交通流理论与方法---排队论概要
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第四章 交通流理论
第一节 概述-2
交通流理论是发展中的科学，虽然现在还没有形成完 整的体系，但有很多理论在探讨各种交通现象，它们是： （1）交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法；。 ＊（2）交通流的统计分布特性； ＊（3）排队论的应用； ＊（4）跟驰理论； （5）驾驶员处理信息的特； ＊（6）交通流的流体力学模拟理论； （7）交通流模拟。
8 10
3. 在交通工程学中应用二项分布时： （1）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 （2）基本公式： （3）递推公式： p C p (1 p) , (k 0,1,2,, n)
k 1 k n k nk
p k 1
（4）分布的均值和方差分别为 M＝np, D＝np(1-p) （5）如果通过观测数据计算样本均值m和方差，则可分别 代替M和D，用下式求出p和n的估计值：
第二节 交通流的统计分布特性-11
P（t）的图象如图所示， 曲线是单调下降的，说明车头 时距愈短，其出现的概率愈大。 这种情形在不能超车的单列车 流中是不可能出现的。因为车 辆的车头至车头的间距至少为 一个大于零的最小值τ 。负指 数分布在应用中的局限性即在 于此。
第二节 交通流的统计分布特性-12
xn 1 (t T )为后车在时刻(t T )的加速度，
1 称为后车的反应； 称为敏感度； xn (t ) xn 1 (t ) T 称为时刻t的刺激。
反应 敏感度 刺激
第五节 流体动力学模拟理论-1
一、引言 A 连续理论： Q1＝Q2 A1*V1＝A2*V2 Q：立方米/秒 A2V2Q2
第五节 流体动力学模拟理论-3
虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的 分界（对某一确定时刻而），而虚线则表示此分界既沿车 队向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚线的斜 率就是波速。虚线AB是低度状态向密度状态转变的分界， 它所体现的车流波称为集结波；而Ac是高密度状态向低密 度状态转变的分界，它所体现的车流波称为疏散波，两种 不同的车流波可统称为集散波。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
交通工程学 课件 第四章 4-2 交通流理论-排队论 东南大学出版社 王炜 等编著
2)排队系统的3个组成部分： (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服 务。例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该 顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他 们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服 务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、 消防车优先)等多种规则。 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队 伍；若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
第四章 交通流理论
第三节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列 即排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理 论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随 机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工 程师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电 话机既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战 以后，排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研 究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等 交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误 问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应 用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中， 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排 队系统可以写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。
交通流理论-排队论模型、跟弛模型与交通波模型
31
交通流中的密度波
• 车流遭遇到瓶颈时，会产生一个相反方向的波， 类似于声波碰到障碍物时的反射，或者水受阻时的后涌
• 当容量降低，车辆会减速乃至排队，集结成高密度的队列 当容量增加，排队车辆陆续启动，疏散成适当密度的车队
• 在车辆集结疏散的过程中，车流中两种不同密度的分界面 通过一辆辆车传播的现象，可以用密度波来描述
8辆车的车队 在不同C值时的车头时距
20
5.4 跟驰理论
4.应用 概述
跟车特性
基本原理 应用
➢提供车头间距、相对速度等 信息，帮助驾驶员跟随车辆， 防止追尾事故的发生 ➢分析公共汽车单车道流量预 测小型汽车对市内交通的影响 ➢通过模拟车队的跟驰状态， 研究车辆跟驰运行中的安全性
21
统计分布特征
本
Reuschel, Pipes
跟驰车辆的加速度与 两车速度差成比例
Chandler, Herman, Kometani and Sasaki
Gazis, Herman （跟驰模型一般形式）
m, l 的不同取值对应着不同的密度－速度关系模型
m=0, l=2, Greenshield;
m=0, l=1, Grenberg
《交通工程学》
第五章 交通流理论
1
统计分布特征
本
排队论及其运用
章
主 要
跟驰理论
内
容
交通波理论
可插车间隙理论
2
5.3 排队论及其应用
1.概 述
概述 基本原理
排队论也称随机服务系统理论，是 运筹学的重要内容之一。主要研究 “服务”与“需求” 关系的一种 以概 率论为基础的数学理论。
应用
需求
服务
交通流中的密度波
• 车流遭遇到瓶颈时，会产生一个相反方向的波， 类似于声波碰到障碍物时的反射，或者水受阻时的后涌
• 当容量降低，车辆会减速乃至排队，集结成高密度的队列 当容量增加，排队车辆陆续启动，疏散成适当密度的车队
• 在车辆集结疏散的过程中，车流中两种不同密度的分界面 通过一辆辆车传播的现象，可以用密度波来描述
8辆车的车队 在不同C值时的车头时距
20
5.4 跟驰理论
4.应用 概述
跟车特性
基本原理 应用
➢提供车头间距、相对速度等 信息，帮助驾驶员跟随车辆， 防止追尾事故的发生 ➢分析公共汽车单车道流量预 测小型汽车对市内交通的影响 ➢通过模拟车队的跟驰状态， 研究车辆跟驰运行中的安全性
21
统计分布特征
本
Reuschel, Pipes
跟驰车辆的加速度与 两车速度差成比例
Chandler, Herman, Kometani and Sasaki
Gazis, Herman （跟驰模型一般形式）
m, l 的不同取值对应着不同的密度－速度关系模型
