2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测4文新人教A版!
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测18 文 新人教A版
课时跟踪检测(十八)[高考基础题型得分练]1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案：C解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案：D解析：由三角函数的定义知， cos α＝－4－2＋32＝－45 . 3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B解析：由题意知，tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角．4．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案：B解析：圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ＝( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4答案：D解析：由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知，角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2答案：A解析：∵α是第三象限角，∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，∴α2是第二象限角或第四象限角． 当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0， 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0，故选A. 7．[2017·湖南株洲六校联考]已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四角限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos ∠POQ ＝( )A.3365B.6365C ．－6365D ．－3365答案：D解析：因为P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，所以点P ，Q 的坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫513，－1213，所以cos ∠POQ ＝OP →·OQ →|OP →||OQ →|＝35×513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－3365.故选D.8．[2017·河南商丘一模]已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则α等于( )A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°答案：C解析：由题意可知，sin 40°＞0,1＋cos 40°＞0，点P 在第一象限，OP 的斜率tan α＝1＋cos 40°sin 40°＝1＋2cos 220°－12sin 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°＝sin 70°cos 70°＝tan 70°，由α为锐角，可知α为70°.故选C.9．函数y ＝sin x －32的定义域为________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 解析：∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .10．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．答案：(1，3)解析：设B (x ，y )，由题意知，|OA |＝|OB |＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3， ∴B 点的坐标为(1，3)．11．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[冲刺名校能力提升练]1．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C D 答案：C解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．2．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案：C解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A. π3B. π2C. 3 D ．2答案：C解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，则α＝ 3. 4．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 答案：(7＋43)∶9解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439.5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝t2＋－3t2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.6．已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， 则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3 (cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测46含答案
课时跟踪检测（四十六）1．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点,且EF⊥平面A′BCD′.（1）求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值．解：以D为原点,DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2,则AB＝2λ,D（0,0，0），A′(2,0，2)，D′（0，0，2)，B（2，2λ，0)，C（0，2λ，0)，E（1,λ，2)，F(1，0，0）．（1)错误!＝（0，－λ,－2）,错误!＝（2，0,0)，错误!＝（0，2λ，－2），∵EF⊥D′A′，EF⊥A′B,∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0,即－2λ2＋4＝0，∴λ＝错误!。
(2）设平面EA′B的一个法向量为m＝（1，y，z），则错误!∵错误!＝（0，2错误!，－2)，错误!＝（－1,错误!，0），∴错误!∴y＝错误!，z＝1，∴m＝错误!.由已知得错误!为平面A′BC的一个法向量，又错误!＝（0，－错误!,－2)，∴cos〈m,错误!〉＝错误!＝错误!＝－错误!。
又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为错误!。
2．如图所示的几何体,四边形ABCD中，有AB∥CD,∠BAC＝30°，AB＝2CD＝2，CB＝1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC＝2EF.(1）求证：平面BCE⊥平面ACEF；（2）若二面角D－AF－C的平面角为60°，求CE的长．(1)证明：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 30°，解得AC＝错误!，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,所以BC⊥EC.又AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF,所以平面BCE⊥平面ACEF.（2）解：因为EC⊥平面ABCD，又由(1）知BC⊥AC，所以可以以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测28文新人教A版
课时跟踪检测(二十八)[高考基础题型得分练]1．[2017·广东惠州二调]已知向量AB →＝(3,7)，BC →＝(－2,3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案：C解析：因为向量AC →＝AB →＋BC →＝(1,10)，则－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选C.2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B解析：②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35答案：A解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案：B解析：AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)， PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0 答案：B解析：∵a 与b 方向相反，∴b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.7．[2017·江苏杭州五校联盟一诊]已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a ，b ，c ，A ，B ，C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：B解析：∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2，由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2，∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可知A ＝B . 同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴在△ABC 中，A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．故选B.8．[2017·河南八市质检]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 答案：C解析：如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0， 所以1a ＋1b ＝12.10．[2017·四川雅安模拟]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a－2b 与c 共线，则k ＝________.答案：1解析：∵a －2b ＝(3，3)，且(a －2b )∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.答案：－3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南长沙调研]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案：A解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.2．[2016·江西南昌十校联考]已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)答案：B解析：∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.3．[2017·甘肃兰州一中期中]如图所示，两个不共线向量OA →，OB →的夹角为θ，M ，N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在线段MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.24 B.18 C.22 D.12答案：B解析：∵M ，N ，C 三点共线，∴存在实数t 使得NC →＝tNM →(0≤t ≤1)，∴OC →＝ON →＋NC →＝ON →＋tNM →＝ON →＋t (OM →－ON →)＝(1－t )ON →＋tOM →＝1－t 2OA →＋t 2OB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t2，y ＝t2，∴x 2＋y 2＝1－t2＋t24＝14(2t 2－2t ＋1)(0≤t ≤1)． 令f (t )＝2t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，函数f (t )图象开口向上且以t ＝12为对称轴，∵t ＝12∈[0,1]，∴f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. ∴(x 2＋y 2)min ＝14×12＝18，故选B.4．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案：45解析：解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得 AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD → ＋12AB →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又AB →，AD →不共线，∴由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.∴λ＋μ＝45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23.(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．6．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知，得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4) ＝(0,20)，即M (0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4) ＝(9,2)，即N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测61 文 新人教A版
课时跟踪检测(六十一)[高考基础题型得分练]1．(2017·海南海口模拟)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．解：(1)由题意可知，样本总人数为80.16＝50，∴b＝250＝0.04，∴y ＝b10＝0.004，a ＝16，x ＝0.032.(2)①由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y . 从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共9种情况．∴P (E )＝915＝35.②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，XY ，共7种情况．∴P (F )＝715.2．某足球队两名主力队员各进行了5组罚点球训练，每组罚10次，罚中次数如下表：场？(2)若从这两名队员的5组中各随机抽取一组分析罚点球的技术和心理因素，求选出的一组中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的概率．解：(1)计算甲、乙的罚中次数的平均值得x 甲＝6＋5＋7＋9＋85＝7，x乙＝4＋8＋9＋7＋75＝7，所以两人罚中次数的平均值相等，s 2甲＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝2，s 2乙＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝145，s 2甲<s 2乙，甲罚中次数的方差较小，相对更稳定，应派甲队员出场．(2)记甲队员的5组次数分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，乙队员的5组次数分别为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，随机抽取各一组所有可能的情况有25种，分别为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，B 5)，(A 2，B 1)，…，(A 5，B 5)，其中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的有(A 1，B 1)，(A 2，B 1)，(A 3，B 1)，(A 4，B 1)，(A 5，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 4)，(A 4，B 5)，(A 5，B 4)，(A 5，B 5)，共10种情况，故所求概率为P ＝1025＝25.3．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[冲刺名校能力提升练]1．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是抛掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4), 所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝316.2．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解：(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P (|x －y |<0.8)＝P (x －0.8<y <0.8＋x )＝4.163×3＝104225.3．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率． 解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}， 可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}， 因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－4，－6)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种， 故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)，共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.。
高中数学 课时跟踪训练1 任意角 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二 终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三 角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测31文新人教A版
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n＋12 B ．cos n π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案：D解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 答案：D解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数的性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.3．已知数列{a n }，a 1＝－14，a n ＝－1a n －1＋1(n >1)，则当a n ＝－14时，n 的值可以为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C解析：由题意，得a 1＝－14，a 2＝－43，a 3＝3，a 4＝－14，…，则a 3m －2＝－14(m ∈N *)，a 16＝－14，故选C.4．[2017·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1) 答案：A解析：解法一：由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 解法二：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 答案：A解析：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，∴a 6＝3×46－2＝3×44，故选A.6．[2016·云南一模]在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56B.52C.72 D ．5答案：C解析：因为a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，即数列{a n }是周期数列，周期为4，则a 2 016＋a 2 017＝a 4＋a 1＝3＋12＝72，故选C.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案：D解析：由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 11．[2017·山西四校第二次联考]已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝________.答案：3×101 008－3解析：因为a n ·a n ＋1＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列．从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21008－3.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山西四校联考]已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016＝( )A ．1B ．4 018C ．2 010D ．0答案：D解析：依题意，该数列为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009,1，…，按此规律，可知该数列的周期为6，且这6项之和为0.所以这个数列的前2 016项之和S 2 016＝S 336×6＝S 6＝0.2．[2017·湖北宜昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3C ．(2,3)D ．(1,3) 答案：C解析：由已知得a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，若数列{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a ×7－3<a 8－6，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．3．[2016·北京海淀期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.4．[2016·江西南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．答案：2解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 5．[2017·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，①∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．。
新教材高中数学课时跟踪检测四等差数列的性质及其应用新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(四) 等差数列的性质及其应用1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5＝( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9解析：选A 由等差中项的性质得a 1＋a 9＝2a 5＝10，所以a 5＝5. 2．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 3．已知数列{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12 B ．－22 C.12 D ．32解析：选A ∵数列{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝π， ∴a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，解得a 5＝π3，∴a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos 2π3＝－cos π3＝－12.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 2 016＝log 27，a 2 022＝log 2 17，则a 2 019＝( )A ．0B ．7C ．1D ．49解析：选A ∵数列{a n }是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a 2 019＝a 2 016＋a 2 022＝log 27＋log 217＝log 21＝0，故a 2 019＝0.5．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40解析：选B 因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10.由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B.6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4. 答案：47．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 解析：由{a n }，{b n }都是等差数列可知{a n ＋b n }也是等差数列，设{a n ＋b n }的公差为d ， 所以a 3＋b 3＝(a 1＋b 1)＋2d ， 则2d ＝21－7，即d ＝7. 所以a 5＋b 5＝(a 1＋b 1)＋4d ＝35. 答案：358．在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在数列{a n }中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．解析：法一：设新的等差数列的公差为d .由a 1＝8，a 5＝2，得a 3＝a 1＋a 52＝8＋22＝5，a 2＝a 1＋a 32＝8＋52＝132，所以d ＝a 2－a 12＝132－82＝－34.法二：设新的等差数列为{b n }，其公差为d ，则b 1＝a 1＝8，b 9＝a 5＝2，所以d ＝b 9－b 19－1＝2－88＝－34. 答案：－349．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件： (1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n ＞100的n 的最小值是15. 试求公差d 和首项a 1的值． 解：∵a 3＋a 5＋a 7＝93， ∴3a 5＝93，∴a 5＝31， ∴a n ＝a 5＋(n －5)d . 令a n ＞100，得n ＞69d＋5.∵满足a n ＞100的n 的最小值是15， ∴14≤69d＋5＜15，∴6910＜d ≤723，又d 为正整数，∴d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.10．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次)解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a 1，a 2，…，a 10， 每件产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10，则{a n }，{b n }均为等差数列，且a 1＝60，d 1＝－3，b 1＝8，d 2＝2， 则a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6，所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864. 显然，当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．1．(多选)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是( )A ．甲得钱是戊得钱的2倍B ．乙得钱比丁得钱多12钱C ．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D ．丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱解析：选AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，且a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，d ＝－16，即a －2d ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝43，a －d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝76，a ＋d ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝56，a ＋2d ＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝23， ∴甲得43钱，乙得76钱，丙得1钱，丁得56钱，戊得23钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A 正确；乙得钱比丁得钱多76－56＝13钱，故B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的43＋176＝2倍，故C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多56＋23－43＝16钱，故D 错误．故选A 、C.2．[多选]下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个说法，其中正确的是( ) A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{na n }是递增数列 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列D ．数列{a n ＋3nd }是递增数列解析：选AD a n ＝a 1＋(n －1)d ，d >0，∴a n －a n －1＝d >0，A 正确；na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，B 不正确； 对于C ：a n n ＝a 1n ＋n －1nd ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n n －1，当d －a 1>0，即d >a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增， 但d >a 1不一定成立，C 不正确； 对于D ：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，D 正确．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，写出一个同时满足条件①②的等差数列{a n }的通项公式a n ＝________.①S n 存在最小值且最小值不等于a 1； ②不存在正整数k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2.解析：若a 2<0，则满足①，又由不存在正整数k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2，则可得S n连续两项取得最小值，即存在n 使得a n ＝0，则可得{a n }的通项公式可以是a n ＝2n －6.答案：2n －6(答案不唯一)4．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{b n}，试求数列{b n}的通项公式．解：(1)设{a n}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，解得d＝2.∴a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.∴{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.5．下表是一个“等差数阵”：ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，∴a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵”的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i.要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i ＝2 020，∴j ＝2 020－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝673.∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测49文新人教A版
所以 a 2= 6, b 2= 1, 则 c 2= a 2-b 2= 5.课时跟踪检测（四十九）［高考基础题型得分练］1.椭圆x 2 + my = 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，贝U m 的值为（1A.4B.C. 2D.答案: 解析: 2 1 2由题意知，a = m b = 1,且a = 2b ,1•m=4,X 22.已知实数4, m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线-+ y = 1的离心率为（B. .7答案：C解析：因为实数4, m,9构成一个等比数列, 所以可得m = 36, 解得m= 6或m=- 6.当圆锥曲线为椭圆时，即2 2m / =1的方程为x + y =1所以离心率e =a =5 _30 6= 当曲线是双曲线时可求得离心率为 .7. 2 23. ［2017 •河北邯郸一模］椭圆12 + 3 = 1 的焦点为F i , F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PB |是|PF |的（ A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍答案：A解析：设线段PF 的中点为D,1 则 |0D = 2I PF 1I 且 OD/ PF , ODL x 轴，••• PF 丄 x 轴，••• |PF | = b =△=€•a 2、p 2又••• |PF | + I PF = 4西，• |PE|= 4 .3_f= =-2.■■- | PFJ 是| PF | 的 7倍.2 2x y4•已知椭圆C ： ； + £= 1的左、右焦点分别为 F l , F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 丄F 1F 2.43若点P 是椭圆C 上的动点，贝U F i P- F 2A 勺最大值为于2贝y c 的方程是()2土=12x 2D -+y =14B.3<3 2_ 9C.4D. 15 ~4答案：B解析：设向量FP, F 2A 的夹角为0 . 由条件知| AR|为椭圆通径的一半,b 2 3即 | AF = - = ©T T 3 T则 F 1P - F 2A = ?| F 1P COS 0 ,于是FP-只需FP 在 F 2A 上的投影值最大,易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点,T T 3 T所以 FP- F 2A = x| F 1P |cos 3.3故选B.5. [2017 •陕西西安质量检测 ]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为F (1,0)，离心率等—1,=—1,点与线段AB 中点的直线的斜率为■，则b 的值为( 2 aB.2*3 3 C症C.2D.2,3 27答案：B解析：设 A (X 1, yj , B (X 2, ax 2 + by 1 = 1, ax 2+ by ! = 1,y 2)，则即 ax 1 — ax 2=— ( by 2 — by 2), 22by 1 — by 22 2 = ax 1 — ax 2.b y — y 2y 1 + y 2 a X 1 — X 2 X 1 + X 2答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a ), 由于直线 AB 的方程为bx + ay — ab = 0,ab•/ b 2 = a 2 — c 2,「. 3a 4— 7a 2c 2+ 2c 4= 0,解得a 2= 2c 2或3a 2= c 2(舍去)」e =#答案：C 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于c1x轴上，2 2因此其方程是++警=X 故选C.6. [2017 •甘肃兰州诊断]已知椭圆 C:2 2x y 云+令=1( a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2, 右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为半| F 1F 2I ，则椭圆C 的离心率e =( )B.~2D.7. [2 017 •江西师大附中模拟]椭圆ax 2+ by 21与直线y = 1 — x 交于A , B 两点，过原••• a x（-1）x• b=孚，故选B.2 2& [2017 •山东青岛模拟]设椭圆m2+ £= 1(m>0, n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点1相同，离心率为2，则此椭圆的方程为 ________ .2 2答案：16+务=1解析：抛物线y2= 8x的焦点为(2,0),•吊—n2= 4,①• m= 4,n2= 12,2 2•椭圆方程为~+12= 1.2 29. _________ [2017 •湖南长沙一模]椭圆r :争+碁=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,焦距为2c,若直线y=J3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MFF2= 2/ MFF，则该椭圆的离心率等于_________________ .答案：3 —1解析：依题意得/ MFF2= 60°,/ MFF1 = 30°,/ RMF= 90°,设| MF| = m则有| MF| = 3m I尸冋=2m该椭圆的离心率是e=丨田_J3_1| MF| + | MI2| = 32x10. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A( —4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆忑5答案：5解析：sin A+ sin C | BQ + | BA 2a a 5 sin B =|AQ = 2c= c = 4.2 2 21 2e= 2=m代入①得,2+ y9 = 1上，则S in A+ Sin C的值为sin Bxv 2 y11. [2017 •山东三校联考]椭圆C：孑+話=1(a>b>0)的右焦点为F,双曲线x -3 = 1的一条渐近线与椭圆C交于A, B两点，且AF丄BF则椭圆C的离心率为____________ .