集合的运算交和并
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
1.3集合的基本运算第1课时并集、交集课件(人教版)
答案:{1,2,5}
.
5.已知A={x|x<-2,或x>4},B={x|5-2x≤3},求A∪B,A∩B.
解:化简集合B得B={x|x≥1},用数轴表示集合A,B,如图所示,
所以A∪B={x|x<-2,或x≥1},A∩B={x|x>4}.
理能力与数学运算能力的培养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、并集
【问题思考】
1.视察下列各个集合.
①A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3};
②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},C={x|x是整数};
③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.
2.填表:
自然语言
符号语言
一般地,由所有属于集合
A 或属于集合 B 的元素
A∪B=
组成的集合,称为集合 A {x|x∈A,或 x∈B}
与 B 的并集
图形语言
3.做一做:若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于(
)
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
且A∪B=A,求实数m的取值范围.
解:∵A∪B=A,∴B⊆A.
∵A={x|0≤x≤4}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠⌀时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
+ ≤ -,
∵B⊆A,∴ ≤ + ,
- ≤ ,
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
集合的基本运算(交集与并集)(叶小兵)
反之,亦然.
思考 (A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C (A∪B)∪C = A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂练习
教材P12 1、2、3.
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 数轴法和图示法．
作业布置
C { x | x是 实 数 }
一、并集 —般地，由所有属于集合A或属于集 合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集. 记作：A∪B. 读作：A并B. A 其含义用符号表示为： B { x | x A, 或 x B}
A
B
A∪B
思考
集合A.B与集合C之间有什么 关系？
（1）A {2, 4, 6, 8,10}, B {3, 5, 8,12}, C {8};
教材P13
A组 6、7、8
B组 3
A B { x | x A , 且 x B }.
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = A∩B = B∩A ⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A φ Nhomakorabea⑶
A∩B A A∩B B
⑷
A A∪B B A∪B
⑸ 若A∩B=A,则A B．
反之,亦然.
交集与并集
教学目标:
1.理解并集、交集的概念 2.会用并集、交集的集合表示 3.会区分什么情况下用什么集合
观察
你能说出集合C与集合A、 B之间的关系吗?
A 3 5}, 4 6} 2 3 4 5 6} （1） {1，， ， B {2，， ， C {1，，，，， ；
A （2） { x | x是 理 数}, B { x | x是 无 理 数},
集合论中的交集并集运算与应用案例
集合论中的交集并集运算与应用案例集合论是数学中的一个重要分支，研究集合的结构、性质和运算规律。
其中，交集和并集是集合论中最基本的运算之一，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。
本文将介绍交集和并集的定义、性质以及几个典型的应用案例。
一、交集的定义和性质在集合论中，交集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有同时属于这些集合的元素所组成的集合。
用符号∩表示交集运算。
交集的定义可以表示为：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
二、并集的定义和性质在集合论中，并集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有属于这些集合的元素所组成的集合。
用符号∪表示并集运算。
并集的定义可以表示为：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
三、交集和并集的应用案例1. 数学中的集合运算：在数学中，交集和并集的概念被广泛应用于集合的运算。
例如，在解方程或不等式的过程中，常常需要用到集合的交集和并集来求解。
2. 数据库查询：在数据库中，交集和并集运算可以用来进行数据查询和筛选。
例如，可以通过对两个表进行交集运算，获取其中共有的数据；或者通过对两个表进行并集运算，合并两个表中的数据。
3. 网络安全：在网络安全领域，交集和并集运算可以用来进行IP地址过滤和访问控制。
通过对已知的恶意IP地址集合取交集，可以快速判断网络流量中是否存在威胁；通过对不同的访问控制策略取并集，可以实现更加灵活的网络安全防护。
数学交集和并集
数学交集和并集一、交集与并集的概念（一）交集1. 定义- 对于给定的两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩ B，即A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
- 例如，设A={1,2,3,4}，B = {3,4,5,6}，那么A∩ B={3,4}。
2. 性质- A∩ A = A。
因为集合中的元素本身既属于自己又属于自己，例如A={1,2,3}，A∩ A={1,2,3}。
- A∩varnothing=varnothing。
