相似三角形的应用练习题及答案
经典相似三角形练习题(附参考答案)
考点： 相似三角形的判定；平行线的性质。菁优网版权所有
专题： 证明题。
分析： 根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
解答： 证明：∵DE∥BC，
∴DE∥FC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴EF∥AD，
∴∠A=∠FEC．
专题： 证明题。
分析： 由FD∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．
30．（1）已知 ，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
（1）所需的测量工具是： _________ ；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
相似三角形应用题专项练习30题(有答案)
相似三角形应用题专项练习30题（有答案）1．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一颗被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB是多少米．2．铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．3．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．（1）试说明：；（2）求这个矩形EFGH的宽HE的长．4．如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=19米，求电视塔的高ED．5．如图，要测量某建筑物的高度AB，立两根高为2m的标杆BC和DE，两竿相距BD=38m，D、B、H三点共线，从BC 退行3m，到达点F，从点F看点A，A、C、F三点共线，从DE退行5m到达点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线，试算出建筑物的高度AB及HB的长度．6．如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E 处．（1）请画出小王在E处的影子EH；（2）求EH的长．7．已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树的高．8．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？9．如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．10．如图，小李晚上由路灯A下的B处走到C时，测得影子CD的长为2米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小李的身高CM为1.5米，求路灯A的高度AB．11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．12．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如下图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE 于D，C在BD上，实际可测量①BC；②CD；③DE；④EF；⑤DB；⑥∠ACB；⑦∠ADB等数据．你会选择测量哪些数据？请说出你的方案，并列出求AB长的表达式．13．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？14．在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6m，CD=2m，人与标杆之间的距离BD=1m，标杆与旗杆之间的距离DF=30m，求旗杆EF的高度．15．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．16．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m；丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D l，乙从E 处退后6m到E l处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D l与旅杆顶端B也重合，测得C l E l=4m．求旗杆AB 的高．17．如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm 和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出．18．某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？19．如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m，蹲下来，则身影AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．20．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一段亮区．已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，窗口底边离地面的高度BC=1.5m，求亮区ED的长．21．如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？22．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．23．已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．24．一个钢筋三角架三边长分别是30厘米、75厘米、90厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为45厘米和75厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．25．有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？26．求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．27．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）28．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．29．如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，（1）△ABC与△EDC相似吗？为什么？（2）求A、B两地间的距离．30．