黎曼猜想简介
黎曼猜想通俗理解
黎曼猜想是数学中最重要的未解决问题之一，由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年提出，它是关于黎曼ζ函数的一个基本性质的猜测。
黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function）是一个极其重要的复变函数，其定义域涵盖了所有的复数，并且在实数部分大于1的部分与素数分布有着深刻的联系。
通俗地说，黎曼猜想可以这样表述：
在复平面内，所有使得黎曼ζ函数等于零的点（这些点被称为非平凡零点），它们的实部都严格等于1/2。
换句话说，黎曼猜想是说，那些对数学分析和数论至关重要的特殊点（即黎曼ζ函数的零点），如果它们不是所谓的“平凡零点”（即负偶数实部的点，这些点已经被证明存在），那么它们都在一条特定的直线上——就是横坐标为1/2的直线上。
这个猜想之所以重要，是因为它若被证明，将会极大地推动数论的发展，尤其是对于理解素数的分布规律具有决定性的意义。
至今为止，尽管数学家们已经验证了大量黎曼ζ函数的零点满足该猜想，但尚未找到一个严格的证明来覆盖所有的非平凡零点。
解决黎曼猜想不仅会带来数学理论上的突破，还会直接影响到许多其他数学分支领域的问题。
黎曼猜想的简单理解
黎曼猜想的简单理解黎曼猜想，又叫黎曼假设，是由19世纪德国数学家哥廷根黎曼发表的一个重要猜想，它期望着为任意大于3的自然数N，寻找一组相同大小的整数，可以组成数学上著名的定理：黎曼假设成立时，每个大于3的自然数都能够表示为两个素数（质数）的和。
黎曼假设和定理可以用以下等式来描述：黎曼假设：对于任意大于3的自然数N，存在两个素数p和q，使得N=p+q黎曼定理：对于任意大于3的自然数N，都存在两个素数p和q，使得N=p+q。
黎曼猜想是一个有着悠久历史的数学问题，它有着深远的影响，并在研究者中引发了巨大的兴趣。
自从黎曼发表这个猜想以来，数学家们就从事着它的研究，可惜的是，迄今为止，这个猜想仍未得到令人满意的证明。
黎曼假设的研究很受欢迎，因为它涉及了抽象和复杂的数学结构，以及计算机科学的许多概念。
它也与代数、几何、概率论和组合数学有着深刻的关系，这些都是数学的重要分支。
此外，黎曼猜想也有重要的实用价值。
它关于数字解密的实际应用，它曾被利用过，用于破解密码，然而，由于种种原因，它不总是有效的。
在研究黎曼猜想的历史上，研究者们一直写出了大量的论文和文章，提出了许多解决问题的可能性论点，但到目前为止，黎曼猜想仍未得到证明，也没有任何很好的解决方案。
虽然黎曼猜想尚未解决，但这不妨碍数学家们对它的研究和讨论。
它也在一定程度上促进了数学研究的发展，特别是在质数与素数理论方面，成为全球数学家研究的重点领域。
因此，可以认为黎曼猜想以及它的定理，是数学领域的一个重要议题。
它的影响一直深入到抽象数学及计算机科学等其他领域，而且，它也为数学研究者们带来了挑战和机会。
未来，黎曼猜想仍将成为当今众多数学家研究的焦点，他们将继续探索和发现，最终找到有用的解决方法。
数学黎曼猜想
数学黎曼猜想黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。
9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。
素数又称质数。
质数是像2、3、5、7、11、13、17、19那样大于1且除了1和自身以外不能被其他正整数整除的自然数。
这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的合。
从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。
质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。
不常见的数学公式
不常见的数学公式黎曼猜想：数学中一个至今未解的难题在数学领域中，黎曼猜想（Riemann Hypothesis）是一个备受关注且令人困惑的难题。
它由德国数学家伯纳德·黎曼于1859年提出，并被广泛认为是数论领域最重要的未解问题之一。
黎曼猜想涉及到了复变函数理论、素数分布等多个数学分支，对于数学家们来说是一块难以逾越的高峰。
黎曼猜想的核心是对于复数域中的黎曼ζ函数（Riemann zeta function）的非平凡零点的性质的研究。
黎曼ζ函数定义如下：ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...其中s是复数，实部为σ，虚部为t。
黎曼猜想的内容是：对于所有的非平凡零点，其实部都等于1/2。
这意味着所有的非平凡零点都位于直线Re(s)=1/2上，这条直线被称为“临界线”。
黎曼猜想的重要性在于它揭示了素数分布的规律。
素数一直是数学家们关注的焦点，研究素数的分布规律对于解决许多数论问题至关重要。
黎曼猜想的证明将为素数分布提供一个清晰的解释，并帮助我们更好地理解素数的性质。
然而，尽管黎曼猜想在过去的几个世纪里得到了广泛的研究，但至今仍未找到其证明。
许多数学家都致力于解决这个难题，但迄今为止，黎曼猜想仍然是一个未解之谜。
黎曼猜想的重要性不仅在于它本身的难解性，还在于它对其他数学领域的影响。
许多数学分支都与素数相关，例如密码学、密码破解等领域都与素数有密切的联系。
因此，解决黎曼猜想将为这些领域提供新的突破口，推动数学的发展。
然而，尽管黎曼猜想的重要性和难解性被广泛认可，但目前还没有人能够给出其确凿的证明或反例。
数学家们仍在不断努力，寻找新的方法和思路来解决这个难题。
他们使用了各种数学工具和技巧，如复分析、数论、图论等等，但迄今为止，仍未有结果。
黎曼猜想是数学界一个备受关注的难题，它涉及到复变函数理论、素数分布等多个数学分支，对于数学家们来说是一块难以逾越的高峰。
尽管数学家们已经做出了许多有关黎曼猜想的重要发现，但至今仍未找到其确凿的证明。
数学三大猜想黎曼猜想
数学三大猜想黎曼猜想
数学三大猜想之一是黎曼猜想，它是由德国数学家伯纳德·黎曼提出的。
黎曼猜想是关于素数分布规律的一个猜想，它认为素数的分布呈现出一种类似于随机分布的特征。
黎曼猜想的重要性在于，它影响着许多领域的数学研究，如数论、代数几何、微积分学等。
并且，黎曼猜想的证明已经成为数学界的重大难题之一，许多杰出的数学家都曾试图证明它，但目前仍未得到证明。
除了黎曼猜想，还有两个重要的猜想也备受关注，它们分别是庞加莱猜想和贝尔巴赫猜想。
