《等差数列》公开课教案

《等差数列》教案
授课时间：授课班级：
教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》下册
①如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面
一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1
支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的
铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……
②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，……
③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5.
二、师生互动，探索新知
[设计说明：职校生的数学基础差，采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度,增强学生学好数学的信心]
教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点与变化规律。

数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；
数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；
数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于；
提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？
学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

<一>等差数列的定义:如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一
个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列的公差d 的数学表达式为：1(,1)n n a a d n N N --=∈>且。

基础训练：1、上面数列①的公差d= ; 数列②的公差d= ; 数列③的公差d=
[教学说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]
2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。

(1) 6,10,14,18,22,……；(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0.
提出问题2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数吗? 师生讨论得出结论:
(1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点: 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）等差数列的公差d 可能是正数、负数、零。

[设计说明:从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等] 提出问题3：等差数列{}n a 的公差d 的数学表达式为：1(,1)n n a a d n N N --=∈>且，
揭示了求公差d 可以用哪些式子表示？
师生共同活动：213243121,,,,,n n n n d a a d a a d a a d a a d a a ---=-=-=-⋅⋅⋅=-=-等， 变式：213243121,,,,,n n n n a a d a a d a a d a a d a a d ---=+=+=+⋅⋅⋅=+=+
提出问题4：如果等差数列{}n a 只知道首项1a ，公差d ，那么这个数列的其他项如何表示？
师生共同活动：}1()
21,a a d =+个}}1()2()32112,a a d a d d a d =+=++=+个个
}}3()1()2()432113,a a d a d d a d d d a d =+=++=+++=+64748个个个…, }}3()1()1()
2()12311(1)n n n n n a a d a d d a d d d a d d d a n d ----=+=++=+++=⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+=+-647486447448个个个个 [设计说明:问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]
＜二＞等差数列的通项公式:
等差数列{}n a 的任一项为n a 列的通项公式。

（说明：通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式，包括第一项：1a ）
提出问题5：213243121,,,,,n n n n d a a d a a d a a d a a d a a ---=-=-=-⋅⋅⋅=-=-有 个等式？
如果将上述等式相加会得到等式：
213243121(1)()()()()()n n n n n d a a a a a a a a a a ----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-，
1(1)n n d a a -=-，可求出等差数列的（叠加法） 由提出问题4的师生活动可知通项公式的变形：
}}1()2()1222n n n n a a d a d d a d ---=+=++=+个个，
}}3()1()2()12333n n n n n a a d a d d a d d d a d ----=+=++=+++=+64748个个个，,()n m a a n m d ⋅⋅⋅=+-
①，
( n 、)m N ∈②（注意n 不一定大于m ）
公式的认识与理解：
1、通项公式含有四个量，根据公式之间的联系，由方程的思想，知三可求一；
2、与1,n a a 两项直接相关时一般用公式①，与,m n a a 两项直接相关时一般用公式②
三、 合作交流，熟练技能
例1 求等差数列5，7，9，11，……的通项公式与第10项。

[分析] 这个数列第一项（首项1a ）是5，知第一、二、三、四项，易求公差d ，写出通项公式，再利用通项公求出第10项。

解：因为15,a =752d =-=，所以这个等差数列的通项公式是
52(1),n a n =+⨯-即23,n a n =+10210323a =⨯+=。

例2数列{}n a 是等差数列.
（1） 已知1612,1,d a a =-=求；（2）已知3105,47,a a d ==求。

[分析] 第（1）题与116,a a 两项直接相关用公式①，
第（2）题与310,a a 两项直接相关用公式②
解：（1）16115a a d =+，1115(2)a =+⨯-，解方程得 131a =。

（2）1037a a d =+，4757d =+，解方程得 6d = 。

[设计说明:例1列出等差数列的前面四项，让学生学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差，增强感性认识；例2的分析是理性认识等差数列的通项公式及其变形公式]
四、迁移应用，深化提高
1、等差数列{}n a 中，已知512110,31,a a a ==求、d 。

2、在12和60之间插入3个数，使它们与这两个数成等差数列，求这3个数。

[分析] 第1题：与512,a a 两项直接相关用公式②求出d ，与15,a a 两项直接相关或与112,a a 两项直接相关用公式①求出1a 。

第2题：插入3个数，这个等差数列共有5个数，已知1512,60,5a a n ===，求这3个数即是求234,,a a a ，由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-中的1,,,n a d n a 四个量，将1512,60,5a a n ===代入公式看成方程，先求出公差d ，再代入通项公式可求得这3个数。

解：（略） 补充练习：P119 练习A 1、2
[设计说明:目的是使学生灵活运用等差数列通项公式及其变形公式。

尤其是第2题，不少学生不会分析60是第几项，所求的3个数是第几项，即将语言转换成符号的能力是学生的弱项]
五、积累与总结
1、知识梳理
(1)等差数列的定义，公差d 的数学表达式为：1(,1)n n a a d n N N --=∈>且;
(2)①，
( n 、)m N ∈②（注意n 不一定大于m ）.
2如果等差数列的前面几项已列出，学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差；与1,n a a 两项直接相关时用通项公式，与,m n a a 两项直接相关时用通项公式的变形公式；如果有关等差数列的题目语言文字或数字时，学会把语言转化为符号。

六、作业
P120 习题11-2 1、（1）， 2（1）。

七、【教学反思】：结合学生的实际情况，创设情境，引入图形，引入生活中学生熟悉的例子，创建数学模型，将生活中的实例转化为数学问题，引出等差数列的定义，通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高了学生思考问题、解决问题的能力，避免教师与学生的思维脱节的现象，从面提高了学生学好数学的信心。

多媒体辅助教学节省不少板书时间，提高了教学的效率。

比如：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，如果教师只是用口头表达，学生思考，可能有些注意力不太集中的学生听不清楚，影响了学习的效果，而用多媒体辅助教学，学生耳朵、眼睛、脑一起用，学习效果明显增强。

又如图形的板书可费时间了，多媒体辅助教学一展示就达到一目了然的效果。

这节课看起来简单，只有两个公式，表面上看学生只要记住公式就行了，可是没有学生参与探索发现的知识，对于学生来说是无法内化的知识。

这节课提出四个问题，学生能参与思考，尤其是学生能参与等差数列的通项公式的推导过程，对于培养今后良好的学习习惯起了一定的促进作用。