,…,a n}(1≤a1<a2<…<a n,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j∈S或∈S成立,则A.若n=3,则a1,a2,a3成等差数列B.若n=4,则a1,a2,a3,a4成等比数列C.若n=5,则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列D.若n=7,则a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7成等比数列二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知复数z满足(1+i)z=3+i(i为虚数单位),则复数z的虚部是▲,=▲.12.已知直线l:y=kx,圆C:(x-1)2+(y-)2=4,若圆C上存在两点关于直线l对称,则k=▲;若直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2,则直线l的倾斜角α=▲.13.已知等比数列的前n项和S n=2n-a,n∈N*,则a=▲,设数列的前n项和为T n,若T n>2n+λ对n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围为▲.14.如图所示,在平面四边形ABCD中,AC⊥CD,∠CAB=45°,AB=2,BC=3,则cos∠ACB=▲,若DC=2,则BD=▲.15.已知点P是椭圆+x2=1上任一点,设点P到两直线2x±y=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为▲.16.设a,b∈R,函数f(x)=x4-x3+ax+b在x∈[0,+∞)上的最小值为0,当a+b取到最小值时,ab=▲.17.若平面向量a,b满足=1,2b2+1=3a·b,则+的最大值为▲.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2sin x cos x+2cos2x.(Ⅰ)求f(x)在[0,]上的值域;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x+θ)-1(θ∈[-,])为奇函数,求θ的值.19.(本小题满分15分)如图所示,在三棱柱BCD-B1C1D1与四棱锥A-BB1D1D的组合体中,已知BB1⊥平面BCD,四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,AB=2,BB1=1.(Ⅰ)设O是线段BD的中点,求证:C1O∥平面AB1D1;(Ⅱ)求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值.20.(本小题满分15分)已知等差数列与正项等比数列满足b1=-a2=2,且a5既是b3-a3和b1-a1的等差中项,又是其等比中项.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)记c n=a n·b n,n∈N*,求数列的前n项和S n,并求S n取得最小值时n的值.21.(本小题满分15分)如图所示,过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的直线l1,l2,l1交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),l2交抛物线于C,D两点,交其准线于点N.(Ⅰ)设AB的中点为M,求证:MN垂直于y轴;(Ⅱ)若直线AN与x轴交于Q,求△AQB面积的最小值.22.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ln(x+2a)-a(2x-1)(a≥0).(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)当a>时,x0是函数y=f(x)最小的零点,求证:函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减.(注:ln3<1.1)。
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三(上)期中数学试卷试题及解析
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，则()(A B C = )A ．{1}-B ．{1-，2}-C ．{1-，2-，0}D ．{2-，1-，0，2，4}2．设(1iz i i=-为虚数单位），则1(||z = )A B C ．12D ．23．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若m α⊥，//m β，则//αβ C ．若m α⊥，//n α，则//m n D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n4．252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．805．已知a c <，随机变量ξ，η的分布列分别如下：则下列结论成立的是( ) A ．()()E E ξη>，()()D D ξη> B ．()()E E ξη>，()()D D ξη=C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη<，()()D D ξη=6．已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的最大值是( )A ．1B ．32C D ．27．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是( ) A ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈C ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ D ．[,],2k k k Z πππ-∈8．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,n n n n n nn b a bc a a b ⎧=⎨>⎩…，若在数列{}n ð中，5n c …ð对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．54k --剟 B ．43k --剟 C ．53k --剟 D ．4k =-9．已知()f x 是定义在R 上的函数，若方程(())f f x x =有且仅有一个实数根，则()f x 的解析式可能是( ) A ．()|21|f x x =-B ．()x f x e =C ．2()1f x x x =++D ．()sin f x x =10．已知P ，Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=、圆22:(4)1D x y +-=上的动点，O 是坐标原点，则|||PQ PO 的最小值是( ) A．B．1- C．D．1-二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3x y +的最大值为 ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 ．13．若A ，B 为锐角，且4A B π+=，则44log (1tan )log (1tan )A B +++= ．14．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e =，当此三角形的面积是，则2b = ． 15．若正数x ，y 满足121x y +=，则412x yx y +--的最小值为 ． 16．已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则(21)f -= ；()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是 ．17．设数列{}n a 共有8项，且1481a a a ===，对于每个(17,)i i i N ∈剟，均有11{,1,2}2i i a a +∈，则满足条件的数列的个数是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边，向量(sin ,)m A b c =+与(sin sin ,)n C B a b =--满足//m n ．（1）求角C 的大小；（2）若a b kc +=，求实数k 的取值范围．19．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）若O 为BCD ∆的重心，N 在棱AC 上，且2CF FN =，求证：//OF 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列1(2)(2)n n n n a b a a +=++，其前n 项和为n T ，问142n n T S ++是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．在平面直角坐标系xoy 中，已知不与坐标轴平行的动直线:10l x my --=过抛物线2:2C y px =的焦点F ，动直线l 交抛物线于A ，B 两点．（1）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ，判断||||AB FM 是否为定值，并说明理由； （2）在x 轴上是否存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <，①若212t t =，求函数()f x 在原点处的切线方程；②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，则()(A B C = )A ．{1}-B ．{1-，2}-C ．{1-，2-，0}D ．{2-，1-，0，2，4}【解答】解：{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，{2A B ∴=-，1-，0，2，4}， (){2AB C ∴=-，1}-．故选：B ． 2．设(1iz i i=-为虚数单位），则1(||z = )A B C ．12D ．2【解答】解：(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+，||z ∴==∴1||z = 故选：B ．3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若m α⊥，//m β，则//αβ C ．若m α⊥，//n α，则//m nD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【解答】解：对于A ，//m α，//m β时，//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，m α⊥，//m β时，αβ⊥，故B 错误； 对于C ，m α⊥，//n α时，m n ⊥，故C 错误； 对于D ，m α⊥，n α⊥时，//m n ，D 正确． 故选：D ．4．252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r r r r r r r T C x C x x--+==，由1034r -=，解得2r =，252()x x∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．