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为；（2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子；（3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m 时，小亮的影长是多少m？相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：如图，CD=3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴=，即=，∴BC=6，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴AB=2BC=12，即树长AB是12米．2．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN=2m，CN=2﹣1.65=0.35（m），MN=40m，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴=，∴=，解得：EM=7.35，∵AB=MF=1.65m，故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7=7.3（米），答：城楼的高度为7.3m．3．（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm，∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，由（1）可得，解得，x=12，∴宽HE的长为12cm．4．解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：△AFG∽△AEH，∴即，解得：EH=9.6米．∴ED=9.6+1.6=11.2米．5．解：设BH=x，AH=y，根据题意可得：BC∥AH，DE∥AH，则△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，故=，=，即=，=，则=，解得：x=57，故=，解得：y=40，答：建筑物的高度AB为40m及HB的长度为57m．6．解：（1）如图：（2分）．（2）由=（3分）∴OB=8米（4分），∴OE=16.4米．由=（5分）即=．（7分）∴EH=4.1米．（8分）7．解：∵CD⊥AB，EB⊥AD，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ADC，∴，．∵EB=2，AB=3，AD=21，∴，∴CD=14．答：此树高为14米．8．解：过C点作CG⊥AB于点G，∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．∵∠NMF=∠AGC=90°，NF∥AC，∴∠NFM=∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴，∴AG===6，∴AB=AG+GB=6+2=8（米），故电线杆子的高为8米．9．解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，∵MF∥BC，∴△AMF∽△ABC∴=，∴=∴x=3经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．答：两个路灯之间的距离为18米．10．解：∵小李的身高：小李的影长=路灯的高度：路灯的影长，当小李在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CD：BD=CG：AB，当小李在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EF：BF=EH：AB=CG：AB，∴CD：BD=EF：BF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．∵CD：BD=CG：AB，即=，解得x=6米．即路灯A的高度AB=6米．11．解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=10m，∴=∴BC=5米，∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5米∴树高为6.5米．12．解：选择①⑥，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；选择③④⑤可以证得△DEF∽△DBA，则=，可求得AB的长为．13．解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，∴∠ABC=90°，∵BC=50m，CD=10m，∠EDC=90°，∴△ABC∽△EDC，∴AB=5DE，∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17，∴AB=5×17=85．∴河宽为85米14．解：过点A作AH⊥EF于H点，AH交CD于G，∵CD∥EF，∴△ACG∽△AEH，∴，即：，∴EH=12.4．∴EF=EH+HF=12.4+1.6=14，∴旗杆的高度为14米．15．解：（1）∵AD=0.66，∴AE=AD=0.33，在Rt△ABE中，（1分）∵sin∠ABE==，∴∠ABE≈12°，（4分）∵∠CAD+∠DAB=90°，∠ABE+∠DAB=90°，∴∠CAD=∠ABE=12°．∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°．（5分）（2）解法一：在Rt△ACD中，∵sin∠CAD=，∴CD=AD•sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14，（7分）解法二：∵∠CAD=∠ABE，∠ACD=∠AEB=90°，∴△ACD∽△BEA，（6分）∴，∴，∴CD≈0.14．（7分）∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米．（8分）16．解：设BO=x，GO=y．∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴1.5：x=3：（3+y）同理1.5：x=4：（y+6+3）解上面2个方程得，经检验x=9，y=15均是原方程的解，∴旗杆AB的高为9+15=24（米）．17．解：有两种不同的截法：（1）如图（一），以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x，短边长为y，则有，①，解得x=25，②，解得y=10，所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm、25cm的两段；（6分）（2）如图（二），以30cm长的钢筋为中边，设长边为x，短边长为y，①，解得x=36，②，解得y=12．所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段．（12分）（3）若以30cm长的钢筋为短边，设长边为x，中边长为y，，解得：x=90（不合题意，舍去）18．