排队论公式1
排队论公式及思想
医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重要分支之一.在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.排队系统及简介：排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.2、服务时间是指患者接收服务的时间规律.3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛.所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入：①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关；②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的；③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不存在同时到达2个以上患者的情况；④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可能有无限个患者到达.患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为B ( t ) = 1- e - m t (t ≥0).其中m＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而1/m 则是平均服务时间.服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.分为三类：损失制、等待制、混合制.损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失.等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：①先到先服务,如就诊、排队取药等；②后到先服务,如医院处理急症病人；③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；④优先权服务,如照顾号.混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的；容量可能是有限的，也可能是无限的排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即输入过程| 服务分布| 服务台个数例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.排队系统的主要数量指标：建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.⑴等待时间指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.⑶队长指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.此外, 用r 表示服务强度,其值为有效的平均到达率l与平均服务率m 之比, 即r =l/m .M | M | 1 模型M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.Pn=(1- r )r n, n = 0, 1, 2, … .其中r =l/m 表示有效的平均到达率l与平均服务率m 之比(0＜r ＜1).M | M | 1 模型的几个主要指标⑴在系统中的平均患者数(平均队长)Ls⑵在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq⑸闲期的平均长度I⑹忙期的平均长度B例某MRI室配有一位专业医师,负责核磁共振拍摄工作.已知每天平均有6名患者前来, 每人平均时间为1小时,前来的患者按泊松分布到达,服务时间服从负指数分布,每天按8小时计. 试求：①医师工作空闲的概率；②MRI室有两台患者同时到达的概率；③MRI室至少有1人来的概率；④MRI室逗留的患者的平均人数；⑤患者在MRI室的平均逗留时间；⑥MRI室等待患者的平均人数；⑦待拍摄的患者平均等待时间；⑧MRI室忙期的平均长度.解平均到达率l = 6/8 = 0.75人/小时,平均服务率m = 1人/小时,服务强度r =0.75/1 = 0.75.①MRI室没有拍摄患者的概率为P0 = 1 - r = 1 - 0.75 = 0.25.即工作人员有25%的时间空闲.②MRI室有2名等候患者的概率为P2 = (1 - r ) r 2 = 0.14.③MRI室至少有1等候患者的概率为P = P (n≥1) = 1 - P0 = 1 - (1 - r ) = 0.75 .即有75%的时间, MRI室至少有1名等候患者.④MRI室逗留的患者的平均人数为M | M | C模型M|M|C(C≥2)是多服务台的等待制排队系统,它的各种特征的规定和假设与M|M|1模型基本相同.并假定C 个服务台并联排列,各服务台独立工作,其平均服务率相同,即m 1 = m 1 = … = m C= m .因此,该系统的平均服务率为Cm .在统计平衡状态下, 服务强度M | M | C模型主要指标为：⑴平均队列长Lq⑵平均队长LsLs = Lq + Cr .⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq参考资料：辽宁石油化工大学建模小组资料。
排队论公式1
系统空闲的概率
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
排队论公式一
M/M/1/ /
标准模型
Po = l -
M/G/I/ q
1-Po= P = 7
-p
W n = W s
M/M/1/N/
系统容量有限模型
”=队伍容量+1
1 - p
P°= l- P N + 1
(N + 1)P N* 1
■■:
1=
(1 _
p。
)
L(|
W Q
=
■
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数P：系统忙着的概率，
M/M/1/ q /m
顾客源有限模型
m=^统只有m+1种状态
1
Po =
p m!
zL(ni - i)! p
M/D/1/N/ 严 ------
m!