5．已知a c <，随机变量ξ，η的分布列分别如下：则下列结论成立的是( ) A ．()()E E ξη>，()()D D ξη> B ．()()E E ξη>，()()D D ξη=C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη<，()()D D ξη=【解答】解：依题意0E c a ξ=->，0E a c η=-<，E E ξη∴>． 所以22222()(1)()(1)2D a c a b c a c c a a c ac a c ξ=--++-+-+=+---． 同理：22222()(1)()(1)2D c c a b c a a c a a c ac a c η=-+-+-+++-=+---， ()()D D ξη∴=，故选：B ．6．已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的最大值是( )A ．1B ．32C D ．2【解答】解：当1i =，2，3，4，5时， 1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的值 依次是311,,1,0,22-，故最大值为32． 故选：B ．7．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是( )A ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈C ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ D ．[,],2k k k Z πππ-∈【解答】解：函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则6x π=时，函数取得最小值，故有232k ππϕπ+=-，k Z ∈， 56πϕ∴=-，()2sin(2)6f x x π=-，令5222262k x k πππππ--+剟，求得263k x k ππππ++剟， 可得()f x 的单调递增区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈， 故选：C ．8．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,n n n n n nn b a bc a a b ⎧=⎨>⎩…，若在数列{}n ð中，5n c …ð对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．54k --剟 B ．43k --剟 C ．53k --剟 D ．4k =-【解答】解：若55c a =，则55a b >，则前面不会有n b 的项，{}n b 递增，{}n a 递减，(1i b i ∴=，2，3，554)(1i b a a i <<<=，2，3，4)，n a 递减，∴当6n …时，必有n n a ≠ð，即n n b =ð， 此时应有65b a …，55a b ∴>，即025k >+，得4k <-，65b a …，即61k +…，得5k -…， 54k ∴-<-…．若55c b =，则55b a …，同理，前面不能有n b 项，即454a b b >…，当6n …时，{}n b 递增，{}n a 递减， 55(6)n n b b a a n ∴>>厖，∴当6n …时，n n b =ð．由55b a …，即51k +…，得，4k -…， 由45a b …，得25k +…，得3k -…，即43k --剟． 综上得，53k --剟． ∴实数k 的取值范围是[5-，3]-．9．已知()f x 是定义在R 上的函数，若方程(())f f x x =有且仅有一个实数根，则()f x 的解析式可能是( ) A ．()|21|f x x =-B ．()x f x e =C ．2()1f x x x =++D ．()sin f x x =【解答】解：对于A ，由(())f f x x =，即为|2|21|1|x x --=，可得1x =或13或15或35，故A不可能；对于B ，由()1x x e x e -'=-，可得x y e x =-的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞， 即x e x -的最小值为0010e -=>，即有x e x >恒成立，则(())f f x x =无实数解，故B 不可能；对于C ，2()1f x x x =++，222(())(1)(1)1f f x x x x x x =++++++=， 即为222(1)20x x x ++++=无实数解，故C 不可能；对于D ，由sin y x x =-的导数为cos 10y x '=-…，可得函数sin y x x =-在R 上递减，由0x =时，sin 000y =-=，可得sin(sin 0)sin 00==，且sin(sin )x x -在R 上单调，则(())f f x x =有且仅有一个实数根0，故D 可能． 故选：D ．10．已知P ，Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=、圆22:(4)1D x y +-=上的动点，O 是坐标原点，则|||PQ PO 的最小值是( )A ．B ．1-C ．D ．1-【解答】解：如图所示：令|||Z PQ PO =，令||1|min Z PD PO =-， 在PMC ∆和OPC ∆中，MC PC PC OC ==PMC ∴∆和OPC ∆，∴OP =∴||||PQ PO的最小值为||1|PD PO -+， 即：||||1PD PC +-(||||)||min PD PC MD +==所以||||PQ PO的最小值是1， 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3x y +的最大值为 5 ．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(1,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3125⨯+=． 故答案为：5．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2+，体积为 ．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P ABC -，其中PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2PA =，1AC =，2BC =．∴该几何体的表面积111121122222222S =⨯⨯+⨯⨯++=+， 体积112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故答案为：2+23．13．若A ，B 为锐角，且4A B π+=，则44log (1tan )log (1tan )A B +++=2． 【解答】解：4A B π+=，tan tan tan()11tan tan A BA B A B+∴+==-，即tan tan 1tan tan A B A B +=-，则(1tan )(1tan )A B ++ 1tan tan tan tan A B A B =+++ 11tan tan tan tan A B A B =+-+2=．44441log (1tan )log (1tan )log (1tan )(1tan )log 22A B A B ∴+++=++==．故答案为：12． 14．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e 1- ，当此三角形的面积是，则2b = ．【解答】解：如图，由OPF ∆为正三角形，可得(2cP )，代入椭圆方程，可得22223144c c a b+=，又222b a c =-，得22222222()34()a c c a c a a c -+=-，解得1ce a==；若12OPF S c ∆=⨯=4c =，216a ===+，则222b a c =-=1-；15．若正数x ，y 满足121x y +=，则412x yx y +--的最小值为 9 ． 【解答】解：由0x >，0y >，且121x y+=， 所以1221y x y y -=-=，求得2y x y =-， 同理21xy x =-； 所以411284(4)()145225912222x y y y x y x x x y x y x y x y+=+=++=++++=⨯+=--…，当且仅当82y x x y =，即4y x =，即32x =、6y =时， 412x yx y +--取得最小值为9． 故答案为：9．16．已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则(21)f -= 4 ；()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是 ．【解答】解：由已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则3(21)(2120)(1)(120)(19)log (198)14f f f f f -=-+=-=-+==++=；当1x …时，3()log (8)1f x x =++，()f x ∴在[1，)+∞上为增函数， 且在区间[1，4)上，3f =（1）()f x f <…（4）3log 121=+；当1x <时，()(20)f x f x =+，()f x ∴在(,1)-∞上为周期为20的周期函数； 且在区间[19-，1)上单调递增，∴在区间(,1)-∞上，f （1）()(21)f x f <…，即33()log 291f x <+…；综上所述：()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是3． 故答案为：4，3．17．设数列{}n a 共有8项，且1481a a a ===，对于每个(17,)i i i N ∈剟，均有11{,1,2}2i i a a +∈，则满足条件的数列的个数是 133 ． 【解答】解：根据题意，11{,1,2}2i i a a +∈， 11i a a k +∴=⨯，1{2k ∈，1，2}．1481a a a ===，∴①从14~a a 的三步变化中，k 全为1或者三步变化中k 互不相同，此时14~a a 共有3317A +=种方法；②从48~a a 的4步变化中，有以下几种方式： （1）k 全为1，有1种，（2）其中两步k 为12，另外两步k 为2，有246C =种， （3）有1步为12，1步为2，其余两步为1，有24A 种， 故从48~a a 的4步变化中，有161219++=种方法，根据分别乘法原理，满足条件的数列的个数是719133⨯=种． 故答案为：133．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边，向量(sin ,)m A b c =+与(sin sin ,)n C B a b =--满足//m n ．（1）求角C 的大小；（2）若a b kc +=，求实数k 的取值范围【解答】解：（1）(sin ,)m A b c =+，(sin sin ,)n C B a b =--， 由//m n ，得()sin ()(sin sin )a b A b c C B -=+-．由正弦定理得()()()a b a b c c b -=+-，即222a b c ab +-=， 由余弦定理得1cos 2C =，即3C π=； （2）由3C π=知，23B A π=-，则2sin sin()sin sin 3cos 2sin()sin 6sin 3A A a b A Bk A A A c Cπππ+-++====+=+．