m=0, l=2, Greenshield;
m=0, l=1, Grenberg
《交通工程学》
第五章 交通流理论
1
统计分布特征
本
排队论及其运用
章
主 要
跟驰理论
内
容
交通波理论
可插车间隙理论
2
5.3 排队论及其应用
1.概 述
概述 基本原理
排队论也称随机服务系统理论，是 运筹学的重要内容之一。主要研究 “服务”与“需求” 关系的一种 以概 率论为基础的数学理论。
应用
需求
服务
第六节-交通流理论-排队论
n =1 6
计算结果表明排队车辆数超过6辆的可能性极小，故可认为该出入道的 存车量是合理的。
四、M/M/N系统 系统
1.计算公式 在M / M / N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通道服务”系统。 设λ为进入多通道服务系统车辆的平均到达率，排队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出率为µ，则每个服务台的平均服务时间是1 / µ。 仍记ρ = λ / µ，则ρ / N称为M / M / N系统的服务强度或交通强度，亦可称 为饱和度。和M / M / 1相仿，当ρ / N < 1时系统是稳定的，否则不稳定，排 队长度将趋向于无穷大。 M / M / N系统根据车辆排队方式的不同，可分为： 1 ）单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排队 中头一车辆可视哪条通道有空就到哪里去接受服务； 2）多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相应 的一队车辆服务，车辆不能随意换队。此种情况相当于N个M / M / 1系统 组成的系统，其计算公式亦相同。 对于单路排队多通道服务的M / M / N系统，计算公式如下：
第八章 交通流理论
排队论的应用 第三节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 是研究 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论， 需求与服务关系的一种数学理论 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论” 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 典型的例子——食堂排队； ——食堂排队 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 世纪初开始发展的 年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗 先在电话自动交换机设计时应用排队论。 先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足通话需求而又 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。在交 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年唐 予以推广应用，1954年伊迪（ 应用排队模型估计收费亭的延误。 纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应用排队模型估计收费亭的延误。 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。 摩斯柯维茨的报告中 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
计算结果表明排队车辆数超过6辆的可能性极小，故可认为该出入道的 存车量是合理的。
四、M/M/N系统 系统
1.计算公式 在M / M / N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通道服务”系统。 设λ为进入多通道服务系统车辆的平均到达率，排队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出率为µ，则每个服务台的平均服务时间是1 / µ。 仍记ρ = λ / µ，则ρ / N称为M / M / N系统的服务强度或交通强度，亦可称 为饱和度。和M / M / 1相仿，当ρ / N < 1时系统是稳定的，否则不稳定，排 队长度将趋向于无穷大。 M / M / N系统根据车辆排队方式的不同，可分为： 1 ）单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排队 中头一车辆可视哪条通道有空就到哪里去接受服务； 2）多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相应 的一队车辆服务，车辆不能随意换队。此种情况相当于N个M / M / 1系统 组成的系统，其计算公式亦相同。 对于单路排队多通道服务的M / M / N系统，计算公式如下：
第八章 交通流理论
排队论的应用 第三节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 是研究 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论， 需求与服务关系的一种数学理论 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论” 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 典型的例子——食堂排队； ——食堂排队 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 世纪初开始发展的 年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗 先在电话自动交换机设计时应用排队论。 先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足通话需求而又 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。在交 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年唐 予以推广应用，1954年伊迪（ 应用排队模型估计收费亭的延误。 纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应用排队模型估计收费亭的延误。 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。 摩斯柯维茨的报告中 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
交通工程学 课件 第四章 4-2 交通流理论-排队论 东南大学出版社 王炜 等编著
因出入道存车量为 认为合适，否则认为不 6 辆，如果超出 合适。 6 辆的概率很小时（一般 认为小于 5 % ），则
800 8辆 1 900 800
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q n 8 0 . 89 7 . 11 辆 qw 1 1 9 . 09 辆 1 1 0.89 d n 8 h / 辆 36s / 辆 800 1 w d 36 4 32s / 辆
w d
例 1 某条道路上设计一观测 所有车辆到达该点要求 汽车，符合负指数分布 非零排队平均长度，排 解：这是一个
统计点，车辆到达该点 停车领取 。试估计在该点上排队 队系统中的平均消耗时
是随机的，单向车流量 员平均能在 系统中的平均车辆，平 间以及排队中的平均等
为 800 辆 /h 。 4s 内处理一辆 均排队长度， 待时间。