答案：3 —12解析：不妨取双曲线x2—V3 = 1的一条渐近线的方程为y= .3x,记椭圆C的左焦点为F1,由题意得| OA = | OB = | OF = | OF| = c,•••四边形AFBF为矩形，△ AFC是正三角形，••• | AF = c, | AF| = Q3c,c 2c•椭圆C的离心率e=a=亦=l FF l = % = 3_1= |AF + |AF| = c+ 3c = 3_12. 已知椭圆的左焦点为R,右焦点为冃，若椭圆上存在一点P,满足线段PR相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 __________________________ PF的中点，则该椭圆的离心率为.答案：£设| F1F2| = 2c, |PF| = 2|CM = 2b, 由椭圆的定义，得|PF a| = 2a_ 2b.2 2 2由勾股定理，得4b + (2 a—2b) = 4c ,2 yl5解得b= 3a, c = -ya,所以椭圆的离心率e =靑［冲刺名校能力提升练］2 21. ［2017 •广东汕头一模］已知椭圆X +吕=1上有一点P , F i , F 2是椭圆的左、右焦点， 若厶F i PR 为直角三角形，则这样的点P 有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个答案：C解析：当/ PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有2个；同理当/ PF 2F 1为直角时，这样的点 P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，/ F i PR 最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点 P 有6 个.+ y =0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ 1 A.- 1 BYC© C.2D. 3 — 1答案：D解析：解法一：设A （m n ），则—/3 =— 1,解得A |,彳-,-2 3-2代入椭圆C 中，有石+ 4b 2=1,.22只 2 2 , 2. 2「•be + 3a - = 4a b ,/ 22、 2 小22 ,2,2 2、/• (a — c )c + 3a c = 4a (a — c ),4介 2 2 ,4…c — 8a c + 4a = 0,二 e — 8e + 4 = 0,2. ［2017 •河北唐山模拟m- - n+ 2=0，］椭圆C:2 2F ,若F 关于直线e = 4±2 , 3,•/ 0<e<1，二e= . 3— 1.解法二：借助于椭圆的定义，本题还有如下简捷解法:设F '是椭圆的右焦点，连接 AF, AF . 由已知得厶AFF 是直角三角形，其中/ A = 90°,/ AFF = 30°,2c—— =3— 1，故选D.c + 3c '2 2x y3.已知F 1, F 2是椭圆G 尹^2= 1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆答案：3••• I FF I = 2c ,. | AF | =0c , |AF | = c , 2c|FF |e= 2a = | AF | + | AF IC 上的一点，且 PF丄PF 2.若厶PFF 2的面积为 9,则 b =解析：设| PF| = r1, | PF| =「2，则r 1+「2= 2a,2,2 2r 1+「2= 4c ,2 22「1「2= (「1 +「2) —(r 1 +r ) =4a2—4c2= 4b2,1 2又S PF_,F2=歹1r2= b = 9,「. b= 3.4. [2017 •河北保定一模]与圆C: (x+ 3)2+ y2= 1外切，且与圆 2 2G: (x —3) + y = 81内切的动圆圆心P的轨迹方解析：设动圆的半径为r，圆心为F(x, y),则有|PG| = r + 1, | PG| = 9- r.所以| PG| + | PG| = 10> | CC ,即P在以2x P的轨迹方程为去+255.已知椭圆G的对称中心为原点O,焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2,且|尸冋=2，点1, 2在该椭圆上.(1)求椭圆G的方程;⑵过F1的直线I与椭圆C相交于A, B两点，若△ AFB的面积为^2#,求以F2为圆心且与直线I相切的圆的方程.解：(1)由题意知c = 1,2 a=gj + p gj + 22= 4，解得a= 2,故椭圆G的方程为x(2)①当直线I 丄x 轴时，可取A — 1, — 2 , B — 1, 2 ， △ AFB 的面积为3，不符合题意.②当直线I 与x 轴不垂直时，设直线I 的方程为y = k (x + 1)，代入椭圆方程得(3 + 4k 3 4 5)x 22 2+ 8k x + 4k — 12= 0,显然△ >0 成立，设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2),3 求椭圆C 的方程；4 在x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆？若存在， 求定点坐标；若不存在，请说明理由.X 1+ X 2= — 8 k 2 3 +4k 2，X 1X 2 = 4k 2— 123+ 4k 2，可得| AB = 1 + k2—X1 + X2 2—4x1X212 k2+l=3 + 4k2，又圆F2的半径r =2| k|_ 1 + k2'•••△ AFB的面积为12| k| .. k2+ 1 12 2 r= 3+ 4k2=十，化简得17k4+ k2—18= 0,得k=± 1,• r = 2,圆的方程为(x —1)2+ y2= 2.2 2x y6. [2017 •湖南四校联考]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：二+ 2= 1(a>b>0)的离心a b率e= 1,且过点(0 , 3)，椭圆C的长轴的两端点为A B,点P为椭圆上异于A, B的动点, 1| AB. 2 2 22 c a — b 1解：⑴ a a 4 b 2= 32 2 x y•••椭圆C 的方程为匚+石=1. 4 3y oy o 则 k l =，k 2=x^， 2 y ok i k 2= ―22 X o — 4x o — 42 4 — x o 3X 4 3x 2— 4 =— 4，由 I PA ：y = k i (x + 2)知 M 4,6 k i ), 由 l PB ： y = k 2(x — 2)知 N (4,2 k 2), • MN 的中点Q4,3总+ k 2),1•••以 MN 为直径的圆的方程为(x — 4)2+ (y — 3k 1— k 2)2=二(6k 1 — 2k ?)2 = (3k 1 — k"2, 4 令y = o ,得x — 8x + 16+ 9k 1 + 6k 〔k 2+ k 2=9k 1— 6k 1 k 2 + k 2,2•- x — 8x + 16+ 12k 1k 2= o , • x 2 — 8x + 16+ 12X-3 = o ,2 即 x — 8x + 7 = o ，解得 x = 7 或 x = 1,•••存在定点(1,o) , (7,o)经过以MN 为直径的圆. ⑵设PA PB 的斜率分别为 k i , k 2, F (x o , y o ),31 - 42 2 T。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(四)
[高考基础题型得分练]
1．下图中可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )
A B C D
答案：D
解析：由函数的定义知只有D 是“多对一”函数，而A ，B ，C 均为“一对多”，故选D.
2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝( ) A ．－7
4
B.7
4 C.43 D ．－43
答案：B
解析：令t ＝1
2x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，由f (a )＝6知，4a －1
＝6，解得a ＝7
4
.
