函数与方程思想在解题中的应用
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陈 景 东）
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例 ２连 接 球 面 上 两 点 的 线 段 称 为球 的 一 条 弦 。半 径 为 ４ ・ 的
球 的 两 条 弦 Ａ 、 Ｄ 长 度分 别 等 于２ ／ ， Ｎｒ － ＢＣ 的 、 了 ４ ／ ，每 条 弦 的 两 ￣
思 想 方 法研 究 曲 线性 质 的推 理 论 证 能 力 。 立 方程 、 用 韦达 定 联 运
理 和 函数 与 方 程 思 想 是 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 的 常 用方法 。 （ 者 单 位 ： 宁 市虎 台 中学 ） 作 西
关 键 是 建 立 两 弦 中 点 间 的 距 离 ｄ ／ＭＯ ０ 间 的 函数 关 系 ， 与 － Ｎ： 之
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心与弦中点连线的线段长 ） 。设两弦 中点分别为Ｍ、 ， 为球 心 ， Ｎ０
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本 题 考 查运 用 球 的 性 质 、 何 知 识 、 斜 三 角形 知 识 解 空 几 解 间 几何 问 题 的 能 力 ， 对 函 数 思 想 方 法 的 灵 活运 用 程 度 。 题 的 及 解
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)
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[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
函数与方程思想在初中数学解题中的应用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。
它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。
本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。
关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。
一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。
在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。
用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。
函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。
目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。
函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。
本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。
1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。
解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。
当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
高中数学论文800字三篇
高中数学论文800字三篇第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用摘要变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。
关键词变换思想，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。
2. 变换思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一。
在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。
例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。
3. 变换思想在几何解题中的应用几何问题是高中数学中的另一个重要部分。
变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。
例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。
4. 变换思想在代数解题中的应用代数问题是高中数学的另一个重要内容。
在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。
例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。
5. 结论变换思想在高中数学解题中具有重要作用。
通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。
因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。
第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用摘要分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。
本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。
关键词分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
函数与方程思想在解题中的应用
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１ ＿ ０ ＿ 。 ０ 函数与方程 的思 维渗透 在各 部分知识 中 ， 在实
际生活中也屡 见 不鲜 ， 教学 中 注意提 炼 和升华 。 在 应 用 函 数 与方 程 的 思 想 时要 注 意 ： 练 掌 握 基 本 初 熟 等函数 的性 质 ， 这是应用函数思 想解题 的基础 ； 理解 函数 ｙ ） Ｙ＝， ｘ 的性 质 （ ＝ 、 （ ） 单调性 、 奇偶性 、 周期性 、 最值和图象变 换 ） 函数 与方程 转化过 程 中 ； 要注意等价性 ， 否则可能出错。 （ 作者单位 ： 南省 实验 中学） 河
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点 拨 ： 法 一 通过 简单 转 化 ， 解 敏锐 地 抓 住 了数 与 式 的特 点 ， 用方 程 思 想 使 问 题 迎 刃 而 解 。 解 法 二 运 转化为 的函数 ， 用重要不 等式 ， 运 思路清 晰 ， 水到渠 成。 二 、 造 函 数 或 方 程解 决有 关 问题 构 例 ２ （） 明下面 的命题 ： １证 一次 函数 厂 ＝ （ ）
了。
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由 差 列 通 公 得Ｌ ｛ ＋ 若 ｍ＜／ｆ ｍ） ０ ｆ ｎ ＞０ 则 对于任 ） ７ （ ＞ ，（ ） ， ， ， 意 ∈［ ｎ 都有 厂 ＞ 。 ｍ， ］ （ ） ０ （） 用上 面结论 证 明下面命 题 ： 。 ６ ｃ ２试 若 ，， ∈ Ｒ， ｝ ＜１ Ｉ ＜１ ｌ Ｉ ， ０ 且 ｎ Ｉ ，ｂ ｌ ，ｃ ＜１则 ６＋６ ＋ｃ 一１ ｃ ０＞ 。 解 ：１ 当 Ｊ＞ （） ｊ ０时 ，（ ＝ ＋６在 ［ ｎ 上是 ｝ 厂 ） ｍ， ］ 增 函数 ， 则有 ｍ） （ ＜厂ｎ 。 ＜厂 ） （ ） 厂 ｍ） ’．（ ＞ 。 （ ＞０ ．厂 ． ） ０ 当％ ＜０时 ，（ ＝ ＋６在 ∈［ ｎ 上是减 厂 ） ｍ， ］ 函数 ， 则有 ｍ） （ ＞厂ｎ 。 ＞厂 ） （ ）
函数与方程思想在解题中的应用
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Ｉ ｌ— ｂｌ ＋￣＋ｌ ］
Ｉ 思】 这是一道 运用画救的 单调－证 明不等 反 Ｊ 生
式的 典型例题 ． 一般 方 击是 ： 不等式 的 两边看成 将
某一函教 的两个函数值 ．根据该 函敷 的单调性 ． 将
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应 ． 此 ｂ是 ｋ的 函 数 ， 题 即 是 求 这 个 函 数 的 定 因 本 义域．
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［ｎ ． ａ Ｃ 根据 ｉ 定理 构造古程求衅 ． 主
方 程 为 ５
浅议函数与方程思想在解题中的运用
线对称轴 ｚ 一一 为 Ｙ轴 ， 再结合 特殊点位 置 ＝０时 ，
厶“
ｌ ｃ 一
＞ｏ ， 可轻松建立方程组求解 ． 即
Ｖ＂ 一 联合求 解
Ｉ 一３ ＞ Ｏ
即可． 该 题在 求解 过程 中首选 根据 抛物线 特征参 数 ， 亦 即对 称轴方程确定关于 的方程式 ， 再结合抛 物线定点 特征 ， 限定 ７ ／ ＇ １ 的取值范 围 ， 通过 二者之 间的制约关 系， 建
出未知数 的值． 两 者结 合 的 思想 关 键 就是 找 出相 等关 系， 建立 变量 之 间的等量 关系 ， 这 是轻 松求解 函数 问题 的基础 ， 可 以使数学 问题变得简洁 、 清晰． 通常情况下 ， 函数与方程思想 的应用 涉及方 程组 的 求解 ， 此类题 目的一般解题步骤 是尽可 能挖掘题 目所含 条件 ， 根据上 文 所 提 到 的函数 和 方 程所 具 备 的基 本 元 素， 限定 特征 方程解 析式 对应 的等式 条件 ， 将互相 制 约 的各个 方程联 立起 来 ， 构 建具有 共解 的方程 组 ， 以下实 例具 体说明．
