钻孔瓦斯涌出初速度q的数学模型建立

钻孔瓦斯涌出初速度q的数学模型建立摘要：通过对钻孔瓦斯涌出初速度的影响因素的综合全面理论分析，运用量纲理论和方分析其影响因素的量纲，建立起钻孔瓦斯涌出初速度的数学模型。

根据所得的数学模型进行理论分析并和原来重庆研究院得出的数学模型进行比较分析研究后，初步得出此模型更有实际应用价值的结论，并且引导学者对这方面理论研究的思考。

关键词：煤与瓦斯突出；突出预测敏感指标；钻孔瓦斯涌出初速度;量纲分析；数学模型Drilling Gas Inrush Initial rate of the mathematicalmodel of qFAN Haidong, CAI Chenggong, WANG Yao, WANG Tiantai( Institute of Gas-Geology, Henan Polytechnic University , Jiaozuo 454003, China ) Abstract:Drilling through the initial velocity of gas emission factors comprehensive theoretical analysis, the use of dimensional theory and its influencing factors in the party dimension, and establish a drilling rate of gas emission model. According to the mathematical model derived from theoretical analysis and obtained the original model of Chongqing Institute of comparative analysis study, the preliminary draw of this model is more practical value of the conclusions, and theoretical research in this area to guide scholars in China.Key words：Coal and gas outburst; outburst prediction sensitive indicators; drilling Gas Inrush Initial rate; dimensional analysis; mathematical model0 引言煤与瓦斯突出是煤矿井下采掘过程中发生的一种极其复杂的动力现象，是严重威胁煤矿安全生产的自然灾害之一。

目前国际上还没有找到有效的防治“煤与瓦斯突出”的方法，随着开采深度的加大，地压的增大，“煤与瓦斯突出”事故呈持续上升趋势，因此做好煤与瓦斯突出预测工作成为了重中之重，因此，就有了突出预测指标。

然而从煤与瓦斯突出预测的角度来看，煤与瓦斯突出预测指标必须能够反映地应力、瓦斯压力、瓦斯含量的大小以及煤层破坏程度。

按照原《细则》第35条规定，在突出危险区域掘进时，可以采用钻孔瓦斯涌出初速度法、R值指标法、钻屑指标法(包含钻屑量S 和钻屑解吸指标Δh2 或K1值)和其他证实有效的方法预测煤巷掘进工作面的突出危险性[1]。

而在最近修改的《防治煤与瓦斯突出规定》第74条规定中采用了包括钻孔瓦斯涌出初速度和钻屑量的复合指标法（其主要参数是钻孔瓦斯涌出初速度）和R指标法，并在第76条和77条明确规定其用法。

从这些指标的物理意义看，都反映了掘进工作面附近的应力状态和瓦斯大小，均属于综合性指标；根据这些指标的测定方法分析，钻孔瓦斯涌出初速度q受人为因素和自然因素的影响较小，测定结果比较准确，而钻屑量S和钻屑解吸指标Δh2或K1值则受人为因素和自然因素的影响较大，测定结果可靠性较低；所以试验选取钻孔瓦斯涌出初速度q为主要预测指标，钻屑量S和钻屑解吸指标Δh2作为辅助预测指标，同时也观测钻屑温度的变化。

我国《防治煤与瓦斯突出规定》规定采用复合指标法预测煤巷掘进工作面突出危险性，而复合指标法的主要参数是钻孔瓦斯涌出初速度，钻孔瓦斯涌出初速度的定义是在煤层中按规定的技术要求施工钻孔，在达到预定深度后，在2min内，测量在规定长度钻孔内涌出的瓦斯流量。

可以说钻孔瓦斯涌出初速度基本上全面地反映了决定煤层突出危险性的全部因素，如煤层的应力状态、自然瓦斯含量、透气性和煤的力学性质的变化，该指标值反映了煤与瓦斯突出的危险程度[2]。

1 量纲分析理论量纲分析是20世纪初提出的，是在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系[3]。

量纲齐次原则与Pi 定理量纲分析是自然科学中一种研究和分析方法。

它是根据一切物理量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律。

并且通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，是否合理等。

甚至可提供寻找物理现象中某些规律的线索的一种方法。

量纲中各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分组成，并按各成分的多寡形成量与量间的千差万别。

物理量的这种基本构成成分统称为量纲。

许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l ，质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[]l L = []m M = []t T =而速度v 、力f 的量纲可表示为[]1v LT -= []2f M L T -= 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；这些量纲称之为基本量纲。

在实际理论研究中，人们通过定义各种物理量来描述物理现象，来确定物理系统所处的状态。

可以说任一物理量的定义给出被定义量同有关量之间的关系，并且各物理量之间的有规律联系还通过自然界的各种定律表示出来。

因此当一个单位制的基本量确定后，其他量就可通过既定的关系或定律，定义为用基本量表示的导出量，并通过代数表达式表示为基本量的幂次乘积。

即任何一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积：[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ= 其中ηζτδγβα,,,,,, 为待定系数。