庞加莱猜想是关于三维球面上的曲线的问题，它认为任意一个曲线都可以变形为一个简单闭合的曲线。
贝尔巴赫猜想则是关于素数的问题，它认为任何一个偶数都可以表示为两个素数之和。
这三个猜想都涉及到数学领域的重要问题，它们的解决将对数学研究产生深远的影响。
虽然目前这些猜想仍未得到证明，但数学家们仍在不断努力探索，希望最终能够找到证明它们的方法。
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探索数学中的未知领域
探索数学中的未知领域数学作为一门古老而又博大精深的学科，一直以来都在探索未知的领域。
在不同的时代、不同的数学家推动下，数学领域不断拓展、发展，并涌现出许多令人惊叹的数学未解之谜。
本文将探索数学中的未知领域，带您进一步认识数学世界的无限广阔。
一. 黎曼猜想黎曼猜想是一项基本假设，它是数论中的一个重要问题。
它由德国数学家黎曼于1859年提出，至今尚未得到证明。
该猜想关于黎曼ζ函数的零点位置，即函数的虚部为0时的实部值。
尽管该猜想尚未被证明，但黎曼猜想的重要性在于它对于分析数论和解析几何的深入发展具有巨大的启示作用。
二. 波恩大猜想波恩大猜想是数论中一个备受关注的问题。
它是由数学家波恩在19世纪提出的，该猜想探讨了费马最后定理更一般的形式。
费马最后定理指出当指数大于2时，对于正整数x,y,z，没有满足公式x^n + y^n = z^n的非零整数解。
而波恩大猜想进一步推广了费马最后定理的内容，但至今仍未被证明。
三. 黑洞信息丢失谜团黑洞是宇宙中一种极为神秘而又奇特的物体。
在黑洞中，引力场极为强大，以至于连光都无法逃脱其引力束缚。
然而，黑洞究竟如何运作，以及它会对信息产生哪些影响，目前依然是一个未知的领域。
黑洞信息丢失谜团是围绕黑洞的一个猜想，即黑洞会违背物理学上的信息保存定律。
该谜团引发了物理学家们对于量子力学与广义相对论之间的结合理论的思考。
四. 小数邦与优势地带小数邦是数学中一个神秘而又有趣的问题。
小数邦指数学中的一组数，这些数的小数点后面的数字无规则且无限地进行排列。
它们具有一些奇特的性质，例如在小数邦中几乎可以找到任意数字的排列组合。
而优势地带则是指数字排列中出现频率最高的几个数字所构成的区域。
虽然小数邦和优势地带在数学中有重要的应用，但对于它们的规律和性质，仍有许多未知之处等待着数学家的探索。
五. 数学中的无穷无穷是数学中一个永远无法完全揭示的概念。
数学中的无穷有多种形式和表达方式，例如可数无穷和不可数无穷，无限大和无限小等。
黎曼猜想简介
黎曼猜想简介数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。
-----K.F.Gauss比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。
而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。
但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。
当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。
而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。
让我们从1858 年讲起吧。
1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。
论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。
就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。
黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。
他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在 6 个兄弟姐妹中排行老二。
黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。
10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。
14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大4 开本《数论》，并用 6 天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。
黎曼猜想
[编辑]黎曼猜想维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索千禧年大奖难题P/NP问题霍奇猜想庞加莱猜想（已证明）黎曼猜想杨-米尔斯存在性与质量间隙纳维-斯托克斯存在性与光滑性贝赫和斯维讷通-戴尔猜想黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。
多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。
黎曼猜想：黎曼ζ函数，。
非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。
黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。
黎曼ζ函数在任何复数s≠ 1上有定义。
它在负偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。
这些零点是“平凡零点”。
黎曼猜想关心的是非平凡零点。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是½即所有的非平凡零点都应该位于直线½ + ti（“临界线”）上。
t为一实数，而i为虚数的基本单位。
沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。
它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。
素数在自然数中的分布并没有简单的规律。
黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