OD 调查卡片，假设工作人
M / M / 1 排队系统。
800 （辆 / h ） 1 辆 / s 900 （辆 / h ） 4 800 0 . 89 1, 系统是稳定的 900
系统中的平均车辆数 平均排队长度 非零平均排队长度 系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间 n
二、排队论的基本原理
1．基本概念 1) “排队”与“排队系统”的概念 “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
排队的 排队系统
8辆车 10辆车
2)排队系统的3个组成部分：
输入 排队 输出
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行 人)”按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程， 例如： 定长输入：顾客等时距到达。 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种 输入过程最容易处理，因而应用最广泛。 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
800 8辆 1 900 800
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q n 8 0 . 89 7 . 11 辆 qw 1 1 9 . 09 辆 1 1 0.89 d n 8 h / 辆 36s / 辆 800 1 w d 36 4 32s / 辆
w d
例 1 某条道路上设计一观测 所有车辆到达该点要求 汽车，符合负指数分布 非零排队平均长度，排 解：这是一个
统计点，车辆到达该点 停车领取 。试估计在该点上排队 队系统中的平均消耗时
是随机的，单向车流量 员平均能在 系统中的平均车辆，平 间以及排队中的平均等
为 800 辆 /h 。 4s 内处理一辆 均排队长度， 待时间。
OD 调查卡片，假设工作人
M / M / 1 排队系统。
800 （辆 / h ） 1 辆 / s 900 （辆 / h ） 4 800 0 . 89 1, 系统是稳定的 900
系统中的平均车辆数 平均排队长度 非零平均排队长度 系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间 n
二、排队论的基本原理
1．基本概念 1) “排队”与“排队系统”的概念 “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
排队的 排队系统
8辆车 10辆车
2)排队系统的3个组成部分：
输入 排队 输出
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行 人)”按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程， 例如： 定长输入：顾客等时距到达。 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种 输入过程最容易处理，因而应用最广泛。 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
第八章交通流理论
第八章 交通流理论(lǐlùn)
主要内容 交通流的统计分布特性 排队论的应用 跟驰理论简介(jiǎn jiè) 流体动力学模拟理论
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
一、概述(ɡài shù) 交通流理论是运用物理学与数学的定律来描
述交通特征的一门科学，是交通工程学的基 础理论。它用分析的方法阐述交通现象及其 机理，从而使我们能更好地掌握交通现象及 其本质，并使城市道路与公路的规划设计和 营运管理发挥最大的功效。
distribution)
1、负指数分布（Exponential Distribution）
基本公式(gōngshì)：到达的车头时距h大于t秒的概
率
P(h＞t) et
1 平均车头时距
泊松分布t 内无车P辆0 到e达的t 概率
适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密 度不大的多列车流的车头时距分布
先分析发生两次排队的条件
即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间 内通过(tōngguò)交叉口的车辆数；
再求发生两次排队的概率
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
说明 本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小于
一个(yī ɡè)信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆 数11辆，但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因 为平均到车数并不表示车流是均匀到达的，可能会 出现某一周期到达的车辆数很少（小于10），使绿 灯时间不能充分利用，当某些周期到达的车辆数很 大（大于11）时就出现了二次排队。
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
2、二项分布（Binomial distribution） ：
基本公式：在计数间隔t内
到达k辆车的概率P(gk àilǜC)nk
主要内容 交通流的统计分布特性 排队论的应用 跟驰理论简介(jiǎn jiè) 流体动力学模拟理论
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
一、概述(ɡài shù) 交通流理论是运用物理学与数学的定律来描
述交通特征的一门科学，是交通工程学的基 础理论。它用分析的方法阐述交通现象及其 机理，从而使我们能更好地掌握交通现象及 其本质，并使城市道路与公路的规划设计和 营运管理发挥最大的功效。
distribution)
1、负指数分布（Exponential Distribution）
基本公式(gōngshì)：到达的车头时距h大于t秒的概
率
P(h＞t) et
1 平均车头时距
泊松分布t 内无车P辆0 到e达的t 概率
适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密 度不大的多列车流的车头时距分布
先分析发生两次排队的条件
即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间 内通过(tōngguò)交叉口的车辆数；
再求发生两次排队的概率
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
说明 本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小于
一个(yī ɡè)信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆 数11辆，但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因 为平均到车数并不表示车流是均匀到达的，可能会 出现某一周期到达的车辆数很少（小于10），使绿 灯时间不能充分利用，当某些周期到达的车辆数很 大（大于11）时就出现了二次排队。
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
2、二项分布（Binomial distribution） ：
基本公式：在计数间隔t内
到达k辆车的概率P(gk àilǜC)nk