203A π<<，得5666A πππ<+<，∴1sin()126A π<+…， 故k 的取值范围是(1，2]．19．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）若O 为BCD ∆的重心，N 在棱AC 上，且2CF FN =，求证：//OF 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过O 作//OM BE ，并且233aOM BE ==，过F 作//FH BC ，且133a FH BC ==；//OM FH ∴，且OM FH =； ∴四边形OMHF 是平行四边形；//OF MH ∴，OF ⊂/平面BDN ，MH ⊂平面BDN ；//OF ∴平面BDN ；（Ⅱ）取AC 中点G ，连接EG ，则//EG AB ，AB ⊥平面BCD ； EG ∴⊥平面BCD ；又DE BC ⊥；EG ，EB ，ED 三直线两两垂直，∴分别以这三直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则：(0E ，0，0)，(,,0)44a a F -，(A a ，2a，0)，(0D ，0；∴(,2a AD a =--，ED =，(,44a aEF =-，0)； 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则：302044az n ED ax ay n EF ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩； ∴0z x y =⎧⎨=⎩，取1y =，∴(1,1,0)n =； 设直线AD 与平面DEF 所成角为θ，则332sin |cos ,|24an AD a θ=<>==；∴直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值为34． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列1(2)(2)n n n n a b a a +=++，其前n 项和为n T ，问142n n T S ++是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上， 则312n n S a =-．当1n =时，11312S a =-，解得12a =； 当2n …时，有11312n n S a --=-， 两式相减得13322n n n a a a -=-， 即13n n a a -=，所以数列{}n a 是等比数列， 因此有123n n a -=⨯．（2）因为111123111()(2)(2)(232)(232)43131n n n n n n n n n a b a a ---+⨯===-++⨯+⨯+++， 所以11111111()424410331n n n T -=-+-+⋯+-+所以111()4231n n T =-+．又因为31n n S =-，所以11422n n T S +=+， 即142n n T S ++是定值12．21．在平面直角坐标系xoy 中，已知不与坐标轴平行的动直线:10l x my --=过抛物线2:2C y px =的焦点F ，动直线l 交抛物线于A ，B 两点．（1）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ，判断||||AB FM 是否为定值，并说明理由； （2）在x 轴上是否存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:2C y px =的焦点F 在x 轴上，焦点F 的坐标为(,0)2p ，动直线:10l x my --=经过焦点(,0)2pF ，2p ∴=，故所求抛物线C 的方程为24y x =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程得214x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，得21212()242x x m y y m +=++=+，∴有2212||4224(1)AB x x p m m =++=++=+．又线段AB 的中点为1212(,)22x x y y ++，即2(21m +，2)m ， l '的斜率为m -，则线段AB 的中垂线l '的方程为22(21)y m m x m -=---．令0y =，得223x m =+，2(23M m ∴+，0)，则2||2(1)FM m =+，∴有22||4(1)2||2(1)AB m FM m +==+，是定值． （2）假设在x 轴上存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立，即0AN BN k k +=，设(,0)N a ， 由（1）知：1212211221121212121212()()(1)(1)2(1)()0()()()()()()AN BN y y y x a y x a y my a y my a my y a y y k k x a x a x a x a x a x a x a x a -+-+-++-+-+=+=+===--------即12122(1)()0my y a y y +-+=， 得2(4)(1)40m a m -+-=， 解得1a =-，故存在定点(1,0)N -， 使得ANF BNF ∠=∠恒成立．22．已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <，①若212t t =，求函数()f x 在原点处的切线方程；②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为2()36(2)f x x x a '=-+-，当1a -…时，△12(1)0a =+…，()0f x '…恒成立，则()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞．当1a >-时，()0f x '…的解为x x，则()f x 的单调递增区间是⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或 （2）由方程()0f x =，得1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两实根， 故123t t +=，122t t a =-，且由判别式得14a >-．①若212t t =，得11t =，22t =，故1222t t a =-=，得0a =． 因此(0)2k f ='=，故函数()f x 在原点处的切线方程为2y x =．②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，所以()16max f x a -…． 因为123t t +=，12t t <，所以121230,02t t t t <<<<<或． 当12302t t <<<时，对1[x t ∈，2]t 有()0f x …，所以016a -…，解得16a …． 又因为1220t t a =->，得2a <，则有124a -<<；当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，则存在()f x 的极大值点11(x t ∈，0)，且1x =，且211362a x x =-+． 由题意得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--…，将211362a x x =-+代入得31(1)8x --…，得110x -<…． 又因为211362a x x =-+，得211a <…．综上可知a 的取值范围是124a -<<或211a <…．。
浙江东阳中学2020届高三上学期11月月考数学试卷附答案解析
浙江东阳中学2020届高三上学期11月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，，则（ ）A. B. C. D. 2．设（为虚数单位)，则等于（ ） A. B.C. D ．3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 的展开式中的系数为（ ）A.10B.20C.40D.80 5．已知，随机变量的分布列分别如下：则下列结论成立的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．， 6. 已知正六边形的边长为1，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数，其中，若对恒成立，则的单调递增区间是（ ） A. B. {2,1,0,2},{1,2,4}A B =--=-{|0}C x x =<()AB C ={1}-{1,2}--{1,2,0}--{2,1,0,2,4}--1i z i =-i 1||z 222212,m n ,αβ//,//m m αβ//αβ,//m m αβ⊥//αβ,//m n αα⊥//m n ,m n αα⊥⊥//m n 252()x x+4x a c <,ξηξ1-01η1-01P a b c P c b a ()()E E ξη>()()D D ξη>()()E E ξη>()()D D ξη=()()E E ξη<()()D D ξη>()()E E ξη<()()D D ξη=12345OPP P P P (,,,,)112345i OP OP i ⋅=13232()2sin(2)f x x ϕ=+πϕπ-<<()()6f x f π≥x R ∈()f x [,],36k k k Z ππππ-+∈[,],2k k k Z πππ+∈C. D. 8．已知数列的通项公式，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. B. C. D.9．已知是定义在上的函数，若方程有且仅有一个实数根，则的解析式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知分别是圆、圆上的动点，是坐标原点，则的最小值是（ ） A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
高三开学考试数学试题(附详解)
高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。
2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题(解析版)
2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
2023-2024学年高三上学期开学数学试题及答案