1901年Helge von Koch指出，现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。
但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。
大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。
塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。
在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。
）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。
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黎曼猜想简介数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。
-----K.F.Gauss比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。
而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。
但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。
当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。
而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。
让我们从1858 年讲起吧。
1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。
论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。
就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。
黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。
他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在 6 个兄弟姐妹中排行老二。
黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。
10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。
14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大4 开本《数论》，并用 6 天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。
1846 年春，19 岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。
1847 年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P .G.L. Dirichilet)等。
在大师的指导下，黎曼进步很快，神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。
黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。
1851 年 11月，他提交了一篇题为“复变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。
1854 年6月10 日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于 1857 年升任副教授，1859年接替狄里赫利任教授。
就凭上述3篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。
黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。
而且，至今没有几个人 能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。
黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又一代杰出数学家。
理解黎曼猜想相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用数学符号表述。
要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作 Zeta 函数)说起。
早在 1749 年，著名数学家欧拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了实变量形式的ζ函数，他证明当 s>1 时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：11(1)s s pn np ∞---==∏-∑ 其中∑叫和号，这里表示从n=1 开始，累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有 p 求连乘积。
p 表示素数。
而黎曼 1859 年的创新是将变量 s 看作复变量，并引进记号：1()s n s n ζ∞-==∑这就是黎曼ζ函数，其中s=σ+it 为复变量，实部记作Res=σ。
使ζ(s)=0的点叫做ζ(s)的零点。
负偶数-2，-4，-6，…都是ζ(s)的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有 1/2+it 形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。
简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0 时 Res=1/2，即所有非平凡零点都位于σ=1/2 这条直线上。
这条直线叫做临界线。
