高数同济§1.5 极限运算法则例题05-1
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高等数学1.5极限运算法则
二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M
当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
高等数学-极限运算法则
lim x2 5x 4 x1 2x 3
12 5 1 4 21 3
0
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结论：
1.已知多项式
则
2.已知分式函数
若
则
若
求 去公因子再求
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练习：求 解: 原式
(型)
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例6 . 求
解:
分子分母同除以 x2 , 则
23 1 22 10 3
7 3
x2
思考： 若
怎么求函数极限？
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x x0
试证
例3. 设有分式函数
都是多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim F (x) xx0
xx0
lim Q(x)
x x0
其中
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例 求 lim x3 1 x2 x2 5x 3
解
lim
x2
x3 1
lim(x3 1)
x2
x2 5x 3 lim(x2 5x 3)
例例78
求 lim 2x3 x2 5 x 3x2 2x1
解解
因为
lim
x
3x2 2x3
2x1 x2 5
0
所所以以
lim 2x3 x2 5 x 3x2 2x1
高数同济§1.5 极限运算法则
(3) lim f (x) = lim f (x) = A (B0) g(x) lim g(x) B
•推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim [cf(x)]=clim f(x)
•推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n
x3 x 3
x3 x 3 u6
14
结束
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) = f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
5
下页
❖二、数列极限的四则运算法则
•定理4 设有数列{xn}和{yn} 如果
那么
lim
n
xn
=
A
lim
n
yn
=
B
(1) nlim(xn yn)= A B
(2) nlim(xn yn)= AB
(3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时
x
=
1 x
sin
x
是无穷小与有界函数的乘积
所以 lim sin x = 0 x x
12
下页
❖定理6(复合函数的极限运算法则)
设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则
•推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim [cf(x)]=clim f(x)
•推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n
x3 x 3
x3 x 3 u6
14
结束
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) = f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
5
下页
❖二、数列极限的四则运算法则
•定理4 设有数列{xn}和{yn} 如果
那么
lim
n
xn
=
A
lim
n
yn
=
B
(1) nlim(xn yn)= A B
(2) nlim(xn yn)= AB
(3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时
x
=
1 x
sin
x
是无穷小与有界函数的乘积
所以 lim sin x = 0 x x
12
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❖定理6(复合函数的极限运算法则)
设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则
高1-5极限运算法则及部分类型题求极限方法
1 + 2 + + n 原式 = lim n→ ∞ n2 1 n( n + 1) = lim 2 n→ ∞ n2 1 1 = lim (1 + ) n→ ∞ 2 n 1 = . 2
第一章 9
x cos x 例6 求 lim . 4 x → ∞ ( 2 x + 3)
x 解 当x → ∞时 , 为无穷小 , 4 ( 2 x + 3)
t→0
1 = 2 2 1+ t +1
1
第一章
14
3
例9
求 lim
x −3 a x−a
x→a 3
.
0 ( 型) 0
有理化法
( 3 x − 3 a ) 3 ( x − a )2 解 原式 = lim x →a x−a
= lim ( x − a )( x + ax + a 2 ) 3 ( x − a )2
3 3 2 3 3 3 x →a
( x − a )( x + ax + a 2 )
2 3 3 2
3
3
= lim
( x − a)
2 3 2
x→a 3
x + 3 ax + a
第一章
=
0 3 a
3 2
= 0．
15
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; •多项式与分式函数(分母不为0)代入法;
0 •消去零因子法(因式分解,有理化,变量替换); ( 型 ) 0 ∞ •同除最高次法; ( ∞ 型 )( x → ∞ )
x → x0
令 u = ϕ ( x) a = lim ϕ ( x )
x → x0
第一章 9
x cos x 例6 求 lim . 4 x → ∞ ( 2 x + 3)
x 解 当x → ∞时 , 为无穷小 , 4 ( 2 x + 3)
t→0
1 = 2 2 1+ t +1
1
第一章
14
3
例9
求 lim
x −3 a x−a
x→a 3
.
0 ( 型) 0
有理化法
( 3 x − 3 a ) 3 ( x − a )2 解 原式 = lim x →a x−a
= lim ( x − a )( x + ax + a 2 ) 3 ( x − a )2
3 3 2 3 3 3 x →a
( x − a )( x + ax + a 2 )
2 3 3 2
3
3
= lim
( x − a)
2 3 2
x→a 3
x + 3 ax + a
第一章
=
0 3 a
3 2
= 0．
15
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; •多项式与分式函数(分母不为0)代入法;
0 •消去零因子法(因式分解,有理化,变量替换); ( 型 ) 0 ∞ •同除最高次法; ( ∞ 型 )( x → ∞ )
x → x0
令 u = ϕ ( x) a = lim ϕ ( x )
x → x0
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
高等数学 极限运算法则
x)
Pn ( x0 ) Pm ( x0 )
f ( x0 ).
16
极限运算法则
例 求 lim x2 2x 3 ( 0 型 )
x3 x 3
0
解 方法：消去零因子
x2 2x 3 lim
lim ( x 3)( x 1)
x3 x 3
x3 ( x 3)
lim( x 1) 4 x3
预习：
1.无穷小
无穷小的定义和性质 等价无穷小替换的使用规则
2. 无穷大
无穷大的定义和性质 无穷大和无穷小的关系
1
第三节 极限运算法则
极限四则运算法则 极限的复合运算则 两个极限存在准则
第一章 函数与极限
2
极限运算法则
一、极限四则运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1(四则运算) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
limqn 0(| q | 1)
n
解 方 法 先作恒等变形, 变成基础极限。
2n 3n lim n 2n 3n
2 n 1 lim 2 n lim1
lim 3
n 3
n
n 2 n 1 lim 2 n lim1
3
n 3 n
1
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
1 lim 0 n n
x21,源自x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0 是函数的分段点,
10
lim f ( x) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
f ( x0 0) f ( x0 0) A
高数同济六版bai-D1_5极限运算法则
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2
π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立.
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定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a, 又
则有
lim f [(x)]
x x0
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0,
当
时,有
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )