20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例
《数学史》计算机与现代数学
ENIAC是第一台能真正运转的电子计算机，但其基本结构 与机电式计算机并无二致．这是一台庞然大物，占地面积达170 平方米，耗电150千瓦，采用了18 000只电子管，工作时常因电 子管烧坏而停机检修． 而它最大的弱点，还在于其程序是“外插型”而非“存储 型”．为了进行几分钟的运算，准备程序往往要花几小时，这 使ENIAC由于采用电子管而获得的速度被大大抵消。如果这个 缺陷不能克服，那么刚刚诞生的电子计算机就有可能夭析． 恰恰在这个可以说关系到电子计算机存亡的问题上，又是 数学家作出了关键的贡献，特别是冯· 诺依曼．
第12章
20世纪数学概观(Ⅱ)
空前发展的应用数学
12.4 计算机与现代数学
20世纪，这是20世纪数学区别于以往任何时代的一大 特点．
12.4.1 电子计算机的诞生
用机器代替人工计算，是人类的长期追求．在这种追 求中，数学家始终扮演着重要的并且常常是主要的角色． △古代的计算器械有算盘．罗马人使用一种带槽的金属 算盘，槽中放有石子，上下移动进行计算．罗马人不用十 进制，也没有位值概念，罗马算盘因运算笨拙而未能流 行．
这种分析机由“加工部”、“存贮部”以及专门控制运算程 序的机构组成，这是世界上最早提出的通用程序控制数字计算机 设计思想．
巴贝奇为了研制这种分析机付出了他后半生主要精力和财 产，甚至不惜辞去荣誉极高的卢卡斯教授席位．但当时能理解 他的思想的人寥寥无几，真正支持巴贝奇制造分析机的只有3个 人，一个是后来成为意大利总理的闵那布利，他将巴贝奇关于 分析机的讲演整理成文并在意大利报纸上发表；
冯· 诺依曼
另外，冯· 诺依曼40年代出版的著作《博弈论和 经济行为》，使他在经济学和决策科学领域竖起了一 块丰碑。他被经济学家公认为博弈论之父。
第12章 20世纪数学的发展
第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。
教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。
17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。
19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。
这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。
20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。
我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。
Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。
20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。
一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。
二十世纪数学概观
2、数学的统一化
20世纪的数学一方面越来越分化成许多 分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不 同学科相互渗透、结合的趋势。
不同分支领域的数学思想与数学方法相 互融合，导致了一系列重大发现以及数学内 部新的综合交叉学科的不断兴起。
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学 家永田雅宜给出了反例。
15． 舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是：在三维空间中有四条直 线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒 伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问 题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些 可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。 但严格的基础迄今仍未确立。
二十世纪数学概观
现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特， 虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的 几何知识，但他的公理体系是不完备的。希 尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提 出第一个完备的公理系统。
飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深 刻的抽象。
如：“点、线、面”已经纯粹是抽象的 对象，没有特定的具体内容。
二十世纪数学概观
17． 半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组 (x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能 写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对 的。
18． 用全等多面体构造空间
由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因 哈特（1928）作出部分解决。
二十世纪数学概观
二十世纪数学概观
希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对 各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表 了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则 是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代 数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些 问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
20世纪数学概观.