高三上数学开学考注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．答题时请按要求用笔.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |0＜x ≤3}，B ＝{x |x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {x |1≤x ＜3}B. {x |1＜x ≤3}C. {x |1＜x ＜3}D. {x |1≤x ≤3}2. 已知i ,1ia a R z +Î=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A. 1- B. 0C. 1D. 23. 已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为12y x =，则C 的焦距为（ ）35 C. 3 D. 254. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3AOD p Ð=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.13B.4C.4D.35. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A. ()32xx xf x -= B. ()3exx xf x -=C. ()3ln f x x x=× D. ()()2e 1xf x x =×-6. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C Èð＝（ ）A {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}C. {1，2，3，4，5，6}D. {1，3，4，5，6，7}的.7. 已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ）A.45 B. 45-C.45i D. 45-i8. 已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x 2﹣x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A. [0，12）B. （﹣∞，0）∪[12，+∞）C. （0，12）D. （﹣∞，0][∪12，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 近年来新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首､选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A. 图中0.028a =B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10. 已知函数()()ππsin 322f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于直线π4x =对称，则（ ）A. ()f x 满足ππ1212f x f x æöæö+=--ç÷ç÷èøèøB. 将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后与()cos3g x x =图像重合C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3pD. 若()y f x =在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是3p11. 已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A. MA 长度的最小值为2-B. 不存在点M 使得AMB Ð为60oC. 当MC AB ×最小时，直线AB 的方程为210x y --=D. 若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ×uuu r uuuur 的最小值为2812. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AB BC BB D ^===是AC 的中点，O 为1A C 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ^B. 当直线1A P 与平面11BB C 所成的角最大时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为4pC. 若三棱柱111ABC A B C -，内放有一球，则球的最大体积为43p D. 1OPB △周长的最1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 《易经》是中国传统文化中精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.的14. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为________.15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，若以()0,2N 为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C 的方程是______________.16. 已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知371518,10a a a a +=+=，各项均为正数的等比数列{}n b 满足351551,1616b b b b +==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()22n n na n cb ++=×，求数列{}nc 的前n 项和n T．18. 已知数列{}n a 中，11a =，n a n ìüíýîþ是公差为12等差数列.（1）求{}n a 通项公式；的的（2）若1nnb a =，n T为数列{}n b 的前n 项和，证明：2n T <.19. 已知函数()21ln 2,R 2æö=+--Îç÷èøx a x ax a f x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.20. 在ABC D 中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．（1）若πA 3=，3b =，求sin C的值；（2）若22sin cos sin cos 3sin 22B AA B C+=，且ABCD 的面积25sin 2S C=，求a 和b的值．21. 已知函数21()ln 2f x mx x æö=+ç÷èø.（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC D 分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.1-5 DADCB 5-8 CBD 9 CD 10 ABC 11 BD 12 ABD 【13题答案】【答案】314【14题答案】【答案【15题答案】【答案】221189x y +=【16题答案】【答案】1,42éù-êúëû17【答案】（1）21n a n =-，112n n b -æöç÷èø=（2）3772n nn T +=-【18题答案】【答案】（1）()12nn n a +=【19题答案】【答案】（1）当12a £时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21æöç÷-èøa 上递减，在1,21a æö+¥ç÷-èø上递增；当1a =时，()f x ()0,¥+上递增；当1a >时，()f x 在10,21æöç÷-èøa 上递增，在1,121æöç÷-èøa 上递减，在()1,+¥上递增；（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）sin 7C =；（2）5a b ==【21题答案】【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）ùúû【22题答案】【答案】（1）1y =，[]2,3x Î.2y =，[]2,3x Î.（2）当AD =时，两条直道的长度之和取得最小值2ö÷÷ø百米.在。
{高中试卷}浙江省名校协作体2020年上学期高三开学数学考试试题答案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：浙江省名校协作体2021年上学期高三开学数学考试试题答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案C A B B C D A B C D二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.-1;12.;0或3π13.1;λ<-214.3;515.5516.-117.33三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解:(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1.3分∵x∈[0,],∴2x+∈[,蟺6],sin(2x+)∈[-2,1],6分∴f(x)∈[0,3].7分(Ⅱ)∵f(x+θ)-1=2sin(2x+2θ+),若函数f(x+θ)-1为奇函数,即g(x)=sin(2x+2θ+)为奇函数,10分由2θ+=kπ(k∈Z),得θ=蟺2-(k∈Z).13分又θ∈[-,],∴θ=-或蟺12.14分19.(Ⅰ)证明:取B1D1的中点E,连接C1E,OA,AE,易知C1E=OA且C1E∥OA,3分所以C1EAO为平行四边形,所以C1O∥EA,6分所以C1O∥平面AB1D1.7分(Ⅱ)解法一:过点C作平面AB1D1的垂线,垂足为G,连接B1G(图略),则∠CB1G就是直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角.8分又CG是点O到平面AB1D1的距离的2倍,连接EO,由B1D1⊥EC1,B1D1⊥EO,知B1D1⊥平面AEO,所以平面AEO⊥平面AB1D1,在△AEO中,作OH⊥AE,垂足为H,即OH⊥平面AB1D1.11分由题可得AO=,B1C=,AE=2,在Rt△AEO中,OH==2,所以点C到平面AB1D1的距离为,13分所以sin∠CB1G=5.15分解法二:以O为坐标原点,OA,OB,OE所在的直线分别为x,y,z轴,如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz,得A(,0,0),B1(0,1,1),D1(0,-1,1),C(-,0,0),9分所以=(-,1,1),=(0,2,0),=(-,-1,-1).10分设平面AB 1D的一个法向量为n=(x,y,z),则12分得3x+y+z=0,2y=0,令x=1,有y=0,z=,所以n=(1,0,).13分记α为直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角,则sinα==5.15分20.解:(Ⅰ)设等差数列n的公差为d,等比数列n的公比为q(q>0),由题得a5=b3-a3=b1-a1,3分解得d=3,q=2,所以a n=3n-8,b n=2n.7分(Ⅱ)c n=a n·b n=(3n-8)·2n,S n=c1+c2+…+c n=(-5)·2+(-2)·22+…+(3n-8)·2n,①2S n=(-5)·22+(-2)·23+…+(3n-11)·2n+(3n-8)·2n+1,②由①-②,得-S n=-10+3(22+23+…+2n)-(3n-8)·2n+1=-22-(3n-11)·2n+1,即S n=22+(3n-11)·2n+1.12分易知当1≤n≤3时,(3n-11)·2n+1<0;当n≥4时,(3n-11)·2n+1>0.又S1=-10,S2=-18,S3=-10,所以当n=2时,S n取到最小值.15分21.