电动力学的相对论不变性

电动力学的相对论不变性 一、 四维电流密度矢量 电荷是洛仑兹标量，即：⎰=dv Q ρ=不变量设当电荷静止时电荷密度为0ρ，体积为0dV ，则运动时：022/1dV c u dV -=，0220/1ργρρu c u =-=电流密度u u J u 0ργρ==引入第四维分量04ργρu ic ic J ==得一四维矢量：),(0ρρμμic J U J==， 满足协变式νμνμJ a J =' 电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t J ρ可写成0=∂∂μμx J ，它有明显的协变性：0='∂'∂μμx J 二、 四维势矢量在洛仑兹规范012=∂∂+⋅∇tc A ϕ 条件下的势方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-∇-=∂∂-∇0222022221ερϕϕμt J t Ac A微分算符μμx x t c ∂∂∂∂=∂∂-∇22221J A x x 0μμμ-=∂∂∂∂⇒，ρμϕμμ20c x x -=∂∂∂∂ 把A和ϕ合成一个四维矢量 ),(ϕμciA A =，满足变换式νμνμA a A = 则：μμμμμJ A x x 0-=∂∂∂∂满足协变式 μμμμμJ A x x '-='∂∂∂∂0 洛仑兹规范四维形式：0=∂∂μμx A ，满足协变式0='∂'∂μμx A 。

四维势满足变换式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='-=')()(2x z z y y x xvA A A A A cv A A ϕγϕϕγ 三、电磁场张量用势表示的电磁场为：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂--∇=⨯∇=t A E A Bϕ在四维空间中ict x =4，4icA -=ϕ有：32231x A x A B ∂∂-∂∂=，13312x A x A B ∂∂-∂∂=，21123x A x A B ∂∂-∂∂=)()(411444214111x A x A ic t x x A x icA t A x E ∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂-∂-=∂∂-∂∂-=ϕ同理：)(42242x A x A ic E ∂∂-∂∂=，)(43343x A x A ic E ∂∂-∂∂=用νμμνμνx A x A F ∂∂-∂∂=作为分量引入一四维反对称张量：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000321312213123E ci E ci E ci E c i B B E c i B B E c i B B F 用张量，有： μνμνμμεμερJ x F J t E B E 00000=∂∂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+∂∂=⨯∇=⋅∇ 00=∂∂+∂∂+∂∂⇒⎪⎭⎪⎬⎫∂∂-=⨯∇=⋅∇νλμμνλλμνx F x F x F t B E B协变性的证明：在洛仑兹变换νμνμx a x =下，算符μx ∂∂的变换式为：νμνμx a x ∂∂='∂∂，故： βαγμανγνβαγνγμαβνβνμνx F a a a F a a x a x F ∂∂=∂∂='∂'∂)(μαμααμαβαβμαμμμJ J a J a x F a '===∂∂=000)()(满足协变性的要求。

)(βγνγμβαλανλμμνλλμνF a a x a x F x F x F ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ )(γαλανγβμβF a a x a ∂∂+)(αβμβλαγνγF a a x a ∂∂+ 0)(=∂∂+∂∂+∂∂=γαββγααβγνγμβλαx F x F x F a a a也满足协变性的要求。

张量的变换关系：λτντμλμνF a a F ='写成矩阵形式：a aF F ~='，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''''-'-''-''-'-'-'γβγβλγ0001000010000000321312213123i i E ci E ci E ci E c i B B E c i B B E c i B B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------γβγβγγ0001000010000000321312213123i i E ci E ci E ci E c i B B E c i B B E ci B B11E E =' ，11B B =' )(322vB E E -='γ，)(3222B cvB B +='γ )(233vB E E +='γ，)(2233E cvB B -='γ当c v <<时过渡到非相对论形式B v E E ⨯+='，E c v B B⨯-='2结论：电动力学基本方程对任意惯性系成立，坐标变换，势按四维矢量变换，电磁场按四维张量变换。