解：如图，设树的高度为AB，BD为落在地面的影长，CE为落在台阶上的影长，CD为台阶高延长EC交AB于F，则四边形BDCF是矩形，从而FC=BD=4.6，BF=CD=0.3，所以EF=4.6+0.2=4.8，则，解得AF=8，AB=AF+FB=8.3（米）．所以树的高度AB为8.3米．19．解：因为AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC∴AB：HB=AD：PH，AC：AM=HC：PH，即1.125：（1.125+AH）=1.6：PH，0.5：0.8=（0.5+HA）：PH，解得：PH=8m．即路灯的高度为8米20．解：根据题意，易得△DCB∽△ACE，∴CD：CE=BC：CA，又因为AB=1.2米，CE=3.6米，BC=1.5米，所以（3.6﹣ED）：3.6=1.5：（1.2+1.5）．解得ED=1.6米．21．解：∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，∴AD=12，∵四边形DEFG是正方形，∴ED∥BC，DE=GF，（1分）∴△AED∽△ACB，（1分）又∵AN⊥BC，∴AN⊥DE，DG=ED=EF，（1分）∴，（2分）设DE=x，则AM=12﹣x，∴，（1分）解得：x=．答：这个正方形的边长为厘米．（1分）22．解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m 23．解：如图，∵HE∥DF，HC∥AB，∴△CDF∽△ABE∽△CHE，∴AE：AB=CF：DC，∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，由比例可知：CH=1.5米＞1米，故影响采光．24．解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，①45cm与30cm是对应边时，新做三角架的两边之和一定大于75cm，不符合；②45cm与75cm是对应边时，∵两三角架相似，∴==，解得x=18，y=54，∵18+54=72cm＜75cm，∴从75cm长的钢筋截取18cm和54cm两根；③45cm与90cm是对应边时，∵两三角架相似，∴==，解得x=15，y=37.5，∵15+37.5=52.5cm＜75cm，∴从75cm长的钢筋截取15cm和37.5cm两根；综上所述，共有两种截法：方法一：从75cm长的钢筋截取18cm和54cm两根，方法二：从75cm长的钢筋截取15cm和37.5cm两根．25．解：（1）因为△ABC为直角三角形，边长分别为3cm和4cm，则AB==5．作AB边上的高CH，交DG于点Q．于是=，故CH=cm．易得：△DCG∽△ACB，故：=．设正方形DEFG的边长为xcm，得：=，解得：x=．（2）令AC=3cm，设正方形边长为ycm．易得：△ADE∽△ACB，于是：=，=，解得：y=．∵＜，∴第二种情形下正方形的面积大．26．解：如图所示，CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子．∵AB∥CD，∴=，∴=，即 MB=．同理BN=．∴MB+BN==常数（定值）．27．解：（1）如图1所示：过F点作FE⊥AB于点E，∵EF=15米，∠AFE=30°，∴AE=5米，∴EB=FC=（20﹣5）米．∵20﹣5＞6，∴超市以上的居民住房采光要受影响；（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处．∵AB=20米，∠ACB=30°∴BC===20米答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米．28．解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，又∵CD=EF，∴，∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，∴，∴BD=9，BF=9+3=12，∴，解得，AB=6.4m．29．解：（1）∵CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，∴AC=AD+CD=100+20=120m，BC=BE+CE=20+40=60m，∵==，==，∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA；（2）∵△CDE∽△CBA，∴=，即=，解得AB=135m．30．解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；（2）如图所示，BE即为所求；（3）先设OP=x，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，∴=，即=，∴x=5.8米；当OD=6米时，设小亮的影长是y米，∴=，∴=，∴y=（米）．即小亮的影长是米．。
相似三角形练习含答案
相似三角形1、（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2、（2013•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在RtACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴==．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3、（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，易证得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的长，继而求得答案．解答：解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，∵AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴，∵BC=7，CE=3，∴DE=AC，DB=AB，∴AD=BD﹣BA=AB，∴S丙=（AC+DE）•AD=AB•AC，∵A∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，∴BH∥AC，∴四边形BDFH是矩形，∴BH=DF，FH=BD=AB，∴△GBH∽△BCA，∴，∵GB=2，BC=7，∴GH=AB，BH AC，∴DF=AC，GF=GH+FH=AB，∴S甲=（BD+GF）•DF=AB•AC，∴甲＜乙，乙＜丙．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4、（13年北京4分5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
相似三角形应用举例1(含答案)
