循环卷积_DFT求线性卷积

我 们 已 经 知 道 ， 可 以 用 DFT 来 求 循环卷积， 即 x(n) h(n) IDFT[ X (k ) H (k )] ，因此只要找到循 环卷积与线性卷积之间的关系，就可以解决用DFT求线性
卷积的问题。

设x(n) 长度为N1，h(n) 长度为N2，则线性卷积
y(n) x(n) h(n)

解：设R(k)=X(k)Y(k)，于是 r (n)
x(n) y(n) ，
并且r(n)之长度为20。又设g(n)=x(n)*y(n)，则线性卷积 g(n)之长度为8+20-1=27。循环卷积r(n)是周期卷积 ~ r ( n) 的主值序列，而 ~ r (n)又是线性卷积g(n)的周期延拓，延拓 的周期就是周期卷积的周期20。
注意矩阵的对角线为 h(0) 然后每列往下依次是1、2、3...循环移位

h矩阵这个N阶方阵中的元素都是 n由0到N-1区间的h(n) ，
这是通过求模(n-m)N 而得到的。在实际运用时只需要按照
h矩阵中元素排列的规律直接写出这个矩阵。

例 设 x1(n) = {1,2,3,4,5}，x2(n)={6,7,8,9}，计算 5 点循环 卷积

之长为N = N1+N2-1。为了便于用矩阵表示，我们在序列 x(n) 的后面添N2-1个0，使x(n) 的长度变为N，这样，线性 卷积为：
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m),
m 0
N 1
0 n N 1

用矩阵表示为：
y(0) h(0) y(1) h(1) h(0) h( N 1) h( N 2) 2 y( N 2 1) 2 y( N2 ) 0 h( N 2 1) y( N 1) 0 2 0 y ( N 2 ) 0 0 0 y( N 1) 0
用DFT求线性卷积

如果循环卷积的长度N满足N≥N1 + N2 -1（N1、N2分别 是x1(n) 与x2(n) 的长度），则此循环卷积就等于x1(n)与x2(n) 的线性卷积，于是，我们用DFT求得的循环卷积就是线性 卷积。
N≥N1+N2--1
图
用 DFT 求线性卷积

与循环卷积的矩阵表示相比较，可以看出，即使进行线性 卷积的两个序列长度也都是 N，其结果也与循环卷积不同：
两个表示式中 h 矩阵不但元素的排列不同，而且矩阵的大
小也不同。事实上，如果x(n)和h(n)的长度都为N，则它们
的循环卷积yN(n) 之长度为N，而它们的线性卷积y(n) 之长
度为2N-1。
结果与线性卷积相同。

在x(n) 后面补充N2-1个0，使x(n)长度变为 N，x(n)：x(0)、
x(1)、…、x(N1-1)、0、0、…、0。

在h(n) 后面补充N1-1个0，使h(n)长度变为 N，h(n)：h(0)、 h(1)、…、h(N2-1)、0、0、…、0。

~ 再将h(n) 进行周期延拓，周期为N：h (n )
r
h(n rN )


为了计算x(n)与h(n)的循环卷积yN(n)，我们先计
算
~ ~ ~ y N (n) ： 的周期卷积 x ( n )与 h (n)
N 1 ~ ~ ~ ~ y N ( n ) x ( m ) h ( n m) x ( m) h ( n m) m 0 m 0 N 1
h( N 2) h( N 1) h(0)
h( N 4) h( N 3)
h(1) x(0) x(1) h(2) h(3) x(2) h( N 1) x( N 2) h(0) x( N 1)
~

而循环卷积又是周期卷积的主值序列，因此，此时循环卷 积yN(n)与线性卷积y(n)完全相同，即：
y N (n) x(n) h(n) ~ y N (n) RN (n) y(n) x(m)h(n m)
m 0 N 1
0 n N 1

