直线方程归纳

直线与方程知识点 一 、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

① 关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0

0. ③ 倾斜角α的范围00

0180α≤<.

④ 0,900≥?≤?k πα； 0,18090πππk ??α （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0

90的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1

21

2x x y y k --=（21x x ≠）

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 （3）直线的倾斜角与斜率关系

(4)、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0

90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 Eg:比较图1的斜率大小

练习1 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9

2. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有() A. k 1

C. k 1

D. k 3

3已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围 为 (A) A 443-≤≥

k k 或 B -443≤≤k C 443≤≤k D -44

3

≤≤k 二 、两条直线平行与垂直的判定

直线如果是点斜式 （1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

（3）对于一般式直线平行与垂直问题

已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：

（1）0212121=+?⊥B B A A l l

（2）;0,0-//1221122121≠-=?C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=?C A C A B A B A l l 重合与

（4）1l 与2l 相交01221≠-?B A B A

（4）如果2220A B C ≠时，则：

(1)122

1121-=??⊥B A B A l l (2)?21//l l ）不为0,,(2222

12121C B A C C

B B A A ≠=；

(3)1l 与2l 重合?）不为0,,(222212121C B A C C

B B A A ==

(4)1l 与2l 相交?）不为0,(222

121B A B B

A A ≠

三 、直线的方程

（1）直线方程的几种形式

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；

（1）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （2）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） （2)、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(2

22111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则???

????

+=+=222121y y y x x x

(3). 过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；

②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.

eg 、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程

解 设所求直线方程为1=+b y a x 直线过点P(－5,－4) 即145=-+-b

a 又由已知可得,

52

1

=b a 即10=ab 联立方程解方程组得???=-=+1054ab ab b a 解得,?????=-

=4

25b a 或???-==25b a 故所求直线方程为142

5=+-y

x 或125=+y x

即,8x －5y+20=0或2x －5y －10=0

四、与两坐标轴截距相等或相反问题（注意过原点的直线）

eg. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是

五 会画出y=|x| |x|+|y|=k 的图像

eg ．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝1 六、直线的交点坐标与距离公式

（1）.两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方

程组???=++=++00222

111C y B x A C y B x A 的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 （2）.几种距离 （1）两点间的距离

平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2

122

1221)()(y y x x P P -+-=

特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=

（2）点到直线的距离

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

点到几种特殊直线的距离

（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.

（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。 （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. （3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2

2

12B

A C C d +-=

（注意：

① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。） （1）．点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是

（A ）

5

4

（B ）4

5 （C ）

25

4

（D ）425

（2）两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213

13 ，则c ＋2a 的值是( A )

A .±1 B. 1 C. -1 D . 2

七 . 有关对称问题

（1）中心对称

①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得?

?

?-=-=11

22y b y x a x

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程。

eg. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）

Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ （2）曲线关于点对称

曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. Eg ： （1）求（2，3）关于x 轴，y 轴，原点的对称点。

（3）求y=x 2

分别关于（2，3），y=x+2的对称曲线 （3）轴对称 ①点关于直线的对称

若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组

?

???

???-=-?--=++++1

)(0)2()2(1

2122121B A x x y y C y y B x x A ???==?22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） Eg ： （2，3）分别关于y=2x+3对称点

（2）点关于直线对称技巧

（3）技巧 当直线为y x b =±+（即斜率为±1. ），（a ，b ）关于y x b =±+对称，把x 代入得到y ，把y 代入得到x

Eg 求，关于y=x+2 y=-x+2 的对称点

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f ②直线关于点对称，曲线关于点对称

曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f

1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0

八 、直线过定点问题：

① 含有一个未知参数，

12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=?x x a y （1）

令202-=?=+x x ， 将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-

② 含有两个未知参数

0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++?y x n y x m

令???-+-=+1203y x y x ???

????=-=?737

1y x

从而该直线必过定点)7

3,71(-

练习 (1)直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是_ _ (2)直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） （A ）（0，0） （B ）（0，1）（C ）（3，1） （D ）（2，1）

九、 与已知直线平行垂直的直线系有：

（1）平行于直线)(00/

/

C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为

（2）平行于直线)(/

/

b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为

（3）垂直于直线0=++C By Ax 的所有直线可表示为01=+-C Ay Bx

十、 直线y=kx+b 不经过某象限

y=kx+b 不经过第一象限 k ≤0， b ≤0。 y=kx+b 不经过第二象限 k ≥0， b ≤0 y=kx+b 不经过第三象限 k _0， b 0 y=kx+b 不经过第四象限 k _0， b _0 十一. 两条直线的交角

①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当ο90≠θ时2

11

21tan k k k k +-=

θ.

②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的

正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?

????2,0π，当ο

90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 十二、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： (1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，

① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/

A 或/

B ,

.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A

② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.

（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值，

方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”

① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/

A 或/

B ,

.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A

十三 有关几何意义

Eg 1：求函数y =

2已知2222)1()1(,,y x y x S R y R x +-+++=

∈∈，则S 的最小值是 _

3 已知A(1,2)B(-2,2)在x 轴上找一点C 使的|CA|+|CB|最小，||CA|-|CB||最大值 如果AB 在X 轴不同侧呢？

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2

2

x y +的最小值是________________. 十四、易错辨析：

① 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。