空集没有元素，所以与任何集合的交集都为空集，比如A = {1,2}，A∩varnothing=varnothing。
- A∩ B = B∩ A。
交集运算满足交换律，例如A={1,2}，B={2,3}，A∩ B={2}，B∩ A={2}。
（二）并集1. 定义- 给定两个集合A和B，把它们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪ B，即A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
- 例如，设A = {1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪ B={1,2,3,4,5}。
2. 性质- A∪ A = A。
集合与自身取并集还是自身，例如A={1,2}，A∪ A={1,2}。
- A∪varnothing = A。
空集与任何集合取并集都等于那个集合，比如A={1,2}，A∪varnothing={1,2}。
- A∪ B = B∪ A。
并集运算满足交换律，例如A={1,2}，B = {2,3}，A∪B={1,2,3}，B∪ A={1,2,3}。
二、交集与并集的运算（一）列举法下的运算1. 交集运算- 当集合是用列举法表示时，直接找出既属于集合A又属于集合B的元素组成交集。
- 例如，A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则A∩ B = {c,d}。
2. 并集运算- 同样对于列举法表示的集合，把两个集合中的所有元素合并起来，相同元素只写一次组成并集。
集合的交集与并集运算
集合的交集与并集运算集合是数学中的一种基本概念，用于表示一组具有共同特征的对象的结合体。
在集合的运算中，交集与并集是两个重要的操作。
本文将围绕集合的交集与并集运算展开讨论。
1. 交集运算交集运算是指将多个集合中共同拥有的元素提取出来形成一个新的集合。
记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。
例如，设有集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
这意味着集合A与集合B中，只有元素3和元素4同时存在于两个集合中。
交集运算的特点：（1）交换律：A∩B = B∩A。
即，两个集合的交集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即，多个集合的交集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
即，集合的交集与并集的运算可以相互分配。
2. 并集运算并集运算是指将多个集合中的所有元素合并到一个新的集合中。
记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。
例如，设有集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
这意味着集合A与集合B中的所有元素组成了一个新的集合。
并集运算的特点：（1）交换律：A∪B = B∪A。
即，两个集合的并集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
即，多个集合的并集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
即，集合的并集与交集的运算可以相互分配。
需要注意的是，交集与并集运算的结果仍然是一个集合，并且不重复计算元素。
例如，在集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}的交集运算中，元素2和元素3只会计算一次。
综上所述，交集与并集运算是集合运算中的两个重要操作。
它们在解决实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们准确描述集合中的共同元素或合并多个集合的元素。
在数学推理和逻辑推演中，交集与并集的概念也是不可或缺的。
集合的性质与运算知识点总结
集合的性质与运算知识点总结在数学中，集合是由一些确定的对象组成的聚集体。
集合理论是数学的重要分支之一，它研究了集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的性质和运算进行总结，帮助读者更好地理解和应用集合的知识。
一、集合的性质1. 包含关系：对于两个集合A和B，若A中的每个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集且B是A的子集，则称A和B相等，记作A=B。
2. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。
对于任意集合A，有∅⊆A。
3. 并集：给定两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素的集合称为A和B的并集，记作A∪B。
4. 交集：给定两个集合A和B，所有既属于A又属于B的元素的集合称为A和B的交集，记作A∩B。
5. 差集：给定两个集合A和B，所有属于A但不属于B的元素的集合称为A和B的差集，记作A-B或者A\B。
6. 补集：对于给定的集合U和A，U中属于而A中不属于的元素组成的集合称为A关于U的补集，记作A'。
7. 幂集：对于给定的集合A，所有A的子集所构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
二、集合的运算1. 并运算：对于给定的集合A和B，A与B的并集是包含A和B 中所有元素的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
2. 交运算：对于给定的集合A和B，A与B的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
3. 差运算：对于给定的集合A和B，A与B的差集是属于A但不属于B的元素组成的集合，即A-B={x|x∈A且x∉B}。
4. 对称差运算：对于给定的集合A和B，A与B的对称差集是属于A或属于B但不同时属于A和B的元素组成的集合，即A△B=(A-B)∪(B-A)。
5. 补运算：对于给定的集合U和A，A的补集是在全集U中属于而A中不属于的元素组成的集合，即A'={x|x∈U且x∉A}。
三、集合的性质定理1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