第四章交通流理论(详细版)
34
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%
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d
1 n
（6.7）
1 w d
（6.8）
例题P117
6.3.2 M/M/N系统
在M/M/N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通 道服务”系统。 设 为进人多通道服务系统顾客的平均到达率，排队行列从每 个服务台接受服务后的平均输出率为 ，则每个服务的平均服 ， /N 务时间为1/ 。仍记 = / 则称为M/M/N 系统的服 务强度或交通强度或利用系数，亦可称为饱和度。和M／M／ 1相仿，当 /N<1时，系统是稳定的； /N 1时，系统的任 何状态都是不稳定的，排队长度将趋向于无穷大。
6.2.3 排队系统的主要数量指标
排队系统最重要的数量指标有三个，分别为等待时间、忙 期和队长。 1．等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。 2．忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。 3．队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提 供的服务水平的一种衡量。
2．排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规 则： （1）损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就 自动消失，永不再来。 （2）等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排 成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情 形）和优先服务（如急救车、消防车等）等多种规则。 （3）混合制——顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入 队伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
3．服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。 每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就 装载大批乘客 服务时间的分布主要有以下几种： （1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。 （2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 负指数分布。 （3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 爱尔朗分布。 • 引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布服务，D代表定长输 EK 代表爱尔朗输入或服务。G代表任意服务时间。于 入或定长服务， 是，泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以定成 M/M/N。如果不附其说明，则这种记号一般都指先到先服务、独个 顾客服务的等待制系统。
M/M/N系统根据顾客排队方式的不同，又可分为： 1. 单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排 队中头一顾客可视哪个通道有空就到那里去接服务。 系统中没有顾客的概率为
p(0) 1
k N N!1 / N （6.9） k 0 k !
N 1
系统中有k个顾客的概率为
第六章排队理论及应用
组员 ：曹光辉 刁含楼 张磊
•6.1 概述
•6.2 排队论的基本概念 •6.3 排队过程分析 •6.4 交叉口延误模型 •6.5 道路的排队模型
6.1 概述
排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统因 “需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理协 调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，亦称 “随机服务系统理论”。它将交叉口看成一个服务台， 将车流看成是受服务的对象，车辆服从先到先服务原 则。
k . p (0), k N （6.10） k! P(k ) k . p (0), k N N ! N k N
系统中的平均顾客数为
平均排队长度有
N 1 P(0) n . （6.11） N! N (1 / N ) 2
q n （ 6.12）
6.3 排队过程分析
6.3.1 M/M/1系统
M/M/1系统为服从泊松输入、负指数分布服务，单个服务台的排队 系统。 由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单 通道服务”系统，见图6.1。
图6.1 单通道服务系统示意图
设顾客平均达到率为 ，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道接 受服务后通过的平均服务率为 ，则平均服务时间为 1/ 。比率 叫做服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。所 谓状态，指的是排队系统的顾客数。如果 <1，并且时间充分，每 个状态都按一定的非零概率反复出现。 1时，任何状态都是不稳 定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即 确保单通道排队能够消散的条件是 <1 。 （1）在系统中没有顾客的概率 p 0 1 （6.1） （2）在系统中有M个顾客的概率 1 n） P n （6.2 = （3）系统中的平均顾客数
系统中平均消耗的时间为
d
q
1
） （6.13
n
排队中的平均等待时间为
w
q
（6.14）
2. 多路排队多通道服务
每个通道各排一个队，只为其相应的一队顾客服务，顾客不能随 意换队，这种情况相当于有N个M/M/1系统组成的系统。其计算 公式亦由M/M/1系统的计算公式确定。 由P120的例题，可以看出M/M/N系统比N个M/M/I有优越性， 因为M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台 有空就到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发 挥了他们的服务能力，因而显得优越。
n 1
（4）系统中顾客数的方差
1 2
（6.3）
（6.4）
（5）平均排队长度 （6）非零平均排队长度
2 q . n n 1 （6.5）
qw
1 1
（7）排队系统中的平均消耗时间
（8）排队中的平均等待时间
（6.6）
6.2排队理论的基本概念
• 6.2.1 “排队”与“排队系统”
“排队”单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服务 的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被 服务的顾客。
• 6.2.2 排队系统的组成部分
1．输入过程 就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务 过程： （1）定长输入——顾客等时距到达。 （2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指 数分布过程，这种分布最容易处理，因而应用最广泛。 （3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