相似三角形应用举例1新颖题如右图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使BD DC =12，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：∠DBH=∠DAB ．证明：过A 作AM ⊥BC 于M ，在Rt △ADM 和Rt △CDH 中， ∠ADM=•∠CDH ，•∠AMD=•∠CHD=990°， 所以△CDH ∽△ADM ，所以AD DM CD DH =，CD=2BD ，DM=12BD ，所以AD DBBD DH=． 因为∠ADB=•∠BDH ，• 所以△ADB ∽△BDH ， 所以∠DBH=∠DAB ．一、基础练习1．在同一时刻，小R 量得小D 的身高是1.5m ，其影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆高度是________m ． 2．如图1，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 长为5mm ，AC 被分为50等分，如果小管口DE 正好对着量具上29份处（DE ∥AB ），那么小管口径就是________mm ．（1） （2） 3．如图2，测得QS=40m ，ST=100m ，QR=60m ，则河宽PQ 约为_______m ． 4．如图3，测得BD=10m ，DC=40m ，EC=30m ，则河宽AB 约为______m ．（3） （4） （5） 5．如图4，测得BO=6m ，OD=3.4m ，CD=1.7m ，则旗杆AB 高约为______m ． 6．如图5，测得CD=1.7m ，DE=3.4m ，BD=6m ，则旗杆AB 高约为______m ．7．将两块完全相同的等腰直角三角形的三角板摆放如图6，•假设图形中的所有的点，线都在同一平面内，则图形中相似但又不全等的三角形是________．（6）（7）8．如图7，请你设计几种不同的方法，将一个Rt△ABC分割成四个小三角形，•使得每一个小三角形都与原直角三角形相似．设计好以后，请你想一想，将一个锐角△ABC（或钝角三角形）•分割成四个小三角形，使得每一个小三角形都与原直角三角形相似，你能够吗？二、整合练习1．图中的每一个小正方形的边长为1，将三个正方形并排组成一个矩形．（1）求证：△BCE∽△BED；（2）求证：∠BEC+∠BED=45°2．如图，ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC=2BE，将正方形折叠，•使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1和S2，•求S1：S2．答案：一、基础练习1．12 2．2.9 3．60 4．7.55．3（∠AOB=∠COD） 6．4.77．△BDE∽△CDB∽△ABE8．图（1）、（2）分别取斜边和直角边的中点，结果分割成四个小三角形均全等，分别与原三角形相似．图（3）、（4）、（5）、（6）、（7）依次作直角三角形斜边上的高．•当△ABC由Rt△变成锐角三角形或钝角三角形时，只要顺次连结原三角形三边的中点所得的图形符合要求．如图（8）、（9）．（运用依次作直角三角形斜边上的高的方法，可将Rt△分成n个小三角形其每一个小三角形都与原直角三角形相似）二、整合练习1．（1）在△BCE和△BED中，BC=1，BD=2，因为∠CBE=∠EBD．BC BEBE BD=，所以△BCE•∽△BED．（2）因为△BCE∽△BED，所以∠BCE=∠BED，∠BEC+∠BED=∠BEC+∠BCE=∠ABE=45°2．设MN与AE相交于点F，BC=3，EC=2BE=2，BE=1，MN垂直平分AE，△AFM∽△ABE，AF AMAB AE=，AM=16AE2=53，BM=43，过N作NH⊥AB于H，△MNH≌△EAB．MH=BE=1，DN=53-1=23，NC=73，S1：S2=（73+43）：（53+23）•=11：7．又解：设AM=ME=x，BM=3-x，x2=（3-x）2+1，6x=10，x=5 3，设DN=y，N E2=9+y2=9-6y+y2+4，y=23，S2=32·73=72，S1=9-72=112，S1：S2=11：7．。
专题22.6相似三角形的应用【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一[含答案]
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cm．
【变式 5－1】（23－24 九年级·陕西咸阳·阶段练习）
18．如图， EF 是一个杠杆，可绕支点 O 自由转动，当 EF 处于图中的位置时，点 O 到点 E
的水平距离 OM = 2 ，点 O 到点 F 的水平距离 ON = 4 ，若已知杠杆的 OE 段长为 2.5，则杠杆
的 OF 段长为
．
【变式 5－2】（23－24 九年级·河南南阳·期末）
专题 22.6
相似三角形的应用【十大题型】
【沪科版】
【题型 1 建筑物高问题】
【题型 2 影长问题】
【题型 3 河宽问题】
【题型 4 树高问题】
【题型 5 杠杆问题】
【题型 6 实验问题】
【题型 7 古文问题】
【题型 8 裁剪问题】
【题型 9 现实生活相关问题】
【题型 10 三角形内接矩形问题】
【题型 1 建筑物高问题】
CD＝16m ， BE = 10m ，请根据这些数据，计算河宽 AB．
【变式 3－3】（23－24 九年级·北京·期末）
12．如图，为了测量平静的河面的宽度，即 EP 的长，在离河岸 D 点 3.2 米远的 B 点，立一
根长为 1.6 米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为 4.5 米的电线杆 MF ，电线杆的顶端 M
19．如图是用杠杆撬石头的示意图，点 C 是支点，当用力压杠杆的 A 端时，杠杆绕 C 点转
动，另一端 B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 B 端必须向
上翘起 5cm ，已知 AB : BC = 10 :1 ，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的 A 端向下压
cm ．
【变式 5－3】（23－24 九年级·浙江温州·期中）
相似三角形的应用练习题(带答案
是矩形，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴ ∴四边形
， 为正方形．
（ 2 ）仿照勤奋小组同学的作法作图，如图 与图 所示，矩形
即为所作．
图
图
（ 3 ）如图 ，作
的高 ，交 于 ，
∵
的面积
，
∴
，
∵
，
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴矩形
的面积
，
同理，在矩形
中，若
，可求出
，
∴
，
，
∴矩形
的面积
．
．
，
，
．若点 是 边上的一点，将
， 交 于，
，则
，
D
10
【答案】
;
【解析】 作
于，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由折叠及
得：
，
∴易得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理；相似A字型
3. 如图，矩形
的顶点 在 轴的正半轴上，点 、点 分别是边 、 上的两个点．将
沿 折叠，使点 落在 边上的三等分点 上（点 靠近点 ），过点 作
，使 ， 位于边 上， ， 分别位于边 ， 上．（在备用图中完成，不写作法，保
留作图痕迹）
（ 3 ）解决问题： 在（ ）的条件下，已知
相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。