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冬瓜 鲫鱼 黄瓜
茄子
虾
黄瓜 猪肉 毛豆 虾 土豆 芹菜
问1 两天所买相同菜的品种为集合 C ， 则集合 C 由哪些元素组成？
请观察：集合 C 中的元素与集合 A，集合 B 中的元素 有什么关系？ C
冬瓜 鲫鱼 黄瓜 猪肉 毛豆
A
茄子 虾 土豆 芹菜
B
观察得出：集合 C 是由既属于集合 A，又属于集合 B 的所有 公 共 元素组成的．
想一想： 如果 A B ，那么 A ∪ B ＝ B ．
集合的并
例 1 (2) 已知： A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }，
C = { 5，3 }．
则 A ∪ B = { 1，2，3，4，5 } ；
B∪C=
{ 3，4，5 }
；
（ A ∪ B ）∪ C = { 1，2，3，4，5 } ．
求 A∩B； A∪B． 解：A∩B = {x | x 是平行四边形}∩{x | x 是菱形}
= {x | x 是菱形} = B； A∪B = {x | x 是平行四边形}∪{x | x 是菱形}
= {x | x 是平行四边形} = A．
平
行
四
菱形
边
形
练习3 已知 A = {x | x2+2x-3=0}， B = {x | x2+4x+3=0}，
记作 A∪B , 读作 “ A 并 B ”． 2．并集的图示 请用阴影表示出 “ A ∪ B ”．
AB
AB
A
A(B)
3．并集的性质
集合的并
(1) A ∪ B ＝ B ∪ A ；
(2) ( A ∪ B ) ∪ C ＝ A ∪( B ∪ C )；
(3) A ∪ A = A ；
(4) A ∪ = ∪ A = A ．
= {(1，2)}．
(1，2)
O
x
3 x＋2 y = 7
4 x＋y = 6
1. 学生读书、反思． 2. 教师点评，学生填表：
交集
定义
记法
图示
并集
性质
教材 P 16 ，练习A 组第 1~4 题．
求 A∩B； A∪B．
例4 已知 A ={ (x，y) | 4 x＋y = 6 }， B ={ (x，y) | 3 x＋2 y = 7 }． y
求 A ∩ B．
解：A∩B = {(x，y) | 4 x＋y = 6 }
∩{(x，y) | 3 x＋2 y = 7 }
= (x，y)
4 x＋y = 6 3 x＋2 y = 7
我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A
第二天买菜品种为集合 B
冬瓜 鲫鱼 黄瓜
茄子
虾
黄瓜 猪肉 毛豆 虾 土豆 芹菜
问2 两天买过的所有菜的品种为集合 D ， 则集合 D 由哪些元素组成？
D ={冬瓜, 鲫鱼, 黄瓜, 茄子, 虾,猪肉,毛豆,土豆, 芹菜 }
集合的并
1．并集的定义 给定两个集合 A ，B ，由两个集合的所有元 素构成的集合，叫做 A，B 的并集．
集合的交
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集．
记作 A ∩ B ， 读作 “ A 交 B ”．
请用阴影表示出 “ A∩B ”
AB
BA
A (B)
AB
集合的交
根据交集的定义和图示，填写交集的性质. (1) A ∩ B ＝ B ∩ A ； (2) ( A ∩ B )∩ C ＝ A ∩( B ∩ C )； (3) A ∩ A = A ； (4) A ∩ = ∩ A = ；
求 A ∩ Z， B ∩ Z， A ∩ B ．
奇数
偶数
整数
解： A∩Z = {x | x 是奇数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是奇数} = A； B∩Z = {x | x 是偶数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是偶数} = B； A∩B = {x | x 是奇数}∩{x | x 是偶数} = ．
例2 (2) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}，
求 A ∪ Z， B ∪ Z， A ∪ B ．
奇数
偶数
整数
解： A ∪ Z = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ； B ∪ Z = {x | x 是偶数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ； A ∪ B = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是偶数} = {x | x 是整数} = Z ．
想一想： 如果 A B ，那么 A ∩ B = A ．
集合的交
例1 (1) 已知：A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }，
C = { 5，3 }．
则： A ∩ B =
{3}
；
B ∩ C = { 3，5 } ；
（ A ∩ B ）∩ C =
{3} ．
例2 (1) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}，
集合
集
集合
合
集合
1.1.4 集合的运算（一）
1．子集与真子集的区别和联系是什么？ 真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集．
2．什么Hale Waihona Puke 空集？ 不含任何元素的集合叫做空集．
我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A
第二天买菜品种为集合 B
例3 已知 C = { x | x≥1 }，D = { x | x＜5 }， 求 C ∩ D； C ∪ D．
x
1
5
解： C ∩ D = { x︱1 ≤x＜ 5 } ； C ∪ D = R．
练习1 已知 A = {x | x 是锐角三角形}，
B = {x | x 是钝角三角形}．
求 A∩B ，A∪B． 锐角三角形
三角形 钝角三角形
斜三角形
直角三角形
解：A∩B = {x | x 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形} = ；
A∪B = {x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角形} = {x | x 是斜三角形}．
练习2 已知 A = {x | x 是平行四边形}， B = {x | x 是菱形}，