严格地说，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名论文中提出的 6 个猜想构成:(1) ζ(s)在带状区域 0≤σ≤1中有无穷多个零点(亦即ζ(s) =0 在带状区域0≤σ≤1中有无穷多个解)。
这种零点叫做非平凡零点。
(2) 以N(T)表示ζ(s)在矩形区域0 ≤ σ ≤ 1，0≤ t≤T 中的零点个数，则有N(T)≈(T/2π)log(T/2 π)-T/2 π(3)以ρ表示ζ(s)的非平凡零点， 表示对所有非平凡零点求和，则级数 收敛，而级数 发散。
(4)A=-log2和 B 为常数时， 。
(5)ζ(s)的全部非平凡零点的实部都是 1/2。
(6)对于函数称为黎曼素数函数 其中为曼哥特函数。
以上 6 个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通常所说的黎曼猜想。
纯粹数学航标解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指引纯粹数学的航向。
从现有数学研究和推论看黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。
或者设法找出ζ(s)的哪怕只是一个不在1/2线上的非平凡零点，就可以否认黎曼猜想。
ρ∑2ρρ-∑1ρρ-∑()(1)A Bs s s e s e ρρζρ+=-∏2()()/log n xJ x n n ≤≤=Λ∑log ,,1()0k p n p k n ⎧⎫=≥Λ=⎨⎬⎩⎭与费马猜想有些类似的欧拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因为发现反例而被否证的一个例子。
欧拉是举世公认的少数几个大数学家之一，对数学做出过极大贡献，数学中以他的名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。
有人曾问数学大师克莱因：“你认为数学中最伟大的公式是什么？” 克莱因毫不含糊地回答：“欧拉公式。
”为什么呢？据说克莱因的解释是：欧拉公式它把数学中 5 个最重要的数联系在一起：0，1，π，i 和e 。
由此，简单之中蕴涵的深刻可见一斑，欧拉的功绩也昭然在目。
而欧拉猜想则是说：当 n ≥4时，方程n n n n x y z w ++=无解。
自欧拉猜想提出 200 多年来，既未能证明它又未能否证它。
虽然不少数学家认为欧拉猜想应能成立，但 1988 年，哈佛大学的埃尔基(N. Elkies)教授却发现了一个反例，随后埃尔基还证明 4 次方情形有无穷多个解。
这说明未经证明的猜想是多么不可靠，无论提出它的人多么著名和伟大，猜想必须证明。
黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学中的许多问题联系在一起。
下面分三个方面说明：首先，黎曼ζ函数与狄里赫利(P. G. L. Dirichlet, 1805-1859)L 函数一道构成解析数论的核心。
设 q ≥1，χ是模 q 的特征，则复变函数 上式称为对应于特征χ的狄里赫利 L 函数。
显然，狄里赫利 L 函数是黎曼ζ函数的推广，相应于狄里赫利L 函数有广义黎曼猜想：L 函数的所有非平凡零点都在临界直线σ= 1/2上。
解析数论在很大程度上是围绕黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数的零点性质展开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数有关。
解析数论的一个最基本、最重要的内容，就是研究黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数及其零点性质。
代数数论在很大程度上则是围绕戴德金(J. W. R. Dedelkind, 1831-1916) 函数 展开的：1(,)()s n L s n n χχ∞-==∑1()()s sK n A n s N A a n ζ--≥==∑∑()K s ζ其中 A 过代数数域 K 的整数环的所有非零理想。
的解析性质包含了数域 K 的许多算术和代数信息。
也是黎曼ζ函数的一个推广。
实际上，数论研究的中心问题可以归纳如下：对于各种数论研究对象 X ，可以考虑构造一个复变函数ζ或L ，使得ζ或L 的解析特性(包括零点和极点特性、函数方程等)能反映 X 的算术和代数特性。
因此，黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数处于数论的中心地位。
其次，以黎曼猜想为基础，可以证明许多有趣的推论，尤其是有些推论后来被无条件地证明了，这样，就加强了人们认为黎曼猜想成立的信心。
例如，如果黎曼猜想成立，则ζ函数在除σ=1/2以外的地方就肯定没有零点，这样，在σ=1上显然也没有零点。
于是，法国数学家哈达马(Hadamard)和比利时数学家德万普(de la Vallee Poussin)据此在 1896 年分别独立证明了素数定理： 当x →∞时后来，素数定理被许多数论专家用其他方法进一步证明或改进，现已确认无疑。
第三，通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题、关系命题等，可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。
黎曼猜想的等价命题如刘维尔(Liouville)函数猜想：对任何ε>0，有其中λ(n)是刘维尔函数黎曼猜想的强命题如梅顿(Mertens)猜想(1897年由奥地利数学家梅顿提出)： 对于 x>1, 其中而μ(n)是梅比乌斯(Mobius)函数。
由梅顿猜想可以立即推出黎曼猜想。
但 1983 年奥丁科(Odlyzko)和里尔(Riele)借助计算机证明了梅顿猜想是错误的，()K s ζ()K s ζlog ()1x x x π→12()()n xn x ελ+≤=O ∑1111,1()(1),r r a a a a r n n n p p λ++=⎧⎫=⎨⎬-=⎩⎭12()M x x <()()n x M x n μ≤=∑推翻了这个猜想。
因此，比黎曼猜想强的猜想似乎很难成立。
黎曼猜想的弱命题如韦伊猜想：对于亏格为g 的曲线 C ，有由韦伊猜想可以推出 的所有零点在Re s=1/2上。
1934 年哈斯(H.Hasse)证明它对于椭圆曲线成立；1948 年韦伊证明对于一般代数曲线成立；1973年德列(P . Deligne)证明对于一般代数簇成立；使曲线的黎曼猜想得到证明。