量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系，下面我们给出用于量纲分析建模的Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n q q q ,...,,21之间存在一个函数关系 ()0,...,,21=n x q q f （1） [][]m x x ,...,1为基本量纲，n m ≤。

1x 的量纲可表示为：)....,,2,1(][][1n i x x ij j m j i ==∏=α矩阵n m ij A ⨯=)(α称为量纲距阵，若,r RankA =则（1）式与下式等价，0),...,,(21=-r n F πππ其中F 为一个未定的函数关系，),...,2,1(r n s s -=π为无量纲量，且s π可表示为)(1s i ini s x βπ∏== (2)而),...,,()()(2)(1)(s n s s s ββββ=为线性齐次方程组0=βT A 的基本解向量。

利用Pi 定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量12,,...,.n r πππ-2 钻孔瓦斯涌出初速度的影响因素及量纲我们所谈及的钻孔瓦斯涌出初速度指标q ，在《防突细则》上有明确的规定和用法。

钻孔瓦斯涌出初速度q 原先是在俄罗斯马凯耶夫煤矿安全研究所提出的，被列入前苏联《在有煤、岩石和瓦斯突出倾向煤层安全采掘规程》得到了广泛使用的预测指标，之后被我国所借鉴[4]。

钻孔瓦斯涌出初速度q 可以说基本上全面反映了决定煤层突出危险性的全部因素，如煤层的应力状态、瓦斯压力、瓦斯含量、透气性和煤的力学性质的变化,该指标值反映了煤与瓦斯突出的危险程度，故在此进行特殊研究。

我们仅考虑地应力、瓦斯、煤的结构对它的影响，即这是建立在煤与瓦斯突出的综合假说机理上的。

钻孔瓦斯涌出初速度q 的单位字面理解是每分钟涌出多少升瓦斯，即L/min ，但是实际上考虑到测量室长度对它的影响，为/(min )l m ⋅。

故它的量纲可用基本量纲（长度L 、质量M 和时间T ）表示为21L T -；地应力σ和瓦斯压力p 的在国际单位中都是Pa ，可用基本量刚表示为12L MT --；煤层瓦斯含量X 的单位为3/m t ，可用基本量纲表示为31L M -；煤的坚固性系数f ，根据MT49-87所要求的测定方法和测量它的物理意义，可用基本量纲表示为2L -表示；煤层瓦斯透气性系数的单位为22/m MPa d ⋅，可用基本量纲表示为423L M T -。

3 钻孔瓦斯涌出初速度数学模型的建立钻孔瓦斯涌出初速度q 的大小主要取决于测定钻孔范围煤体的残存瓦斯压力、瓦斯含量、应力状态、煤的破坏程度、瓦斯放散能力和煤层透气性能等煤的物理力学特性，即钻孔瓦斯涌出初速度q 是工作面前方应力、瓦斯、煤的力学性质、煤层结构及构造破坏程度等因素的函数，这里我们仅考虑地应力、瓦斯、煤的结构对它的影响（即建立在煤与瓦斯突出的综合作用假说上的）。

则有：),,,,(λσF X P f q = （3）式中σ为钻孔范围内煤层中应力；P 、X 为煤体内瓦斯压力和含量，其中瓦斯压力P 更多地表征瓦斯流动动力源和膨胀能，含量X 表征煤体对瓦斯的吸附特性的大小；F （避免和函数f 相混淆）为煤的强度，表征煤的力学性质，用煤的坚固性系数f 的物理意义表示；λ为煤体渗透性系数，这与煤受的应力有关。

他们共同表征地质构造对煤体的作用结果。

下面我们利用pi 定理分析钻孔瓦斯涌出初速度q 和上述物理之间的关系3.1 钻孔瓦斯涌出初速度问题中涉及的物理量及量纲为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======--------324213212112][][][][][][TM L L F ML X MT L P MTL T L q λσ 我们要寻求的关系式为：0),,,,,(=λσϕF X P q （4）这些物理量中涉及到的基本量纲为：L 、M 、T3.2 写出其量纲矩阵为：TM L A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=300221201110423112 3=A rank3.3 解齐次线性方程组0T A β=可得3n rank A -=个基本解向量⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=T T T)1,0,0,0,2,1()10,1,0,1,2()0,0,0,1,1,0()3()2()1(βββ有（2）式，可给出3个无量量纲 ⎪⎩⎪⎨⎧===----λσπσπσπ213112211q F X q P （5） 由pi 定理，（4）等价下列方程：0),,(321=Φπππ （6）这里Φ是未定的函数。