3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2
－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案：B
解析：设g (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－2，
c ＝0，
∴g (x )＝3x 2
－2x . 4．函数y ＝
13x －2
＋lg(2x －1)的定义域是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 答案：C
解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞2
3
，故选C.
5．[2017·豫南豫北十校模拟]已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos πx 6，0＜x ≤8，log 2x ，x ＞8，
则f (f (－16))＝( )
A ．－12
B ．－32
C.12
D.
32
答案：C
解析：因为f (x )为奇函数，
所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝1
2
，故选C.
6．[2017·云南师范大学附属中学月考]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin π8x ，x ≥0，f x ＋＋2，x ＜0，
则
f (－2 016)的值为( )
A ．810
B ．809
C ．808
D ．806
答案：B
解析：f (－2 016)＝f (－2 011)＋2＝f (－2 006)＋4＝…＝f (－1)＋403×2＝f (4)＋
404×2＝808＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8×4＝809. 7．[2017·安徽六校联考]已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2
答案：B
解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2
，f (x 0)＝4， 即x 2
0＝4，解得x 0＝2.
当x ＜0时，f (x )＝－x 2
，f (x 0)＝4，即－x 2
0＝4，无解．
所以x 0＝2，故选B.
8．[2017·河北唐山期末]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2a x ＋3a ，x <1，
ln x ，x ≥1
的值域为R ，那么a
的取值范围是( )
A ．(－∞，－1] B.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 答案：C
解析：要使函数f (x )的值域为R ，
需使⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－2a >0，
ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <12，a ≥－1，
∴－1≤a <1
2
.
即a 的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋2ax ，x ≥2，2x
＋1，x ＜2，
若f (f (1))＞3a 2
，则a 的取值范围是________．
答案：(－1,3)
解析：由题意知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32
＋6a ，若f (f (1))>3a 2
，则9＋6a >3a 2
，即a 2
－2a －3<0，解得－1<a <3.
10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋a ，x ＜1，
－x －2a ，x ≥1.
若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值
为________．
答案：－3
4
解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，
f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ，
由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ， 解得a ＝－3
2，不合题意，舍去．
当a <0时，1－a >1,1＋a <1，
此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，
f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，
由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－3
4
.
综上可知，a 的值为－3
4
.
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·湖北武汉调考]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
πx 2
，－1<x <0，e x －1
，x ≥0
满足f (1)＋f (a )＝
2，则a 的所有可能值为( )
A ．1或－
2
2
B ．－
22 C ．1 D ．1或
22
答案：A 解析：∵f (1)＝e 1－1
＝1且f (1)＋f (a )＝2，
∴f (a )＝1，
当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2
)＝1， ∵0＜a 2
＜1，∴0＜πa 2
＜π， ∴πa 2
＝π2⇒a ＝－22；
当a ≥0时，f (a )＝e
a －1
＝1⇒a ＝1.
2．[2017·福建四地六校联考]若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则
f (1)＝( )
A ．2
B ．0
C ．1
D ．－1 答案：A
解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.
3．[2017·福建福州质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≥2，
x －3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )
＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．(－1,0)
答案：B
解析：由题意得，函数f (x )＝2
x
在[2，＋∞)上是减函数，且0＜f (x )≤1，f (x )＝(x －
1)3
在(－∞，2)上是增函数，且f (x )＜1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0＜k ＜1.
4．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫78＝________.
答案：7
解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ＝2，得
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫58
＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48 ＝1
2
×2＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫78 ＝2×3＋1＝7.
5．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝2bx
ax －1
(a ≠0)，f (1)＝1，且使f (x )＝2x 成立的实数x 只有一个，求函数f (x )的解析式．
解：由f (x )＝
2bx
ax －1
(a ≠0)，f (1)＝1， 得a ＝2b ＋1.①
又f (x )＝2x 只有一个解，即
2bx ax －1
＝2x 只有一个解，也就是2ax 2
－2(1＋b )x ＝0(a ≠0)只有一个解，所以b ＝－1，代入①中得a ＝－1，所以f (x )＝
2x x ＋1
.。