例 设两个有限长度序列：x(n), 0≤n≤7；y(n), 0≤n≤19。令 X(k)和Y(k)分别表示它们的20点DFT，而序列 r(n)=IDFT[X(k)Y(k)]。试指出r(n)中的哪些点相当于线性卷 积g(n)=x(n)*y(n)中的点。
有限长序列的循环卷积（又称圆周卷积）
(1) 定义

设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为 L、M的有限长序列，它们的 N点循环卷积x3(n) 定义为： N 1 ~ x3 (n) x1 (n) x2 (n) x1 (m) ~ x2 (n m) RN (n) m 0
注意：其中N>=Max{L,M}

注意：如果其中一个序列 ( 或者两个序列）的长度没有所
求N点循环卷积的长度长，那在该序列后面补零，直到长 度达到N

(c) 用解析式计算
N 1 y N (n) x(n) h(n) x(m)h((n m) N ) RN (n) m 0
x(m) h(n m rN )
m 0 r
N 1

r m 0
[ x(m)h(n rN m)]

N 1

r
y(n rN )

此式说明，周期卷积 ~ y N (n) 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) 的周期延拓。由于 ~ x ( n ) 与 h (n) 的周期都为N，因此它们 的周期卷积 ~ y N (n) 的周期也为N，正好等于y(n)的长度， 即上式中以N为周期的周期延拓没有发生混叠，线性卷积 y(n)正好是周期卷积 ~ y N (n) 的一个周期。
0 6 7 8 9
9 0 6 7 8
8 9 0 6 7
7 1 100 8 2 95 9 3 85 0 4 70 6 5 100
用DFT求线性卷积

DFT不仅可以用来对信号进行频谱分析，而且还可以用来 计算序列的线性卷积。 循环卷积与线性卷积的关系

x(0) x(1) h(0) x( N1 1) 0 h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(0) 0 0 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(1) h(0)
x3 (n) x1 (n) x2 (。 n)

解： x2(n) 为 4 点序列，在其尾部填零使其成为 5 点序列， 再进行循环卷积运算。
x 3 ( 0) 6 x (1) 7 3 x3 (2) 8 x3 (3) 9 x ( 4) 3 0
专题： 循环卷积、用DFT求线性卷积
首先，我们要理解周期卷积仅仅针对离散傅里叶级数，循环 卷积（又称圆周卷积）仅仅针对离散傅里叶变换。这里的 “循环”是针对周期序列而言，我们要始终记住，离散傅里 ~ x ( n) 叶变换的序列x(n)是周期序列 的主值序列。 而线性卷积是针对有限长序列，要用DFT求线性卷积，必然 要求周期序列在一个周期内求卷积能和有限长序列求线性卷 积等值。因此我们求N点长度的循环卷积必然要和线性卷积 长度一致。起码N要不少于线性卷积的长度。

此式可用矩阵表示为：
h( N 1) y N (0) h(0) y (1) h(1) h(0) N y N (2) h(2) h(1) y N ( N 2) h( N 2) h( N 3) h( N 1) h( N 2) y N ( N 1)

但是，在一定的条件下，可以使循环卷积与线性
卷积的结果相同。考虑两个有限长序列的线性卷 积：设x(n)的非零区间为0≤n≤N1-1, h(n)的非零
区间为0 ≤n≤N2-1，则线性卷积y(n)=x(n)*h(n)
的长度为N=N1+N2-1，非零区间是0≤n≤N-1。

的循环卷积，使其

由于20<27，即延拓的周期小于线性卷积的长度，故延拓
时必然发生线性卷积的混叠，即
~ r ( n)
的每一个周期的
前27-20=7个值都是g(n)的前一个周期的后7个值与后一个
周期的前7个值的混叠，也就是说，循环卷积r(n) 的20个 值中，后13个值才与g(n)中间部分的13个值相同。因此， 对于循环卷积r(n)，（0≤n≤19），只有7≤n≤19这13个 点相当于线性卷积g(n)中的点。