图（ ａ ） 图（ ｂ ） 图（ ｃ ） 图（ ｄ ）
从 以上基本知识 的梳 理 中可 以看 出 ， 构建数学 模 型 是对简单 函数知识深刻理解 的有 效途径 ， 通过对关 键 系 数的分类思考 ， 可 以全 面掌握 函数 思想在解 题过 程 中所 具 备的基本要素 ， 实 际题 目中涉及 的 函数 知识点 往往 围 绕 以上关键 系数 展开 ． 因此 学会 采用数 学模 型方 法 ， 以 数 形结合的方式巩 固基本 知识 ， 是熟 练掌 握 函数 求解 题 目首先要 挖掘 隐含条 件． 构 建 方程 的首要任务是 寻找题 目中的等量关 系． 设想在题 目 所给条 件 下 ， 存 在一个类 似 方程式 的等式 ， 其 中包括 若 干未 知量 和 已知量． 能否顺 利应用 函数 与方 程思想 ， 取 决于 寻找方 程所 需要 的对 等条件． 任何 方程 的求解 ， 可 以视 为是对 函数 值为 ０时 的 自变 量方程 求解． 比如 ， 一 元一次方程 忌 ＋６ —０可 以看 做是 一志 ＋ｂ的函数 值 为 ０时 ， 自变量 ｚ的表 达式． 方程 思想 的应 用在 一定 程 度上拓宽 了解题思维 ， 使得对 方程式 的求解更 加形象 具 体， 某 种意义 上赋 予 了一定 的数学 含义 ， 对 学生来 说更 加具 有启发性．
例谈函数与方程思想用于数学解题的思路与方法
文献标 识 码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ９— ０ ０ ７ ３ — ０ １
数学 中的 函数 思 想 是 从 运 动 和 变化 的角 度 去 分 析 和 研究 自 数 研究 函数 的单调 区间 、 极值 及 函数 与方 程 的知识 。① 求 出 函数
＜ Ｕ
ｏ ） ＞ ０ ） ， 则实数 。的取值范围是（
Ａ ． （一∞ ， 一１ ） ｕ（ ２ ， ＋∞ ） Ｃ ． （ 一 ２ ， １ ）
）
手 ） ＿ ， （ 一 ÷） ＝ 一 ÷ 。 ＋ ｌ ÷） ； ， （ ÷） ＇ ． ． ． 一 下 １ ａ ＋ １ ：
在实 际应用 中很 多 问题 常常通 过 建立 函数模 型 来 解决 ， 比如
） 形式， 再 运用 函数 的 有关 性 质 来 解 决 问 题 。在 解数 学 题 中 ， 以 函
Ａ． ０ Ｂ． ７ Ｃ．１ ４ Ｄ． ２１
且． 口 １ ） ＋ ， （ ）＝ １ ４ ． 贝 Ｈ 口 。 ＋ …＋ ＝（
解析： 由， （ ）＝（ 一 ３ ） ＋ 一１ ， 令： ｇ （ ｘ ）＝ ） 一２＝（ 一
从 以下几个方面人手： ①利用 函数与方程的性质解题 ； ②用 函数
为 ２ 的 函 数 ， 在 区 间 ［ 一 ， ］ 上 ） ｛ Ｌ 丝 导， 十 ｌ ０ ≤ ≤ １， 其 中
思想解决数列问题； ③ 函数与方程思想解决几何 问题 ； ④构造 函 ｔ ｌ ， ６ Ｅ Ｒ ， 若 ÷ ） － ， （ ÷） ， 则口 ＋ ２ ｂ 的 值为 — — 。 数 与方 程解 题 等 等。 本文 通 过 举 例 探讨 函数 与 方 程 思 想 用 于 数 解析： 考 查周期 函数 的性 质 ， 确定参 数 的值 。。 ． 。 ） 是 定义 在
函数与方程思想在解题中的运用
量 ， 方程或方程组来解决问题是极常用的思路和策略． 列 例 ２ 等 差 数 列 ｛ ， 差 ｄ ｏ ｝公 ≠０， 是 ｏ 与 ｏ ｎ 。 等 比 中
项 ， ｎ ｎ 。 Ⅱ … ， 成 等 比 数 列 ， 数 列 ｛ ｝ 通 Ⅱ ， ， “， ， ０ 求 的
，
．
回顾
本题信息量 大而杂 ， 理地组 合有 关条 件 和 目 合
程 Ｙ一 （ ＿ ）＝ ， 厂 ０ 函数 有 意 义则 方 程 有 解 ， 程 有 解 则 函 数 有 方
． ．
故 该 数 列 的公 比为 ｑ ＝
ｑ ． １ｔ
＝ ， ＝。 ・ ． ３０ 。 ３
“
又
在 等 差 数 列 中有 。 ＝ｎ ＋（ 一１ ｄ 。 ），
口 １・３
Ｉ ２ Ｘ
Ａ 关 于 Ｐ 的对 称 点 的坐 标 为 Ａ （ ＋ ４ ｙ ． ２ ， ）
３＋ ４ ＝２，
３ ４ ｎ ，
故Ａ Ａ 。 ＝（ ， ） ２４ ． （ ） 曲线 ｃ是 函 数 Ｙ＝ （ 的 图像 ， ２设 ｇ ） 则
不 妨 设 ＝ １， ｌ ， 贝 有 Ｊ
函数 与方 程 、 等式 是通 过 函 数 值 等 于 、 于 或 小 于 零 不 大 而 相 互关 联 的 ， 它们 之 间 既有 区 别 又 有 联 系 ， 因此 函 数 与 方 程 思 想是 研 究 变 量 与 函 数 、 等 与 不 等 过 程 的 基 本 数 学 相
思想 ． 例 １ 已知 方程 （ 一２ ｘ＋ｍ）（ 一２ ｘ＋ｎ ）＝０的 四个
时 ，（ ｇ ）＝ （ ＋ ）一 ＿ ２ ４＝ｌ（ ＋２ ４ 厂 ｇ ）一 ．
回顾
本题 的解法 贯穿着 方程 思想． 当直 接 求 未 知 数
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。