(Ⅰ)证明:设l AB:x=my+1(m≠0),代入y2=4x,消x得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=4m,y1y2=-4,2分所以M的纵坐标y M=2m.3分l CD:x=-m y+1,解得N(-1,2m),5分所以y M=y N,所以MN垂直于y轴.6分(Ⅱ)解:可得l AN:x+1=1+1y1-2m(y-2m),令y=0,得x Q=2m(x1+1)y1-2m-1=2mx1-y1y1-2m.7分由y1+y2=4m,y1y2=-4,得m=14-y1,又x1=4y12,所以x Q=2mx1-y1y1-2m=14y12(y12-2y1)-y1y1-(y12-2y1)=18y13-12y1y12+2y1=14y1 2(12y1+2y1)y12+2y1=-x1.10分所以S△AQB=2|QF||y1-y2|=2(x1+1)|y1-y2|=2(x1+1)y1+y2)2-4y1y2=2(x1+1)2+1=2(4y12+1)(14+y1)=8(13+8y1+y1).12分记f(y1)=13+8y1+y1,则f'(y1)=312+8-y12=y14+8y12-16y12=3y12-4)(y12+4)y12,令f'(y1)>0,解得12>3,即y1>33,所以f(y1)=13+8y1+y1在(0,33)上递减,在(33,+∞)上递增,所以(S△AQB)min=8f(33)=39.15分22.(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=ln(x+2)-2x+1,所以f'(x)=x+2-2,2分且f(1)=ln3-1,函数y=f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=-3,4分所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(ln3-1)=-3(x-1),即y=-3x+ln3+3.6分(Ⅱ)证明:令f'(x)=x+2a-2a=0,解得x=2a-2a,所以函数f(x)在区间(-2a,2a-2a]上单调递增,在区间[2a-2a,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(2a-2a)=4a2+a-ln(2a)-1.令h(a)=4a2+a-ln(2a)-1(a>2),则h'(a)=8a+1-a>h'(2)>0,所以h(a)在区间(2,+∞)上单调递增,h(a)>h(2)=2>0,8分而当x→-2a时,f(x)→-∞,由题意,可以得到x0∈(-2a,2a-2a).所以当x∈(-2a,x0)时,f(x)<0,则g(x)=-f(x)+2x-1=(1+a)(2x-1)-ln(x+2a),当-2a<x<x0时,g'(x)=2+2a-x+2a<2+2a-x0+2a.10分要想证明函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减,只需g'(x)≤0,故只要证明x0≤2+2a-2a.记G(a)=f(2+2a-2a)=4a2+a-a+1-ln(2+2a),G'(a)=8a+1-(a+1)2-1+a在区间(2,+∞)上单调递增,所以G'(a)>G'(2)>0,12分所以G(a)在区间(2,+∞)上单调递增,G(a)>G(2)=1+2-3-ln3=6-ln3>0,所以f(x0)<f(2+2a-2a),x0∈(-2a,2a-2a),2+2a-2a∈(-2a,2a-2a),且f(x)在区间(-2a,2a-2a]上单调递增,所以x0<2+2a-2a,所以函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减.15分。
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 己知集合A ={0,1，2}，B ={0,1，5}，C ={1,2，3，5}，则(B ∪C)∩A =( )A. {0,1，2，3，5}B. {0,1，2}C. {0}D. ⌀ 2. |1+2i 2−i |=( )A. 35B. 1C. 53D. 23. 设m 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 若m//α，m//β，则α//β B. 若m//α，m ⊥β，则α⊥β C. 若α⊥β，m//α，则m ⊥β D. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β4. 已知(ax−√x 2)9的展开式中x 3的系数为94，则a =( )A. 1B. 2C. 3D. 45. ，则D(η)的值为( )ξ −1 0 1 P121316A. −13B. 59 C. 109D. 209 6. 若正六边形ABCDEF 的边长为2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 5B. 6C. 7D. 87. 设函数f(x)=2sin(2x +φ−π6)(0<φ<π,x ∈R)为偶函数，则φ等于( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 已知数列{a n }的通项公式为，则a 2019−a 2018=( )A. 2023B. 2022C. 2012D. 20139. 已知函数f(x)=xe x−1−a ，则下列说法正确的是( ) A. 当a <0时，f(x)有两个零点 B. 当a =0时，f(x)无零点C. 当0<a <1时，f(x)有小于1的零点D. 当a >1时，f(x)有大于a 的零点10. 设P ，Q 分别为圆O 1：x 2+(y −6)2=2和圆O 2：x 2+y 2−4x =0上的动点，则P ，Q 两点间的距离的最大值是( )A. 2√10+2+√2B. √10+2+√2C. 2√10+1+√2D. √10+1+√2 二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知实数x，y满足约束条件{x−y+3≥0,x+2y≥0,x≤2,则z=3x+y的最小值为________．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______．13.已知锐角A，B满足tan(A+B)=2tanA，则tan B的最大值为______ ．14.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=______．15.已知正数a，b满足3a+2b=1，则2a +3b的最小值为_________．16.已知函数，则f(3)=________．17.数列{a n}共有12项，其中a1=0，a5=−2，a12=3，且|a k+1−a k|=1(k=1,2，3，…11)，则满足这种条件的不同数列的个数为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.若p⃗//q⃗，其p⃗=(−1+cos2A,3)q⃗=(cos(B+C),1)．(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S=6√3，b=6，求sin B sin C的值．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱与底面垂直，点E，F分别为棱BB1，AC中点．(1)证明：BF//平面A1CE；(2)若AA1=6，AC=4，求直线CE与平面A1EF所成角的正弦值．20.若正数项数列{a n}的前n项和为Sn，首项a1=1，点P(√S n,S n+1)在曲线y=(x+1)2上．(1)求a2，a3；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)设b n=1，Tn表示数列{b n}的前项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围．a n⋅a n+121.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．(1)设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；(2)y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=e x(x2+x+a)在(0,f(0))处的切线与直线2x−y−3=0平行，其中a∈R．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={0,1，2}，B={0,1，5}，C={1,2，3，5}，∴B∪C={0,1，2，3，5}，则(B∪C)∩A={0,1，2}，故选：B．求出B与C的并集，找出并集与A的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：B解析：解：由m是直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，m//α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故D错误．故选：B．在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，m//β或m⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，展开式中某项的系数，属于中档题．写出(ax −√x2)9展开式的通项公式，根据展开式中x3的系数为94，可求出a的值．【解答】解：(ax −√x2)9展开式的通项公式为T r+1=C9r(ax)9−r(−√x2)r=C 9r a 9−r (−√12)rx32r−9，令32r −9=3，得r =8， 因为x 3的系数为94，所以C 98a (−√12)8=94，解得a =4． 故选D ． 5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的求法以及方差的性质，属于基础题．根据ξ的分布列先求出期望，利用方差公式求得ξ的方差，进而利用方差的性质求得η的方差． 【解答】解：依题，E(ξ)=−1×12+0×13+1×16=−13， 则D(ξ)=(−1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59，故D (η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=209．故选D ． 6.答案：B解析： 【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和正六边形的性质得出答案． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴AE =BD =2√3，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CBD =30°，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3×2×cos30°=6．故选B ． 7.答案：C解析： 【分析】本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．由条件利用正弦函数、余弦函数的奇偶性可得φ−π6=kπ+π2，k ∈Z ，求得φ的值，可得结论． 【解答】解：由于函数f(x)=2sin(2x +φ−π6)(0<φ<π,x ∈R)为偶函数，∴φ−π6=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ+2π3，k∈Z，故选：C．8.答案：A解析：【分析】本题考查数列通项公式的应用，属基础题．依题意，根据，得a2019−a2018=(3×2019+1)−(2×2018−1)=2023.即可求得结果．