运筹学的发展
线性规划：康托洛维奇在1939年发表 《生产组织与计划中的数学方法》。 1947年美国的丹齐格又独立地发展了 线性规划理论。1984年，美国数学家 卡玛卡发明了一种多项式时间的线性 规划算法。
非线性规划：1951年库恩和塔克尔对一 般的约束非线性规划问题得到了局部极 值点的“库恩-塔克尔条件”，他们的 论文标题为《非线性规划》。 动态规划：贝尔曼1957年发表的专著 《动态规划》，标志着动态规划学科的 建立
第十二章：20世纪数学概观
----空前发展的应用数学 第三节：独立的应用学科 第四节：计算机与现代数学
12· 3 独立的应用学科
数理统计的先驱 贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes， 英国数学家.1702年出生于伦敦，做过 神甫。1742年成为英国皇家学会会员。 1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方 面主要研究概率论。他首先将归纳推理 法用于概率论基础理论，并创立了贝叶 斯统计理论，对于统计决策函数、统计 推断、统计的估算等做出了贡献.1763 年发表了这方面的论著，对于现代概率 论和数理统计都有很重要的作用。贝叶 斯的另一著作《机会的学说概论》发表 于1758年。贝叶斯所采用的许多术语 被沿用至今。
数运 学筹 规学 划中 论庞 大 的 领 域 ：
控制论
经典控制论主要研究单输入和单输出的线性 控制系统的一般规律，它建立了系统、信息、调 节、控制、反馈、稳定性等控制论的基本概念和 分析方法，为现代控制理论的发展奠定了基础。 它研究的重点是反馈控制，核心装置是自动调节 器，主要应用于单机自动化。现代控制论的研究 对象是多输入和多输出系统的非线性控制系统， 其中重点研究的是最优控制、随机控制和自适应 控制，主要应用于机组自动化和生物系统。而大 系统理论的主要研究对象是众多因素复杂的控制 系统(如宏观经济系统、资源分配系统、生态和环 境系统、能源系统等)，研究的重点是大系统的多 级递阶控制、分解-协调原理、分散最优控制和大 系统模型降阶
20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例
哥德巴赫猜想的结局
1966年，我国著名数学家陈景润攻克 了“1＋2”
哥德巴赫猜想的结局
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜 想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为 了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫 长的探索过程。有许多数学家认为，要想证 明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以 往的路很可能都是走不通的。
定理的发展
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证 明基本上是按照肯泊的想法在进行；
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克 霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证 明了某些大的构形可约；
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色；
1950年，有人从22国推进到35国。1960年， 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜 色着色；随后又推进到了50国；
有限单群分类
➢有限单群分类的基本内容 ➢有限单群分类的证明历史 ➢二代分类
一.有限单群分类的基本内容
（一）. 定理
✓ 有限单群是指：除了单位元群和它本身以 外没有其他正规子群的有限群。有限单群类 似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“ 积木块”，是有限群结构的基石。
✓ 找出所有的有限单群的问题称为有限单群 分类问题。
——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼
《庞加莱猜想》荣誉
• 2000年克莱数学促进会公布新千年七个悬赏100
万美元的数学问题，庞加莱猜想列第三 三个独立的小组写出报告填补佩雷尔曼
证明中的关键细节：密歇根大学克莱纳和洛特， 哥伦比亚大学摩根和田刚，里海大学曹怀东和中 山大学朱熹平 • 2006年美国《科学》杂志评出年度十大科学进展 ，庞加莱猜想名列第一
二. 1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为 可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群 分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群 分类的重大突破；
13 现代数学成果十例
1967年芒德布罗（法，1924－）在《科学》杂概念从整数维数到分数维数的飞跃。
以庞特里亚金（苏，1908－1988年），斯梅尔（美，1930－）等的工作为代表。
动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重大进步，借助于计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论，这方面的研究涉及众多的数学分支。20世纪30年代后的发展：结构稳定性、拓扑学方法、代数几何方法。
柯克曲线只是具有分数维数折几何图形的一个例子。1977年芒德布罗正式将具有分数维的图形称为分形（fractal），建立了以这类图形为对象的数学分支：分形几何，并出版了著作《分形：形，机会与维度》，指出大量的物理与生物现象都产生分形，引起了普遍的关注。
1.3、鲁金猜想
傅里叶（法，1768－1830年）《热的解析理论》（1822），19世纪狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866）、康托（德，1845－1918年）等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题。
图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。
1736年哥尼斯堡七桥问题，1781年36军官问题，1859年哈密顿旅行路线图。1852年首先由英国青年大学生古德里提出“四色问题”。