[例] 求以匀速v运动的带电荷e 的粒子的电磁场。

解：∑'--固定在粒子上；∑--相对∑'系以速度v运动304r x e E x ''=πε，0=xB 304r y e E y ''=πεγ，3024r z e c v B y ''-=πεγ 304r z e E z ''=πεγ，3024r y e c v B z ''=πεγ而x x γ='，y y ='，z z ='z y x e z e y e x++=χ，2/1222)(z y x ++=χz y xe z e y e x ''+''+''='χ，2/1222)(z y x '+'+'='χ 2/322222/32223)()(z y x z y x r ++='+'+'='γ2/3222223])1[(x cvr c v +-=γ2/322223])()1[(cv r c v χγ⋅+-=得：z z y y x x e E e E e E E ++=， 304r e x e x ''=πε 304r e y e y ''+πεγ 304r e z e z''+πεγ304r e x e x '=πεγ 304re ey y '+πεγ 304r e ez z'+πεγ 304r e z e y e x ezy x '++=πεγ2/32222022])()1[(4)1(c v r cv e cv χπεχ⋅+--=z z y y x x e B e B e B B ++=3024r e z e c v y''-=πεγ 3024r e y e c v z''+πεγ3024r e z e y c ev y z '-=πεγ 另一方面：30400re z e y ev e vE e vE E E E ve e e E v y z y z z y z yxzy x'-=-==⨯πεγE cvB ⨯=⇒2当c v <<时，0304E r e E==πεχ，30024rv e E c v B πχμ ⨯=⨯= 当c v ~时，在垂直v方向上：304E r e E>>=πεχγ在垂直v 方向上：030224)1(E r e cvE<<-=πεχ可见，高速带电粒子的电磁场集中在与v垂直的平面上，类似一个横向平面上的电磁脉冲波。

[例] 爱因斯坦在他创立狭义相对论的论文《论云动物体的电动力学》中说：“设有一个在电磁场里运动的点状单位电荷，则作用在他上面的力等于它所在的地方所存在的电磁强度，这个电场强度是我们经过场的变换变到与该点荷相对静止的坐标系所得出的（新说法）。

”试以带电粒子在均匀磁场中作圆周运动为例，说明爱因斯坦的观点。

解：∑'--固定在带电粒子上；∑--相对∑'系以速度v沿X 轴方向运动，且设)0,,0(B B =B v q F ⨯= 带电粒子在垂直磁场方向作匀速圆周运动。

在∑'系中：0=='x xE E ， 0=='x x B B 0)(=-='z y y vB E E γ，B E cvB B z y y γγ=+=')(2 vB vB E E y z zγγ=+=')(， 0)(2=-='y z zE cvB B γ 即：),0,0(vB E γ=' ，)0,,0(B B γ='z e qvB E q B v E q F '='='⨯'+'=' γ)([例] 参考系∑'相对∑系以速度)0,0,(v v =运动。

在∑系观察，空间某区域有静磁场),,(z y x B B B B =。

（1）求在∑'系观测，该区域内的电磁场；（2）若该区域内有一电量为q 的粒子相对于∑系静止，求在∑'系观测，这个粒子所受的力。

解：（1）由电磁场变换关系得：0=='x xE E ， x x B B =' z z y y vB vB E E γγ-=-=')(，y z y y B E cv B B γγ=+=')(2 y y z z vB vB E E γγ=+=')(， z y z z B E cv B B γγ=-=')(2 所以：),,0(y z vB vB E γγ-=' ，),,(z y x B B B B γγ=' 式中：2/122)/1(--=c v γ（2）粒子所受的力 B e v q E q B v E q F x '⨯-+'='⨯'+'='' )()( 0)()(=++⨯-+-=''''''z z y y x x x z y y z e B e B e B e qv e vB e vB q γγγγ电磁场不变量参考系不同，电场或磁场亦不同，但： 222121E cB F F -=μνμν=不变量 E B c⋅1=不变量 对于平面波，这两个不变量都为零。

布置作业：P292：12。