【解答】解：因为，a2019−a2018=(3×2019+1)−(2×2018−1)=2023．故选A．9.答案：C解析：解：由题意令g(x)=xe x−1，则g′(x)=e x−1+xe x−1，函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，(−1,+∞)上单调递增，g(−1)=−1，且x→−∞时，g(x)→0，∴当0<a<1时，函数g(x)与y=a的交点在(0,1)，即f(x)有小于1的零点，故选：C．【分析】由题意可令g(x)=xe x−1，确定函数的单调性，作出函数的图象，即可得出结论．本题主要考查了函数的求导，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键．10.答案：A解析：【分析】利用圆的半径和圆心距离判断圆的位置关系，进而求出PQ的最大距离．【解答】圆O1的圆心O1(0,6)，半径r1=√2，圆O2化为标准方程为(x−2)2+y2=4，圆心O2(2,0)，半径r2=2．则|O1O2|=√22+66=√4+36=2√10>r1+r2=2+√2，所以两圆相离，则|PQ|max=2√10+ 2+√2．故选A．11.答案：−5解析：解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图， 联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A(−2,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×(−2)+1=−5．故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：23解析： 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力． 【解答】解：由题意可知几何体是底面是等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直于等腰三角形的一个锐角的顶点处，棱锥是高为2，底面三角形的斜边为2，所以，几何体的体积为：13×12×√2×√2×2=23． 故答案为：23．13.答案：√24解析：解：∵tanB =tan(A +B −A)=tan(A+B)−tanA 1+tan(A+B)⋅tanA =2tanA−tanA 1+2tanA 2=tanA 1+2tan 2A=11tanA+2tanA∵A 为锐角， ∴tanA >01tanA+2tanA ≥2√2当且仅当2tanA =1tanA 时取“=”号，即tanA =√22∴0<tanB ≤√24∴tanB 最大值是√24故答案为：√24．先利用两角和的公式把tanB =tan(A +B −A)展开，把tan(A +B)=2tanA 代入，整理后利用基本不等式求得tan B 的最大值，进而根据等号成立的条件求得tan B 的值，即可得出结果．本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力．14.答案：12解析：解：依题意可知b =√3c∴a =√b 2+c 2=2c∴e =c a =12故答案为：12根据正三角形的性质可知b =√3c ，进而根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得．本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解． 15.答案：24解析： 【分析】根据题意2a +3b =(2a +3b )(3a +2b)=6+6+4b a+9a b，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件． 【解答】解：正数a ，b 满足3a +2b =1， 则2a +3b =(2a +3b )(3a +2b)=6+6+4b a+9a b≥12+2√4b a ⋅9a b=12+12=24，当且仅当4ba =9ab，即a =16，b =14时，等号成立． 故2a +3b 的最小值为24，故选：24．16.答案：14解析：【分析】本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题，根据x的范围，分别代入本题的表达式，从而求出f(3)=f(2)=f(1)=f(0)=f(−1)求出即可．【解答】解：由题意可得：f(3)=12f(3−1)=12×f(2)=12×12×f(2−1)=12×12×f(1)=12×12×12×f(1−1)=12×12×12×f(0)=14．故答案为14．17.答案：28解析：解：∵|a k+1−a k|=1，∴a k+1−a k=1或a k+1−a k=−1，即数列{a n}从前往后依次增加或减小1，∵a1=0，a5=−2，a12=3，∴从a1到a5有3次减小1，1次增加1，故有C41=4种，从a5到a12，6次增加1，1次减小1，故有C71种，∴满足这种条件的不同数列的个数为4×7=28．故答案为：28．根据题意，分别确定从a1到a5，a5到a12满足条件的个数，然后利用组合知识，即可得到结论．本题考查数列知识，考查组合知识的运用，正确利用|a k+1−a k|=1，是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．18.答案：解：(1)据题意，cos(B+C)=−cosA，cos2A=2cos2A−1；∴p⃗=(2cos2A−2,3),q⃗=(−cosA,1)；∵p⃗//q⃗；∴2cos2A+3cosA−2=0；解得cosA=12，或cosA=−2(舍去)；又0<A<π；∴A=π3；(2)∵△ABC的面积S=6√3，b=6；∴12bcsinA=12⋅6⋅c⋅√32=6√3；∴c=24；根据余弦定理，a2=b2+c2−2bccosA=36+576−144=468；∴a=6√13；∴△ABC的外接圆直径为：2R=6√13√32=4√39；根据正弦定理，bsinB =csinC=2R；∴sinBsinC=bc(2R)2=24×616×39=313．解析：(1)可知cos(B+C)=−cosA，cos2A=2cos2A−1，再根据p⃗//q⃗即可得出2cos2A+3cosA−2=0，从而可求出cosA=12，从而得出A=π3；(2)根据条件即可求出c=24，由余弦定理即可求出a=6√13，进而求出△ABC的直径2R=4√39，然后由正弦定理即可求出sin B sin C的值．考查三角函数的诱导公式，二倍角的余弦公式，已知三角函数值求角，以及正余弦定理，平行向量的坐标关系．19.答案：(1)证明：如图，取A1C中点G，连接FG，EG；∵F为AC中点，E为BB1中点；∴FG//AA1//BE，且FG=BE；∴四边形BEGF为平行四边形；∴BF//EG，EG⊂平面A1CE，BF⊄平面A1CE；∴BF//平面A1CE；(2)解：在平面ABC内，过A作AH⊥AB，则三直线AH，AB，AA1两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A 1(0,0，6)，E(0,4，3)，F(√3,1,0)，C(2√3,2,0)；A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−3)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1,−6)， 设平面A 1EF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⊥A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −3z =0n ⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −6z =0； ∴{y =34zx =7√34z ，取z =1，则n ⃗ =(7√34,34,1)； CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,3)，设直线CE 与平面A 1EF 所成角为θ，则：sinθ=|cos <n ⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√434⋅√25=12√43215； ∴直线CE 与平面A 1EF 所成角的正弦值为12√43215．解析：本题考查中位线的性质，线面平行的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．(1)取A 1C 中点G ，并连接FG ，EG ，能够证明四边形EBFG 为平行四边形，从而得到BF//EG ，根据线面平行的判定定理即得BF//平面A 1CE ；(2)作AB 的垂线AH ，从而可分别以AH ，AB ，AA 1三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可求空间一些点的坐标，设平面A 1EF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求出n ⃗ ，可设直线CE 与平面A 1EF 所成角为θ，根据sinθ=|cos <n ⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ >|即可求出答案． 20.答案：解：(1)由题意可得，s n+1=(√s n +1)2分别取n =1和n =2时，可得{a 1+a 2=(1+√a 1)2a 1+a 2+a 3=(1+√a 1+a 2)2由a 1=1可得，a 2=3，a 3=5(2)由s n+1=(√s n +1)2可得√s n −√s n−1=1∴{s n }是以√s 1为首项，以1为公差的等差数列∴√s n =1+(n −1)×1=n∴s n =n 2当n ≥2时，a n =n 2−(n −1)2=2n −1∴a n =2n −1(3)∵b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1显然T n 关于n 单调递增，当n =1时，T n 有最小值T 1=13∵T n ≥a 恒成立∴a ≤1解析：(1)由题意可得，s n+1=(√s n +1)2，分别取n =1和n =2时，可得{a 1+a 2=(1+√a 1)2a 1+a 2+a 3=(1+√a 1+a 2)2可求a 2，a 3(2)由s n+1=(√s n +1)2可得√s n −√s n−1=1，结合等差数列的通项公式可求s n ，进而可求(3)由b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和即可求解T n ，结合单调性可求，T n 的最小值，即可求解a 的范围本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式及数列的裂项求和方法的应用，数列的单调性在求解最值中的应用，属于数列知识的综合应用21.答案：解(1)证明：将y =kx +3代入x 2=6y ，得x 2−6kx −18=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1x 2=−18，从而d 1d 2=|x 1|⋅|x 2|=|x 1x 2|=18为定值．(2)解：存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，.从而k 1+k 2=y 1−bx 1+y 2−b x 2=2kx 1x 2+(3−b)(x 1+x 2)x 1x 2=−36k+6k(3−b)x 1x 2．当b =−3时，有k 1+k 2=0对任意k 恒成立，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM =∠OPN ，所以点P(0,−3)符合题意．解析：(1)先将y =kx +3代入x 2=6y ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理，即可证明结论成立；(2)先设设P(0,b)为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，由∠OPM =∠OPN ，得当k 变化时，k 1+k 2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．22.答案：解：(1)f′(x)=e x (x 2+3x +a +1)，故f′(0)=a +1，而切线的斜率是2，故a +1=2，解得：a =1．(2)由(1)得f(x)=e x (x 2+x +1)，f′(x)=e x(x+1)(x+2)，令f′(x)>0，解得：x>−1或x<−2，令f′(x)<0，解得：−2<x<−1，故函数f(x)在[−2,−1)递减，在(−1,2]递增，而f(−2)=3e2，f(−1)=1e，f(2)=7e2，故f(x)在[−2,2]的最小值是1e，最大值是7e2．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题．(1)求出函数的导数，计算f′(0)=2，求出a的值即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．。