19世纪英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注：德•摩根（1806－1871年），哈密顿（1805－1865年），凯莱（1821－1895年）等。1878年凯莱发表《论地图的着色》，掀起了一场四色问题热。1879年律师肯泊（英，1849－1922年）宣布证明了“四色问题”并发表于《美国数学杂志》上，1890年希伍德（英，1861－1955年）指出了肯泊的错误，证明了“五色定理”并一生坚持研究四色问题。
数学史复习总结整理篇
数学史复习第0章数学史――人类文明史的重要篇章一、数学史研究哪些内容？P1数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
二、了解数学史有何意义？P1～5数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。
❖（1）了解数学史有助于数学的进一步发展❖（2）对数学家创造过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心❖（3）了解数学史就有助于全面了解数学科学❖（4）了解数学史就有助于全面了解整个人类文明史❖（5）要想当好数学教师，充实数学史知识是非常必要的三、历史上关于数学概念的定义有哪些？ P6-8历史上对数学的定义，有几种著名的论断：❖数学是量的科学。
（希腊哲学家亚里士多德，公元前4世纪）❖凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。
（法国数学家笛卡儿，17世纪）❖数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
（恩格斯）❖数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。
（罗素）❖数学这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
（数学的新定义）四、数学史通常采用哪些线索进行分期？本书对数学史如何分期？ P9不同的线索将给出不同的分期,通常采用的线索如:1.按时代顺序；2.按数学对象、方法等本身的质变过程；3.按数学发展的社会背景。
对数学史作出如下的分期：❖Ⅰ．数学的起源与早期发展(公元前6世纪前)❖Ⅱ．初等数学时期(公元前6世纪一16世纪)❖ (1)古代希腊数学(公元前6世纪一6世纪)❖ (2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪)❖ (3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪)❖Ⅲ．近代数学时期(或称变量数学建立时期，17世纪一18世纪)❖Ⅳ．现代数学时期(1820’一现在)❖ (1)现代数学酝酿时期(1820’一1870)❖ (2)现代数学形成时期(1870—1940’)❖ (3)现代数学繁荣时期(或称当代数学时期，1950一现在)第1章数学的起源与早期发展一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？P13－14巴比伦楔形数字（六十进制）、玛雅数字（二十进制）、古埃及的象形数字、中国甲骨文数字、希腊阿提卡数字、中国筹算数码、印度婆罗门数字（十进制）二、“河谷文明”指的是什么？P16历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”．早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的．三、关于古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？纸草书中问题绝大部分都是实用性质，但有个别例外，请举例。
7现代数学(二)20世纪数学概观
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了 这种情况的悖论性质：“理发师是否可以 给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子， 那么他就不符合他的原则；如果他不给自 己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡 子。
德国数学家策梅洛等人进一步指出不仅集 合论，而且整个经典分析都包含着悖论。 为了消除这种悖论，数学家们首先想到了 公理化思想。
• 1907年，德国数学家闵可夫斯基提出 了“闵可夫斯基空间”，即将时间与 空间融合在一起的四维时空。闵可夫 斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供 了合适的数学模型。
• 在数学上，广义相对论的时空可以解释 为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可 借助于现成的黎曼度量来描述。这样， 广义相对论的数学表述第一次揭示了非 欧几何在现实意义，成为历史上数学应 用最伟大的例子之一。
一、数理统计
• 英国生物学家和统计学家皮尔逊在现代 数理统计的建立上起了重要作用。
• 现代数理统计学作为一门独立学科的奠 基人是英国数学家费希尔。
• 多元统计分析的奠基人还有中国数学家 许宝騄和美国数学家霍太林等。 • 1946年，瑞典数学家克拉姆用测度论 系统总结了数理统计的发展，标志着现 代数理统计学的成熟。
11.2 更高的抽象
更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋 势或特征，这一趋势最初主要是受到两大 因素的推动，即集合论观点与公理化方法。 集合论观点和公理化方法在向传统数学理 论的渗透过程中，催生了许多数学新分支 的形成，极大改观数学理论的传统面貌。
11.2.1 勒贝格积分与实变函数论
集合论的观点在20世纪初首先引起了积分 学的变革，从而导致了实变函数论的建立。 这方面首先获得成功的是法国数学家勒贝 格。他在1902年发表的博士论文中利用以 集合论为基础的“测度”概念建立了所谓 “勒贝格积分”。
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分形与混沌
分形的发现
20世纪数学在几何概念上有两次飞跃与空间 维度相关：从有限维到无穷维的飞跃；从整 数维到分数维的飞跃。
美籍法国数学家蒙德尔布 罗1967年发表的文章《英 国海岸线有多长？》标志 着后一次飞跃的开始。
海岸线问题是一个实 际的地理测量问题。二 十世纪下半叶，有人发 现一些百科全书中记录 的海岸线竟相差20％， 法国数学家蒙德尔布罗 经过认真研究认为是由 于海岸线形状的不规则 引起的，由于这种不规 则，不同的测量尺度将 得出不同的测量结果。
这种推进仍然十分缓慢。
定理的解决
1976年哈肯和阿佩尔，利用“不可避免构形集 ”、“可约集”等关键意义的概念，采用计算机实 验方法，成功获得了一组不可避免可约图，最 终解决了四色问题。
定理的影响