占=川-vU - P(1)
t q= 3 - (1 -弘)
⑷严-
t- w
tl
排队论公式二
M/M/C/ q /m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
C 1
M/ /1/ q /m
(Cp)c p
L[l =C!(l - p
Ls
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户
服务时间的分钟数
P：系统忙着的概率，八命。
排队论公式
M/D/1/N/∞
M/ /1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
M/M/1/∞/∞
标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v) :方差
ρ：系统忙着的概率，
（（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
排队论公式一
排队论公式二
排队论公式
(10.75)
九、顾客源有限(m)的M / M / c模型( Palm模型) (1)系统的稳态概率Ρ n为 1
。
2。
⎡ c −1 ⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ n m ⎛ m ⎞ k ! ⎛ λ ⎞ k ⎤ Ρ0 = ⎢∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∑ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ;(10.76) k −c ⎜ μ k =0 ⎝ k ⎠ ⎝ μ ⎠ k = c ⎝ k ⎠ c !c ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ n ⎧⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ 0 ≤ n ≤ c, ⎪⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ Ρ 0, ⎪⎝ n ⎠ ⎝ μ ⎠ (10.77) Ρn = ⎨ n ⎪ ⎛ m ⎞ n! ⎛ λ ⎞ c ≤ n ≤ m. ⎪ ⎜ n ⎟ c !c n −c ⎜ μ ⎟ Ρ 0, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Lq = Ls = Lq + Ws =
λe = Ls − ρ (1 − Ρ N ); μ
(10.64)
3。 顾客的平均逗留时间Ws为 Ws =
λe
Ls
= Ls • λ (1 − Ρ N );
(10.65)
顾客的平均等待时间Wq为 4。 Wq = Ws − 1
μ
= λ (1 − Ρ N ) Ls −
1
μ
;
(10.66)
服务台的利用率为 5。 r= c λ = (1 − Ρ N ) = ρ c (1 − Ρ N ). c cμ (10.67)
N −1 n
⎧ N +1 , ρ = 1, ⎪ ⎪ 2λ Ws = ⎨ (10.29) N +1 ⎪ 1 − Nρ , ρ ≠ 1; N ⎪ ⎩ μ − λ λ (1 − ρ )
4o 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间Wq , 即 Fq ( w) = 1 − ∑
排队论公式1
排队论公式1 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2
排队论公式一
M/M/1/∞/∞ 标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型 N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m 顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m 多服务台模型
单队，并列C 个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n 个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率 1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/
/1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
3。
排队论——精选推荐
排队论第⼀节引⾔⼀、排队系统的特征及排队论排队论（queueing theory）是研究排队系统（⼜称为随机服务系统）的数学理论和⽅法，是运筹学的⼀个重要分⽀。
在⽇常⽣活中，⼈们会遇到各种各样的排队问题。
如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上⼯具房领物品等等。
在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的出纳员与借阅者、医⽣与病⼈、售票员与买票⼈、管理员与⼯⼈等，均分别构成⼀个排队系统或服务系统（见表10-1）。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着⽣产与服务的⽇益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。
表排队除了是有形的队列外，还可以是⽆形的队列。
如⼏个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站⽆⾜够车辆，则部分顾客只得在各⾃的要车处等待，他们分散在不同地⽅，却形成了⼀个⽆形队列在等待派车。
排队的可以是⼈，也可以是物。
如⽣产线上的原材料或半成品在等待加⼯；因故障⽽停⽌运转的机器在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要降落的飞机因跑道被占⽤⽽在空中盘旋等等。
当然，提供服务的也可以是⼈，也可以是跑道、⾃动售货机、公共汽车等。
为了⼀致起见，下⾯将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
因此，顾客与服务机构（服务员）的含义完全是⼴义的，可根据具体问题⽽不同。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以⼀般地描述如下：顾客为了得到某种服务⽽到达系统，若不能⽴即获得服务⽽⼜允许排队等待，则加⼊等待队伍，待获得服务后离开系统，见图10-1⾄图10-4。
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的系统，⽹络排队系统等。
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可由图10-5加以描述。
图10-1 单服务台排队系统图10-2 s 个服务台，⼀个队列的排队系统图10-3 s 个服务台，s 个队列的排队系统图10-4 多个服务台得串联排队系统顾客到达顾客到达图10-5 随机服务系统通常称由10-5表⽰的系统为⼀个随机聚散服务系统，任⼀排队系统都是⼀个随机聚散服务系统。
排队论公式
1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。
根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。
B ：顾客源数目m 。
分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。
（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。
排队论公式
M/M/1/ g /m顾客源有限模型m=^统只有m+1种状态M/M/C/ g /m多服务台模型 单队，并列C 个服务台入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户 服务时间的分钟数排队论公式一系统空闲的概率 po = 1系统有n 个顾客的概率 （顾客损失率） P 11== (i- P )P系统至少有i 个顾客的 概率 1-()顾客的有效到达率 系统（每小时）顾客平 均数 （每小时）等待服务的 平均顾客数 （每位）顾客在店内的 平均逗留时间 （每位）顾客平均修理 时间 1 - P 1 - Pe =上L 卩押〉P NPpJ(N +3 — 731 - P 1 - PL W= —p ()=1mV m!iZ J (E - i)! 口 1 = 0% =Z 1 X k 11—徨C! 1 - p[]]!P” (m n)! 口 P(c P )C PXkp =p =--------U|p:系统忙着的概率，C Pp:系统忙着的概率,M/M/1// g标准模型M/M/1/N/ g系统容量有限模型”=队伍容量+1入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数M/G/1/ /系统（每小时）顾客平均数p + k D(v) 耳=P* 2〔1 - P )排队论公式二M/D/1/N/ a M/ /1/ a /m（每小时）等待服务的平均顾客数（每位）顾客在店内的平均逗留时间(k+ 1)P2y p +ik(i^7)f, (k+l)p2q £2k(i - P)（每位）顾客平均修理时间入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E（v）:服务时间v的期望D（v）:方差P：系统忙着的概率, 八迸门瑁讪q qq 丄q n入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数1J1.（V）-—'U:服务时间V的期望1D(v) 方差P：系统忙着的概率,。
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排队论公式一
M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率ρ
系统有n个顾客的概率
（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的
概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平
均数
（每小时）等待服务的
平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的
平均逗留时间
（每位）顾客平均修理
时间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞M/D/1/N/∞M//1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，。