浙江省金华市东阳中学_学年高三数学上学期10月段考试卷(含解析)【含答案】
2014-2015学年浙江省金华市东阳中学高三（上）10月段考数学试卷一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A． {x|x＞2} B． {x|0＜x≤1}C． {x|1＜x≤2}D． {x|x＜0} 2．cos960°=（）A．B．C．D．3．“sinα=”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A． y=x3B． y=|log2x| C． y=﹣x2D． y=|x|5．函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知2a=3b=6c，则的取值范围为（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）7．已知tanα=3x，tanβ=3﹣x，α﹣β=，则x=（）A． 3 B． 1 C．D．8．在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC的外接圆直径为（）A．B．C．D．9．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．10．定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）二、填空题11．若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）= ．12．函数f（x）=的定义域为．13．函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围为．14．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数G（x）=f（x）﹣（）|x|的零点个数有个．15．已知，且sin（2α+β）=2sinβ，则tan（α+β）= ．16．若△ABC的内角A、B，满足=2cos（A+B），则tanB的最大值为．17．设函数f（x）=，若存在t1，t2使得f（t1）=，f（t2）=，则t1﹣t2的取值范围是．三、解答题1014秋•东阳市校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=2，（3a ﹣c）•cosB=b•cosC．（1）求角cosB的大小；（2）求△ABC面积的最大值．1010•天津）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2014•浙江校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．2014秋•东阳市校级月考）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）当m∈R时，试比较f（m﹣1）和f（3﹣m）的大小；（3）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤x+3．2014-2015学年浙江省金华市东阳中学高三（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A． {x|x＞2} B． {x|0＜x≤1}C． {x|1＜x≤2}D． {x|x＜0}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出∁R A={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁R A）∩B．解答：解：∵全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，∴（∁R A）∩B={x|x＞2}．故选A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用．2．cos960°=（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣c os60°=﹣．故选：C点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．“sinα=”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：二倍角的余弦．分析：利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α=，得到sinα的值等于两个值，得到“sinα=”是“”的充分不必要条件即可．解答：解：由可得1﹣2sin2α=，即sin2α=，∴sinα=±，故是成立的充分不必要条件，故选A．点评：此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A． y=x3B． y=|log2x| C． y=﹣x2D． y=|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，偶函数定义域的特点，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．解答：解：y=x3是奇函数；函数y=|log2x|的定义域（0，+∞）不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；y=﹣x2在（0，+∞）上单调递减；函数y=|x|=是偶函数，且在区间（0，+∞）上递增；∴D正确．故选D．点评：考查偶函数、奇函数的定义，偶函数定义域的特点，二次函数的单调性，一次函数的单调性．5．函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．解答：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到：sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质﹣﹣对称性，属于基础题．6．已知2a=3b=6c，则的取值范围为（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：设2a=3b=6c=k＞0，可得，b=，c=.=，再利用基本不等式的性质、对数函数的单调性即可得出．解答：解：设2a=3b=6c=k＞0∴，b=，c=．则==＞=4，另一方面===＜1+2+2=5，∴∈（4，5）．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知tanα=3x，tanβ=3﹣x，α﹣β=，则x=（）A． 3 B． 1 C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意和两角差的正切公式列出方程，利用整体思想求出3x的值，再求出x的值．解答：解：由题意得，tanα=3x，tanβ=3﹣x，α﹣β=，由tan（α﹣β）=得，，化简得，解得3x=或3x=（舍去），所以x=，故选：C．点评：本题考查两角差的正切公式，以及整体思想，属于基础题．8．在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC的外接圆直径为（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由A的度数求出sinA的值，再由b及已知的面积求出c的值，利用余弦定理求出a 的值，根据正弦定理即可求出三角形ABC外接圆的直径．解答：解：∵∠A=60°，b=1，S△ABC=，∴S△ABC=bcsinA，即c=，∴c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=17﹣4=13，∴a=，则根据正弦定理得：2R===．故选A点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．9．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：作图题．分析：由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．解答：解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．点评：本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．10．定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）考点：函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意，利用“倍增函数”的定义f（x+λ）=λf（x），对题目中的选项进行分析判断，即可得出正确的答案．解答：解：对于A，∵函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的倍增函数，∴f（x﹣2）=﹣2f （x），当x=0时，f（﹣2）+2f（0）=0，若f（0）、f（﹣2）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f（﹣2）均不为0，则f（0）、f（﹣2）异号，由零点存在性定理得，在区间（﹣2，0）内存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1个零点，∴A正确；对于B，∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=≠1，∴B错误；对于C，∵f（x）=e﹣x是倍增函数，∴e﹣（x+λ）=λe﹣x，∴=，∴λ=∈（0，1），∴C正确；对于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=（k∈N*），∴D正确．故选：B．点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题，解题时应理解新定义的内容是什么，是综合性题目．