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多 年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的 起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数 学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧 。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了 图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设 计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上 都起到了推动作用。
20世纪数学概观（Ⅲ）
——现代数学成果十例
四色定理(Four color theorem)
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问
题吧： 用4种不同的顏色去涂右边 这个脸谱，每区域一色，同一 种顏色可重复使用，但相邻区 域不可同色，则有多少种涂法？
答案是214种
藍綠 黃
4 ×3 ×2 ×1 ×1 ×3 ×3
898128000
8080174247945 1287588645990 4961710757005 7543680000000 00 460815505920
三. 二代分类
1982年，蒙德尔布罗出版了著名的专 著《自然界的分形几何学》，至此， 分形理论初步形成。
现在，分形已广泛地应用于数学、物理、 化学、生物学．把形态、功能和信息方面具 有自相似性的对象称为分形．
分形植物
Koch 雪花
Sierpinski 三角 形
混沌动力学的创立
从1978年开始，蒙德尔布罗等人开始研究在非 线性变换(即允许比简单放大与平移更复杂的操 作如平方、立方等)下保持不变的分形，他们利 用电子计算机来产生这样的分形图形，并研究 它们的性质，又发现了所谓“混沌”(chaos)现 象，导致了混沌动力学的建立。
散在群
散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄所发现的 ，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的
中文名 里昂群 麦克劳林群
英文名
符号
Lyons,group
Ly
McLaughlin,grou p
McL
魔群
Monster,group M
欧南群
O'Nan,group O'N
阶
5176517900400 0000
二. 1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为 可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群 分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群 分类的重大突破；
二. 有限单群分类的证明历史
三. 1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分 类方案或计划，指出了如何才能实现有限单 群的完全分类:
四. 1980年，格里斯 找到了26个散在单群的 最后一个也是最大的一个单群，数学家称之 为“大魔”，同年夏天，随着最后一个技巧性的 问题的解决，整个有限单群分类定理的证明 宣告结束。
定理的提出
1852年首先由英国青年大学生古德里提出“四 色问题”； 1878年凯莱发表《论地图的着色》，掀起了一 场四色问题热； 1879年律师肯泊（英，1849－1922年）宣布 证明了“四色问题”并发表于《美国数学杂志》 上； 1890年希伍德（英，1861－1955年）指出了 肯泊的错误，证明了“五色定理”并一生坚持研 究四色问题。
一.有限单群分类的基本内容
（二） . 内容
➢ 素数阶循环群;
➢ n≥5的交错群An; ➢ Lie型单群(共16族);
➢ 26个散在单群。
二. 有限单群分类的证明历史
一. 有限单群分类定理是在20世纪40年代初 提出的。1942年左右，美裔德国数学家布饶尔 （R.Brauer）是有限单群分类工作的先驱，他 与中国数学家段学复完成了10000阶以下的单 群分类；
定理的发展
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证 明基本上是按照肯泊的想法在进行；
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克 霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证 明了某些大的构形可约；
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色；
1950年，有人从22国推进到35国。1960年， 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜 色着色；随后又推进到了50国；
有限单群分类
➢有限单群分类的基本内容 ➢有限单群分类的证明历史 ➢二代分类
一.有限单群分类的基本内容
（一）. 定理
✓ 有限单群是指：除了单位元群和它本身以 外没有其他正规子群的有限群。有限单群类 似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“ 积木块”，是有限群结构的基石。
✓ 找出所有的有限单群的问题称为有限单群 分类问题。
英国的海岸线地图
分形的创立
1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海 岸线有多长”的划时代论文，是蒙德尔布罗的分 形思想萌芽的重要标志。
1973年，在法兰西学院讲课期间，蒙德尔布罗提 出了分形几何学的整体思想。
1977年，蒙德尔布罗出版了第一本著作《分形： 形态，偶然性和维数》，标志着分形理论的正式 诞生。
定理概述：
地图四色定理最先 是由一位叫古德里 的英国大学生提出 来的。四色问题的 内容是：“任何一 张地图只用四种颜 色就能使具有共同 边界的国家着上不 同的颜色。”
用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字 之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字 。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的 。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻 的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