1 n
（6.7）
1 w d
（6.8）
例题P117
6.3.2 M/M/N系统
在M/M/N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通 道服务”系统。 设 为进人多通道服务系统顾客的平均到达率，排队行列从每 个服务台接受服务后的平均输出率为 ，则每个服务的平均服 ， /N 务时间为1/ 。仍记 = / 则称为M/M/N 系统的服 务强度或交通强度或利用系数，亦可称为饱和度。和M／M／ 1相仿，当 /N<1时，系统是稳定的； /N 1时，系统的任 何状态都是不稳定的，排队长度将趋向于无穷大。
6.2.3 排队系统的主要数量指标
排队系统最重要的数量指标有三个，分别为等待时间、忙 期和队长。 1．等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。 2．忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。 3．队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提 供的服务水平的一种衡量。
2．排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规 则： （1）损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就 自动消失，永不再来。 （2）等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排 成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情 形）和优先服务（如急救车、消防车等）等多种规则。 （3）混合制——顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入 队伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
3．服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。 每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就 装载大批乘客 服务时间的分布主要有以下几种： （1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。 （2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 负指数分布。 （3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 爱尔朗分布。 • 引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布服务，D代表定长输 EK 代表爱尔朗输入或服务。G代表任意服务时间。于 入或定长服务， 是，泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以定成 M/M/N。如果不附其说明，则这种记号一般都指先到先服务、独个 顾客服务的等待制系统。
M/M/N系统根据顾客排队方式的不同，又可分为： 1. 单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排 队中头一顾客可视哪个通道有空就到那里去接服务。 系统中没有顾客的概率为
p(0) 1
k N N!1 / N （6.9） k 0 k !
N 1
系统中有k个顾客的概率为
第六章排队理论及应用
组员 ：曹光辉 刁含楼 张磊
•6.1 概述
•6.2 排队论的基本概念 •6.3 排队过程分析 •6.4 交叉口延误模型 •6.5 道路的排队模型
6.1 概述
排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统因 “需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理协 调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，亦称 “随机服务系统理论”。它将交叉口看成一个服务台， 将车流看成是受服务的对象，车辆服从先到先服务原 则。
k . p (0), k N （6.10） k! P(k ) k . p (0), k N N ! N k N
系统中的平均顾客数为
平均排队长度有
N 1 P(0) n . （6.11） N! N (1 / N ) 2
q n （ 6.12）
6.3 排队过程分析
6.3.1 M/M/1系统
M/M/1系统为服从泊松输入、负指数分布服务，单个服务台的排队 系统。 由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单 通道服务”系统，见图6.1。
图6.1 单通道服务系统示意图
设顾客平均达到率为 ，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道接 受服务后通过的平均服务率为 ，则平均服务时间为 1/ 。比率 叫做服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。所 谓状态，指的是排队系统的顾客数。如果 <1，并且时间充分，每 个状态都按一定的非零概率反复出现。 1时，任何状态都是不稳 定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即 确保单通道排队能够消散的条件是 <1 。 （1）在系统中没有顾客的概率 p 0 1 （6.1） （2）在系统中有M个顾客的概率 1 n） P n （6.2 = （3）系统中的平均顾客数
系统中平均消耗的时间为
d
q
1
） （6.13
n
排队中的平均等待时间为
w
q
（6.14）
2. 多路排队多通道服务
每个通道各排一个队，只为其相应的一队顾客服务，顾客不能随 意换队，这种情况相当于有N个M/M/1系统组成的系统。其计算 公式亦由M/M/1系统的计算公式确定。 由P120的例题，可以看出M/M/N系统比N个M/M/I有优越性， 因为M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台 有空就到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发 挥了他们的服务能力，因而显得优越。
n 1
（4）系统中顾客数的方差
1 2
（6.3）
（6.4）
（5）平均排队长度 （6）非零平均排队长度
2 q . n n 1 （6.5）
qw
1 1
（7）排队系统中的平均消耗时间
（8）排队中的平均等待时间
（6.6）
6.2排队理论的基本概念
• 6.2.1 “排队”与“排队系统”
“排队”单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服务 的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被 服务的顾客。
• 6.2.2 排队系统的组成部分
1．输入过程 就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务 过程： （1）定长输入——顾客等时距到达。 （2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指 数分布过程，这种分布最容易处理，因而应用最广泛。 （3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。