二、填空题11．若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）= ．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用幂函数的定义，用待定系数法设出f（x）的解析式，即可求出f（x），将x=9代入即可得．解答：解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（），∴，解得．∴f（x）=，∴f（9）==，故答案为：．点评：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．12．函数f（x）=的定义域为（﹣1，2）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即，解得﹣1＜x＜2，故函数的定义域为（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则实数a的取值范围为1﹣≤a≤1．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的图象，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则x A≤a≤x B，从而求出所求．解答：解：y=（x﹣2）|x|=，作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的图象，令（x﹣2）|x|=﹣1，当x≥0时，x2﹣2x=﹣1，解得x B=1，当x＜0时，﹣x2+2x=﹣1，解得x A=1﹣，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则x A≤a≤x B，∴1﹣≤a≤1，即实数a的取值范围为1﹣≤a≤1．故答案为：1﹣≤a≤1．点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及函数最值的应用，同时考查了作图的能力和数形结合的思想，属于中档题．14．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数G（x）=f（x）﹣（）|x|的零点个数有 6 个．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：函数G（x）=f（x）﹣（）|x|的零点个数即为y=f（x）与y=（）|x|的图象的交点个数，只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案．解答：解：由题意可知，函数G（x）=f（x）﹣（）|x|的零点个数即为y=f（x）与y=（）|x|的图象的交点个数，函数y=f（x）周期为2，且为偶函数，函数y=（）|x|为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为6，故答案为：6．点评：本题考查由函数的性质作函数的图象，以及函数的零点问题转化成两函数图象的交点问题，同时考查了作图的能力，属中档题．15．已知，且sin（2α+β）=2sinβ，则tan（α+β）= 1 ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：将已知等式两边中的角度变形后，分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入即可求出tan（α+β）的值．解答：解：将sin（2α+β）=2sinβ，变形得：sin[（α+β）+α]=2sin[（α+β）﹣α]，即sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα﹣2cos（α+β）sinα，整理得：sin（α+β）cosα=3cos（α+β）sinα①，∵tanα=，∴根据①得：tan（α+β）=3tanα=3×=1．故答案为：1点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．16．若△ABC的内角A、B，满足=2cos（A+B），则tanB的最大值为．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由A和B为三角形的内角，确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=﹣3tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan （A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，∴=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC，∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，当且仅当=3tanA，即tanA=时取等号，则tanB的最大值为．故答案为：．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键，本题考察了转化思想，属于中档题．17．设函数f（x）=，若存在t1，t2使得f（t1）=，f（t2）=，则t1﹣t2的取值范围是（﹣）∪（）．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：分a＜1，a＞2，1＜a＜2三种情况进行讨论：根据图象的特殊点可作出函数图象，根据图象及函数单调性可表示出f（t1）=，f（t2）=，由此可得t1﹣t2的取值范围．解答：解：①若a＜1，作出函数f（x）的图象如图（1），∵f（t1）=，f（t2）=，∴t1＞a，t2＜a，即f（t1）==，即，f（t2）==，即，∴，∵a＜1，∴﹣a＞﹣1，∴t1﹣t2=．②a＞2，作出函数f（x）的图象如图（2）∵f（t1）=，f（t2）=，∴t1＜a，t2＞a，即f（t1）=）=，即，f（t2）==，即，∴t1﹣t2=，∵a＞2，∴﹣a＜﹣2，∴t1﹣t2=．③1＜a＜2，作出函数f（x）的图象如图（3）：则此时函数f（x）的最大值为1，∵f（t1）=，f（t2）=＞1∴此时t2不存在，即1＜a＜2，不成立．综上：t1﹣t2的取值范围是（﹣）∪（）．点评：本题考查一次函数的求值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，利用条件确定t1，t2的取值范围是解决本题的关键．正确画出函数图象是解决问题的突破点．三、解答题1014秋•东阳市校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=2，（3a ﹣c）•cosB=b•cosC．（1）求角cosB的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知及正弦定理可得=，由两角和的正弦公式化简可得cosB=．（2）由已知及（1）可求sinB，由余弦定理可得ac≤6，由三角形面积公式即可求最大值．解答：解：（1）由正弦定理可得：，所以由已知可得：（3a﹣c）•cosB=b•cosC．⇒=⇒sinBcosC=3sinAcosB﹣cosBsinC⇒sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB⇒sin（B+C）=3sinAcosB⇒sinA=3sinAcosB⇒cosB=．（2）∵b=2，cosB=，sinB==，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，∴可得：8=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，∴解得：ac≤6，∴S△ABC=acsinB≤=2．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．1010•天津）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．解答：解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题意，由f（﹣x）=﹣f（x），即可求得k的值；（Ⅱ）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣2，即可求得m的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k=2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）=﹣2，﹣3m+2=﹣2，解得m=（舍去）．当m≥时，则h（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．2014•浙江校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用对数的运算性质可得b n，利用c n==．利用“裂项求和”即可得出：数列{c n}的前n项和T n=．由于对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．点评：本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．2014秋•东阳市校级月考）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）当m∈R时，试比较f（m﹣1）和f（3﹣m）的大小；（3）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤x+3．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当x＜0时，﹣x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，可求函数的解析式；（2）当x≥0时，f（x）=单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）；（3）当x∈R时，f（x）=，则f（x+t）≤x+3对x∈[m，10]恒成立，从而有对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，∴f（x）=f（﹣x）=…（3分）（2）当x≥0时，f（x）=单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（m﹣1）＞f（3﹣m）所以|m﹣1|＞|3﹣m|所以（m﹣1）2＞（3﹣m）2所以m＞2…（6分）所以当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）…（8分）（3）当x∈R时，f（x）=，则由f（x+t）≤x+3，得≤x+3，即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立…（12分）从而有对x∈[m，10]恒成立，因为m≥﹣2，所以…（14分）因为存在这样的t，所以﹣m2﹣7m﹣7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0…（15分）又m≥﹣2，所以适合题意的最小整数m=﹣1…（16分）点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数的解析式，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值是关键．。